Гасіння резонансних коливань диска з лопатками на основі явища керованого антирезонансу Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

IV МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕС1В В МЕТАЛУРГП ТА

МАШИНОБУДУВАНН1

УДК 531

Д-р техн. наук О. Д. Шамровський, В. О. Шевченко, канд. техн. наук Ю. О. Лимаренко

Державна ¡нженерна академiя, м. Запорiжжя

ГАС1ННЯ РЕЗОНАНСНИХ КОЛИВАНЬ ДИСКА З ЛОПАТКАМИ НА ОСНОВ1 ЯВИЩА КЕРОВАНОГО АНТИРЕЗОНАНСУ

На основi в1дпов1дно'1 дискретноi модел1 розглянуто вимушенi коливання диска з лопатками. Показано теоретичну можливiсть використання явища керованого антирезонансу для гастня небажанихрезонансних явищ. Га^ння коливань однiei з лопаток диска здшснюеться через прикладення гасильно'1' сили на будь-яку iншу лопатку.

Вступ

Створення високопродуктивних машин i швидшс-них транспортних засобiв неминуче призводить до зб№шення iнтенсивносгi й розширення спектру вiбра-цiйних i вiброакустичних полiв [2]. Через вiбрацiю збiльшуються динамiчнi навантаження в елементах конструкцш, стиках i сполученнях, знижуеться несу-ча здатнiсть деталей, шцшються трiщини, виникають втомнi руйнування. Вiбрацiя призводить також до шду-кування шуму, який е важливим еколопчним показни-ком середовища перебування людини.

Вирiшення проблеми гасiння коливань на сучасно-му етапi пов'язане зi створенням регуляторiв - актив-них гасителiв коливань [1]. Однак бшьшстъ пропоно-ваних пiдходiв i методик дозволяють лише частково виршити цю проблему, забезпечуючи тiльки локаль-не гасiння резонансу при сувороо виражених параметрах системи [4-8, 9, 10].

У робот [3] на приклащ двомасово! коливально! системи запропоновано технологiю керування резо-нансними явищами у всьому дiапазонi частот коливань системи. У цш робот ця ж технологiя застосовуеться до завдання про гасiння небажаних резонансних явищ тд час формоутворення фрезеруванням такого техно-логiчно важливого вузла сучасних лiтальних апаратiв, як диск вщцентрового компресора з лопатками.

1. Опис дискретно!" моделi диска з лопатками

Розглянемо дискретну модель диска з лопатками (рис. 1), яка описана в робоп [1]. У цш моделi реальна лопатка замшена екивалентним жорстким стрижнем, пружно прикршленим до жорсткого диска, причому момент шерци стрижня й жорстк1сть пружного за-крiплення шдбираються таким чином, щоб частота ко-

ливань стрижня дорiвнювала 4acTOTi коливань лопатки. Осшльки реальна лопатка мае безлiч рiзних частот i форм коливань, то задача приведення мае вщповщну к1льк1сть рiзних рiшень. Будемо вважати, що Bci лопатки, яш з'еднанi з даним диском, мають однаковi характеристики, тобто коливання вах лопаток вщбу-ваються за однаковими формами. Диск вважаеться значно бшьш жорстким, шж лопатки, i розглядаеться як абсолютно тверде тiло. Деяш пружнi властивостi диска враховуються за допомогою лшшних пружин, що з'еднують сусiднi лопатки.

Диск мае радiус R i на ньому з постшним кроком 2п / n насадженi n абсолютно жорстких лопаток,

Рис. 1. Дискретна модель диска з лопатками

© О. Д. Шамровський, В. О. Шевченко, Ю. О. Лимаренко, 2009

92

з'еднаних пружно з диском. Bei лопатки однаков^ мають маси m, моменти шерцд щодо !хтх центрiв мае j i ввдсташ вiд центрiв мае до точок кршлення a. Кру-тильш жорсткосгi пружин, що з'еднуюгь лопатки з диском , дорiвнюють c1. Жорсткостi лiнiйних пружин, що з'еднують сусiднi лопатки, дорiвнюють c0, вiдстань мiж точкою кршлення кожно! з лопаток до диска та точкою кршлення лшшно! пружини до лопатки дорiв-нюе h.

Диск мае пружнi зовнiшнi зв'язки i3 жорсткостями при перемiщеннях уздовж осей Ox й Oy, рiвними С, i жорстк1стю при поворот в площинi диска С Маса диска дорiвнюе M, момент шерцл ввдносно центрально! оа, перпендикулярно! площини диска, дорiвнюе J.

У разi узагальнених координат, що задають поло-ження системи на площиш, вiзьмемо координати x i y центра диска, кут ф повороту диска й кути фк

(k = 1,..., n) поворотiв лопаток вiдносно диска, усього n + 3 координат (рис. 2).

X

Рис. 2. Узагальнеш координати системи «диск з лопатками»

Зпдно з [1], р1вняння вшьних коливань системи, що отримаш на основ1 р1внянь Лагранжа II роду, мають вигляд

n

(М + mn )x - ma ^ ф ¿ sin 6 ¿ + cx = 0 , к = 1

- maX sin 6 к + may cos 6 к + (ma 2 + j )фк + + [m(R + a)a + j]pc + ( + 2coh2 )к -

- coh2 (Фк-1 + Фк+1 )= 0 (к = 1,•••, n)

(Ф 0 =

Ф n , Ф n + 1

= Ф1 )•

(1)

Кiлькiсть цих pÍBHHHb дорiвнюe числу ступешв вшьносп системи, тобто n + 3.

2. Вимушеш коливання диска з лопатками

Нехай на лопату з номером i дае деяка сила P (рис. 3). Обчислимо ва yзагальненi сили, що ввдповвдають сит Pi, скориставшись вiдомою залежшстю (5A = Q5q ) мiж приростами можливо! роботи й можливого пере-мiщення узагальнено! координати q.

Розглянемо по черзi прирости вах узагальнених координат i вiдповiднi роботи сили Pt. Прирiст 5x координати х вiдповiдае горизонтальному перемщенню диска й такому ж перемщенню точки прикладення сили P (рис. 3). В^пов^на робота дорiвнюе 5A = -P sin 0. • 5x, отже Qx = -P sin9... Прирiст 5y координати у вщповщае вертикальному перемiщенню диска й такому ж перемщенню точки прикладення сили P. В^пов^на робота дорiвнюе 5A = p cos 0. • 5y, отже Qy = P cos 9...

Прирют 5ф кута повороту диска призводить до пе-

(М + mn )) + ma ^ Ф к cos 6 к + cy = 0 , к = 1

Рис. 3. Прирости узагальнених координат при прикла-денш до лопатки номер i сили P¡

{ + [m (R + a )2 + j } Ф

Ф +

+ [m (r + a )a + j ]Ф к + c фФ = 0, к=1

ремiщення точки прикладення сили р в напрямку ц1е! сили на величину 5s = (R +l¡ )ф. У тдсумку сила ви-конуе роботу 5A = р (R + )ф. Вiдповiдна узагальне-на сила дорiвнюе ß Ф = р (R +1¡ )•

Прирют бф,- кута повороту лопатки номер i ввднос-но диска призводить до перемiщення точки прикла-дення сили Pi в напрямку ще! сили на величину 6s = l-бф.. При цьому сила виконуе роботу 6A = Pili бф... Вiдповiдна узагальнена сила дорiвнюе Qi = Prh.

Для вах iнших лопаток з номерами k ф i узагаль-ненi сили дорiвнюють нулю, Qk = 0 (k ф i).

У пiдсумку рiвняння вимушених коливань систе-ми пiд дiею сили Pi набувають вигляд:

n

ax x - ma Z ф k sin 6 k + cx = - Pi sin 6 i , k=1

n

ai y + ma Z ф k cos 6 k + cy = p. cos 6 i , k=1

n

a2 ф + a3 Z 4еk + сфф = Pi (R + li X k=1

-max sin 6i + may cos 6i + А^ф + й^фi +

+ (ci + 2coh2 )pi - coh2 (ф--1 + Ф.+IX = р.1. ,

-max sin 6k + may cos 6k + a3p + a4pk +

+ (1 + 2coh2 }pk - coh2 (pk-1 +pk+1 ) = 0

(( = 1,...,n; k ф i).

(2)

Нехай сила Pi змiнюеться в часi за гармошчним законом:

Pi = fi cos pt. (3)

Будемо розшукувати розв'язок системи рiвнянь (2) в аналопчному видi:

x = Ax cos pt, y = Ay cos pt,

ф = Ap cos Pt, Pk = Ak cos Pt. (4) Постановка (4) в (2) дае:

+ map Z Ak sin 6 к = - fi sin 6 i

k=1

(c - a1 p 2 )a

(c - a1 p 2 )

a2p 2 )- a3P 2 ZZAk = fi (R + li)

- map Z Ak cos 6 k = fi cos 6 i-. k=1

k=1

2 2 2 map sin 6 i -Ax - map cos 6 i -Ay - a3 p Aф +

+ (c1 + 2co h 2 - a 4 p 2 )aí - co h 2 ((i-1+Ai+1 )= fili:

map sin 6 k • Ax - map cos 6 k • Ay -

2 Í 2 2

- a3 p Aф + c1 + 2coh - a4p

- co h 2 (Ak-1+Ak+1 )= o (( ф i).

)k

Розв'язуючи систему И + 3 piBH^Hb (5) при рiзних значениях частоти p, знаходимо залежностi амплггуд узагальнених координат вiд ще! частоти:

Лх = Лх (p), Лу = Лу (p),

лф = Аф(рI лк = Ak(p\(k = 1,•••,И)• (6)

Розглянемо конкpетнi приклади. У вах випадках сила дiе на лопатку номер один.

Випадок 1. Диск iз двома лопатками.

З (5) одержуемо:

(с - А1 р2 A = 0, (7)

(с - ai р 2 )Ay - wap 2 (i - Л 2 )= fi, (8)

(сф - a2p2 )Лф - аз p2 (Ai + Л2 ) = fi (R + /1),

2 2

- map Ay - a3 p Aф +

+ ( + 2coh2 - a4p 2 ) - 2coh2 A2 = f1lb

2 2 2 map Ay - a3 p Aф - 2co h A1 +

+ (c1 + 2coh2 - a4p2)a2 = o.

Перше з рiвнянь дае нульове рiшення Ax = o. Це пов'язане з тим, що сила, що дiе на першу лопатку, направлена вертикально й внаслщок цього не може вик-ликати горизонтальнi коливання диска з лопатками.

Iншi чотири рiвняння подаемо в матричнiй формг

AX = B,

(9)

де

A =

2 c - a1 p o 2 - map 2 map

o ^ - a2p2 - a3 p 2 - a3 p2

- map1 - a3p2 c1 + 2coh2 - a4p2 - 2coh2

map1 - a3 p 2 - 2coh2 c1 + 2coh2 - a4p2 /

B = (f1 f1 (R + l1) hh o )T

X = (Ay Aф A1 A2 )T.

За допомогою символу Т позначена операщя транспо-нування.

Будемо розв'язувати матричне рiвняння (9) для рiзних значень частоти р при таких характеристиках системи:

М = 10, т = 3, Я = 1, а = 0,5,3 = 5,

] = 0,1, /1 = 1, ¡1 = 1,

с = 1000 , с ф = 100 , с1 = 10 , с 0 к 2 = 10 . (10) Власш частоти коливань будуть дорiвнювати

ю01 = 1,989, Ю02 = 7,220,

юп = 6,202, Ю12 = 11,952.

(11)

Перший iндекс 0 вщповщае осьовiй симетрп, 1 -одному вузловому дiаметру.

На рис. 4 зображеш вiдповiднi амплiтудно-частотнi

характеристики. Проаналiзуeмо 1х. Графiк для Ау не показуе резонанси на частотах, що вiдповiдають вюе-симетричним коливанням. Це пов'язане з вщсутшстю при таких коливаннях вертикальних перемiщень диска. Графж для Аф не мае резонанав на частотах, що вщповщають коливанням з одним вертикальним вуз-ловим дiаметром. Це викликано вщсуттстю поворотов диска при таких коливаннях. Графiки для амплiтуд лопаток А1, А2 мають характернi резонанснi зростан-ня амплiтуд на всiх власних частотах коливань, ос-к1льки лопатки беруть участь у вах видах власних форм коливань диска з лопатками.

Випадок 2. Диск iз трьома лопатками. З (5) маемо:

,21

(с -а1 р2) + тар2 ^(( - А3) = 0,

(с - а! р 2 )) - тар 2 Г А - 1 А2 - 1 А3 ) = А,

А У )

А / с р

А 1 Г ) л ) р

А 2 ( и г р

( \ С 1 р

Рис. 4. Ампл1тудно частотш характеристики диска з двома лопатками

(сф - а2 р 2 К" аз р 2 (А1 + А2 + А3 ) = /1(Я + ¡1), - тар 2 Ау - аз р 2 Аф + (с + 2с0к 2 - а4 р 2 )а1 -

- с0к (А3 + А2 )= /111:

2 л/3 . 2 1 ^ 2 .

тар Ах + тар — Ау - аз р Аф + + (с1 + 2с0к2 -а4р2)а2 -с0к2(( + А3) = 0,

2 л/3 . 2 1 ^ 2 ,,

-тар Ах + тар — Ау -а3р Аф +

+ (с1 + 2с0к2 - а4р2 А - с0к2 ((2 + А1) = 0. (12) Звiдси одержуемо мaтрицi:

А =

с - а1 р 2 0 0 0 л/3 2 тар л/3 2 - тар

0 с - а1 р 2 0 - тар2 1 2 2 тар 1 2 2 тар

0 0 сф- а2 р 2 - а3 р2 - а3 р2 - а3 р2

0 л/3 2 тар - тар2 - а3 р2 22 с1 + 2с0 к - а4 р - с0к 2 - с0к 2

1 тар 2 2 тар - а3 р2 - с0к 2 22 с1 + 2с0 к - а4 р - с0к 2

л/3 2 - тар 2 1 тар 2 2 тар - а3 р2 - с0к 2 - с0к 2 2 с1 + 2с0 к - а4 р

Ю

Ю , , Ю

11 02

В = (0 /1 /1 (я + ¡1) /1/1 0 0),

X = (( ^^ Лф А а2 АЗ )т .

Вибираючи тi ж самi вихвдт данi (11), знаходимо власнi частоти:

02 =

2п

®01 = 1,755, ®02 = 7,940,

®п = 5,834, ®12 = 9,591.

(13)

Вiдзначимо, що тут частоти для горизонтального вузлового дiаметра збггаються iз частотами для вертикального вузлового дiаметра, тому зазначенi частоти наведет по одному разу.

На рис. 5 приведет ввдповвдт амплиудно-частотт характеристики.

Осшльки сила, що дie на першу лопатку, направлена перпендикулярно !й, тобто вертикально, то дана сила не може збудити коливання з горизонталъним вузло-вим дiаметром. Внаслiдок цъого амплiгуда Ах дорiв-нюе нулю, а амплiтуди друго! й третьо! лопаток одна-ковi, що вiдповiдаe як двом формам вюесиметричних коливанъ системи, так i двом формам коливанъ iз вер-тикалъним вузловим дiаметром. Тому на рис. 5 не наведет графiки для Ах й А3. У цiлому бачимо яшсний збiг графiкiв для диска iз тръома лопатками й графiкiв для диска iз двома лопатками, наведених на рис. 3.

АД у ■Л

Д 1 г . л р

Д 1 г л J р

.Д2 ^ ( г р

Г ) н р

Ш01 ® 11 ® 02 ®1 2

Рис. 5. Ампл1тудно-частотш характеристики диска з тръома лопатками при дй збурювалъно! сили на першу лопатку

Розглянемо також випадок дИ збудливо! сили на другу лопатку. Хоча, з фiзичноl точки зору, це екыва-лентно дл на першу лопатку, але стосовно системи координат ху резулътати будутъ виглядати шакше.

У вiдповiдностi з (5) вектор В тепер виглядае таким чином:

В =

л/3 1

- /2 V - /2 7 /2 ( + /2) 0 /2/2 0

2

2

Природно, що власш частоти коливанъ диска з лопатками залишаються без змш (13); графiки ампльтуц-но-частотних характеристик зображеш на рис. 6.

Порiвнюючи рис. 5 i 6, бачимо, що дiя сили на другу лопатку викликае вже рух диска й уздовж ос х, i уздовж осi у, хоча й з рiзними амплiтудами (у про-порцп -У3 : 1). Круговий рух диска, що воображений амплiтудою Аф, залишаеться тим же. Друга лопатка (амплиуда А2) рухаеться так само, як ранiше перша лопатка (амплиуда А1). Перша й третя лопатки (ампль туди А1, А3) рухаються однаково й так само, як ранiше друга лопатка (амплиуда А2).

,Дх )

Д у у л ) г р

л Г р

Д 1 г и р

г л п ) р

Д 3 г г р

Г 1 н р

®01 ®11 ® 02 ®12

Рис. 6. Амплiгудно-часгогнi характеристики диска з трьома лопатками при дй збурювально! сили на другу лопатку

3. Керований антирезонанс

Розглянемо випадок, коли збудливi сили дшть од-ночасно на двi лопатки. На лопатку номер I дiе сила Р на плечi /i, а на лопатку номер 7 дiе сила Рна плечi ¡7 (рис. 7).

У цьому випадку для узагальнених сил маемо:

3

т

Qx = -Pt sin 0,- - Pj sin 0 j , Qy = Pj cos 0,- + Pj cos 0 j , q9= P, (R+)+Pj (r+Ij),

Q = P,l,, Qj = j, Q = 0

(R = 1,..., и; к Ф j, к Ф j). PiBHHHHfl руху приймають вигляд:

и

ai x - ma 2 ф к sin 0 к + cx = - P, sin 0, - Pj sin 0

к=1

ai y + ma 2 ф к cos 0 к + cy = P, cos 0, + Pj cos 0 к=1

и Í \

ф + as 2 фк + СфФ = P, (r + l,)+ Pj (R + lj У

a2ф 1 "3 2 Ч'к ' "-ф к=1

-maXsin 0,- + may cos 0,- + aзф+ a4фг■ +

+ С + 2coh2 Уф, - coh2 (ф,-1 + ф,+1) = Pjlj,

-maX sin 0 j + may cos 0 j + aзф + a4ф j + + (r + 2coh 2 )ф j - coh 2 R j-1 + ф j+1) = Pjlj ,

-max sin 0, + may cos 0, + aзф+ a4фк + + (c1+ 2coh 2 )фк - coh 2 (фк-1 + фк+1) = 0,

(R = 1,..., и; к Ф i, j).

(14)

У к wPi

ly^

0 <01 \

1 O ■ w 1 X

Обидвi сили змiнюються за гармонiчним законом: P, = f, cos pt, Pj = fj cos pt. (15) Розв'язок розшукуеться в аналопчному виглядi: x = Ax cos pt, y = Ay cos pt, ф = Аф cos pt,

фк = A¿ cos pt (к = 1,..., и). (16)

Постановка (14) i (15) в (16) дае:

(c - a1 p 2 )Ax + map 2 2 Ак sin 0 к = к=1

= -f sin 0, - fj sin 0 j ,

(c - a1 p2 )Ay - map2 2 Ак cos к=1

= .Л cos 0, + fj cos 0 j ,

(cф - a2 p 2 )Аф - as p 2 Ак = f (R + h ) + f j (R + lj ), к=1

2 2 2 map sin 0, • Ax - map cos 0, • Ay - as p Аф +

+ c + 2co h 2 - a4 p 2 )А, - coh 2 (-1+A,+1 )= f11,,

2 2 2 map sin 0 j Ax - map cos 0 j-Ay- asp Аф +

+ (?1 + 2coh2 - a4p2 A - coh 2 (_1+Aj+1) = fjlj ,

222 map sin 0 к • Ax - map cos 0 к • Ay - as p Аф +

+ c + 2coh2 - a4p2 A - coh2(-1 + Ак+1 )= o,

(к = 1,...,и; к Ф,, к Ф j). (17)

Умова антирезонансу - це рiвнiсть нулю амплггу-ди коливань лопатки номер ,

А, = o

(18)

за рахунок тдбору амплиуди /у сили, що дiе на лопатку номер у, при заданш амплiтудi / сили, що дiе на лопатку номер г. При цьому в рiвняннях (17) зни-кае невiдомa Аг, але заметь не! з'являеться шша не-вiдомa /, так що баланс шлькосп невiдомих i рiвнянь зберiгaеться.

Випадок 1. Двi лопатки. г = 1, у = 2. Рiвняння (17) набувають вигляд:

Рис. 7. Д1я зовшшньо! сили на лопатки з номерами i та j

(c - a1 p2)Ax = o,

(с - а1 р2 А - тар 2((1 - А2)= /1 - /2 ■

(сф - а2 Р 2 )аф - а3 Р 2 (А1 + А2 ) = = /1(Я + ¡1)+ /2 (Я + ¡2 ),

2 2 1 2 2

- тар Ау - аз р Аф + с + 2с0к - а4р

- 2с0 к 2 А2 = /1/1,

к

2 2 I 2 2 1

тар Ау - аз р Аф + с + 2^0к - а4р А -

- 2с0« А1 = /2/2.

(19)

При А1 = 0 остaннi чотири з рiвнянь (19) можна записати в мaтричнiй формг

АХ = В,

(20)

де

^с - а1 р2

0 1 0 Сф-агр2 -(Я + /2)

- тар тар2

~азр

~азр2

0

тар

- аз р2

- 2с0к2

(21)

- /2 с1 + 2с0к - а4р

в = ((1 л (я + /!) /1/1 0),

X = ((у Аф /2 А2

Розв'язуючи матричне рiвняння (20), одержуемо грaфiки, подаш на рис. 8.

На вах чотирьох грaфiкaх е зона, що потребуе по-яснень. Так1 пояснения можна зробити, розглянувши грaфiки, наведет на рис. 4. При ди едино! збудливо! сили на першу лопатку амплиуда коливань друго! лопатки в деякому дiaпaзонi частот мiж ®01 i ® 11 близька до нуля й двiчi перетинае вюь р, тобто обертаеться в нуль. I навпаки, прикладаючи силу до друго! лопатки, ми одержуемо аналопчне явище для першо! лопатки. Рaнiше, aнaлiзуючи коливания ланцюжк1в [3], ми вже бачили, що в таких випадках повне гaсiния коливань неможливе, осшльки гасильна сила прикладена в точках з нульовою aмплiтудою. Однак, як i у випадках з ланцюжком, нaспрaвдi мова йде про дмнки, на яких aмплiтудa коливань, що гасяться, досить мала ^ власне кажучи, гaсiния й не потрiбне. Тому виходом з даного становища е обмеження величини сили /2 в такий самий споаб, як було показано на прикладах ланцюжшв [3].

Визначимо особливо, що резонансш коливания гасяться щлком при всiх власних частотах коливань диска з лопатками, тобто розглянута задача виршена по-внiстю.

Д у у и

■А 1 и р

^ 2 ) J и. р

(Д 2 ) п р

п р

11 02

Рис. 8. Амплiгудио-чaсгогиi характеристики диска з двома лопатками при дй збурювально! сили на першу i другу лопатки

Випадок 2. Три лопатки: | = 1, 7 = 2. Рiвняння (17) приймають вигляд:

(с - а1р2 X + тар2 (А2 - А3 ) == -/2 ^,

л/3

(С - а1 р2 )) - тар 2 ^ А1 - 2 А2 - | А3 ^ = /1 - 1 /2 ,

(Сф - а2р2 )Аф - азр2 ((1 + А2 + А3) = = /1 (я + /1)+/2 (Я + /2),

2Ау - азр2Аф + (с + 2с0А2 - а4р2 )а

- тар Ау - а3

- ск2 (аз+А )=

2 л/3 . 2 1 л 2 л

тар — Ах + тар - Ау - а3 р Аф +

+ (с1 + 2с0к2 - алр2)а2 - с0к2(( + А3) = /2/2,

л/3

- тар2:23 Ах+тар2 2 Ау- аз р2 аф+

+

(с1 + 2с0И2 - а4р2)3 - с0И2(А2 + А ) = 0.

(22)

Вважаючи ампл^ду першо! лопатки А1 рiвною нулю та заданою aмплiгуду /1, що дiе на цю лопатку приходимо до матричного рiвияния:

АХ = В,

(23)

де

СО

со

01

А =

2

с - а1 р 0

0 0

0

2

с - а1 р 0

0 0

сФ- а2 р^

А 2 1

2

2

2

73 .

тар

л/3 2 - 2 тар

тар

1 тар 2

2 тар

1 тар2

2 тар

а3 р

а3 р

а3 р

2

2

-(( + ¡2 ) 0

- ¡2

0

л/3 2

тар

1

2 тар

2

л/3 2

тар

1

2 тар

2

В =(0 /1 /1 (Я + ¡1) /111 0 0)

X = (( Ау Аф /2 А2 А3 ). На рис. 9 подано вщповщт график.

(А х 1 1 1

>А У А п р 1.

>АФ р

^ 2 Г )

А 2 р 1

А 3 Г л р

1 р

Рис. 9. Амплпудно-частотш характеристики диска з трьома лопатками при дй збурювально! сили на першу 1 другу лопатки

Проaнaлiзуемо !х. Новим явищем, що рaнiше не зустрiчaлося, е збереження резонансу на деяких частотах. Це частоти коливань iз одним вузловим дiaмет-ром. Розглянемо доклaднiше дане явище. Вiдомо, що iснуе два вaрiaнти вузлового дiaметрa - горизонталь-ний i вертикальний. Збудлива сила, що дiе на першу лопатку, направлена вертикально й тому збуджуе ко-ливання з вертикальним вузловим дааметром. Сила, що дiе на другу лопатку, е нахиленою й мае, таким чином,

а3 р

- с0к2

22 с1 + 2с0к2 - а4 р2

- с0к2

а3 р

2

- с0к

2

- с0к

с1 + 2с0к2 - а4 р2

горизонтальну й вертикальну склaдовi. Вертикальна складова гасить резонанст коливання з вертикальним вузловим дiaметром; у той же час горизонтальна складова викликае резонaнснi коливання, що рашше були вiдсутнi, з горизонтальним вузловим дiaметром. Таким чином, виявлено ще одне обмеження на застосу-вання керованого антирезонансу. Принaймнi, ця ситу-aцiя вимагае вживання додаткових захода. Наприклад, можна зажадати, щоб сила, що дае на похилу лопатку, була не перпендикулярна 1й, а направлена вертикально.

Також на рис. 9 на частотах, бшьших шж ю 12, спо-стерiгaеться явище, вже розглянуте на приклaдi диска iз двома лопатками.

Висновки

Розглянутi приклади розв'язання задач про змушенi коливання диска з лопатками дозволили зробити так висновки:

- розв'язаш зaдaчi показали теоретичну можливiсть використання явища керованого антирезонансу для гасшня небажаних резонансних явищ;

- фактично виршена глобальна задача про повне гасшня коливань одте! з лопаток диска за рахунок прикладання гасильно! сили на якусь iншу лопатку;

- у рамках зазначено! зaдaчi з'ясовано деяш обме-ження, якi необхщно враховувати при практичному зaстосувaннi запропоновано! методики.

Перелiк посилань

1. Брусин В. А. Активное гашение колебаний и матричные уравнения / Брусин В. А. // Соросовский образовательный журнал, 2001. - № 9. - С. 115-120.

2. Асташев В. К. Вибрации в технике. В 6 т. Т. 6 : Защита от вибрации и ударов : Справочник / Асташев В. К., Бабицкий В. И., Быховский И. И. ; Ред. Фролов К. В. -М., 1995. - 460 с.

3. Внуков Ю. Н. Управляемый антирезонанс - как средство борьбы с вибрациями при фрезеровании нежестких деталей / Ю. Н. Внуков, А. Д. Шамровский, Д. В. Павленко // В сб. Современные технологии в машиностроении. Харьков НТУ «ХПИ» 2007. - С. 20-30.

4. Гуськов А. М. Дмнамика автопарметрического гасите-

Ю

Ю

ля колебаний (часть 1) / А. М. Гуськов, Г. Я. Пановко, Чан-Ван-Бинь. // Наука и образование. Инженерное образование. Е-.Тоигпа1, 2008. - № 2. (Шр:/Лескпотаа^и.гиМое/80815.Мт1)

5. Израилович М. Я. Активное виброгашение вынужденных колебаний / М. Я. Израилович, А. А. Гришаев // Проблемы машиностроения и автоматизации, 2004. -№ 3. - С. 50-54.

6. Израилович М. Я. Парамерическое гашение вынужденных колебаний / Израилович М. Я. // Проблемы машиностроения и автоматизации, 2008. - Том 6. - № 1. -С. 108-109.

7. Кондрашов С. П. Гашение вибраций путем взаимной компенсации автоколебаний / С. П. Кондрашов // Реза-

ние и инструмент: респ. межвед. науч.-техн. сб., i989. -Вып. 42. - С. 93-99.

8. Адаптивные системы активного гашения шума и вибраций / [А. А. Мальцев, Р. О. Масленников, А. В. Хо-ряев, В. В. Черепенников] // Акустический журнал, 2005. - Т. 5i. - № 2. - С. 242-258.

9. Тимошенко С. П. Колебания в инженерном деле // Тимошенко С. П., Янг Д. Х., Уивер У - М., i985. - 472 с.

10. Eissa M. Active control of an aircraft tail subject to harmonic excitation / M. Eissa, H. S. Bauomy, Y. A. Amer // Acta Mechanica Sinica, 2007. - V. 23. - № 4. - P. 45i-462.

11. Study of vibration suppression in discrete domain / [C. Dingyue, L. Xia, C. Hongsheng, X. Hui] // Acta Mechanica, 2002. - V. i58. - № i-2. - P. 57-66.

Одержано 02.07.2009

На основе соответствующей дискретной модели рассмотрены вынужденные колебания диска с лопатками. Решенные задачи показали теоретическую возможность использования явления управляемого антирезонанса для гашения нежелательных резонансных явлений. Гашение колебаний одной из лопаток диска осуществляется за счет приложения гасящей силы на какую-то другую лопатку.

On the base of appropriate discrete mode/ forced vibrations of disk with b/ades are considered. So/ved prob/ems have shown the theoretica/possibi/ity of using operated antiresonance for reduction the undesirab/e resonance vibrations. Vibrations reduction of the disk b/ade is rea/ized by forcing of externa/ /oad on the other b/ade.

УДК 004.021:539.3

Д-р техн. наук О. Д. Шамровський, Д. М. Колесник, канд. техн. наук Ю. О. Лимаренко, В. В. Кривуляк Державна шженерна академiя, м. Запорiжжя

ЗАСТОСУВАННЯ МЕТОДУ ПОСЛ1ДОВНИХ ПЕРЕМ1ЩЕНЬ ДО РОЗРАХУНКУ ТРИВИМ1РНИХ СТРИЖНЕВИХ КОНСТРУКЦ1Й

Ранiше розглянутий методрозрахунку стрижневих конструкцш поширено та застосовано для розрахунку тривимiрних стрижневих конструкцш. Для них також фiксувався момент втрати стiйкостi, в тому чи^, ступеневог втрати стiйкостi для багатоярусних конструкцiй з надаванням можливостi дослiдження закритично'1 деформацИ.

Вступ

У робот [2] було подано метод послщовних перемщень для розрахунку стрижневих систем, в якому запропоновано геометрично лшшну модель розрахунку конструкцш у статично визначеному та статично невизначеному випадках. Осшльки для застосування цього методу лшшшсть моделi не е обов'язковою, метод був модифжований з урахуванням геометрично! нелшшшсп зaдaчi i протестований в робот [1] на двовимiрних стрижневих конструкщях. Однак цей метод без суттевих змш може бути застосований також i для розрахунку тривимiрних конструкцш, що значно розширить сфери його застосування.

У цш робот подана модифтащя методу послщов-них перемщень, яка дозволяе розраховувати не тшьки двовимiрнi, але й тривимiрнi стрижневi конструкцп.

Розрахунок поздовжньоТ деформацп стрижня у тривимiрному випадку

Розглянемо розрахунок поздовжньо! деформацп стрижня у довшьному тривимiрному випадку з урахуванням геометрично! нелшшносп.

Припустимо, що шнщ стрижня, як спочатку ма-

ють координати (х1, у1, г1) й (х2, у2, г2), одержують перемщення уздовж осей координат Дх1, Ау1, Аг1 i Дх2, Ду2, Аг 2 (рис. 1). Результатами таких перемщень

© О. Д. Шамровський, Д. М. Колесник, Ю. О. Лимаренко, В. В. Кривуляк, 2009 100