Дослідження пружнопластичного руйнування методом кінцевих елементів Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК539.001.5 Доц. А.Я. Кулiченко, канд. техн. наук; магiстр А.Р. Мтянич -

Львiвська фтш Днтропетровського НУ залпничного транспорту т. акад. В. Лазаряна

ДОСЛ1ДЖЕННЯ ПРУЖНОПЛАСТИЧНОГО РУЙНУВАННЯ МЕТОДОМ К1НЦЕВИХ ЕЛЕМЕНТ1В

Описано методи дослщження задачi пружнопластичного руйнування, що Грун-туються на застосовуваннi спецiальних прийомiв кшцево-елементного аналiзу; роз-глянуто процедуру формування матриц жорсткостi у випадках застосування восьми-вузлових чотирикутних iзопараметричних елеменпв.

Мехатка руйнування в остант роки стала самостшною дисциплтою, яка дае змогу виявляти умови, за яких починаегься неконтрольований процес руйнування машин, конструкцш, 1х елеменлв та матер1ал1в внаслщок виник-нення 1 поширення трщин. Знання мехатки руйнування зможе допомогти ш-женеру або конструктору у справ1 запоб1гання небезпещ катастроф1чного руйнування елеменпв конструкцш. Кр1м того, володшня теоретичними основами мехатки трщиноутворення дае змогу розробляти мехатзми 1 методики руйнування монолггаосп поверхневих в1дклад1в 1 корозшних нашарувань, яю не сприяють ефективнш експлуатаци мехатзм1в 1 окремих конструкцш.

Два основт критери руйнування, яю вдаграють фундаментальну роль в механщ руйнування, пов'язат 1з використанням принципу збереження енерги та коефщеипв штенсивносп напружень. 1снуюча на сьогодт теор1я трщиноутворення Грунтуеться на використант принципу збереження енер-г11, вщповщно до якого джерелами енерги, яка необхщна для утворення ново1 поверхт руйнування у твердому тЫ, повинна бути енерпя пружного дефор-мування 1 робота зовтштх навантажень.

1нший тдхщ до теори виникнення трщин розглянутий впчизняними науковцями [1, 2], яю обмежилися дослщженням околиць вершини трщини, розм1ри яко1 е малими пор1вняно 1з характерними розм1рами всього тша, але, з шшого боку, достатньо великими пор1вняно з розм1рами атом1в, щоб можна бу-ло застосовувати лшшну теорж> пружносл. Було запропоновано теор1ю, що руйнування починаеться тод1, коли штенсивнють напружень в околицях вершини досягае яко1сь певно1 критично1 величини. Основний змют ще! стат ста-новить дослщження задач1 пружнопластичного руйнування. Дал1 ми будемо розглядати лише тип I деформування трщини (трщини нормального розриву).

Основне завдання проектанта полягае у тому, щоб тд час розроблення пе! чи шшо! конструкци не допускати умов для виникнення крихкого руйнування. Для виршення ще! задач1 необхщно точно знати про напружено-дефор-мований стан навколо вершини трщини, у мющ 11 можливого утворення. За-гальноприйнятий тдхщ, вщомий тд назвою лшшно-пружно! мехатки руйнування, полягае у тому, що поведшка матер1алу в зош вершини трщини вва-жаеться лшшно-пружною. Вщомо, що при вершит трщини завжди виника-ють пластичш деформаци [3], тдхщ, який Грунтуеться на цш механщ, може привести до позитивних результата лише для вщносно крихких матер1ал1в, 1 для таких умов навантаження, за яких розм1ри пластично! зони при вершит

трiщини ттмальш порiвнювано з довжиною само! трщини та товщиною дос-лiдного зразка. Оскшьки бiльшiсть технiчних матерiалiв е вiдносно пластични-ми i товщини зразкiв не завжди е великими, в окремих випадках пластичними деформащями при вершит трщини неможливо просто нехтувати.

Пластичшсть при вершин1 трщини. Щд час проведення розрахун-юв найчастiше припускають, що матерiал поводить себе як щеально пруж-ний. На практищ ж, як тшьки певний залежний вiд напруження вираз досягае свое! критично! величини, бшьшють матерiалiв пластично деформуються. Внаслiдок непружносп у поведiнцi матерiалу можуть знадобитися видозмши певних положень лiнiйно-пружно! мехашки руйнування. Поширеними е два критерп текучостi - Треска i Мiзеса [4,5], вiдомi як, вiдповiдно, гшотези максимального дотичного напруження та питомо! енергп формозмiнення.

Вiдповiдно до критерш Треска, текучiсть починаеться, коли найбшь-ше критичне напруження досягае свое! критично! величини. Якщо записати критерш Треска, застосовуючи головнi напруження <гь а2 та а3 (припускаемо, що а{>а2)а3) i границя текучостi перебувае у одновiсному сташ аур, то отримуемо, що текучють матерiалу починаеться за умови

Вщповщно до критерiю Мiзеса, потрiбно, щоб критично! величини досягала питома енерпя деформацi! зсуву. Вiдповiдно до цього критерш, за-писаним iз використанням головних напружень i границ текучостi аур, руйнування вщбуваеться за виконання умови

Критерiй Мiзеса краще узгоджуеться iз результатами експерименпв, однак в iнженерних розрахунках проспше застосовувати критерiй Треска.

Контур пластичноТ зони. Однiею з основних задач техшчного проек-тування е недопущення крихкого руйнування. З цiе! причини дослщження форми та розмiру пластично! зони, як залежать вiд властивостей матерiалу, геометрi!, навантаження та граничних умов, стае однiею з найважливших задач механiки руйнування. Для того щоб використовувати вщповщний критерш текучосп, розподiл напружень навколо вершини трiщини можна описати за допомогою таких виразiв для головних напружень через коефщент штен-сивносп напружень К1 [3]:

Крiм того, а3 вказуе на плоску деформащю, а за умови, що а3 = 0 -плоский напружений стан. Шдставляючи наведенi спiввiдношення в критерш

| а -аз |= аур.

(1)

(2)

(3)

MÍ3eca, отримуемо рiвняння границi пластично! зони в (рис. 1), rp (в) у такому виглядг

rP (в) = Kl [1,5 • Sin2e + (1 - 2v)2 • (1 + Cose)), (4)

4п • <jyp [ J

де rP - радiус пластично! зони для випадку плоско! деформацп

rP (в) = 4 Kl 2 [1 +1,5 • Sin2в + Cose) (5)

та для випадку плоского напруженого стану.

Рис. 1. Форма пластичноЧзони, згiдно з критерieм Мiзеса

Останшм часом в мехашщ пружнопластичного руйнування стали широко використовуватися спещальш прийоми кшцево-елементного аналiзу. Метою ще! роботи е розроблення методу ршення задач пружнопластичного руйнування за допомогою восьмивузлових чотирикутних iзопараметричних елеменпв.

Основн1 положення р1шеммя методом кшцевих елемент1в. Основна iдея методу кшцевих елеменпв полягае у побудовi дискретно! модел^ яка складаеться iз множини кусково-неперервних функцiй, визначених на кшце-вому числi замкнутих пiдобластей. Ц пiдобластi названi елементами, якi з'еднуються одна з одною в спшьних вузлах i якi сукупно апроксимують цю область. Компоненти узагальнених перемщень цих вузлiв е основними невь домими задачi про диференцiювання суцшьного середовища.

Нехай вектор-стовпець {q} складаеться iз компонент узагальнених пе-ремщень у вузлах, а вектор-стовпець {V} - iз перемiщень елемента. Ц вели-чини пов'язанi мiж собою матричним стввщношенням:

[V] = N ^}, (6)

де [N1 - функцп форми, якi е функщями локальних координат i повинш бути заданими у кожнiй вузловш точцi. Символи { } та [] використаш для позна-чення вектор-стовпця i матрицi вiдповiдно.

Позначаючи вектор узагальнено! деформацi! символом {г} та виража-ючи компоненти деформацп через перемщення, можна записати

{г} = [в}{и}, (7)

де: {и} - вектор перемщень; [ В ] - матричний оператор, який мае вигляд

И= 0 — . (8)

■ д 0

дх

0 д

д ду

ду д дх

Використовуючи стввщношення, як описують залежнють напружень вщ деформацш, вектор узагальненого напруження {<г} виражаемо через вектор узагальнено! деформацп {г} у вигляд1

М = И-И. (9)

де [Д - матриця, яка характеризуе властивост матер1алу, 1 яка дор1внюе: • для плоского напруженого стану

"1 ^ 0 ^ 1 0 , (10) 1 -V2

И-1-

Е

0 0

де Е - модуль Юнга;

• для плоско! деформацп

Е -С1 -V)

(1 + v)-(1 - V

1 V 0

V 1 0 1 -V "2"

0 0

(11)

де: Е та V - модуль пружносп та коефщент Пуассона вщповщно.

Чотирикутний 1зопараметричний елемент. Побудова матриц вось-мивузлового 1зометричного елемента достатньо описана у пращ [6]. За допо-могою перетворення

X = ]Г N (Я, 5 )х, Г = ]Г N (Я, 5 )у,, (12)

1=1 1=1

де Ni - функщя форми, яка вщповщае вузловш точщ i 1з координатами X у,), побудова матриц жорсткосп проводиться наведеним дал1 способом.

У систем1 координат Я - 5 значення координат вузлових точок Я1 та дор1внюють ± 1, а у точках, розташованих на серединах сторш, одна 1з координат дор1внюе нулю (рис. 2).

Функщя N (Я, 5) мае вигляд:

N (Я, 5) = [(1 + т) - (1 + 551) - (1 - Я2) - (1 + 551) - (1 - 52) - (1 + ЯЯ,)] х Я2 5 2 5 2 п2 (13)

х ^Ч5- + (1 - Я 2 )(1 + 55, )(1 - Я2 ^ + (1 - 5 2 ))1 + ЯЯ, )(1 - 5,2 )Я2.

Очевидно, що, оскшьки координати системи Я - на границ кожного елемента набувае значення ± 1, доданки, як мають множники (1 - Я2) та (1 -- 52), не можуть одночасно бути вщмшними вщ нуля нi на якш границi. Таким чином, штерполяцшш функцi! для восьмивузлового iзопараметричного елемента можна представити так:

М(Я,5) = --4-(1 + Я)(1 + 5)-(1 - Я - 5),

N2 (Я, 5 ) Ы3 (Я, 5 )

(1 - Я )(1 + 5 )(1 + Я - 5), (1 - Я )(1 - 5 )(1 + Я + 5),

N4 (Я, 5 ) = - 4 -(1 + Я )(1 - 5 )(1 - Я + 5),

N5 (Я, 5 ) = |-(1 + 5 )•(! - Я 2), N6 (Я, 5 ) = 2-(1 - Я )(1 - 5 2), N7 (Я, 5 )= |-(1 - 5 )(1 - Я2), N8 (Я, 5 ) = 2-(1 + Я )•(! - 5 2).

(14)

Перемщення при цьому визначаються зг1дно з штерполяцшними формулами

и = £ N (Я, 5 )• и та у = % N (Я, 5 )-уг. (15)

1=1 1=1

де и - перемщення в напрямi ос 2.

Деформацй через перемiщення виражаються за допомогою сшввщношень

де [В] - матриця залежносп деформацi! вiд перемщень.

(16)

Рис. 2. Чотирикутний иопараметричний елемент

и

Матриця [5] матиме вигляд

[в] =

^ 0

дх ЛТ 0 ^ ду

дЩ

—

дх

(17)

де

д^ ГдЫ1'

дх дМ, = [г I"1- дЯ дМ

1 ду дЯ

(18)

де: N - функщя форми; [Г] - матриця Якоб^ яка визначаеться:

дх ду

[Г ] =

дЯ дЯ дх ду дЯ дЯ

[Г I

£ дЯ Х £ дЯУ'

£ тх £ N

£ дЯХ' £ дЯУ'

(19)

(20)

Диференцiали поля перемiщень можна визначати за допомогою оператора Якобi:

ди ди

дх ■ = Г-1 дЯ

ди ди

. ~ду. .дЯ

ду ' ду

дх > = г-1 • дЯ

ду ¿¡V

. ду . дЯ

(21)

(22)

Матриця, обернена матриц Якобi, матиме такий вигляд:

[г I"

[г ]

ду дх ду ду

дЯ " дЯ 1 дЯ дЯ

ду дх дх ду ду дх дх дх

дЯ дЯ дЯ дЯ дЯ дЯ " дЯ дЯ

Напруження можна вирахувати зпдно з таким стввщношенням:

М = [ Ж«},

(23)

(24)

де [О] - матриця, елементи яко! залежать вiд механiчних характеристик мате-рiалу.

Матрицю жорсткостi елементу [К] визначають на основi формули: 1 1

[К] = | \[ЩТ [О] [В]с1е1|с1Яс18 . (25)

-1 -1

Оскiльки функцп форми N (Я, 5) для вшх елементiв е многочленами, похiднi (дЫ, / дЯ) та (дЫ, / д5) особливостей не мають. Застосовуючи стввщ-ношення (21), (22) та (23), формулу для визначення деформацш можна запи-сати у так

М=И~чяХя,5)] •{;;;]. (26)

Отже, виходячи iз останнього виразу, для отримання сингулярно! де-формацп можна вимагати сингулярносп матрицi Якобi при вершинi трщини. 1ншими словами, визначник матрицi Якобi Л повинен дорiвнювати нулю при вершит трщини. Цього можна досягти, перемiщуючи серединнi вузли на сторонах елемента на чверть довжини сторони. Розглянемо це питання докладтше.

Для того щоб матриц елеменпв при вершинi трiщини були сингуляр-ними, потрiбно сингулярними були вирази для {г} та . Як вже вказано, сингулярносп можна досягти, перемiщуючи серединнi вузли на сторонах елемента на вщстань, яка дорiвнюе чвертi довжини сторони. На рис. 3 зобра-жений двомiрний восьми вузловий чотирикутний елемент, а на рис. 4 - шес-тивузловий трикутний елемент. Обидва вони е iзопереметричними елемента-ми iз змiщеними на чверть довжини сторони серединними вузлами на сторонах, яю дотичт до вершини трщини.

Рис. 3. Восьмивузловий Рис. 4, Шестивузловий

чотири кутний елемент Ь хм ¡щепами трикутний елемент Ь змгщеними серед н ¡ми вузлами середшми вузлами

Одна iз важливих особливостей цих елеменпв полягае у тому, що вони задовольняють необхiднi умови сходимост [6] як у сингулярному, так i в несингулярному варiантах. Ц елементи на вiдмiну вiд багатьох шших спещ-альних елементiв, яю використовують при вершинi трiщини, допускають опис руху як жорсткого тша за постшно! деформаци, а також задовольняють умову неперервносп перемiщення.

К1нцево-елементний метод початкових напружень. Потрiбно заува-жити, що останнiм часом досягнення в наукових роботах з мехашки руйну-вання пов'язанi переважно iз дослщженнями пружнопластично! поведiнки матерiалу. Основною метою ще! публжаци е розробка спрощеного методу складно! задачi, який дасть змогу отримати сприйнятливi результати за найменшш складностi програмування.

Практичний штерес для рiшення задачi пружнопластичного руйнуван-ня становлять розрахунки перемiщень, напружень i деформацiй на рiзних етапах навантаження, визначення розмiрiв пластично! зони i оцiнка можли-востi !! зростання. Дат описано кiнцево-елементний метод початкових напружень, який дае змогу одержати необхвдш результати.

Припускаемо, що у цьому випадку е справедливим критерш текучостi Мiзеса та закони текучосп. Вiдповiдно до цього, застосовують таке припу-щення. Нехай ¿{«}р означае прирiст пластично! деформаци, тодi

н«} = ^у (27)

У цьому спiввiдношеннi x - коефiцiент пропорцшносп, а ¥ - функцiя напру-ження. Для вщомо! поверхнi текучост Мiзеса функцiя ¥ мае такий вигляд:

¥ = ^ 0,5 • (х - С )2 + 0,5 • (су -а* )2 + 0,5 •(а* -ах )2 + т + 3тУх + 3тХ -С,(28)

де а - границя текучостi в одновюному станi. Можна припустити, що при-рiст деформаци у процес нескiнченно малого приросту напруження скла-даеться iз пружно! та пластично! частини, тобто

¿{«=¿{«1+^{«}р. (29) Прирости пружно! деформаци пов'язаш iз приростом напруження нас-тупним стввщношенням

¿{«} = [°Г •¿{а}. (30)

де {а} - вектор напруження. Отже, прирют деформаци можна записати у вигл_вд

¿{«^¿{а}*^. (31)

Зручно розв'язувати наведене стввщношення та виразити прирют напруження через заданi прирости деформаци [7]:

¿{а} = тер8{«}, (32)

де [П]еР - матриця, яка характеризуе пружнопластичш властивостi матерiалу. Ця матриця е симетричною та позитивно визначаеться:

И, =1° №1 ■{ ^ |.{ да ^ ] - л ^ ^ ] ( ¿г , <33,

д{а}{ ' {д{а}

У цьому B^a3i стала величина А - це параметр змщнення. Для щеаль-но пластичного матерiалу без змщнення величина А дорiвнюe нулю. У за-гальному випадку присутностi явища змiцнення величину А можна визначи-ти, знаючи нахил криво! залежносп напруження вiд пластично! деформацiI за заданого значення пластично! деформацп.

Щд час вирiшення пружнопластично! задачi розрахунок за приростах навантажень проводять так:

a) задають прир1ст навантаження i вираховують прир1ст пружних напру-жень {aO} та вiдповiднi !м прирости деформацш {as'};

b) прирют напружень {aO} додають до напружень {<г0}, якi iснують до початку приросту навантаження, внаслщок чого визначають напруження

W;

c) перевiряють умову F {О} < 0. Якщо ця умова витримуеться, то продов-жуеться розв'язування задачi про пружне деформування;

d) якщо F{О} > 0 та F{<т0} = 0, в елеменл процес текучостi почався на початку приросту навантаження. При цьому величину {ao} визначають згщно з такою формулою

{М: = [D]ep- {a^'>!;

e) вираховують напруження, причиною виникнення яких повиннi бути об'емт сили:

{Ao"}i = {Ao'}j -{О

f запам'ятовують поточнi значення напружень i деформацiй:

{oMo'HaoV

M=M+{a4;

g) якщо F {<У} > 0, але F {o0} < 0, знаходять промiжне значення напруження, за якого починаеться текучють, i вираховують прирости напружень {ao}. Далi виконують д1!, наведет у пункт d;

h) вираховують вузловi зусилля для цього елемента, тобто вектор пластичного навантаження, який вщповщае зрiвноважуючим об'емним силам, згщно з формулою

{P}e = J[*f {ao"}i d (vol),

де vol (volume)- функцюнал об'ему узагальнених поверхонь у багатомiрному просторi;

i) розраховують значення {ao'}2 та {as'}2 згiдно з початковими значення-ми пружних характеристик матерiалу i навантаження;

f визначають поточнi значення {o} i повторюються д1!, наведенi у пунктах b...i.

Цикл розрахунюв переривають лише тодi, коли вузловi зусилля, як визначають вiдповiдностi до пункту h, стануть достатньо малими за величиною.

Висновки. За результатами ршення пружнопластичних задач про по-ширення трiщин можна зробити таю висновки.

1. Розроблено метод визначення po3MipiB i форми пластично! зони бшя вер-шини трiщини. Задачу розв'язували кiнцево-елементним методом почат-кових напружень. Пiд час ршення застосовували восьмивузловi чотири-кутш iзопараметричнi елементи.

2. Застосування восьмивузлових елементiв iз змiщеними на чверть довжи-ни сторони середнiми вузлами дае змогу за правильного розбиття на кш-цевi елементи отримати позитивнi результати. Застосовуванню такого сингулярного елемента у поеднанш iз використанням методу рухомих елементiв надають перевагу тд час дослiдження задачi за умови швид-кого руйнування.

Дослщження критерiю росту трiщин i визначення розмiрiв пластично! зони дають змогу ютотно просунутись у вирiшеннi задачi оцiнення довгсгач-ностi деталей машин i транспортних засобiв.

Л1тература

1. Черепанов Г.П. О распространении трещин в сплошной среде / Г.П. Черепанов. - М. : Изд-во "Мир", 1979. - 232 с.

2. Борисов В.С. Решение задачи о маломасштабном пластическом течении в вершине трещины методом конечных элементов / В.С. Борисов, С.А. Айвазян // Теоретические основы инженерных расчетов. - М. : Изд-во "Мир". - 1986. - № 2. - 58 с.

3. Чжань Лу. Моделирование процесса распространения трещины при динамическом нагружении с помощью метода конечных элементов / Лу Чжань // Конструирование и технология машиностроения. - М. : Изд-во "Мир", 1983. - № 2. - 63 с.

4. Von Mises R. Mechanik der platischen Formänderung der Krystallen. Z. Angew. Math. Mech, 1948. - Vol. 8. - Pp. 151-185.

5. Chan K.W. The Study of Dynamic Fracture Problems Using Finite Element Method / K.W. Chan. Ph. D. dissertation, Clarkson College of Technology, Potsdav. - N. Y., May 1982.

6. Панасюк В.В. Разрушение элементов конструкций с несквозными трещинами / В.В. Панасюк, А.И. Сушинский, К.Б. Кацов. - К. : Изд-во "Наук. думка", 1991. - 172 с.

7. Мизес Р. Механика твердых тел в пластически деформированном состоянии / Р. Ми-зес // В кн.: Теория пластичности. - М. : Изд-во "Иностранная литература", 1958. - С. 48-56.

Куличенко А.Я., Милянич А.Р. Исследование упругопластических разрушений методом конечных элементов

Описаны методы исследования задачи упругопластического разрушения, основанные на использовании специальных приемов конечно-элементного анализа; рассмотрена процедура формирования матрицы жесткости в случаях использования восьмиузловых четырехугольных изопараметрических элементов.

Kulichenko A.Ya., Milyanich A.R. Research elastoplastic destruction finite element

Described methods elastoplastic fracture problem, based on the use of special methods of finite-element analysis is considered the procedure of forming the matrix stiffness in cases of eighth-knots izoparametric quadrangular elements.

УДК 620.97 А^р. Б.1. Шзнак; доц. В.М. Желих, канд. техн. наук -

НУ "Львiвська полiтехнiка "

МОДЕЛЮВАННЯ ТЕПЛОВИХ ПРОЦЕС1В ПОЛ1МЕРНОГО СОНЯЧНОГО КОЛЕКТОРА

Наведено результати теоретичних дослщжень теплових процешв пол1мерного сонячного колектора. Проанал1зовано вплив штенсивност сонячного випромшюван-ня та визначено витрати теплоноая на теплову потужшсть сонячного колектора.

Ключовг слова: сонячний колектор, пол1мерш матер1али, стшьникова полжар-бонатна плита.