Застосування методу послідовних переміщень до розрахунку тривимірних стрижневих конструкцій Текст научной статьи по специальности «Математика»

ля колебаний (часть 1) / А. М. Гуськов, Г. Я. Пановко, Чан-Ван-Бинь. // Наука и образование. Инженерное образование. Е-.Гоигпа1, 2008. - № 2. (http://technomag.edu.ru/doc/80815.htm1)

5. Израилович М. Я. Активное виброгашение вынужденных колебаний / М. Я. Израилович, А. А. Гришаев // Проблемы машиностроения и автоматизации, 2004. -№ 3. - С. 50-54.

6. Израилович М. Я. Парамерическое гашение вынужденных колебаний / Израилович М. Я. // Проблемы машиностроения и автоматизации, 2008. - Том 6. - № 1. -С. 108-109.

7. Кондрашов С. П. Гашение вибраций путем взаимной компенсации автоколебаний / С. П. Кондрашов // Реза-

ние и инструмент: респ. межвед. науч.-техн. сб., 1989. -Вып. 42. - С. 93-99.

8. Адаптивные системы активного гашения шума и вибраций / [А. А. Мальцев, Р. О. Масленников, А. В. Хо-ряев, В. В. Черепенников] // Акустический журнал, 2005. - Т. 51. - № 2. - С. 242-258.

9. Тимошенко С. П. Колебания в инженерном деле // Тимошенко С. П., Янг Д. Х., Уивер У. - М., 1985. - 472 с.

10. Eissa M. Active control of an aircraft tail subject to harmonic excitation / M. Eissa, H. S. Bauomy, Y. A. Amer // Acta Mechanica Sinica, 2007. - V. 23. - № 4. - P. 451-462.

11. Study of vibration suppression in discrete domain / [C. Dingyue, L. Xia, C. Hongsheng, X. Hui] // Acta Mechanica, 2002. - V. 158. - № 1-2. - P. 57-66.

Одержано 02.07.2009

На основе соответствующей дискретной модели рассмотрены вынужденные колебания диска с лопатками. Решенные задачи показали теоретическую возможность использования явления управляемого антирезонанса для гашения нежелательных резонансных явлений. Гашение колебаний одной из лопаток диска осуществляется за счет приложения гасящей силы на какую-то другую лопатку.

On the base of appropriate discrete model forced vibrations of disk with blades are considered. Solved problems have shown the theoretical possibility of using operated antiresonance for reduction the undesirable resonance vibrations. Vibrations reduction of the disk blade is realized by forcing of external load on the other blade.

УДК 004.021:539.3

Д-р техн. наук О. Д. Шамровський, Д. М. Колесник, канд. техн. наук Ю. О. Лимаренко, В. В. Кривуляк Державна ¡нженерна академiя, м. Запорiжжя

ЗАСТОСУВАННЯ МЕТОДУ ПОСЛ1ДОВНИХ ПЕРЕМ1ЩЕНЬ ДО РОЗРАХУНКУ ТРИВИМ1РНИХ СТРИЖНЕВИХ КОНСТРУКЦ1Й

Ранiше розглянутий методрозрахунку стрижневих конструкцш поширено та застосовано для розрахунку тривимiрних стрижневих конструкцш. Для них також фiксувався момент втрати стiйкостi, в тому чи^, ступенево'1 втрати стiйкостi для багатоярусних конструкцiй з надаванням можливостi дослiдження закритично'1 деформацИ.

Вступ

У робот! [2] було подано метод послщовних перемщень для розрахунку стрижневих систем, в якому запропоновано геометрично лшшну модель розрахунку конструкцш у статично визначеному та статично невизначеному випадках. Осшльки для застосування цього методу лшшшсть моделi не е обов'язковою, метод був модифжований з урахуванням геометрично! нелшшшсп задачi i протестований в робот [1] на двовимiрних стрижневих конструкщях. Однак цей метод без суттевих змш може бути застосований також i для розрахунку тривимiрних конструкцш, що значно розширить сфери його застосування.

У цш робот подана модифтащя методу послщов-них перемщень, яка дозволяе розраховувати не тшьки двовимiрнi, але й тривимiрнi стрижневi конструкцп.

Розрахунок поздовжньоТ деформацп стрижня у тривимiрному випадку

Розглянемо розрахунок поздовжньо! деформацп стрижня у довшьному тривимiрному випадку з урахуванням геометрично! нелшшносп.

Припустимо, що кшщ стрижня, яш спочатку ма-

ють координати (х1, у1, z1) й (х2, у2, г2), одержують перемщення уздовж осей координат Дхр Ау1, Аг1 i Дх2, Ду2, Аг 2 (рис. 1). Результатами таких перемщень

© О. Д. Шамровський, Д. М. Колесник, Ю. О. Лимаренко, В. В. Кривуляк, 2009 100

будуть HOBi координати кiнцiв стрижня:

хн1 = х + , yHl = У1 + ДУ1, zн1 = Z1 + Azj,

хн2 = х2 +Ах2= Ун2 = У2 + ДУ2 , zh2 = z2 +Az2 = та змша довжини стрижня на величину

ДЬ = LH - L, де L = V(i - Х2 )2 + (У1 - У2 )2 + (zi - z2 )2

lh = V(хн1 - хн2 )2 + (Ун1 - Ун2 )2 + (zHi - zH2 )2 -початкова й шнцева довжини стрижня вiдповiдно.

ДУ1

Рис. 1. Деформування стрижня - елемента тривим1рно1 стрижнево! конструкци

Внаслвдок деформування в стрижт виникае зусилля

R = C-ДЪ,

де С - жорстшсть стрижня.

Напрямнi косинуси сили R зб^аються з напрямни-ми косинусами стрижня в новому положенш й дорiв-нюють

cos а х = ■

LH

-, cos а y = Ун2 Ун1

У LH

z Lh

де а х - кут м1ж стрижнем i вiссю х, а y - кут мiж стриж-нем i вiссю y, а а z - кут мiж стрижнем i вiссю z.

Застосуемо щ формули для розрахунку методом послвдовних перемiщень тривимiрних стрижневих конструкцiй.

Приклади розрахунку TpoBOMipHnx стрижневих конструкцiй

Приклад 1. Розглянемо стрижневу систему, зобра-жену на рис. 2. Три стрижш утворюють пiрамiду. Нижнi шнщ стрижнiв прикутi нерухомо до площини

х, у, верхнi кiнцi з' еднат в точцi (х4, У4, z4). На верх-ню точку дае сила зi складовими Рх, Py, Pz. Для li розрахунку застосуемо метод послвдовних перемiщень [1], який, з урахуванням тривимiрностi задач^ полягае у наступному:

Перший крок. Для вузла О знаходимо сумарш проекци навантаження, включаючи сюди зовнiшне навантаження (силу P) i реакцп стрижнiв Ri, R2, R3:

X X = -Ri cos а1х - R2 cos а2х - R3 cos а3х + Рх, X Y = -R1 cos а1у - R2 cos а2 - R3 cos а3 + Py ,

X Z = -Ri cos аи - R2 cos а2г - R3 cos азг - Pz .

У загальному випадку цi проекци ввдмшт вiд нуля. Для першого ж наближення маемо:

IX = Рх, X Y = Py, IZ = -Pz.

Рис. 2. Система з трьох стрижшв

Другий крок. Задаемо проекци перемщення вузла О пропорцшш сумарним проекцiям навантаження:

Дхз =YI X, Дуз =YI Y, Дzз =YI Z.

При цьому вузол О перемутиться в положення з координатами

хн3 = х3 + Дх3 > Ун3 = У3 + ДУ3 , zH3 = z3 + ДZ3.

Третiй крок. Обчислюемо прирости довжин стрижнiв при перемщенш вузла О:

2

хн 2 хн1

Zh 2 н1

ISSN 1607-6885 Hoei Mamepia.nu i технологи в металурги та машинобудувант №2, 2009

101

ДА -Lh1 -ц , -Lh2 -L2,

де L1 — ^(x4 - Х1 )2 + (y4 - У1 )2 + (z 4 - Z1 )2 ,

LH1 — V(xH4 - x1)2 + (Ун4 - У1)2 + (zн4 - z1)2 ' L2 — V(x4 - x2 )2 + (У4 - У2 )2 + (z4 - z2 )2 ' Lh2 — V(хн4 - x2 )2 + (Ун4 - У2 )2 + (zh4 - z2 )2 ' L3 — V(x4 - x3 )2 +(У4 - У3 )2 + (z4 - z3 )2 '

Lh3 — V (хн4 - X3 )2 + (н4 - У3 )2 + (zh4 - Z3 2 -

початковi й кiнцевi довжини першого, другого й тре-тього стрижнiв вщиовщно.

Пропорцiйнi деформацiям стрижнiв зусилля роз-тягання (стискання) дорiвнюють

R — ОД, R2 — C2 ALV R — Сз Ацз,

де C1, C2, C3 - жорсткостi першого, другого й третьо-го стрижшв вiдповiдно. Цi зусилля проходять уздовж нових напрямк1в стрижнiв, яш вони одержують у результат перемiщення вузла О.

Тепер сумарш ироекцп сил, що дiють на вузол О, будуть дорiвнювати

XX — -R1 cosaH1x - R2 cosaH2x - R3 cosaH3x + Px,

X Y —-Rj cos a н1у - R2 cos a н2y - R3 cos a нзy + Py ,

XZ — -R1 cosaH1z -R2 cosaH2z -R3 cosaH3z -Pz ,

хн4 - Xi cos a _ Ун4 - У1 де cos aн1х =—^--, COS aHiy -

L

Hi

zh4 - z1

cos a Hiz =- cos a H2x =

Lh1 xh4 - x2

L

h1

L

h2

cos a h2y = Ун4 У2 cos a н2 z = Z"4 Z2

L

h2

Xh4 X3

cos aH3 x =—T-1, cos a н3 y =

Lh2 Ун 4 - У3

L

h3

H3 Z J

lh3

Якщо обчисленi суми не дорiвнюють нулю (знач-но вiдрiзняються ввд нуля), тодi процедура повторюеть-ся, починаючи з другого кроку, з замшою х4 = хн 4,

У4 = Ун4 , Z4 = Zh4-

Рекурентний процес зак1нчуеться при досягненнi рiвноваги третього вузла iз заданою точнiстю.

У тестових розрахунках складовi сили Рх, Ру були

взятi рiвними нулю, а складова Рг поступово збшьшу-валася. Спочатку система мала незначну деформацiю, однак при досягненш певного, критичного, наванта-ження система втратила стiйкiсть, i вiдбувся стрибок перемiщень, що е типовим нелшшним явищем.

На рис. 3 представлено графж залежностi вертикального перемщення вузла 4 системи в залежносп вiд величини сили, прикладено! до цього вузла. Характерна сходинка ввдображае момент втрати стшкосп системи. Таким чином, шляхом плавного збшьшення навантаження можна знайти критичну силу як таку, при якш вiдбуваеться стрибкоподiбна змiна положения системи. Подальше збшьшення навантаження дае можливють вивчати закритичну деформацш.

Z 1.25

1

0.75

0.5

0.25 P

0 5 1*10 2*10" 3* o5 5 4*10 5 5*10" 6*10" 5 7*10"

-0.25

-0.5

-0.75

-1

Рис. 3. Залежнють вертикального перемщення вузла О вщ прикладено! сили Р

Приклад 2. У наведеному вище прикладi кожний зi стрижшв мае один з шнщв нерухомим. У такому випадку деформащя стрижня визначаеться за пере-мщенням рухливого к1нця стрижня.

Розглянемо бшьш складний випадок. На рис. 4 наведена двох'ярусна тривимiрна стрижнева система, що складаеться з дванадцяти стрижшв, з'еднаних шар-нiрно у вузлах I, II, III й IV. У стрижшв 1, 2 i 3 рухли-вими е обидва шнщ, в iнших тiльки один шнець.

Робота методу послiдовних перемщень у цьому випадку iдентична попередньому прикладу з пею вiдмiннiстю, що знаходяться сумарнi проекцп навантаження не тшьки для вузла I, на який дiе сила Р, але й для вузлiв II, III i IV:

X Xj = -R1 cos a1x - R2 cos a2x - R3 cos a3x,

Zh4" Z3

Рис. 4. Двох'ярусна стрижнева система з 12 стрижшв

X 7/ = -cos а.\у - Я 2 cos а 2у - Я3 cos а 3у , X = -Л1 cos а^ - ^2 cos а2z - Я3 cos а32 - Р, X Хп = Я1 cosаlx - Я4 cosа4X -

X 7// = Щ cos а^ - Я4 cos а 4у -

- Я5 cos аз у - Яб cos а 6 у ,

Х^л = cosаlz - Я4 cosа4z --Я5 cosа5z -Л6 cosа6z,

XХш = Щ C0Sа2x - Яу -

- Я§ cosаgx - Яд cosа9x,

X7/// = К2 cosа2у -Яу cosауу -

- Я8 cos а8 у - Яд cos ад у,

X7/// = Я2 ^^ - Я7 ^^ -

- Я8 cosа8z - Яд cosа9z,

XХ/У = Я3 ^^Эх -Я10 ^^10* -

- Яп ^эацх - Я12 ^^12* ,

X г/у = Я3^ а3у - Я10^ а10у -

- аПу - Я12 cos а12у,

XZ/V = Я3 C0Sа3z -Я10cosа10z -

- ЯllC0sаllz - Яl2C0sаl2z.

Рекурентний процес зак1нчуеться при досягненш р1вноваги у вузлах I, II, III, IV, тобто при досить малих за модулем сумарних проекщях сил у вах цих вузлах.

Особлив1стю даного приклада е ступенева втрата стшкосп. Щд д1ею спрямованого вздовж оа z наван-таження Р сегменти стрижнево! конструкцп один за одним втрачають стшшсть. Так, спочатку втрачае стшшсть верхнш ярус, попм перший сегмент нижнь-ого ярусу, попм другий 1 за ним третш сегмент.

На рис. 5 подано граф1к залежносп вертикального перемщення вузла I системи, в залежносп в1д вели-чини сили, прикладено! до цього вузла. Чотири харак-терт сходинки вщображають моменти втрати стшкосп кожною з секцш системи.

Таким чином, застосування запропонованого методу дозволило виявити другу, третю та четверту втрату стшкосп системи, що виникли вже тсля першо! критично! деформацп.

Т

4

2 Р

0 -1-10* 2-10! 3-10! 4И0' 6'10! 7*10*

■2

-4

-6

Рис. 5. Залежнiсть вертикального перемщення вузла / вщ прикладено! сили Р

Висновки

1. Поданий в [1] метод розрахунку стрижневих кон -струкцш розширений на випадок розрахунку тривим-1рних стрижневих конструкцп.

2. Розв'язано ряд задач розрахунку тривим1рних стрижневих систем. Як 1 для двовишрних конструкцш, метод послщовних перемщень у тривим1рному випад-ку дае змогу фжсувати моменти втрати стшкосп системи, у тому числ1 ступеневу втрату стшкосп у випад-ку багатоярусних конструкцш, а також дослщжувати закритичну деформащю елеменпв тривим1рно! систе-ми.

3. Розроблену методику можна використовувати для розв'язання довшьних задач теорп пружносп, що до-пускають побудову стрижнево! модел1 дослщження. Метод дозволяе вивчати весь процес деформування, включаючи стрибок у момент втрати стшкосп й закритичну деформащю.

1607-6885 Новi матерiали i технологи в металурги та машинобудувант №2, 2009

103

Перелж посилань

2. Шамровський О. Д. Метод последовательных приближений для расчета стержневых систем / О. Д. Шамровський, А. I. Безверхий, В. В. Кривуляк // Нов1 мате-р1али i технологй' в металургп та машинобудуванш,

1. Шамровський О. Д. Розрахунок стрижневих конст-рукцш методом послiдовних перемщень iз урахуван-ням геометрично'1 нелшшност / О. Д. Шамровський, Д. М. Колесник, Ю. О. Лимаренко // Новi матерiали i технологи в металургп та машинобудуванш, 2009. -

2008. - № 2. - С. 110-118.

Одержано 11.06.2009

№ 1. - С. 78-85.

Рассмотренный раньше метод расчета стержневых конструкций был расширен и применен для расчета трехмерных стержневых конструкций. Для них также фиксируется момент потери устойчивости, в том числе ступенчатой потери устойчивости для многоярусных конструкций, и предоставляется возможность исследования закритической деформации.

The method of structural elements calculating was expanded and used to calculate three-dimensional pivot element structures. The method also allows to fix the moment of buckling, including stepped buckling for multistage structures, and research of supercritical deformation.

АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ РЕШЕНИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ ПОЛУПЛОСКОСТИ И ЕГО

РЕАЛИЗАЦИЯ В MAPLE

Предложен алгоритм решения задачи теории упругости для полуплоскости, который основан на свойстве решения удовлетворять бигармоническому уравнению. Как частные случаи получены решения задач Фламана и Черутти.

УДК 519.876.5

А. Г. Овский, д-р техн. наук В. А. Толок Национальный университет, г. Запорожье

Несмотря на то, что в настоящее время численные методы решения задач механики твердого деформированного тела хорошо развиты, не теряют своей актуальности аналитические методы, которые позволяют получать более достоверные результаты. Применению аналитических методов содействует также современное развитие систем компьютерной математики (СКМ).

Обратное верно только для определенного класса бигармонических функций, которые удовлетворяет уравнениям теории упругости (1):

В линейной теории упругости было доказано, что всякое решение основных уравнений теории упругости (1) является решением бигармонического уравнения УУ Ш = 0 [1].

сти для трехмерного массива.

СКМ не обладают достаточно развитыми способами решения технических задач. Большинство из них ориентировано на применение в алгебре и математическом анализе [7]. Поэтому в процессе математического моделирования их необходимо адаптировать, чтобы иметь возможность применить для решения той или иной сложной технической задачи [4]. В предлагаемой работе рассматривается обобщенный алгоритм построения решения задачи для полуплоскости. На его основе строится программа аналитического решения задачи в Maple. Работа является логическим продолжением ранее опубликованных работ [5] и [6], в которых строилось решение общей задачи теории упруго-

dx dy dy dx

v

dx'

/

© А. Г. Овский, В. А. Толок, 2009

104