Oб устойчивости циркуляционной системы с диссипацией Текст научной статьи по специальности «Физика»

IV МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕС1В В МЕТАЛУРГП ТА

МАШИНОБУДУВАНН1

УДК 539.3

Д-р физ.-мат. наук С. А. Агафонов1, канд. физ.-мат. наук И. А. Костюшко 2 1МГТУ им. Баумана, г. Москва, 2 Национальный университет, г. Запорожье

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ЦИРКУЛЯЦИОННОЙ СИСТЕМЫ С

ДИССИПАЦИЕЙ

Исследуется влияние нелинейных диссипативных сил на устойчивость циркуляционной системы с двумя степенями свободы. В терминах системы получены условия устойчивости системы, а также неустойчивости.

Под циркуляционной системой понимается механическая система, находящаяся под действием потенциальных и позиционных неконсервативных сил. Последние линейно зависят от координат и характеризуются кососимметрической матрицей. Влияние линейных диссипативных сил на устойчивость циркуляционной системы неоднозначно: с одной стороны они могут стабилизировать (до асимптотической устойчивости) устойчивую циркуляционную систему, а с другой - дестабилизировать ее [1, 2]. Действие линейных диссипативных сил на циркуляционную систему приводит к так называемому "парадоксу дестабилизации", т.е. граница устойчивости понижается на конечную величину. Обстоятельный обзор этого явления содержится в работе [3]. Эффект дестабилизации сохраняется и при действии нелинейных диссипатив-ных сил. В [4] исследовалось влияние этих сил на устойчивость равновесия маятника Циглера со следящей силой. Показано, что критическая величина следящей силы уменьшается на конечную величину. Аналогичный эффект был обнаружен и при рассмотрении одной континуальной системы [5, 6].

В настоящей работе исследуется влияние нелинейных диссипативных сил на устойчивость циркуляционной механической системы с двумя степенями свободы. Задача устойчивости решается без каких-либо привязок к конкретным механическим системам.

Уравнения движения циркуляционной системы при действии диссипативных сил

Уравнения движения циркуляционной системы с двумя степенями свободы, находящейся под действием нелинейных диссипативных сил, можно привести к виду

3&1 +Х1Х1 + |М Х2 = —

д Я д Х

1

.. +. = дя

Х2 + А 2 Х2 — М- Х1 =—Г-дХ2

(1)

где функция Релея

Я = 1 (в1 Х12 Х12 + в 2 Х2 Х2 )+ 1 ((1Х14 + У 2 Х4 ^

рг, уг > 0 ( = 1,2).

Систему (1) приведем к безразмерной форме посредством введения безразмерного времени

т = д/А + А 2 t. Эта замена корректна, так как необходимым условием устойчивости линейной системы является неравенство А^ + А 2 > 0 . Система (1) примет вид

" 2 ' '3

Х1 + кХ1 +М Х2 +Р1Х1 Х1 +У1Х1 = 0;

3

Х2 +(1 — к )Х2 —МХ1 +Р 2 х2 Х2 +у 2 Х2 = 0. (2) В (2) штрих обозначает дифференцирование по

т; к = -

А,

. Обозначения для других параметров

А1 + А 2 сохранены прежними.

Условием устойчивости системы (2) при отсутствии

диссипативных сил (Р1 = Р2 = У1 = у2 = 0) является неравенство

.2 . 1

к(1 — к)+М2 <-4.

(3)

© С. А. Агафонов, И. А. Костюшко 2006 р. 62

МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕС1В В МЕТАЛУРПТ ТА МАШИНОБУДУВАНН1

При выполнении неравенства (3) характеристическое уравнение имеет две пары чисто мнимых корней

± /юь ±/ю 2, (2 =-1), где ю 2 удовлетворяют уравнению частот

ю4 -ю2 + к(1 -к)+ц2 = 0.

Таким образом, задача устойчивости системы (2) сводится к анализу критического случая двух пар чисто мнимых корней.

Линейная и нелинейная нормализация

Для преобразования системы (2) последнюю удоб -но записать в векторном виде

х " + Ах + ^ (х, х ' )= 0,

х = (х1, Х2 ) , А = |-ц 1 -1 к|, ^ (х, х ')=( ^ ), Р1 =Р1 х2 х1 +У1 х1 , Р2 =Р 2 х2 х2 +У 2 х2 ■ (4)

В системе (4) сделаем замену переменных х = ^ у = ((1,У2 )Т,

(5)

где

L =

ю2 - к

1 -ю2 - к

Поскольку линейная система является неконсервативной (матрица А не является симметрической), то для перехода к нормальным координатам необходимо

провести анализ сопряженной системы х" + А х = 0 и найти сопряженную матрицу L * собственных форм.

Поскольку АТ получается из матрицы А заменой ц на -ц, то и L * имеет вид матрицы L после замены ц на -ц.

Подставляя (5) в (4) и умножая слева на L *, получим

у" + Лу + а-1 L * ^(Ly, Ьу') = 0,

Л =

(ю12, ю2 )

а = 1 --

ц

> 0.

(ю 2 - к

В системе (6) сделаем замену переменных

(6)

у1 = 1 (и1 + «1) у1 = (- «1 )

У2 = 1(и2 + и2) у2 = -/ю22(и2 -и2). (7)

В (7) черта означает комплексное сопряжение. Система (6) примет вид

и1 = /ю« +--а Ф1 ,

ю1

' / -1/.ч

«2 = /ю2«2 +--а Ф 2.

В (8) Ф1 и Ф 2 равны соответственно

(8)

12

2 ' ' 3 ц I 2 ' ' 3 I Ф1 = Р1 х1 х1 + У1 х1--2-1 Р2 х2 х2 + У2х2 I

ю2-к I )

2 ' ' 3 ц I 2 ' ' 3 I

Ф 2 =Р 2 х2 х2 +У 2 х2--2-1 Р1 х1 х1 +У1х1 I. (9)

ю2-к\ )

В выражениях (9) необходимо сделать последовательно замены переменных (5) и (7). Уравнения для сопряженных переменных не выписаны.

Для того, чтобы воспользоваться критерием Каменкова в случае двух пар чисто мнимых корней [7], необходимо в системе (8) провести нелинейную нормализацию, после которой в преобразованной системе будут присутствовать только резонансные члены. Предполагая, что отсутствует внутренний резонанс четвертого порядка ю1 ф 3ю2 , с помощью полиномиального преобразования

ик = ?к + (^1, 22, 21, 22) к = 1,2, (10)

где 2к - однородная форма третьего порядка, систему (8) можно привести к нормальной форме до третьего порядка включительно (присутствуют только члены тождественного резонанса)

21 = /ю 121 - Ац 2121 - Ац 2122 2 2;

22 = /Ю222 - Ац2221 21 - Ац22 22 В (11) коэффициенты А„ равны

(11)

А11 =-

8а

Р1 + 3У1ю2 -, ,ц и (

(ю2 - к)4

2 + 3ю^ 2,

А12 = 4а ( 2ц )2 [1 + 3У1ю2 -(в2 + 3ю2У2) а (ю2 -к!

А21 = 7~/ ц2 \2 [2 + 3у2ю2 -(в1 + 3ю2У1] (ю2 - к)

-(р1 + 3ю2 У1)

4а А22 = —

22 8а

2 ц в2 +3У2ю2 -

(ю2 - к)

2

ц

1

1

1

1607-6885 Новi маmерiали i технологи в металурги та машинобудувант №1, 2006

63

Анализ устойчивости

Рассмотрим ряд частных случаев. Пусть Р1 = Р2 = Р и У1 = у 2 = у . Тогда коэффициенты Л12 = ^21 = 0. Система (11) имеет вид

zl = ra^l

1 (

* + 3y®?) 1 + / ц ^

8 Yl 1 ( - У

\

zl2 zl ,

z2 = ira 2 z2

1 (ß + 3yc2 )l + ц

2

( -k)

z2z2. (12)

2 — 9 —

Коэффициенты при zj zi и z| z 2 отрицательны и, на основании критерия Каменкова [7], система (12) асимптотически устойчива.

Интересно отметить следующее обстоятельство. Если на устойчивую циркуляционную систему действуют линейные диссипативные силы с равными коэффициентами диссипации, то циркуляционная система становится асимптотически устойчивой [1]. Аналогичный результат имеет место и в случае нелинейных диссипативных сил.

Рассмотрим случай yj = у 2 = 0. Система (11) примет вид

zl = iclzl -8Lß2(ß-a)2zl -ß2 ( Ц ) (ß-^zlz2z2 ; a a (2 - kf

1 1 ß Ц2

z2 =iC2z2 + ^ (k)

(ß-l)zlz2zl -~ ß2(1 -aß)z|z2;

8a

^ < 1, ß=il * 1.

( - k )

(13)

Поскольку коэффициенты при ZlZ2z2 и ZlZ2zl имеют разные знаки, то условием асимптотической устойчивости системы (13) является положительность 2— 2 —

коэффициентов при 21 21 и 12 2 2 [6], которое сводится к неравенствам

a <ß <

1

При выполнении неравенств

0 < ß < a или ß > —

(14)

(15)

система (13) неустойчива. Это следует из существования неограниченно растущего решения по Р1 (р2 = 0)

или по р2 (Р1 = 0). Переменные Р1 , Р 2 связаны с

21, 22 соотношениями 21 = Л/Р1егф1 ,22 = у[р2е'^2 .

Случай Р1 = Р2 =0 рассматривается аналогично. Условие асимптотической устойчивости и условия неустойчивости совпадают с неравенствами (14) и (15)

заменой ß на y =

Il

Y 2

Заметим, что выводы об устойчивости сохраняются и для полной, нелинейной системы [8].

Из полученных результатов следует, что влияние нелинейных диссипативных сил на циркуляционную систему неоднозначно: они могут как стабилизировать до асимптотической устойчивости устойчивую циркуляционную систему, так и дестабилизировать ее. Дей-

4 (Ь 1V -

ствительно, при ц <1 ь - — I линейная циркуляционная система устойчива, а, например, при ß < a становится неустойчивой.

Случай внутреннего резонанса ®i = 3®2 резко усложняет задачу устойчивости и требует отдельного рассмотрения. Анализ устойчивости при этом резонансе является предметом дальнейшего исследования.

Список литературы

1. Агафонов С. А. К вопросу устойчивости неконсервативных систем // Изв. АН СССР. МТТ - 1986. - №1. -С. 47-51.

2. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. - М.: Наука, 1971. - 312 с.

3. Сейранян А.П. Парадокс дестабилизации в неконсервативных системах // Успехи механики. - 1990. - Т. 13, № 2. - С. 89-124.

4. Hagedorn P. On the destabilizing effect of non-linear damping in non - conservative systems with follower forces // Int. J. Non - Linear Mech. - 1970. - V. 5. № 2. - P. 341 -385.

5. Агафонов С.А., Георгиевский Д.В. Динамическая устойчивость стержня с нелинейной внутренней вязкостью под действием следящей силы // Докл. РАН. -2004. - Т. 396. - № 3. - С. 339-342.

6. Агафонов С.А., Щеглов Г.А. Об устойчивости свободного вязко упругого стержня, находящегося под действием следящей силы // Изв. РАН, МТТ, 2006. - № 2. -С. 39-44.

7. Каменков Г.В. Избранные труды. Т.1. Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика. - М.: Наука,1971. -256 с.

8. Хазин Л.Г., Шноль Э.Э. Устойчивость критических положений равновесия. - Центр биол. иссл. АН СССР. Пущино, 1985. - 216 с.

Одержано 13.03.2006 р.

2

a

a

До^джуетъся вплив нелтшних дисипативних сил на стшюстъ циркуляцшног системи з двома ступенями свободи. В термiнах системи отриманi умови стiйкостi системи та нестiйкостi.

The influence of non linear dissipation forces on circular system stability with two levels of freedom were discovered. In system terms the system stability and unstability condition were received.