CC BY
12
УДК539.37 Доц. B.C. Джус, канд. техн. наук; доц. А.Я. Кулгченко, канд.
техн. наук; маггстр А.Р. МЫянич - Днтропетровський НУ зал1зничного транспорту, м. Яье1е
КОЕФ1Ц16НТИ НАПРУЖЕНЬ I ДЕФОРМАЦ1Й У КОНСТРУКЦШХ ВАГОН1В
Наведено метод розрахунку пружно-пластичних коефвден-пв концентраци нап-ружень i деформацш динам!чно навантажених елеменпв затзничних вагошв. Дана залежтсть встановлюеться i3 використанням методу кшцевих елеменпв. Зв'язок мш напруженням i деформащею представлений пружно-пластичною матрицею жорст-косп елемента.
Doc. V.S. Dgus; doc. А. Ya. Kulichenko; master A.R. Milyanych -Dnepropetrovsk NU a railway transportation, L 'viv
Factors of pressure and deformations in designs of cars
In given article is the resulted method of calculation of the elastic and plastic factors of concentration of pressure and deformations of dynamically loaded elements of railway cars. The given dependences are established with use of a method of final elements. Connection between a pressure and deformation submitted with elastic and plastic matrix of rigidity of an element.
При проектуванш та виготовленш зал1зничних вагошв призначених для вантажних перевезень, за основш критерп приймаються !х вага та мщ-шсть конструкцп'. Тривала експлуатащя вагошв в умовах впливу значних ста-тичних i дина]шчних навантажень сприяе руйнуванню як окремих вузл1в дано! конструкцп', так i металу в цшому.
Процес руйнування залiзничних вагошв - комплексна проблема, що об'еднуе обласп дослщження ф!зики твердого тша, механiки суцшьного сере-довища та матерiалознавства. Враховуючи складнiсть структури реальних матерiалiв, наявностi багатьох пошкоджень, починаючи вщ мшроскошчних i субмшроскошчних дефектiв та закiнчуючи значними порами i мапстральни-ми трiщинами, при математичному моделюванш процесiв руйнування часто застосовують спрощений шдхщ до дано! проблеми. За приклад можна навести прийняту модель даного процесу, де розглядаеться пошкодження дос-татньо малого матерiального елемента, в межах якого внутршш напруження i деформащя рахуються однорщними [1].
За шшою прийнятою моделлю процес руйнування розраховують за величиною середнього напруження, а його максимальне значення встановлю-ють зпдно з коефщентом концентрацií напружень, еквiвалентного коефь щенту концентрацií' деформацiй [1, 2].
Вщомо, що ефективнiсть мщносп будь-яко! конструкцп збершаеться за умови, коли штенсившсть середнього внутртнього напруження при ге-ометричнiй однорщносп навантаження в Г! елементах повинно бути близь-ким до границ текучостi даного матерiалу, тобто
О i = 2-0,5[( о 1 - О 2)2 + ( о 2 - о з)2 + ( о 3 - о i)2]0,5 = О т, (1)
де: ст1, ст2 та ст3 - величини головних нормальних напружень, що вщповщають напрямам трьох головних осей X, Y та Z.
У^аш^кий дepжaвний лicoтexнiчний yнiвepcитeт
Ane фaктичнo y пeвнiй кiнцeвiй мeжi eлeмeнтy виникae гeoмeтpичнa нeoднopiднicть, щo впливae нa poзпoдiлeння мicцeвиx нaпpyжeнь, i ята то-cвoeмy мoжe icнyвaти y пpyжнoплacтичнoмy a6o плacтичнoмy нaпpyжeнoмy cтaнi. Koжнoмy iз циx випадюв влacтивий лишe cвiй oкpeмий кoeфiцieнт тон-цeнтpaцü' внyтpiшнix нaпpyжeнь. В o6лacтi плacтичнoгo cтaнy eфeктивнe внyтpiшнe нaпpyжeння oeф 6iльшe мeжi тeкyчocтi мaтepiany от тo6тo, oeф>oт, щo пpизвoдить дo виникнeння нe лишe пpyжниx дeфopмaцiй, ane й змиш^-виx (плacтичниx), зa yмoви з6epeжeння пocтiйнocтi o6'eмiв. 3a тaкиx yмoв га-eфiцieнти кoнцeнтpaцiï внyтpiшнix нaпpyжeнь kO тa дeфopмaцiй ke 6удуть нe eквiвaneнтними i визнaчaтимyтьcя зa тaкими зaneжнocтями:
ko = Omax /Он; kE = (E^max)^, (2)
дe: omax, emax - мaкcимaльнe, вiдпoвiднo, внyтpiшнe нaпpyжeння i дeфopмaцiя в o6лacтi гeoмeтpичнoï' нeoднopiднocтi нaвaнтaжeнoгo eлeмeнтa; он - гомь нгльж внyтpiшнe нaпpyжeння y пepepiзi мaтepiaлy; E - мoдyль пpyжнocтi ^и poзтягy (мoдyль Юнгa).
Пoвнa дeфopмaцiя eлeмeнтa мaтepiany piвнa cyмi двox cклaдoвиx -^ужто!' enp тa maarm^!' епл дeфopмaцiй: e = enp + епл, a6o, виpaзивши oc-тaннe чepeз тeнзopи ^ужнж e® тa плacтичниx ejj дeфopмaцiй, oтpимaeмo
e = e® + ejj. (3)
3гiднo з дeфopмaцiйним зaкoнoм Гeнкi-Haдaï для зaдaч плacтичнocтi пpи мanиx пepeмiщeнняx, щo rpyнтyeтьcя нa кpитepiï' тeкyчocтi Miзeca-Гy6e-pa, зa ocнoвнy yмoвy ятого пpийнятo пocтiйнicть iнтeнcивнocтi нaпpyжeнь, тa зв'язку мiж cклaдoвими тeнзopiв e® i ejj, тeнзop пoвнoï' плacтичнoï' дeфopмaцü' виpaжaтимeтьcя нacтyпним piвнянням
еПл = 1,5( ejj /oi)(oij - Jo) = 1,5( ejj /oODj, (4)
дe: ejj тa oí - eфeктивнi, вiдпoвiднo, raacr^m дeфopмaцiя тa нaпpyжeння;
Da • •
íj - тeнзop дeвiaтopa внyтpiшнix нaпpyжeнь; o- - тeнзop нaпpyжeння; Oo -cepeднe знaчeння нaпpyжeння, щo poзpaxoвyeтьcя зa фopмyлoю:
Oo = (01 + O2 + Оз)/3 = (Ox + Oy + oz)/3; (4a)
дe Sij - дeльтa-фyнкцiя Kpoнeкepa, пpиймae знaчeння
Í1 пpи i = j
Síj= \ J. (46)
j [0 пpи i * jJ ( )
Cклaдoвi пpaвoï чacтини виpaзy (4) мaтeмaтичним мeтoдoм пpямoï' iтe-paцiï [3] cтaнoвитимyть:
ejj= (2 ejj • eJj/3)0,5; (5)
Oí= (3oí^Oí /2)0,5 = (1,50i^0i)0,5. (б)
Oпepyвaння нaвeдeним виpaзoм (4) мoжливe лишe зa yмoви вcтaнoв-лeння зaneжнocтi iнтeнcивнocтi дeфopмaцiй вiд iнтeнcивнocтi внyтpiшнix
232 Збipник наyкoвo-тexнiчниx пpаць
напружень, значения яко! визначаеться експериментальними випробовуван-нями металевого зразка на розтяг.
Пружш деформацп в®- пов'язаш 1з напруженням ст- за допомогою закону Гука. Для ¡зотропного матер1алу р1вняння лшшно! ¡зотерм1чно1' пружносп мають наступний вигляд [4]:
в® = 0,5-0-1- оч - 8д {Е-Ос], (7)
де: О - модуль зсуву; Е - модуль повздовжньо! пружносп; ц - коефщент Пуассона.
Для спрощення проведення наступних математичних операцш автори дано! статп застосовують параметр пластичносп
^ = Е- вр/о; =(Е/Е8)-1, (8)
де Е8 - ачний модуль криво! залежносп м1ж внутршшм напруженням 1 де-формащею, числова характеристика якого встановлюеться внасшдок експе-риментального випробовування зразка на розтяг.
Використовуючи штенсивносп напружень ст1 1 деформацш 8-, вира-жаемо узагальнене р1вняння зв'язку внутршшх напружень з деформац1ями [5]
ст- = Е' 81-, (9)
де Е' - модуль пластичносп першого роду.
1нтенсившсть деформацп' при пластичнш змш форми е функщею дано! деформацп' 1 ¡стотно впливае на ф1зико-мехашчш характеристики матер1алу. Граф1к залежносп ст; - е, будують на основ1 експериментальних дослщжень. Як-що рахувати, що матер1али, з яких виготовляють основш вузли 1 детал1 зал1з-ничних вагошв не шддаються стискуванню та змш свое! густини при деформацй', то залежшсть м1ж ¡нтенсивностями напружень 1 деформацш зб1гаеться ¡з д1-аграмою дшсних напружень при розтягу, оскшьки внаслщок простого розтягу ст; р1вному розтягуючому напруженню, а е, - вщносному видовженню.
Анал1зуючи 1 узагальнюючи вс1 наведеш вище ф1зичш особливосп пластичного деформування, автори вивели нетрадицшш формули пружно пластичних властивостей матер1алу через прийнятий
Еер = Е/(1+ ¥), (10)
Цер = (ц+0,5 ¥)/(1 + ¥), (11)
О ер = Еер/[ 2(1+Цер) ] , (12)
^ер = (Цер'Еер)/[(1+Цер)'(1-2Цер)] . (13)
Використовуючи попередш сшввщношення (3)...(9), отримано мате-матичне в1дношення залежностей м1ж внутршшми напруженнями 1 деформа-щями, яке записуеться наступним чином
СТ1- = 2Оер' 81- + Хер'8ц' 8о. (14)
Шдставляючи в останнш вираз залежносп (10)...(13), отримаемо зна-чення головних нормальних напружень при пружнопластичнш залежносп напруження в1д деформацп':
Ст1 — стх — (2-Оер + Хер)-8х+Хер-(8у+82); Ст2 — Оу — (2-Оер + Хер)-8у+Хер-(82+8х);
Оз — О2 — (2-Оер + ЦО^+ЦДех+еу); (15)
,2 Оху Сер еху? О2 ,3 Оуг Сер еуг; О1,3 — Огх — ОерХ2х.
Перетворюючи отримаш р1вняння для випадку плоско-напруженого стану та в1дображаючи його у матричнш форм1, одержуемо наступну залеж-шсть м1ж напруженням 1 деформащею для пружнопластичних умов:
Б,
ер
1 -и2
1 Иер 0
И ер 1 0
1 -и
0 0
2
ер
(16)
(17)
або у символичному вигляд1
{о} — [вде}.
При формулюванш пружнопластично! матриц жорсткосп елемента використовуемо в1домий матричний вираз для матриц жорсткосп елемента [к] [4], що для пружнопластичного стану матриця жорсткосп [кер] виражати-меться у виглядк
[кер] — |[Л]Т • [Эер] [А] ёУ.
(18)
Отже,
[к] — }[Л]Т • [Э][А] ёУ,
де: [А] - матриця, яка зв'язуе перемещения 1 деформацп; [Эер] - матриця, що з'еднуе напруження 1 деформацп; У, ёУ - в1дпов1дно об'ем та величина його приросту; [А]т - транспонована матриця [А], в якш взаемно переставлен! м1с-цями стовпц1 1 рядки.
Матриця [А] для одиничного елемента материалу зразка виражати-меться у наступному вигляд1
уз2 0 - уз1 0 у21 0
0 - х„ 0 — хЭ1 0
[Л]= 0,5 • Р;-1
"■31
уз1
-х
21 у21
(19)
х32
у32
де визначення ху та уу проводиться зпдно з ведомою методикою:
Ху — Х; - Х] у;] — у1 - у] та Ру — Рш — Хз2^ у21 - х2Г уз2, де Ру - площа трикутного елемента.
Поставляемо матриц! [А] та [Эер] у вираз (18), вишсши добуток мат-риць [А]т[Эер][А] за знак штеграла, залишивши п1д ним об'ем даного одиничного елемента, що виражаеться добутком РуБ0:
х
х
у
у
.г
V
V
[кер] = 0,5Бер-8о[р1|(1-це2р )]-1 *
кц
к21 к22
к31 к32 к33
к41 к42 к43
к51 к52 к53
к61 к62 к63
к54 к55 к64 кб5 к
(20)
66
де: 80 - товщина досл!дного зразка; * - симетричне в!дображення матриц!.
Особлив!стю наведеного способу встановлення зв'язку м!ж внутр!ш-н!м напруженням ст ! деформац!ею е е застосування авторами методу к!нце-вих елемент!в для визначення перем!щень (метод жорсткост!), зд!йснюючи р!шення задач! для пружнопластичного стану системи методом прямо! !тера-ц!!. Математична модель даного способу розв'язування наведена на рис. 1, б), а математичний запис розрахунку можна представити у вигляд!:
{Р} = [К] {и}, (21)
де: {Р} - заданий вектор зовн!шнього навантаження; [К] - матриця жорсткост! вс!е! системи; {И} - в!домий вектор л!н!йних перем!щень для дано! системи.
Рис. 1. Зразок листового матергалу - сталь 09Г2С, гз яким проводились експериментальнг дослгдження а) та математична модель дослгду б).
Перев!рка справедливост! розроблено! авторами методики приводилась експериментально !з однов!сно навантаженим зразком листового прокату (рис. 1, а) !з низьколеговано! стал! 09Г2С (ГОСТ 19281-73) з наступними механ!чними характеристиками: ств = 441 МПа; стт = 305 МПа; Е = 2,1-105 МПа; О = 8,1-104 МПа; ц = 0,26.
Граф!к залежност!: внутр!шн! напруження-деформац!я, для досл!дного зраз-ка наведено на рис. 2. Результат анал!зу розроблено! математично! модел! ! його сп!вставлення !з даними, отриманими експериментально, зображений на рис. 3.
*
к
44
Рис. 2. Залежшсть напруження-деформацгя для матергалу зразка гз
низьколегоеаног сталг 09Г2С (ГОСТ 19281-73) (Е = 2,1-10МПа; в = 8,1-104 МПа; р = 0,26)
Рис. 3. Спгвставлення коефгцгентгв концентрацйК для металевого зразка гз отвором, отриманих за наведеною
методикою аналгтично (-) та
експериментальним методом (- - - -)
Результат апробацй' розроблено! методики встановлення залежносп внутр1шнього напруження 1 деформацй' подтвердив ефектившсть способу роз-рахунку, оскшьки, зг1дно з наведеним графиком (рис. 3), простежуеться сшв-падання значення коефщента концентрацй' напруження кО 1 незначне в1дхи-лення (менше 1,35 % для максимального в1дхилення) коефщента концентрацй' деформацй' ке.
Перевагою дано! математично! модели 1з застосуванням методу к1нце-вих елемент1в та прямого 1терац1йного матричного методу е те, що запропо-нований метод розрахунку можна запрограмувати для ЕОМ, що значно спростить процес попереднього визначення критичного порога утворення тр1щин у матер1ал1 елемент1в зал1зничних вагон1в 1 передбачувати можли-в1сть !х руйнування у процес1 експлуатац1!.
Лггература
1. Тимошенко С.П. Теория упругости. - М.: Машиностроение, 1974. - 324 с.
2. Губкин С.И. Пластическая деформация металлов. - М.: Металлургиздат, 1960. - 236 с.
3. Качанов А.Н. Основы теории пластичности. - М.: Наука, 1969. - 420 с.
4. Сторожев М.В., Попов Е.А. Теория обработки металлов давлением. - М.: Машиностроение, 1977. - 424 с.
5. Безухов Н.И. Теория упругости, пластичности и ползучести. - М.: Высшая школа, 1961. - 536 с.
УДК 330.342:338.911:330.151 Доц. Я.В. Кульчицький, канд. екон. наук;
студ. А.В. Прокгп - УкрДЛТУ
РОЗВИТОК КЛАСИЧНИХ СОЦ1АЛЬНИХ КОНЦЕПЦ1Й
ЕКОНОМ1КИ У КОНТЕКСТ1 ФОРМУВАННЯ ТЕОР11 ЕКОЛОГО-ЕКОНОМ1ЧНИХ СИСТЕМ
Дослщжуеться еволющя класичних соц1альних концепций економ1ки. Автор обгрунтовуе думку, що щ концепцй становлять методолопчний фундамент формування теорй еколого-економ1чних систем. Ф1лософ1я еколопчно! альтернативи розглядаеться як приоритетна доминанта трансформацп сучасних еколого-економ1чних систем.
Ключов1 слова: сощальт концепцй економ1ки, економ1чна еволюцк, економ1ч-на система, ф1лософ1я еколопчно! альтернативи, сучасн1 еколого-економ1чн1 системи.
