CC BY
12
УДК 674.053:621.935
ДОСЛ1ДЖЕННЯ ВПЛИВУ ЕКСЦЕНТРИСИТЕТУ ОБЕРТОВИХ
ЛАНОК НА АМПЛ1ТУДУ ПОПЕРЕЧНИХ КОЛИВАНЬ ПОЛОТНА СТР1ЧКОВО1 ПИЛКИ
Л.Ф. Дзюба1, О.1. Хитряк2
Поперечш коливання дiдянок полотна стрiчковоl пилки дослiджено з урахуванням поздовжнього руху за наявностi ексцентриситету обертових ланок. Розглянуто резонан-сний випадок поперечних коливань за рiзного початкового натягу полотна пилки у разi зовнiшнього незначного перiодичного збурення. Амплiтудно-частотнi характеристики дшянок полотна стрiчковоl пилки побудовано за результатом розв'язування нелiнiйного диференцiального рiвняння з використанням методу Бубнова-Гальоркша та основних щей метсдав збурень.
Ключовi слова: поперечш коливання, резонанс, стрiчкова пилка, ексцентриситет, ам-плiтудно-частотна характеристика.
Актуальнiсть i огляд основних результатiв. У механiзмi рiзання стрiчко-вопилкового верстата наявш обертовi ланки - пилковi шюви та напрямнi ролики. Розмщена на шювах попередньо розтягнута стрiчкова пилка пiд час поздовжнього руху зi значною швидкiстю (до 50 м/с) коливаеться у поперечному напрямку [1]. Для зменшення робочо!' довжини вiтки стрiчковоí пилки та збшь-шення жорсткостi цiеí вики в зонi пиляння використовують вщтискш ролики. Встановленi з незначним ексцентриситетом пилковi шкiви або вiдтискнi ролики впливають на поперечнi коливання полотна пилки. Наявнкть таких коливань у площиш найменшо!' жорсткостi на згин сприяе появi циклiчних напружень ^ як наслiдок, втомних трiщин у полотш пилки [2]. Незначне зовшшне збурення у разi резонансу зумовлюе ктотне зростання амплiтуди поперечних коливань полотна пилки. Вплив на ампл^ду резонансних поперечних коливань змшно!' си-ли попереднього натягу рухомого полотна пилки оцiнено в [3]. Однак резонан-снi поперечнi коливання полотна пилки, спричинеш ексцентриситетом обертових ланок, не дослщжено. Резонансш коливання гнучких рухомих ланок з урахуванням ексцентриситету обертових ланок розглянуто в робот! [4]. Проте для гнучких поздовжньо рухомих ланок не враховують жорстккть на згин. Тому метою роботи е дослщження впливу ексцентриситету обертових ланок, якими е пилковi шюви або вщтискш ролики, на амплiтуду поперечних резонансних коливань рухомого полотна стрчково!' пилки.
Постановка задачi та методика И розв'язування. За розрахункову схему дшянки розтягнутого полотна стрiчковоí пилки приймаемо стержень на двох опорах (рис. 1). Залежно вщ того, яку дiлянку полотна пилки розглядаемо, за опори вважаемо або пилковi шюви, на яких з натягом розмщена вузька стрiч-кова пилка, або напрямш ролики, яю вiдтискають розтягнуте полотно пилки. В обох випадках опори мають однаковий радiус г (див. рис. 1), який буде бшь-шим для пилкових шкiвiв та меншим для напрямних ролиюв. Кутовi швидкостi обертових ланок позначено ф та П2. У конструкцií стрiчковопилового верста-
1 доц. Л.Ф. Дзюба, канд. техн. наук - Л^вський ДУ безпеки житгGдiяльностi;
2 доц. О.1. Хитряк, канд. техн. наук - Нащональна академiя сухопугних вшськ ш. гегьмана Петра Сагайдачного
та величина ексцентриситету шкiвiв чи роликiв визначаеться точнiстю виготов-лення деталей, тобто величиною полiв допускiв та посадками деталей. Тому ек-сцентриситети е1, е2 (див. рис. 1) мають малi значення. Поздовжнiй рух пилки враховуемо швидюстю v та дослщжуемо вiдхилення и(х, г) перерiзу полотна з координатою х в поперечному напрямку. Нехтуючи зубчастим вшцем, попе-речний перерiз полотна пилки вважаемо прямокутником з осьовим моментом шерцп вiдносно нейтрально! осi I = Bs3 /12, де В, s - ширина та висота перерiзу.
Рис. 1. Розрахункова схема дтянки полотна вузько'1 стр1чковоИ пилки
Змушеш поперечш коливання дтянки полотна вузько'1 CTpÍ4KOBOÍ пилки опишемо дифеpенцiальним píbmhmm Í3 частинними похiдними [4, 5]
utt + 2vuxt - (a2 - v2)uxx + ffiuxxxx = em— {H sin в + f (u, ux, ut,...)} , (1)
де: u (x, t) - поперечне перемщення полотна стpiчковоí пилки з координатою x у довшьний момент часу t; H - амилггуда зовнiшнього збурення, в = ¡ut, ¡ -частота зовшшнього збурення; f(u,ux,ut,...) - функцiя, яка описуе нелiнiйнi характеристики меxанiчноí системи; e - малий параметр; a2 = Nm~l; N - стала сила початкового натягу; b2 = E Im-1; m - маса одиницi довжини полотна пилки, E - модуль пружносп першого роду матеpiалу пилки.
Кpайовi умови, що враховують незначнi ексцентриситети шкiвiв (або двох напрямних pоликiв) та кутовi швидкосп W1, W2 íx обертання мають вигляд [4]:
u|x=0 = eeisin(Qit); u|x=/ = ee2sin(W2t); ux^x=Q = uxx\x=l = 0. (2)
Обмежимось дослщженням головного резонансу за малого гармоншного збурення у першому наближеннi [3]. Вважаемо, що мiж частотою власних коли-вань полотна стpiчковоí пилки w, частотою зовнiшнього збурення ¡ та кутови-ми швидкостями обертання шкiвiв W1, W2 мае мюце спiввiдношення
w » ¡i» Wi » W2.
Застосовуючи методику дослiдження нелiнiйниx коливань у системах зi збуреними крайовими умовами [6], розв'язок задачi (1), (2) шукаемо у виглядi
u(x, t) = J(x, t) + ew(x, t), (3)
де w(x, t) та J(x, t) - деяк невiдомi функцп.
Функцiю w(x, t) знаходимо з кpайовоí задачi
wxxxx = 0; (4)
Wx=0 = e sin(¡t); Wx=i = e2 sin(¡t); Wxx|x=0 = wx^\x=l = 0. (5)
у виглядi w(x, t) = l 1 ((e2 - e1)x + ei)sin jt. (6)
З урахуванням (3) та (6) у píbmhhí (1), для першого наближення отри-муемо однорiдну крайову задачу для знаходження функцп v(x, t):
Jtt + 2vJxt - (a2 - v2)Jxx + b2Jxxxx = em- {H sin в + f(u,ux,ut,...)}+ ef(x,t); (7)
Jx=0 = 0; = 0; Jxx|x=0 = Mx=l = 0, (8)
де f(x, t) = 14{cos(jt) (2ve1 - 2ve2 )j + sin(jt) ((l - x)e1 + e2x )j2} .
Для отримання амплiтудно-частотних характеристик поперечних коливань на базi (7), (8) скористаемось основними iдеями методов Бубнова-Гальоркша [7] та збурень [8]. Розв'язок ршнянь (7), (8) подамо у виглядi
J(x,t) = ¿Xk (x) Tk (t), (9)
k=1
де {Xk(x)} = {sin(kkx)} - функцй', що задовольняють ii умови, що випливають з (8). Тодi одночастотнi розв'язки рiвняння (7) за умов (8) набувають такого виг-ляду:
J( x, t) = Tk(t) sin(kkx), k = 1,2,..., (10)
де Tk(t) - функцй', ят визначаемо залежно вiд початкових умов, kk = kpl-1. Тут i далi iндекс k, що вказуе на форму коливань, опущений. Пкля постановки (10) в (7) дастанемо:
(T (t) + (a2 - v2)k2T (t) + b2KAT (t)) sin kx + 2vkT (t) cos kx =
= em-l{H sin в + f (T(t)sinkx + ew,...)} + ef(x, t). (11)
Помноживши обиды частини диференщального рiвняння (11) на sin(kx) та проштегрувавши отриманi вирази в межах ввд 0 до l, отримаемо диференщаль-не рiвняння для знаходження неввдомих T (t):
T(t) + w2T(t) = e( m-1 f (T (t), T (t),...) + (H 0 + Hj2)sin jt + H j cos jt), (12)
де w2 = k2(a2-v2 + b2k2), H0 = 2lm-1H; H1 = 2l-2(e4G1 + G2(e2- 61));
H 2 = 4vl-2G1(e1 - 62); G = k-\1 - cos(kl)); G2 = k"2(sin(kl) - kl cos(kl));
l
f(T(t), T(t),...) = J f (T (t) sin kx + ew,...) sin(kx)dx. (13)
0
У разi резонансу рiзниця у=у-в мiж фазою власних коливань y та зов-нiшнiм збуренням в iстотно впливае на амплиуду та частоту коливань [8]. Ура-ховуючи це, на mдставi загально' iдеí методу Крилова-Боголюбова-Митро-польського [7], запишемо одночастотний розв'язок рiвняння (12) у першому наближеннi
T(t) = a cos (e + g) + eT1( а,у,в), (14)
де амплiтуда a та рiзниця фаз g е змшними у часi величинами. Базою для !'х визначення е система диференщальних рiвнянь:
а = еА(а,у); у = а-т + ех(а,у), (15)
де А(а, у), Х(а, у) - невiдомi перiодичнi за змiнною у з перюдом 2п функцií. Пк-ля пiдстановки (14) з урахуванням (15) у рiвняння (12) та прирiвнювання коефь цieнтiв за однакових степешв е, отримуемо
Т(г) + аР-Щ) = т-/(Т (г), Т(г),...) + (Но + Нт2) в + Н 2М созв +
+2аА(а, у) 8т(в + у) + 2аах(а, у) соз(в + у). (16)
Для однозначного визначення А(а,у), Х(а,у) вважаеться [7], що функция Т(а,у,в) та ц частиннi похiднi до другого порядку включно е 2—-перюдичними по у=в+у i не мктять у розкладах доданкiв пропорцiйних зту i созу. На пiдставi вказаного з (16) маемо:
2—
(жга)-11 /(Т(г),т(г),...)8т+ (Н0 + Нт2)соз у+ Н2тзт у+ 2аА(а, у) = 0,
о
2—
—ту11 /(Т(г),Т(г),...)соз-(Но + Нт2)зт у+ Нтсозу+ 2аах(а,у) = 0. (17)
0
Пкля визначення з (17) функцш А(а,у), Х(а,у) на основi (15) отримуемо систему диференщальних рiвнянь, що описуе основнi параметри коливань у ра-зi резонансу:
<у е
—=а-т--
<г (а+ т)а
— — /(Т(г),Т(г),...)соу<1у-(Н0 + Нт2)зту+ Нтсозу!; т— 0 \
с<а - 1 1 2к
— \ /ф(г)Т(г),...)ъту<1у + (Н0 + Н\т2)созу+ Нтэту). (18)
<г а+ т I т— 0
Результати дослщження. Побудовану за (18) залежнiсть амплiтуди зму-шених поперечних коливань вiд часу для дшянки полотна стрiчковоí пилки зав-довжки 1,3 м, що вщповвдае вiдстанi мiж центрами пилкових шкiвiв i можна вважати довжиною тягнено! вiтки стрiчковоí пилки, за рiзних напружень попе-реднього натягу показано на рис. 2. Геометричш розмiри поперечного перерiзу дiлянки полотна пилки: В=26 мм, 5=1 мм. Швидккть поздовжнього руху (швид-ккть рiзання) доршнюе у=30 м/с. Значения ексцентриситепв шювш е = 3 • 10-6 м, е2 = 4 • 10-6 м. Матерiал стрiчковоí пилки - сталь, фiзико-механiчнi характеристики яко!: модуль пружностi першого роду Е=2,1-106 МПа, густина р=7850 кг/м3.
Найбшьшого значення амплiтуда резонансних коливань тягнено! вiтки полотна пилки досягае за найбшьшого початкового напруження натягу в 200 МПа. У разi резонансних коливань, зумовлених змiною сили початкового натягу [3], за величини напруження 200 МПа амплиуда буде найменшою.
Для дшянок меншо! довжини за менших ексцентриситетш е = е2 = 2 • 10-6м, величина амплпуди зростае (рис. 3). Найбшьшою амплiтуда коливань за вказаного ексцентриситету е для найкоротшо! дшянки полотна. Для дшянки завдов-жки 0,5 м амплиуда бшьша майже в три рази порiвняно з дшянкою завдовжки 1,3 м. Отже амплиуда резонансних поперечних коливань, зумовлених ексцен-
триситетом обертових ланок, на довшш дiлянцi е меншою, нiж на коротких дь лянках полотна мiж напрямними роликами чи напрямним роликом i шювом (довжини, вiдповiдно, 0,8 м i 0,5 м). Тому розглянемо коливання дiлянки полотна пилки завдовжки I = 0,5 м за рiзних значень ексцентриситету (рис. 4).
55 60 65 70 75 Рис. 2. АмплШуди резонансних коливань дтянки полотна стрiчковоl пилки завдовжки 1,3 м за рiзних значень напружень попереднього натягу
Рис. 3. АмплШуди резонансних коливань дтянок полотна стрЫковог пилки
рiзноi довжини
Рис. 4. АмплШуди резонансних коливань дтянки полотна стрiчковоl пилки завдовжки 0,5 м за напруження початкового натягу 120 МПа за рiзних значень ексцентриситету значень напружень попереднього натягу
У разi збiльшення ексцентриситету вiд 10—6 м до величини 7 -10—6 м ампль туда коливань коротко!' дшянки завдовжки 0,5 м зростае майже у п'ять разiв i досягае значения 25 -10—3 м. Для уникнення таких значних амплiтуд потрiбно забезпечувати вiдповiдну точнiсть виготовлення та балансування обертових мас, якими е напрямш ролики та пилковi шкши.
У табл. 1 та 2 наведено значення амплiтуд резонансних коливань дшянок полотна стрiчковоí пилки завширшки 26 та 52 мм з урахуванням рiзних напру-жень початкового натягу ^ вiдповiдно, рiзних величин сталих складових сили натягу за двох швидкостей рiзания: у=30 м/с (див. табл. 1) та у=50 м/с (див. табл. 2). Початкова амплиуда резонансних коливань при виконанш обчислень прийнята а0 = 0,1 мм. Для ширшого полотна стрiчковоí пилки амплiтуда бiльша вiд уах значень ексцентриситету, однак це збшьшення не iстотне. Амплiтуда збшьшуеться приблизно на 0,1 мм для вдвiчi ширшого полотна.
Збiльшения швидкостi рiзання з у= 30 м/с до у= 50 м/с призводить до змен-шення амплiтуди резонансних коливань. Причому за бiльшого ексцентриситету зi збiльшениям швидкостi рiзания величина амплиуди зменшуеться на бiльшу величину. За ексцентриситету е1 = е2 = 1 -10—6 м амплiтуда коливань дшянки полотна завдовжки 1,3 м зменшуеться на 0,1 мм, а за ексцентриситету е1 = е2 = 3 -10—6 м - на 0,3 мм. За бшьшого ексцентриситету (е1 = е2 = 3 -10—6 м) коротка дшянка полотна пилки (/ = 0,5 м) коливаеться з однаковою амплиудою за рiзних значень швидкосп руху. Отже, за мало!' довжини швидккть рiзания не впливае на амплiтуду коливань.
Табл. 1. АмплШуди резонансних коливань дмянок полотна стрiчковоi пилки за _швидкостi рЬання у=30 м/с_
Значення Ширина Напруження Стала складова Амплиуда
ексцентрисите- полотна попереднього сили натягу резонансних
т1в е, м пилки В, мм натягу &0, МПа N, Н коливань а, м
Довжина д1лянки полотна 1 = 0,5 м /1 = 1,3 м
е = 1 -10—6, е2 = 1-10—6 26 120 3120 0,0035 0,0013
160 4160 0,0041 0,0015
200 5200 0,0046 0,0017
52 120 6240 0,0035 0,0013
160 8320 0,0041 0,0015
200 10400 0,0047 0,0017
е = 2 -10—6, е2 = 2 -10—6 26 120 3120 0,0071 0,0027
160 4160 0,0083 0,0031
200 5200 0,0093 0,0035
52 120 6240 0,0072 0,0027
160 8320 0,0084 0,0031
200 10400 0,0094 0,0035
е1 = 3 -10—6, е2 = 3 -10—6 26 120 3120 0,0108 0,0041
160 4160 0,0126 0,0048
200 5200 0,0141 0,0054
52 120 6240 0,0107 0,0040
160 8320 0,0125 0,0047
200 10400 0,0141 0,0054
Табл. 2. АмплШуди резонансних коливань дтянок полотна стрiчковоi пилки за швидкостi рЪання у= 50 м/с
Значення ексцентрисите-ив е, м Ширина полотна пилки В, мм Напруження попереднього натягу 00, МПа Стала складова сили натягу N, Н Амплиуда резонансних коливань а, м
Довжина дщянки полотна 1 = 0,5 м ¡1 = 1,3м
е = 110-6, е2 = 110-6 26 120 3120 0,0033 0,0012
160 4160 0,0039 0,0015
200 5200 0,0044 0,0017
52 120 6240 0,0033 0,0012
160 8320 0,0040 0,0015
200 10400 0,0045 0,0017
е1 = 2 -10-6, е2 = 2 -10-6 26 120 3120 0,0067 0,0025
160 4160 0,0080 0,0030
200 5200 0,0090 0,0034
52 120 6240 0,0067 0,0025
160 8320 0,0080 0,0030
200 10400 0,0090 0,0034
е1 = 3-10-6, е2 = 3-10-6 26 120 3120 0,0102 0,0039
160 4160 0,0120 0,0046
200 5200 0,0136 0,0052
52 120 6240 0,0101 0,0038
160 8320 0,0120 0,0045
200 10400 0,0136 0,0052
Висновки. Дослщження поперечних резонансних коливань полотна стрiч-ково1 пилки виконано на пiдставi розв'язування нелiнiйного диференцiального р1вняння для поздовжньо рухомого жорсткого стержня на двох опорах за наяв-носп можливого ексцентриситету опор. У дослвдженш враховано такi геомет-ричнi та технолопчш параметри: ширина та довжина дшянки полотна стрiчко-во1 пилки, напруження попереднього натягу (сила натягу), швидккть рiзання.
Установлено, що внаслщок незначного зовнiшнього збурення на рiзних да-лянках полотна (мiж пилковими шшвами, мiж напрямними роликами, мiж нап-рямних роликом i пилковим шювом) пiд час холостого руху пилки можуть ви-никати поперечш резонанснi коливання, зумовленi ексцентриситетом оберто-вих ланок. Наявнiсть незначного ексцентриситету у разi резонансних коливань зумовлюе значне зростання амплiтуди поперечних коливань полотна пилки. Причому, за бшьшого натягу полотна амплiтуда збiльшуеться: для дшянки зав-довжки 1,3 м за початкового напруження полотна 120 МПа амплиуда стано-вить 4,6 мм, за напруження 200 МПа - 6,4 мм.
За наявносп ексцентриситету довша дшянка полотна пилки коливаеться з меншими амплiтудами, шж коротша. Ширина полотна iстотно не впливае на амплiтуду змушених резонансних коливань. Збшьшення швидкостi рiзання зменшуе амплiтуду резонансних коливань за вах дослiджених значень ексцен-триситету.
Отже, для уникнення небезпечних резонансних явищ у полотш CTpi4KOBOi пилки потрiбно якнайточшше виготовляти пилковi шюви та напрямш ролики та розмiщувати 1х на валах та осях з якнайменшими зазорами. На еташ проекту-вання за складальними кресленнями вузл1в стрiчковопилкого верстата, де вказа-нi допуски на виготовлення та посадки деталей, за допомогою запропоновано! методики дослвдження змушених поперечних резонансних коливань полотна стрiчковоí пилки можна обчислити амплиуди таких коливань.
Лiтература
1. Дзюба Л. Дослiдження динамiчноl стшкост cTpi4K0B0i пилки / Л. Дзюба, I. Ребезнюк, О. Меньшикова, А. Пилип'як // Машинознавство : сб. науч. тр. - 2009. - Вип. 6. - С. 34-37.
2. Кондратюк А.А. Оценка напряженного состояния ленточных пил / А.А. Кондратюк, В.К. Шилько // Известия Томского политехнического университета : сб. науч. тр. - 2004. - Т. 307, № 2. - С. 138-142.
3. Dzyuba L. Resonant vibrations of the moving band saw blade with variable tension / L. Dzyuba, O. Khytriak, O. Menshykova, I. Rebeznyuk // Technical Sciences. Universit of Warmia and Mazury in Olsztyn (Poland). - 2015. - Vol. 18(1) . - Pp. 35-45.
4 Lixin Zhang Dynamic analysis of viscoelastic serpentine belt drive systems / Zhang Lixin University of Toronto, 1999. - Pp. 349.
5. Lengoc Lan. Vibration of bandsaws Vibration of bandsaws / Lan Lengoc, 1990. - 259 p.
6. Pukach P.Ya. Methods for the analysis of dynamic processes in nonlinear nonautonomus mechanical systems with different structures / P.Ya. Pukach. - Lviv : Lviv Polytechnic National University, 2014. - 40 p.
7. Боголюбов Н.Н. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний / Н.Н. Боголюбов, Ю.А. Митропольский. - М. : Изд-во "Наука", 1974. - 501 с.
8. Найфэ А.Х. Методы возмущений : пер. с англ. А.А. Мелиняна и А.А. Миронова / А.Х. Найфэ; под ред. Ф.Л. Черноуського. - М. : Изд-во "Мир", 1976. - 456 с.
Надтшла до редакцп 15.12.2016р.
Дзюба Л.Ф., Хытряк О.1. Исследование влияния эксцентриситета вращающихся звеньев на амплитуду поперечных колебаний полотна ленточной пилы
Поперечные колебания участков полотна ленточной пилы исследованы с учетом продольного движения при наличии эксцентриситета вращательных звеньев. Рассмотрен резонансный случай поперечных колебаний при различных начальных натяжениях полотна пилы при внешнем незначительном периодическом возбуждении. Амплитудно-частотные характеристики участков полотна ленточной пилы построены по результатам решения нелинейного дифференциального уравнения с использованием метода Бубнова-Галеркина и основных идей методов возмущений.
Ключевые слова: поперечные колебания, резонанс, ленточная пила, эксцентриситет, амплитудно-частотная характеристика.
Dzyuba L.F., Khytriak O.I. The Research of the Influence of the Ecentricity of the Rotating Link on the Amplitude of Cross Oscillations of the Band Saw Cloth
Transverse modes of the band saw blade parts were investigated with consideration to longitudinal movement with the eccentricity of the rotational links. The resonant case of transverse modes with various initial tension of the blade saw and with insignificant external periodic excitation was considered. The amplitude-frequency characteristics of the band saw blade sections are constructed on the basis of the results of nonlinear differential equation solving used with the Bubnov-Galerkin's method and the main ideas of perturbation methods.
Keywords: transverse vibrations, resonance, band saw, eccentricity, amplitude frequency characteristic.
