К вопросу об устойчивости циркулярной системы под действием диссипативных сил Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 531. 36

Д-р физ.-мат. наук С. А. Агафонов1, канд. физ.-мат. наук И. А. Костюшко2,

канд. физ.-мат. наук С. П. Швыдкая2

Тосударственный технический университет им. Н.Э. Баумана, г. Москва;

Национальный университет, г. Запорожье

К ВОПРОСУ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ЦИРКУЛЯРНОЙ СИСТЕМЫ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ДИССИПАТИВНЫХ СИЛ

В работе исследуется устойчивость циркулярной системы при действии диссипативных сил (типичный пример диссипативных сил - реактивные силы, используемые в ракетостроении). В критическом случае двух пар чисто мнимых корней найдено в терминах системы условие асимптотической устойчивости. Рассмотрен также резонанс четвертого порядка.

Ключевые слова: циркулярная система, устойчивость, диссипативные силы, критический случай, резонанс.

1 Уравнения движения циркулярной системы при действии диссипативных сил

Уравнения движения циркулярной системы с двумя степенями свободы, находящейся под действием нелинейных диссипативных сил, можно привести к виду:

.. . дR

—------

д*! ’

•• +А — дR

Х2 + А 2 Х2 - ИХ — —Г-д*2 ’

R — 1/2(РіХі2Х12 +Р2Х2Хг) + 1/4(У1Х14 + У2Х2І Рг>У г > 0, (1)

где функция Рэлея R - однородная форма четвертого порядка.

Систему (1) приведем к безразмерной форме с помощью безразмерного времени д/^1 + А 2(. Эта замена корректна, т. к. необходимым условием устойчивости равновесия Х1 — Х2 — 0 Х1 — Х2 — 0 линейной системы является неравенство А + А 2 > 0 .

Система (1) примет вид:

х^ + кх1 + |их2 + Р1Х1 х^ + У1Х1 — 0,

Х2 + (1 — к) Х2 — МХ + в2 Х2 Х2 + У 2 Х23 — 0 (2)

В (2) штрих обозначает дифференцирование по т; к — А1 /(А1 + А2). Обозначения для других параметров сохранены прежними.

Условием устойчивости положения равновесия

х1 — х2 — 0 , х1 — х2 — 0 системы (2) при отсутствии

диссипативных сил Р1 — Р2 — У1 — у2 — 0 является неравенство

к(1—к)+и2 < 1/4. (3)

© С. А. Агафонов, И. А. Костюшко, С. П. Швыдкая, 2011

1607-6885 Нові матеріали і технології

Заметим, что при Аі = А2 линейная циркулярная система неустойчива [l]. Поэтому без уменьшения общности будем считать, что Аі > А2 .

При выполнении неравенства (3) характеристическое уравнение имеет две пары чисто мнимых корней

±'к>1, ±/Ю2, где к>1, ®2 (Ю1 > ю2) удовлетворяют уравнению частот

ю4-ю2 + к (1 - к) + ц2 = О.

Таким образом, задача устойчивости положения равновесия xi = X2 = О x” = x2 = О системы (2) сводится к анализу критического случая двух пар чисто мнимых корней.

2 Линейная и нелинейная нормализация

Для преобразования системы (2), удобно записать ее в векторном виде

x” + Ax + F (x, x') = О;

x = (Xl, x2)T, A = (-к Д ), F (x, x') = (Fl, F2)T,

F1 = Plxl2X1 + Ylxl3, F2 = P2x2x2 +Y2x23. (4)

В системе (4) сделаем замену переменных

x=lv,y=<n,y2,T,l=(ц,итк)). (5)

Поскольку линейная система является неконсервативной (матрица A не является симметрической), то для перехода к нормальным координатам необходимо

провести анализ сопряженной системы x”4 + AT x = О и найти сопряженную матрицу L * собственных форм. Поскольку A получается из матрицы A заменой ц на -ц, то и имеет вид матрицы L после замены ц на

-ц.

металургії та машинобудуванні №1, 2G11 115

Подставляя замену (5) в (4) и умножая слева на Ь получим

y'' + Vy + а-1Ь> (Ьу, Ьу’) — 0,

V — diag(ю^,ю2), а — 1 —

(ю2 — к )2

> 0.

(6)

В системе (6) сделаем еще одну замену переменных

- гю1 / - ч

у1 — 2(и1 + и1 у1 — ~^(и1- ;

У2 — ~(и2 + u2), У2 — ~ю2(и2 — и2)' (7)

Л21 —'

Л22 —'

И

4 (ю2—к)2 „ -1

в2 + 3У2ю1 - (в1 + 3ю2У1

8

в2 + 3У 2ю2 2^---— (Р1 + 3ю2 У1

(Ю2 - к)4

3 Анализ устойчивости

Рассмотрим ряд частных случаев. Пусть Р1 — Р 2 — Р и У1 = у 2 = У Тогда Лц = Лц = 0 . Система (11) имеет вид:

В (7) черта означает операцию комплексного сопряжения. Система (6) примет вид:

I І —1 . . І —1 .

и1 — гюи +------а Ф1, и2 — гю2и2 +--------а Ф2.(8)

®1 ю2

В (8) Ф1, Ф 2 равны

1 2

71 — Ію 1 ^1 --(Р + 3ую1) 8

(

.2 А

1+

(ю2 - к)2

7 2 7 • 71 71;

12

72 — Ію272 -~(Р + 3Ую2) 8

Ґ

.2 А

1+

(ю2 - к)2

722 72. (12)

Ф1 - Р1х12 Х1 +У1Х13 2^ (Р 2 х2 х2 +У 2 х23 )>

® 2 - к

Ф2 = Р2х2х2 +У2х23---2^ (в1Х12Х1 +У1Х13)- (9)

® 2 - к

В выражениях (9) необходимо сделать последовательно замены переменных (5) и (7). Уравнения для сопряженных переменных не выписаны.

Для того чтобы воспользоваться критерием Каменкова в случае двух пар чисто мнимых корней [8], необходимо в системе (8) провести нелинейную нормализацию, после которой в преобразованной системе будут присутствовать только резонансные члены. Предположим сначала, что отсутствует внутренний резонанс четвертого порядка ®1 Ф 3®2 . С помощью полиномиального преобразования

Коэффициенты при 2^ ^1 и 7 2 ?2 отрицательны и, на основании критерия Каменкова [8], равновесие Х1 = Х2 = 0, х1 = Х2 = 0 асимптотически устойчиво.

Интересно отметить следующее обстоятельство. Если на устойчивую циркулярную систему с произвольным числом степеней свободы действуют линейные диссипативные силы с равными коэффициентами диссипации, то равновесие Х1 = х2 = 0 , х1 = х2 = 0 циркулярной системы становится асимптотически устойчивым [1]. Здесь аналогичный результат для систем с двумя степенями свободы имеет место и в случае нелинейных диссипативных сил.

Рассмотрим случай у1 = у 2 = 0 . Система (11) примет вид:

ик = гк + 2к (71, 72, 71, 22), (к = 1,2) (10)

систему (8) можно привести к нормальной форме до членов третьего порядка включительно (2к - формы третьего порядка)

71 — Ію171 - Л11712 71 - Л12 717 2 72

72 — Ію272 -Л21727171 - Л227272

(11)

71 — Ію17-------— р2(-а)г271---------— р2-—И— (р-1)71 72г2 ;

8 4 I 2 , V

Iю 2 - к!

" а-1 2 а-1

72 — Ію272 +^^Р 2 7-----------уГ (- 1)7172 71 ----2 Й - аР)22 72 ;

Й - к)'

и4 _ < 1, р —-Ё! * 1.

4 Р 2

(13)

В (11) коэффициенты Ліі равны

Л11 —'

Р1 +3 У 1ю 2 - 2 4

(ю2 - к)4

И (Р2 + 3ю2 У 2

Л12 —

а

И

4 (ю2 - к)2

в1 + 3У1ю2 - (в2 + 3ю2У2

Поскольку коэффициенты при 7172 72 и 7172 71 имеют разные знаки, то условием асимптотической устойчивости равновесия системы (13) является положительность коэффициентов при 712 71 и 7^ 72 [8], т. е. неравенства

а < Р < V

(14)

а

2

И

а—

а

8

1

При выполнении неравенств

a < в < a или в > 1

(l5)

равновесие системы (13) неустойчиво. Это следует из существования неограниченно растущего решения по

Р1 (2 = °) или по Р2 (р1 = 0) . Переменные

Р1, Р2 связаны с 71, 72 соотношениями

71 =т1р1е14’1, 72 =у1р2е'ф2 .

Случай Р1 = Р2 = 0 рассматривается аналогично. Условие асимптотической устойчивости и условия неустойчивости равновесия совпадают с неравенствами (14) и (15) заменой в на у = у^ у 2.

Заметим, что выводы об устойчивости равновесия сохраняются и для полной нелинейной системы [9].

Из полученных результатов следует, что влияние нелинейных диссипативных сил на циркулярную систему также неоднозначно: они могут как стабилизировать до асимптотической устойчивости равновесие циркулярной системы, так и дестабилизировать ее равновесие. Например, при ц4 <(к -1/2)4 равновесие линейной циркулярной системы устойчиво, а, например, при в < а оно становится неустойчивым.

4 Резонанс о>1 = 3ю2

При резонансе ®1 = 3ю2 частоты ®1 и ю2 равны о>2 = 0,9, ю2 = 0,1, а параметры к,ц связаны соотношением ц2 = (к -1/2)2 - 4/25 .

Нормальная форма до членов третьего порядка имеет вид

71 = /Ю171 - Ац71 71 - А127172 72 + В172 ;

72 = гю272 - А21717271 - А2272 72 + В27172 ■ (16) Ограничимся рассмотрением случая, когда

в1 = в2 = в, У1 = У2 = У . При этом А12 = А21 = 0, а коэффициенты В1, В2 равны

B = 25 2k -1 fR 1

B1 =-----ц--------1 p-----y

1 48 10k-1Г 10

R = 25 2k-1 fR 9

B2 =-----ц------------1 p-Y

2 16 10k-1Г 10

к >—.

2

(17)

В системе (16) сделаем замену переменных

егФ1 7- = ./^^2, (18)

после которой система (16) примет вид

Z1 = л/рУєІФі , z2 = л/р2e

Pl =-2^4цр2 + 2Bjp^2p2^2 cos у;

P2 = -2A22P2 + 2B2p!2p2/2 cos у;

pfV = -(3B2p2/2Pi + Bip2/2)smу, у = 3ф2 -Ф1- (19)

Для анализа устойчивости равновесия pi = р2 = 0 системы (19) рассмотрим определенно положительную функцию

V = pi + P2 . (20)

Производная по т в силу системы (19) равна

V' = -2A11p2 - 2A22p2 + 2(B1 + B2 )р12р2^2 cos у;

5 2k — 1

B1 + B2 =—Ц----------(у — 10в). (21)

1 2 24 10k -1 v '

Рассмотрим три случая:

10 в 10 в 10 в

У =— в, У >—в, У < — в .

7 7 7

^ 10 о

При У = — в B1 + B2 = 0 и V' является определенно отрицательной, следовательно, равновесие P1 = P2 = 0 системы (19) асимптотически устойчиво.

10 о

При У > — в B1 + B2 > 0 . Из (21) с использованием неравенства 2p^2p2^2 < p2 + P1P2 получим оценку

- V'>^2An -+ 2A22 -|( + B2)

All = -4! Р+—Y

2

27 ^ 2к-1

P22 ;

5 ( 3 Ї 2к-1

, , , A22 = —| р +-----y I--------. (22)

10 110к -1 22 4 Г 10 110к -1 v ’

Условием определенной отрицательности производной V' являются неравенства

1 3

2А11 -~(В1 + В2)> 0, 2А22 -т(В1 + В2) > 0

2

которые сводятся к одному

2

ц<

4(l0p + 3y)

5(7y- 10в).

(23)

Случай у < в (В1 + В2 < 0) рассматривается

аналогично: при этом в неравенстве (22) знак при В1 + В2 должен быть заменен на противоположный, а

условием определенной отрицательности V' служит неравенство

ISSN 16G7-6SS5 Нові матеріали і технології в металургії та машинобудуванні №1, 2G11

117

ц<-

4(l0p + 3y) 5(7y- 10p).

(24)

10.

Таким образом, при у= — в равновесие Р1 = Р2 = 0 системы (19) асимптотически устойчиво,

10.

10,

а при у > —в ^у < 7 оно асимптотически устой-

чиво при выполнении неравенства (23) (или (24)).

Перечень ссылок

1. Агафонов С. А. К вопросу устойчивости неконсервативных систем / С. А. Агафонов // Изв. АН СССР. МТТ. -1986. - №1. - С. 47-51.

2. Меркин Д. Р. Введение в теорию устойчивости движения / Д. Р. Меркин. - М. : Наука, 1971. - 312 с.

3. Kirillov O. N. Stabilization and destabilization of a circulatory system by small velocity-dependent forces /

Kirillov O. N., Seyranian A. P. // J. of Sound and Vibration. -2005. - Vol. 283. - № 3-5. - P. 781-800.

Kirillov O. N. A theory of the destabilization paradox in non-conservative systems / Kirillov O. N. // Acta Mechanika. - 2005. - Vol. 174. - № 3-4.- P. 145-166. Сейранян А. П. Парадокс дестабилизации в неконсервативных системах / А. П. Сейранян // Успехи математики. - 1990. - Т. 13. - № 2. - С. 89-124.

Hagedorn P. On the destabilizing effect of non-linear damping in nonconservative systems with follower forces / Hagedorn P. // Intern. J. Non - Linear Mech. - 1970. -Vol. 5. - № 2. - P. 341-358.

Агафонов С. А. Динамическая устойчивость стержня с нелинейной внутренней вязкостью под действием следящей силы / С. А. Агафонов, Д. В. Георгиевский // Докл. РАН. 2004. - Т. 396. - № 3. - С. 339-342. Каменков Г. В. Избранные труды. Т.1. Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика / Г. В. Каменков -М. : Наука, 1971. - 256 с.

Хазин Л. Г. Устойчивость критических положений равновесия / Хазин Л. Г., Шноль Э. Э. - Пущино : Центр биол. иссл. АН СССР, 1985. - 216 с.

Одержано 29.09.2010

Агафонов С.О., Костюшко И.А., Швидка С.П. До питання про стійкість циркулярної системи під дією дисипативних сил

В роботі дослуджується стійкість циркулярної системи під дією дисипативних сил. У критичному випадку двох пар чисто уявних коренів знайдено в термінах системи умову асимптотичної стійкості. Розглянуто також резонанс четвертого порядку.

Ключові слова: циркулярна система, стійкість, дисипативні сили, критичний випадок, резонанс.

Аgafonov S., Kostyushko I., Shvidkaya S. To the problem of circulatory system stability under the dissipative forces action

Stability of the circulatory system under the dissipative forces action is analyses. At the critical case two pair of the pure imaginary roots in the terms of the asymptotic stability system terms the asymptotic stability condition is found. The resonance of the fourth order is expertized as well.

Key words: circulatory system, stability, dissipative forces, critical case, resonance.

УДК B21.914.1

С. Ф. Лякун

Казенное предприятие «Научно-производственный комплекс «Искра», г. Запорожье

МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ ТРЕХГРАННЫХ УГЛОВ ПРИ РАЗРАБОТКЕ УПРАВЛЯЮЩИХ ПРОГРАММ ДЛЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ДЕТАЛЕЙ НА СТАНКАХ С ЧПУ

4

Описывается перерасчет через литейные уклоны плоских углов в трехгранных углах, необходимый при разработке управляющих программ для станков с числовым программным управлением при обработке трехгранных углов. Описывается дедуктивный метод определения углов, образованных при пересечении двухгранных углов плоскостью обработки.

Ключевые слова: трехгранный угол, плоский угол, двугранный угол, литейный уклон, метод математической дедукции, плоскость обработки.

При разработке управляющих программ для стан- исходные параметры плоские углы (ПУ) ТГУ Но в

ков с числовым программным управлением (ЧПУ) на чертежах на детали с ТГУ часто плоские углы не зада-

обработку трехгранных углов (ТГУ) используются как ны, а заданы линейные углы (ЛУ) двугранных углов

© С. Ф. Лякун, 2011

11В