Нестаціонарна деформація циліндричної оболонки у пружному напівпросторі з вільною поверхнею Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 539.312

Д-р фiз.-мат наук В. I. Пожуев1, канд. фiз.-мат наук А. В. Пожуев2, астрант А. В. Фасоляк1

1Запор1зький нацюнальний техн1чний ун1верситет, 2Запор1зька державна ¡нженерна академ1я;

м. Запор1жжя

НЕСТАЦ1ОНАРНА ДЕФОРМАЦ1Я ЦИЛ1НДРИЧНО1 ОБОЛОНКИ У ПРУЖНОМУ НАП1ВПРОСТОР1 З В1ЛЬНОЮ ПОВЕРХНЕЮ

Розглядаеться несктченна цилiндрична оболонка, яка знаходиться у тривимiрному пружному iнерцiйному напiвпросторi з вшьною поверхнею, причому вiсь оболонки паралельна поверхнi напiвпростору. Вивчаеться випадок, коли до внутрiшньоi поверхнi оболонки прикладаються врiвноваженi iмпульсивнi нормальнi навантаження. До^джуеться вплив нестацiонарноi деформацИ оболонки на напружено-деформований стан напiвпростору i на перемiщення поверхнi напiвпростору. Проведено анализ впливу глибини залягання оболонки вiд поверхнi напiвпростору на напружено-деформований стан тако'1' системи.

Ключовi слова: цилiндрична оболонка, пружний напiвпростiр, вшьна поверхня напiвпростору, динамiчне навантаження, метод сюнченних елементiв.

Вступ

На сьогодш досить добре дослщжеш динамiчнi за-дачi для цилшдричних оболонок у необмеженому пружному шерщйному простер (при глибиш залягання оболонки бшьше 5 дiаметрiв). У роботах [1-3], а також у монографп [4] розглянуто випадок рухомих наванта-жень, а в роботах [5-8] розглянул шдабт задачi у неста-цюнарнш постановщ з використанням рiзних метсдав моделювання реакцп простору.

Для оболонок неглибокого залягання по^бно вра-ховувати вплив вшьно! поверхнi пружного iнерцiйного нап1впростору. Подабним задачам для рухомих наванта-жень присвячена робота [9], а для рухомих перюдичних навантажень для багатошарових оболонок - робота [10].

Ця робота присвячена динамiчним задачам для пружних оболонок, як1 мають невелику глибину залягання у пружному шерцшному нашвпростору iз вiльною поверхнею у нестацюнарнш постановцi. Також дослщжуеться питання впливу глибини залягання на напружено-деформований стан системи оболонка-натвпроспр.

Постановка задачi

Розглядаеться нестацюнарна деформац1я несюнчен-но довго! цилiндрично! оболонки, яка знаходиться у лшшно-пружному, однорiдному та iзотропному нашвпростору причому вiсь оболонки паралельна гра-ницi напiвпростору шд дiею навантажень, що дшть на внутрiшню поверхню оболонки та залежать ввд часу, як одинична функцiя Хевiсайда. Нехай оболонка та натвпроспр вщнесет до нерухомо! декартово! системи

координат {х, у, 2}. Внутрiшня поверхня оболонки за-

2,2 .2

даеться рiвнянням х + у = Ь , а поверхня контакту мiж напiвпростором та оболонкою - х2 + у2 = а2 (Н = а - Ь - товщина оболонки). Контакт мiж оболон-

кою та нашвпростором вважаемо жорстким. Площи-на, що обмежуе напiвпростiр, задаеться рiвнянням

у = Н (н > а). У момент часу ( < 0 оболонка та простiр знаходяться в станi спокою та вшьш вiд напру-жень. Попм в момент часу t = 0 прикладаеться iмпуль-сивне, самоврiвноважене навантаження, яке дiе по нор-малi до вну^шньо! поверхт оболонки.

Слад зазначити, що в цш робоп приймаеться, що навантаження, яке дiе на внутршню поверхню оболонки рiвномiрно розподiлене за и довжиною, тобто не зале-жить вiд змшно! 2 , тому початкова задача зводиться до плоско! задачi теорi! пружност!

Осшльки для оболонки i напiвпростору використо-вуються точнi рiвняння, тодi потрiбно знайти так1 ве-

тор-функцi! и(к )(х, у, t)= (иХк )(х, у, t), и( )(х, у, t)), що за-

довольняють динамiчному рiвнянню теорi! пружностi, яке у векторнш формi мае вигляд [11]:

(Xк + 2цк)raddiv{и^ ^-цкг^го^и^ ^ =

+ Рк"

д 2 " (к) д и

(1)

д 12

де X к, ц к - параметри Ламе, р к - щшьшсть (тут зна-чення iндексу к = 1 вщповщае оболонцi, а к = 2 -нашвпростору, що оточуе оболонку). Тодi граничнi умови мають вигляд:

а£](х, у, t) =-/х (х, у, t) а^х, у, t) =-/у (х, у, t)

I М 1 I М 1

y, t )ш 1 =-/ху (x, ^ t) а^ y, t )ш 2 =а(Х)(x, y, t) ^

у, t ) =0((у»(х, у, t) 2, ««(( у,/)в 2 =аху>(х, у, 2, и()(х, у, t) = и(2)(х, у, t) , и()(х, у, t) = и у, t) ,

1м 2 2 'М 2 ' М 2

аХХ)(x,H,t) = аУy)(x,H,t)=аХy)(x,H, t)= 0. 0

© В. I. Пожуев, А. В. Пожуев, А. В. Фасоляк, 2016

Тут ю 2 - внутрiшня поверхня оболонки, ю 2 — границя контакту мiж оболонкою та напiвпростором,

!х (x, y, 1), /у (x, y, 1), !ху (x, y, 1) — вщповщт компонен-ти навантаження, яке дie по нормалi до внутршньо! поверхш оболонки.

При цьому необхiднi для задоволення граничним умовам напруження виражаються через перемiщення згiдно з формулами:

-к) = 2Ок (1 -Vк) ди() + 2вкVк 5«?

1 - 2 V

к

#)

д х

(к)

1-2vk дУ

_ 2 Ок (1 -V к ) д и ( ] + 2вкV к д и

()

1 - 2 V

-к — Ок

(

д у

д и(к) д и(к П

1 - 2 vk д х

д у

дх

(3)

де V к — коефiцieнги Пуасона, Ок — модулi зсуву мате-рiалу.

Початковi умови приймаються нульовими, тобто ва шуканi величини та !х першi похiднi за змiнною часу при t — 0 дорiвнюють нулю.

Перейдемо тепер до безрозмiрних величин:

{^)}_ } {), и ?)}

Ш а«, {, а«, -$ Р — /,

^ \ хх уу ху у ^

О2 О2

( 1 1 ( 1 с* Ь О-. * {х*,у*}_ — {х,у};т——^к ——;7 = 77-;р _

а О2

£1

Р2

— 1 -к;с* —

л/°Т. Н Н

-7^=; Н* _ - .

Л/Р2 а

Тодi ствввдношення (3) приймуть вигляд:

(4)

При цьому грaничнi умови (2) перепишуться так:

-(1)

-(1)

-(1) а

х*у*

(х*, у*, т) _- Рх* (х*, у*, т),

Ю 1

(х*,у*, т) _ -Ру* (х*,у*, т),

Ю1

^ у* , 11 _-Рх,у, (x*, У*, т),

1ю 1

-(1) а

х* х*

-(1) а

у*у*

-(1) -

(х*, у*, т)

-(2) / _- х*х* ((*, у* ю 2 I ю 2

(х*, у*, т)

ю 2

-(2) ( _- у* у* ((*, У*, т

-(2) ( 1 _ „ (х*,у*, т)

ю 2

х*у* ,

х*у.((*, у*,т) UX1.)((*,y*,т)2 _ UX2)((*,y*,т|

и«(х^y*,т) _ и{1 )(x*,y*,т|

ю 2

ю 2

1ю 2 1ю 2

-х**х* (x*, н ^т) _ -у2*у* (x*, н ^ т) _ -х**у* с*^ н ^ т) _ (6)

Тут ю 1 — безрозмiрнa внутрiшня поверхня оболонки (х*2 + у*2 _ ), ю 2 — безрозмiрнa границя контакту м1ж оболонкою та нашвпростором (х*2 + у*2 _ 1).

Вар1ац1има постановка задачi Перейдемо тепер до вaрiaцiйноl постановки задача Нехай 5и(к) _ (з^^,5иу*)) — додaтковi можливi без-розмiрнi перемiщення точок тiлa О . Тодi

^) _ 58ÍУ,.58X.jУ,) — можливi безрозмiрнi де-

формацп, як1 вщповщають можливим перемiщенням

М) зи(к)

)

5и _ 15их*%зиу*') та задаються такими стввщно-шеннями:

—(1) _ 2 у(1 -V! ) ди£) 2 у V! Щ

- х*х _—;—:--:--

1 - 2 v1 д х*

ди(2)

1 - 2 v1 д у*

-(2) _ 2(1 -V2)

^ х*х —

2 V 2

ди

(2)

1 - 2V2 дх* 1 - 2V2 ду*

-(1) _ 2у(1 -v1) ди() 2yv1 ди()

- у*у* — + .

1 - 2 v1 д у* 1 - 2 v1 д х*

42) _ 2(1 -V2)

ди(2)

2 V 2

ди(2)

- (1)

- х* у — У

1 - 2 V 2 д у*

^ди(1) д и«^

х* у*

1 - 2 V 2 д х*

д у*

д х*

^д и(2) ди(2)^

х* у*

д у*

д х*

.(5)

_ д(зи(к)) ^^ д(зи<к))

5е(к) _ V х* ' 5е(к) _ У у* / х*х* д х* ' у*у* д у* '

д(зи(к)) д(зи(к))

V х* I \ у* /

ЗвО —

х*у* ду,

д х*

Нехай тшо знаходиться у рiвновaзi п1д дieю поверх-невих сил Р та вну^штх сил Я . Причому поверхневi сили дiють на поверхш та (у цьому випадку

та — та 1и {х*, у* )е Я21 у* — Н*}), що обмежуе т1ло О,

а вну^шш всерединi облaстi О . Розглянемо тепер ва-рiaцiйне рiвняння Лагранжа [12]:

~(к) 5к — 0,

(7)

+

ю

2

де V^к ^ = и(к ^ + П(к ) - повна безрозмiрна потенщаль-

на енергiя оболонки та нашвпростору, що оточуе обо-лонку. Перетворимо вираз (7) таким чином:

8и (к к = Я(ст х*х. 8е х,х, +а у*у* 8е у*у* +а х*у* 5е х*у*)а ° ,(8)

Для отримання матрицi [а] будемо вважати, що перемiщення 8 их* та 5 иу* змiнюються за лшшним законом:

5их* = 11 +¡2 х* +¡3 У*, 5иу* = 14 +15 х* +¡6 У*,

5 П(к )=-

Л (5 и(к )JFd м -1|(5 и(к ) О*. (9)

Вираз (8) е варiацiею безрозмiрноl енергп дефор-мацi!, а (9) - варiацiя безрозмiрноl роботи зовтштх сил. Тодi, згiдно до варiацiйного принципу Лагранжа

[12] по^бно знайти так1 значения перемiщень 5 и(к ^,

для яких повна енергiя системи мiнiмальна, тобто так перемiщения, як1 задовольняють варiацiйному рiвнян-ню Лагранжа (7).

Розв'язання задачi методом скiнченних елементiв

Отримаемо матрицю жорсткостi для плоского три-кутного скшченного елемента [13]. Нехай вузли елемен-та розташовуються на вершинах трикутника i заданi

координати цих вершин: (х*, у*), (х*^, у*^), (х*т, у*т)

еквiвалеитнi вузловi навантаження. Матриц перемщень та сил для кожного з вузлiв складаються з двох елеменпв. Тодi для вузла i маемо:

8^ =

5V.

5V.

гу*

Fe =

При складаннi матриць [5vе ] [Fe ] елемент будемо обходити проти годинниково! стрiлки. Тодi:

[5Vе]= [[,5Vj,5Vk], [Fe]= [,FJ,Fk]. Точки елемента отримують перемщення 5 и та 5 иу*. Тому матриця 5 и мае вигляд:

[5 и ] =

5 их 5иу

Цi перемщення можна виразити в такому виглядi

[13]:

[5 и ] = [а][5 Vе ],

(10)

або

[5 и ] = [а][5 V ] =

а гу* а ]у* а ту*

5Vi 5Vm

де ^ - деяк1 стaлi (г = 1,6).

У вершинах трикутника 5их* та 5иу* повинт збна-тися з вузловими перемщеннями, тому маемо систему з шести рiвнянь для вщшукання неввдомих ^ : при

х* = х*г , у* = у* г ^5их* = 5^,» г , 5иу* =5^, г , (г = г, ], т).

Отримана система буде мати двi незaлежиi групи рiвиянь. Перша система вщносно невiдомих 11,12,13, а

друга група вiдносно 14,15,16. Розв'язавши першу гру-пу рiвиянь, будемо мати:

11 = 2? (аг 5Угх* +а 1 5^'х* +ат 5Vmx* )

¡2 = — 2г 5К + 21 51 + 2т 5К

2?

г гх* 1 1х* т тх*

)

¡3 = 2?(сг V* + С1 51* + Ст 5Vmx*)!

де аг = х* 1 у*т - х*ту* 1, 2г = у* 1 - у*т , Сг = х*т - х* 1 ■ Iншi коефiцiенти отримуються за допомогою циктч-но! перестановки iндексiв. Величина ? - площа вщпо-ввдного трикутника. Коефiцiенти ¡4, ¡5,16 отримуються aнaлогiчно.

Отже, перемiщения можна записати у виглядi:

[5 и ] =

5 их 5иу

2?

Уг 0 у 1 0 у т

0 Уг 0 У1 0 У

0

5^ 5Vm

де уГ =аг + 2Г х* + сгу*, (г = г,],т).

Таким чином маемо:

[а х* г ]= 2? [Уг °1 [а у* г ]= 2? [0 Уг 1 (г =i, j, т). Тодi

[ах* ]=[ах*г ах* 1 ах*т ]

[а у* ]=[а у* г а у* 1 а у* т ].

О

О

м

т

г х* 1 х* т х*

Осюльки матриц [а х,] та [а у,], тод1 задамо матри- де цю [в] у такому самому виглядк

[в]=[вг в, вт ],

де типова тдматриця [вг ] обчислюеться наступним

чином:

[в г ] =

дах

д х, да

у* г

д у,

дах, г дау,г + ■

2S

1г 0 0 Сг

д у, д х, Тод1 для деформацш елемента отримаемо:

[] = [ в, в т]

8¥, 8Г, 8 К.

а для матрищ напружень:

й=№],

де

М =

2 gk (1 -ик ) 2 gk ик

1 - 2 и

к

1 - 2 и к

2gk ик 2gk (1 -ик)

1 - 2 и 0

к

1 - 2 и 0

к

де

[у, к = 1;

Тобто,

= у, якщо в1дпов1дний

[1, к = 2.

елемент належить оболонщ, а gk = 1 - коли елемент належить нашвпростору.

Знайдемо, зпдно з (8), матрицю жорсткосп сюнче-ного елемента [13]:

[к" ]= {[в] о" = [в] Мв]{ а о" =

о" О"

= Sq [в] [о][р],

де q - товщина сшнченного елемента. Осшльки ми розглядаемо плоский випадок задач! теорп пружност!, тому дал! будемо вважати, що q = 1. Маемо:

К" = S

в,- ■ Йвг К" К"т

в , в , вт] = К"

в т _ Кгп1 Кщ К" тт

К™ ]= S [в г ]Мв т ] = ^

gk

2 (1 - 2 и к )

(г, п = /,,, т).

(1 -ик К2п ик2гС

икСггп (1 -ик )с

Глобальна матриця жорсткосп формуеться шляхом додавання вщповщних блоков матриць жорсткосп для окремих елеменлв зпдно з глобально! нумеращею вузл1в.

Отримаемо тепер вирази для екывалентних вузло-вих навантажень. Нехай до тша прикладена сила Р, тода зпдно з (9) маемо [13]:

Р ] = - { [а]

Рх,

Ру

а о"

(11)

Глобальний вектор правих частин формуеться ана-лопчно до формування глобально! матрищ жорсткосп. У результат! отримуемо глобальну систему л!н!йних ал-гебра!чних р!внянь статично! р!вноваги т!ла в!дносно вузлових перемщень [13]:

[К ][8У ]-[Р ] = 0.

(12)

Отримаемо тепер скшченно-елементне р!вняння для розв'язання динам!чних задач. Для отримання динам! -чного р!вняння, сила Р в кожен момент часу замь нюеться екшвалентом [13]:

[Р Ь^ М

дт2

(13)

де р = р для елемент!в, яш належать оболонц!; р = 1 -для елеменпв, яш належать нап!впростору; [Р] -дина-м!чне навантаження, яке д!е на т!ло, що розглядаеться.

Тод! екв!валентн! динам!чн! вузлов! сили, задан! стввщношенням (13), мають вигляд [13]:

Р ] а =-{№ ]а О" + {[а^Ду [8 и ]

^ Л дт2

О" =

= [["Ь^Т |[а][8^]аО"

дт

де \р" ] - екв!валентн! вузлов! навантаження, як! зада-

ються стввщношенням (11), та залежать в!д змшно! без-розм!рного часу.

Враховуемо сшввщношення (10) та поставляемо вираз (14) у р!вняння р!вноваги (12). Отримуемо дифе-ренц!альне матричне р!вняння:

[К ][8К ] + [М [8У ]-[Р ] = 0,

дт

(15)

СгСп Сг2п

+

2гСп г п

Сг 2г

О

2

О

2

де [к], [F] - матриця жорсткосп та екывалентних вуз-

лових навантажень вiдповiдно. Нова матриця [м ] -матриця мас, яка для кожного елемента визначаеться таким ствввдношенням [13]:

Стввщношення (18) и (19) для моменту часу t + 6 Ат можна переписати у виглядг

^т+6Ат = ^т+^тТ т+6ат + 8Кт) ,

Ме]= | [а]р[а]а Ое =

(1 2

0

1

4 0

1

4 0

(16)

Глобальна матриця мас формуеться аналопчним до глобально! матриц жорсткосп.

Таким чином статичну задачу можна звести до зна-

ходження вузлових перемщень [5 V] зi СЛАР (12), а загальш перемiщения в межах вщповщних елементiв задаються спiввiдношениями (10), а вщповщш напру-ження - сшввщношеннями (5). У свою чергу динaмiч-на задача зводиться до розв'язання матричного дифе-ренцiaльного рiвняння (15), у результат чого знаходять-ся значення вузлових перемiщень в кожен момент часу, а ввдповвдш перемщення та напруження всередиш елемента знаходяться за допомогою ствввдношень (10) та (5) ввдповвдно.

Розв'язання матричного диференщального рiвняння

Для розв'язання матричного диференщального рiвняння (15) будемо використовувати чисельний метод, який мае назву 6 -метод Вшьсона. Основна iдея полягае у припущенш, що змiнa прискорення на роз-ширеному промiжку безрозмiрного часу ввд т до т + 6 Ат вiдбувaеться за лшшним законом [14]:

5 V т+ф = 8У т + — т+ф т 6 Ат

8V т+6Ат - 5 V т

(17)

де 0 < т < 6Ат ; 6 > 1,37 .

Шсля штегрування виразу (17) можна отримати рiвняння змiни швидкосп та прискорення:

8V х+ф = 5V T + 5V тф +

ф2

2 6Ат

5V

т+6Ат

-5V,

(18)

5Vт+ф=5Vт+5V тф+ - 5V Тт2 +

ф3

6 6 Ат

8Vт+6Ат-8Vт I.

(19)

5Vт+6Ат=5Vт+6Ат5V т + 62 (Ат)2 _.■

+ —5т+6 Ат + 5 V т

Дал^ беремо в якостi незалежно! змiнно! стовпець вузлових перемiщень иг+6 Н , можна отримати:

Ш т+6Ах=Т^т)Г |5V т+6 Ат — 5 V 1 -

6 Ат

62 (Ат)2

-5V т-2 5V т

5У т

(5кт+6АТ-5кх)-25Кх-6Ат5Кх .

6Ат

Оск1льки прискорення на вiдрiзку часу [т, т + 6 Ат] змiнюеться лiнiйно, тодi можна припустити, що i вектор навантаження так само може змiнювaтися на ньо-му лiнiйно. Тодi:

^+6Ат = ^ + 6 (-^т+6Ат - ).

(22)

П1сля подстановки вирaзiв (20)-(22) в (15) можна отримати рiвняння квaзiстaтично! рiвновaги [14]:

к 8^т+6АТ = т+ЭАт :

(23)

де

к = к +-

62 (Ат)2

-м

т+6 Ат = ^т+6Ат + (

+м

6

62 (Ат)

-5VТ +

-5 V т+ 2 5 V т

6 Ат т т

Отже, застосувавши 6 -метод Вшьсона дозволив звести розв'язок нестащонарно! зaдaчi (15) до розв'язку ггеращйно! послiдовностi квaзiстaтичних задач (23).

Метод розв'язання СЛАР

Оскшьки матриця системи [к ] та [к ] в рiвняннях (12) та (23) симетричш та додaтньовизнaченi [13], тод для розв'язку цих систем можна застосовувати метод спряжених грaдiентiв [15]. Наведемо алгоритм даного методу на приклaдi системи (23).

О

6

3

6

Oбиpaeться почaтковe нaближeння pозв'язкy 5V0 тa поxибкa e. Ha попepeдньомy eтaпi обчислюються тяга вeличини:

R0 = F -K5 V,; P0 = R¿.

Дaлi для j = 0, l, H, З,... :

(r, , r, )

5 J=j; 5vJ=5vJ +5 jpj ;

rj+l=rj-5 JKPJ ; ç J=

(+l, rj+l) ( , rj ) '

Якщо ¡R j+l || = yj(Rj+i, Rj+1 ) < e , тодi отpимaно pоз-

тa

в'язок, в iншомy випaдкy P j+l= Rj+i+Ç ¡P¡ збшьшити j.

Результата чисельного aнaлiзу

Розглянeмо випaдок, коли y момeнт чaсy т = 0 щ>и-клaдaeться iмпyльсивнe нaвaнтaжeння F(x*, y*, т) = F(x*, y* )) (т), якe дае по ноpмaлi до внут-piшньоï повepxнi оболонки нa дiлянцi

l,l

H, H

y* e

-l,-

S

H

S

H

тa зaлeжить

вiд чaсy як одиничнa функщя Хeвiсaйдa. Оск1льки га-вaнтaжeння дiе симeтpично вiдносно осi O y*, тому можга зpобити pозpiз облaстi u по цiй оа тa вpaxyвa-

ти цeй pозpiз зa допомогою умови 5 Ux* | =0 = 0.

Розpaxyнки, зокpeмa фоpмyвaння мaтpиць жоpст-косп тa мaс, було пpовeдeно для тaкиx знaчeнь бeзpозм-ipниx вeличин:

*

к = 0,0H; y = ЗО; p = 4; dl = l -к = 0,9S.

Вeличини x* , y* , т, H* — змiнювaлись.

Спочaткy pозглянeмо ситyaцiю пpи H * = H. Рис. l iлюстpyе дeфоpмaцiю гpaницi контaктy оболонки тa нaпiвпpостоpy, пpичомy кpивa З - т = 0,5, ^мш H - т = l, ^мш l - т = 5, пункт^ом познaчeно сгатичний pозв'язок, a точкaми - почaтковe положeн-ня гpaницi контaкгy. Ha pra H тa З пpоiлюстpовaно œpe-мiщeння вiльноï повepxнi у aнaлогiчнi момeнти чaсy. Ha pœ. 4-6 пpоiлюстpовaнi нaпpyжeння y piзнi момeн-ти чaсy поpiвняно зi стaтичним pозв'язком.

Ha pис. 7, S пpоiлюстpовaно pозподiл пepeмiщeнь

Uу* нaпiвпpостоpy по осi Oy* ввд ^нищ контaкгy оболонки i нaпiвпpостоpy до вiльноï повepxнi в момeнти

чaсy, як i га pис l. Зокpeмa нa pra. 7 H * = 4, a ra pra.

S - H* = 6.

Рис. 1. Дeфоpмaцiя rpann^ конгaкгy оболонки тa na-пiвпpосгоpy в piзнi момeнти чaсy для нaвaнгaжeння, що зaлeжить вiд чaсy як одиничнa функщя Хeвiсaйдa

Рис. 2. Пepeмiщeння вшьно'1 повepxнi в piзнi момeнги чaсy для нaвaнгaжeння, що зaлeжигь вщ чaсy як одиничнa фyнкцiя Хeвiсaйдa

Рис. 3. Пepeмiщeння вшьно1 повepxнi в piзнi момeнги чaсy для нaвaнтaжeння, що зaлeжигь вiд чaсy як одиничнa фyнкцiя Хeвiсaйдa

l

Xtk G

Рис. 4. Розподш напружень ау*у* оболонки на гранщ

контакту з натвпростором за кутовою координатою в р1зт моменти часу для навантаження, що залежить вщ часу, як одинична функщя Хевюайда

Рис. 7. Розподш перемщень и у* натвпростору по ос

Оу* в р1зт моменти часу, для навантаження, що залежить вщ часу, як одинична функщя Хевюайда

Рис. 5. Розподш напружень а х*х* оболонки на гранщ

контакту з натвпростором за кутовою координатою в р1зт моменти часу, для навантаження, що залежить вщ часу, як одинична функщя Хевюайда

Рис. 6. Розподш напружень а х*у* оболонки на гранщ

контакту з натвпростором за кутовою координатою в р1зт моменти часу, для навантаження, що залежить вщ часу, як одинична функщя Хевюайда

Рис. 8. Розподш перемщень и у* натвпростору по ос

Оу* в р1зт моменти часу для навантаження, що залежить вщ часу, як одинична функщя Хевюайда

Висновки

Отримано розв'язок нестационарно! задач для циль ндрично! оболонки у пружному шерцшному натвпро-сторi з вiльною поверхнею. Для aнaлiзу динaмiчного напружено-деформованого стану ще! системи засто-совано метод сшнченних елемент1в. Для нaвaитaжения, яке залежить вщ часу як одинична функщя Хевюайда, отримано збiжиiсть перемiщень та напружень оболонки на границу контакту з натвпростором до ввдповвдно-го статичного розв'язку. Проaнaлiзовaно залежтсть ве-личини перемiщень вiльно! поверхш вiд глибини заля-гання оболонки.

Список лтератури

1. Львовский В. М. Установившиеся колебания цилиндрической оболочки в упругой среде под действием подвижной нагрузки / Львовский В. М., Онищенко В. И., Пожуев В. И. // Вопросы прочности и пластичности. -Днепропетровск, 1974 - С. 98-110.

2. Пожуев В. И. Действие подвижной нагрузки на цилиндрическую оболочку в упругой среде / Пожуев В. И. //

Строительная механика и расчет сооружений. - 1976. -№ 1. - С. 44-46.

3. Пожуев В. И. Реакция цилиндрической оболочки, находящейся в трансверсально-изотропной среде, на действие подвижной нагрузки / Пожуев В. И. // Прикладная механика. - 1980. - Т. 16. - № 11. - С. 28-35.

4. Горшков А. Г. Пластины и оболочки на инерционном основании при действии подвижных нагрузок // Горшков А. Г., Пожуев В. И. - М. : Изд-во МАИ, 1992. - 136 с.

5. Пожуев В. И. Нестационарная реакция цилиндрической оболочки в упругой среде на действие неосесим-метрической подвижной нагрузки / Пожуев В. И., Жи-битай Мохаммед. - Изв. ВУЗов. Строительство и архитектура. - 1991. - № 6. - С. 33-37.

6. Пожуев В. И. Нестационарные колебания трубопровода конечной длины, односторонне взаимодействующего с инерционной средой // Пожуев В. И., Жибитай Мохаммед. - Изв. ВУЗов. Строительство. - 1992. - № 4. -С. 48-50.

7. Пожуев А. В. Нестацюнарна невюесиметрична дефор-мащя цилшдрично! оболонки у пружному просторi тд дiею рухомих поверхневих навантажень / Пожуев А. В., Фасоляк А. В. - Новi матерiали i технологи в металургй та машинобудуванш. - 2015. - № 2. - С. 108-114.

8. Пожуев А. В. Нестацюнарна деформащя цилшдрично! оболонки у пружному просторi тд дiею навантажень, що розширюються / Пожуев А. В. Фасоляк А. В. //

Вюник Запорiзького нацюнального ушверситету. Фiзи-ко-математичн науки. - 2016. - № 1. - С. 200-213.

9. Алексеева Л. А. Математическое моделирование динамики тоннелей и трубопроводов мелкого заложения / Алексеева Л. А. Украинец В. Н. - Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. - 2011. -№ 4-5. - С. 1954-1956.

10. Задача о действии подвижной периодической нагрузки на многослойную тонкостенную оболочку в упругом полупространстве / [Украинец В. Н. Бейсембаев М. К., Гирнис С. Р., Тлеулесов А. К. ]. // Наука и техника Казахстана. - 2010 - № 4. - С. 97-104.

11. Новацкий В. Теория упругости / Новацкий В. - М. : Мир, 1975. - 872 с.

12. Образцов И. Ф. Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов / Образцов И. Ф., Савельев Л. М., Хазанов Х. С. - М. : Высшая школа, 1985. - 393 с.

13. Зинкевич О. Метод конечных элементов в технике / Зин-кевич О. - М. : Мир, 1975. - 543 с.

14. Бате К. Численные методы анализа и метод конечных элементов / Бате К., Вилсон Е. - М. : Стройиздат, 1982 -448 с.

15. Баладин М. Ю. Методы решения СЛАУ большой размерности / Баладин М. Ю. Шурина Э. П. - Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2000. - 70 с.

Одержано 10.03.2016

Пожуев В. И., Пожуев А.В., Фасоляк А.В. Нестационарная деформация цилиндрической оболочки в упругом полупространстве со свободной поверхностью

Рассматривается бесконечная цилиндрическая оболочка, находящаяся в трехмерном упругом инерциальном полупространстве со свободной поверхностью, причем ось оболочки параллельна поверхности полупространства. Изучается случай, когда к внутренней поверхности оболочки прикладываются уравновешенные импульсивные нормальные нагрузки. Изучается влияние нестационарной деформации оболочки на напряженно-деформированное состояние полупространства и на перемещения поверхности полупространства. Проведен анализ влияние глубины заложения оболочки от поверхности полупространства на напряженно-деформированное состояние такой системы.

Ключевые слова: цилиндрическая оболочка, упругое полупространство, свободная поверхность полупространства, динамическая нагрузка, метод конечных элементов.

Pozhuev V., Pozhuev A., Fasoliak A. Non-stationary deformation of the cylindrical shell in the elastic half-space with free surface

An infinite cylindrical shell, located in a three-dimensional elastic inertial half-space with a free surface, the shell axis is parallel to the surface of the half-space is considered. Case when to the inner surface of the shell applied normal balanced impulsive loads is studied. The influence of non-stationary shell deformation on the stress-strain state of half-space and moving of the half-space surface are studied. The influence of the depth of the shell location from the half-space surface on the stress-strain state of that system is analyzed.

Key words: cylindrical shell, elastic half-space, free surface of the half-space, dynamic loads, finite element method.