CC BY
15
МЕХАНИКА
J
УДК 531.36
С. А. Агафонов
ВЛИЯНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИССИПАТИВНЫХ СИЛ НА УСТОЙЧИВОСТЬ ЦИРКУЛЯЦИОННОЙ СИСТЕМЫ
Исследуется влияние нелинейных диссипативных сил на устойчивость циркуляционной системы. Показано, что влияние неоднозначно: диссипативные силы могут как стабилизировать (до асимптотической устойчивости) устойчивую циркуляционную систему, так и дестабилизировать ее.
Под циркуляционной системой понимается механическая система, находящаяся под действием потенциальных и позиционных неконсервативных сил. Последние линейно зависят от координат и характеризуются кососимметрической матрицей. Влияние линейных диссипатив-ных сил на устойчивость циркуляционной системы неоднозначно: с одной стороны, они могут стабилизировать (до асимптотической устойчивости) устойчивую циркуляционную систему, а с другой — дестабилизировать ее [1, 2]. Действие линейных диссипативных сил на циркуляционную систему приводит к так называемому "парадоксу дестабилизации", когда граница устойчивости понижается на конечную величину.
Обстоятельный обзор этого явления содержится в работе [3]. Эффект дестабилизации сохраняется и при действии нелинейных диссипативных сил. В работе [4] исследовалось влияние этих сил на устойчивость равновесия маятника Циглера со следящей силой. Показано, что критическая величина следящей силы уменьшается на конечную величину. налогичный эффект бл обнару ен и при рассмотрении одной континуальной систем [5].
В настоящей работе исследуется влияние нелинейных диссипатив-ных сил на устойчивость циркуляционной механической системы с двумя степенями свободы. Задача устойчивости решается без каких-либо привязок к конкретным механическим системам.
Уравнения движения циркуляционной системы при действии диссипативных сил. Уравнения движения циркуляционной системы с двумя степенями свободы, находящейся под действием нелинейных диссипативных сил, мо но привести к виду
dR
xi + Л1Ж1 + ¡x2 =
¿2 + Л2Х2 — ^Xi =
dxi (1) dR (1)
dx 2
где Л = -(в^ж2 + в2х2х2) + 1(71х! + 72¿1), в», 7г > 0, — функция Рэлея.
Систему (1) приведем к безразмерной форме посредством введения
безразмерного времени т = у А1 + А2£. Эта замена корректна, так как необходимым условием устойчивости линейной системы является неравенство А1 + А2 > 0. Система (1) примет вид
ж'/ + кх1 + + в1х2х/1 + 71х/13 = 0, ж'2' + (1 — к)ж2 — + в2х2х2 + 72ж23 = 0.
Здесь штрих обозначает дифференцирование по т; к = А1 ; обо-
А1 + А2
значения для других параметров сохранены прежними.
Условием устойчивости системы (2) при отсутствии диссипативных сил (в1 = в2 = 71 = 72 = 0) является неравенство
к(1—к)+^ < 4. (3)
При выполнении неравенства (3) характеристическое уравнение имеет две пары чисто мнимых корней: ±гш1, ±гш2 (г2 = —1), где ш1, ш2 удовлетворит уравнению частот
ш4 — ш2 + к(1 — к) + = 0.
Таким образом, задача устойчивости системы (2) сводится к анализу критического случая двух пар чисто мнимых корней.
Линейная и нелинейная нормализация. Чтобы преобразовать систему (2), запишем ее в векторном виде:
ж" + Ax + F(x, x') = 0,
k ¡л —^ 1 — k
Fi = ßix^l + Yixl3, F2 = ^2x2X'2 + 72X'23.
x = (xi, Х2)т, A = ^ Д 1 — ^ , F(x, x') = (Fi, F2)\ (4)
В системе (4) сделаем замену переменных
x = У = (Уъ У2^ (5)
где
( i _Ц_\
L =
1 ш,2- k
Ц 2 -
\1 - к - /
Поскольку линейная система является неконсервативной (матрица А не является симметрической), то для перехода к нормальным координатам необходимо провести анализ сопряженной системы х" + Атх = 0 и найти сопряженную матрицу Ь* собственных форм. Поскольку Ат получается из матрицы А заменой р на -р, то и Ь* имеет вид матрицы Ь после замены р на -р.
Подставляя (5) в систему (4) и умножая слева на Ь*, получим
у'' + Лу + а L*F(Ly, Ly') = 0,
ц,
Л = diag^J2, ш22), а = 1 - f > 0.
(ш, — k)
В системе (6) сделаем еще одну замену переменных:
yi = 2(ui + «i^ у' = -2r(ui — «i^
1 i Ш
у2 = + у, = — u,);
(6)
(7)
здесь черта означает комплексное сопряжение. Система (6) примет вид
г
«1 = Ш'Щ +--а 'Ф',
, . i _1л, «2 = iW2«2 +--а Ф2,
Ш2
(8)
где
„'3
Ф' = в'^2 x'i + Yix'i3--2-- (в2ж2ж2 + Y2X23),
Ш2 — k
Ф2 = в2Х2x'2 + Y2X3--ö^T (в^М + Yixi3).
2 2 2 — k
(9)
В выражениях (9) необходимо сделать последовательно замены переменных (5) и (7). Уравнения для сопряженных переменных не выписаны.
Для того чтобы воспользоваться критерием Каменкова в случае двух пар чисто мнимых корней [6], необходимо в системе (8) провести нелинейну нормализаци , после которой в преобразованной системе будут присутствовать только резонансные члены. редполагая, что
отсутствует внутренний резонанс четвертого порядка ш1 = 3ш2, с помощью полиномиального преобразования
П = гк + ^(21,22, ¿1,^2), к = 1, 2, (10)
систему (8) можно привести к нормальной форме до членов третьего порядка вкл чительно (присутству т только члены то дественного резонанса):
¿1 = гш1^1 — Ацг^ — .^122122^2, 4 = ¿Ш2^2 — ^212:2^1 — А22 ¿2,
(11)
где
ßi + 37iw2 — , 2^ М4 (ß2 + 3^272) (ш2 — k)4
Aii = i
ii 8a t
1 ¡2
Ai2 = 4a [ßi + 3^2Yi — (ß2 + 3^72)] , 1 «2
A2i = ,2 ,\2 [ß2 + 3^72 — (ßi + 3^7i)] ,
A22 = — 22 8a
4a — k)2 1 "
ß2 + 372^2 — ^ — k)4 (ßi + 3W27i)
Анализ устойчивости. Рассмотрим ряд частных случаев. Пусть в1 = в2 = в и 71 = 72 = 7. Тогда коэффициенты А12 = А21 равны нулю. Система (11) имеет вид
¿1 = гш121 — 8(в + 37ш2^1 + (ш2-^2) ^
1 ( 2 N (12)
¿2 = гш222 — 8(в + 37ш2) + (ш2^ к)^ ¿2^2.
Коэффициенты при и отрицательны, и на основании критерия Каменкова [6] система (12) асимптотически устойчива.
Отметим следующее: если на устойчивую циркуляционную систему действуют линейные диссипативные силы с равными коэффициентами диссипации, то циркуляционная система становится асимптотически устойчивой [1]. Аналогичный результат имеет место и в случае нелинейных диссипативных сил.
Рассмотрим случай 71 = 72 = 0. Система (11) примет вид
2
z' = i^iZi — -1 ß2(ß — a^Zi — -1 ß2, 2« M2 (ß — 1)ziZ2Z2, i 8a 4a — k)2
1 ¡2 1
Z2 = ¿^2Z2 + — ß2T^2-7T9 (ß — 1)ZiZ2^i — — ß2(1 — aß)Z^Z2, (13)
4a — k)2 8a
¡4 ^ 1 /Э ßi _L 1
a = -M4 < 1, ß = TT = 1.
(Ш2 — k)4 ß2
Поскольку коэффициенты при и имеют разные знаки, то
условием асимптотической устойчивости системы (13) является положительность коэффициентов при ¿2^ и [6], т.е. неравенство
а < в < 1. (14)
а
При выполнении неравенств
0 < в < а или в > 1 (15)
а
система (13) неустойчива. Это следует из существования неограниченно растущего решения по р1 (р2 = 0) или по р2 (р1 = 0). Переменные
р1,р2 связаны с г1, г2 соотношениями г1 = у р1^1, г2 = у р2е .
Случай в1 = в2 = 0 рассматривается аналогично. Условие асимптотической устойчивости и условия неустойчивости совпадают с не-
71
равенствами (14) и (15) при замене в на 7 = —.
72
Заметим, что выводы об устойчивости сохраняются и для полной нелинейной системы [7].
Из полученных результатов следует, что влияние нелинейных дис-сипативных сил на циркуляционную систему неоднозначно: они могут как стабилизировать до асимптотической устойчивости устойчивую циркуляционную систему, так и дестабилизировать ее. Действи-
( 1V
тельно, при р4 < (к — - ) линейная циркуляционная система устойчива, а, например, при в < 1 становится неустойчивой.
Случай внутреннего резонанса = 3ш2 резко усложняет задачу устойчивости и требует отдельного рассмотрения. Анализ устойчивости при этом резонансе является предметом дальнейшего исследования.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Агафонов С. А. К вопросу устойчивости неконсервативных систем // Изв. АН СССР. МТТ. - 1986. - № 1. - С. 47-51.
2. Меркин Д. Р. Введение в теорию устойчивости движения. - М.: Наука, 1971. -312 с.
3. Сейранян А. П. Парадокс дестабилизации в неконсервативных системах // Успехи механики. - 1990. - Т. 13, № 2. - С. 89-124.
4. HagedornP. On the destabilizing effect of non-linear damping in non-conservative systems with follower forces//Int. J. Non-Linear Mech. - 197o. -V. 5, № 2. - P. 341358.
5. Агафонов С. А., Георгиевский Д. В. Динамическая устойчивость стержня с нелинейной внутренней вязкостью под действием следящей силы // Докл. АН. - 2004. - Т. 396, № 3. - С. 339-342.
6. Каменков Г. В. Избранные труды. Т. 1. Устойчивость движения. Колебания.
Аэродинамика. - М.: Наука, 1971. -256 с.
7. Хазин Л. Г., Шноль Э. Э. Устойчивость критических положений равновесия. - Пущино: Центр. биол. иссл. АН СССР, 1985. - 216 с.
Статья поступила в редакцию 25.04.2005
Сергей Алексеевич Агафонов родился в 1947 г., окончил МГУ им. М.В. Ломоносова. Д-р физ.-мат. наук, профессор, лауреат Премии Совета Министров РФ. Автор 60 работ по механике, устойчивости дви ения.
S.A. Agafonov (b. 1947) graduated from the Lomonosov Moscow State University D. Sc. (Phys.-Math.), professor, winner of the Prize of Council of Ministers of the Russian Federation. Author of 60 publications in the field of mechanics, stability of motion.
ЖУРНАЛ "ВЕСТНИК МОСКОВСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени Н.Э. БАУМАНА"
В журнале публикуются наиболее значимые результаты фундаментальных и прикладных исследований и совместных разработок, выполненных в МГТУ им. Н.Э. Баумана и других научных и промышленных организациях.
Журнал "Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана" в соответствии с постановлением Высшей аттестационной комиссии Министерства образования Российской Федерации включен в перечень периодических и научно-технических изданий, в которых рекомендуется публикация основных результатов диссертаций на соискание ученой степени доктора наук.
Журнал издается в трех сериях: "Приборостроение", "Машиностроение", "Естественные науки", — с периодичностью 12 номеров в год.
Подписка по каталогу "Газеты, журналы" агентства "Роспечать"
Индекс Наименование серии Объем выпуска Подписная цена (руб.)
Полугодие 3 мес. 6 мес.
72781 "Машиностроение" 2 150 300
72783 "Приборостроение" 2 150 300
79982 "Естественные науки" 2 150 300
Подписывайтесь и публикуйтесь!
Адрес редакции журнала "Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана": 105005 Москва,
ул. 2-я Бауманская, д. 5.
Тел.: (095)263-62-60; 263-60-45.
Факс: (095)265-42-98; 263-67-07.
E-mail: [email protected], [email protected]
