О стабилизации циркулярной системы нелинейными диссипативными силами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 531.36

Т. В. Муратова

О СТАБИЛИЗАЦИИ ЦИРКУЛЯРНОЙ СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫМИ ДИССИПАТИВНЫМИ СИЛАМИ

Решена задача о стабилизации циркулярной системы с двумя степенями свободы нелинейными диссипативными силами. Показано, что влияние диссипативных сил неоднозначно — они могут как стабилизировать циркулярную систему вплоть до асимптотической устойчивости, так и дестабилизировать ее.

E-mail: [email protected]

Ключевые слова: стабилизация, асимптотическая устойчивость, циркулярная система, диссипативные силы, функция Ляпунова.

Уравнения движения циркулярной системы под действием диссипативных сил. Под циркулярной системой понимается механическая система, находящаяся под действием потенциальных и позиционных неконсервативных сил. Последние линейно зависят от координат и характеризуются кососимметрической матрицей. Уравнения движения циркулярной системы с двумя степенями свободы при действии нелинейных диссипативных сил можно привести к виду

dR

xi + Aix + vx2 = - ;

(1)

dR (1)

X2 + A2X2 - VXi = -^7-, dx 2

где функция Релея R(x1, xi.x2, x2) имеет вид

r = ^(0ix2 xin + ^2x2x2n)+

2 n

+ 2^(Yix?n+2 + Y2x2n+2), A,7i > 0, i = 1, 2.

Случай n = 1 был детально исследован в работе [1]. Рассмотрим общий случай любого n £ N. Приведем систему (1) к безразмерному виду, введя безразмерное время т = л/Ai + A2t. Отметим, что указанная замена корректна, так как необходимым условием устойчивости системы (1) является неравенство Ai + A2 > 0 при R = 0. Система (1) примет вид

xi + kxi + vox2 + AxIx!2"-1 + Yix'i2n+i = 0 x'2' + (1 - k)x2 - Voxi + e2x2x'22n-i + Y2x'22n+i = 0,

2 /2n-1 . I2n+1 / (2)

где ^о = --—, а обозначения для коэффициентов при нелинейных

А1 + Л2

слагаемых сохранены прежними.

В системе (2) производные берутся по переменной т, а k = 1

А1 + Л2'

Можно показать, что при выполнении неравенства

к(1 - к)+^ < 4 (3)

линейная система при вг = 7г = 0 устойчива. Характеристическое уравнение имеет две пары чисто мнимых корней: ±гшь ±гш2, где ш2 удовлетворяют уравнению частот

ш4 - ш2 + к(1 - к) + ^02 = 0.

Для удобства представим систему (2) в матричной форме

х'' + Ах + ^(х, ж') = 0, (4)

к ^о -^о 1 -

^ = в1х1х12п-1 + 71х'12п+1,

где x = (xi,x2)T, A = ( х _ ^, F =(FbF2)T

f2 = e2x2x22n-1 + 72x22n+1

Линейная и нелинейная нормализация. В системе (4) сделаем линейную замену переменных:

х = ЬУ, У = (УьУ2^

( 1 У> \

L =

ш2 — k vo 2,

(5)

\ 1 - к - ш2 /

Поскольку линейная система является неконсервативной (матрица А не является симметрической), то для перехода к нормальным координатам необходимо провести анализ сопряженной системы

х'' + Атх = 0

и найти сопряженную матрицу Ь* собственных форм. Поскольку матрица Ат получается из матрицы А заменой на -у0, то и Ь* имеет вид матрицы Ь после замены на -Матричное уравнение (4) преобразуется к виду

У'' + Лу + (Ьу,Ьу') = 0, (6)

V 2

где Л = ^(ш2^ ш|), а = 1 - 2 0 > 0.

(Ш - к)

В системе (6) сделаем еще одну замену переменных

Относительно новых переменных м,и2 система принимает вид

(8)

1, _\ , iwi , _.

yi = 2(ui + ^ yi = - ui);

1 _ . ¿W2 , _ч

У2 = 2(U2 + u2,), У2 = ^(u2 - u2).

/ • i

ui = iwiui +--а Ф1;

wi

U2 = ¿Ш2М2 +--а Ф2,

W2

где

ii — ei x 2 x i л + Yi xi2n+i — i(e2x2x'22n" ^ + Y2x'22n+i

Ф2 — ei x 2 x i ^ + Yi xi2n+i — ¿(Axixi2n- ^ + Yixi2n+i

S = Vo — k'

(9)

В выражениях (9) необходимо последовательно провести замены переменных (5) и (7).

После линейной нормализации сделаем нелинейную нормализацию, в результате в преобразованной системе будут представлены только резонансные члены.

Предположим, что отсутствует внутренний резонанс ^ = (2т + + 1)ш2. С помощью полиномиального преобразования

М = £к + ^к2п+1)(^1, 22,21,22), к = 1,2, (10)

где ^2п+1) — однородная форма порядка (2п + 1), систему (8) можно привести к нормальной форме до членов (2п + 1) включительно.

Члены тождественного резонанса в первом уравнении — А11гП+1 ¿П и А12212П22 , во втором уравнении — А21222П2-П и А222П+122 .

В результате преобразований нормализованная система принимает вид

1 11 22 (11)

z2 = iW2Z2 + A2iz2znz- n + A22zn+izn. В системе (11) коэффициенты Aj определяются формулами

Aii = -92n(( х 1w i -щ [ei + (2n + 1)w2YI-

22n(n + 1)!(n — 1)!а - ¿2п+2(в + (2n + 1)^272)];

(2n - 1)!ш

2n-2 12

A22 = , ПЧ „ в + (2n + 1)^272-

22n(n + 1)!(n - 1)!a

- ¿2n+2(A + (2n + 1)^71)]; (2n - 1)!u.

2n-2 22

А12 = - 22п !( 2 М [ (^2 + (2П + 1)^272) + 22пп!(п — 1)!а

+ ¿2п+2 (в1 + (2п + 1)^271)];

А21 = — 22П—(1)!1Г (в1 + (2п + 1)^271) +

22п п!(п — 1)!а

+ ¿2п+2 (в2 + (2п+ 1)^272)].

Анализ устойчивости. Сделаем в системе (11) замену переменных

= ^рГ^1, ^2 = .

п+1

Тогда при р2 = 0 уравнение для р1 имеет вид р1 = А11р1 2 . При А11 > 0 уравнение имеет неограниченно растущее решение. Из теоремы Четаева о неустойчивости следует неустойчивость нулевого решения, при этом в качестве функции Четаева можно взять V = р1. Аналогично неустойчивость будет иметь место и при А22 > 0.

Таким образом, при А11 > 0 или А22 > 0 равновесие исходной системы (1) х1 = х2 = 0, X = Х2 = 0 будет неустойчивым.

Для асимптотической устойчивости необходимо, чтобы А11 < 0, А22 < 0.

Рассмотрим частные случаи. Относительно переменных р1,р2 система (11) имеет вид

р1 = 2А11РП+1 + 2А12Р1РП; р2 = 2А21Р2 РП + 2А22 РП

Пусть 71 = 72 = 0, тогда А11 < 0 при £2п+2 < ^, а А22 < 0 при ¿2п+2 < ^. Если в1 > в,

то £2п+2 < —, а А12 < 0 при £2п+2 > — и А Р1 А

А21 > 0 при ¿2п"2 < ^.

Из изложенного делаем основной вывод: равновесие асимптотически устойчиво при выполнении неравенств

2п-У!<^< "У^. (13)

Это следует из существования положительно определенной функции Ляпунова [2]

V = р1 + ар2, а > 0. (14)

n+1 (12)

Производная V может быть отрицательно определена выбором а. Если А12 > 0 и А21 < 0, то условием асимптотической устойчивости являются неравенства (13).

Аналогично рассматривается случай, когда в1 = в2 = 0. Например, при А12 > 0 и А21 < 0 условием асимптотической устойчивости (если 72 > 71) является неравенство

< 6 < .

У 72 у 72

Из полученных результатов следует, что для асимптотической устойчивости равновесия значение циркулярной силы, которая характеризуется параметром 6, должно быть одновременно не меньше и не больше полученных значений, выраженных через параметры исходной системы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Агафонов С. А. Об устойчивости циркулярной системы при действии нелинейных диссипативных сил // Изв. РАН. - МТТ. - 2009. - № 3. - С. 41-46.

2. Х а з и н Л. Г., Ш н о л ь Э. Э. Устойчивость критических положений равновесия. - Пущино: Центр биол. иссл. АН СССР. -1985. - 216 с.

Статья поступила в редакцию 24.06.2011

Татьяна Владимировна Муратова окончила МГУ им. М.В. Ломоносова в 1982 г. Канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры "Математическое моделирование" МГТУ им. Н.Э. Баумана. Лауреат премии Правительства РФ в области науки и техники. Автор 20 научных работ в области теории устойчивости.

T.V. Muratova graduated from the Lomonosov Moscow State University in 1982. Ph. D. (Phys.-Math.), assoc. professor of "Mathematical Simulation" department of the Bauman Moscow State Technical University, Winner of the RF Government Prize in Science and Technology. Author of 20 publications in the field of theory of stability.