CC BY
17
УДК 539.312
Канд. фiз.-мат наук А. В. Пожуев1, А. В. Фасоляк2
1Запор1зька державна 1нженерна академ1я, 2Запор1зький нац1ональний техн1чний ун1верситет;
м. Запор1жжя
НЕСТАЦ1ОНАРНА НЕВ1СЕСИМЕТРИЧНА ДЕФОРМАЦ1Я ЦИЛ1НДРИЧНО1 ОБОЛОНКИ У ПРУЖНОМУ ПРОСТОР1 П1Д Д1СЮ РУХОМИХ ПОВЕРХНЕВИХ НАВАНТАЖЕНЬ
Розглядаеться несктченна цилiндрична оболонка, яка знаходиться у тривимiрному пружному iнерцiйному просторi. Вивчаеться випадок, коли до внутрiшньоi поверхнi оболонки прикладаються невiсесиметричнi врiвноваженi iмпульсивнi нормальш навантаження. Отримано вирази для нормальних перемiщень та напружень i прошюстровано графiчно 1'хрозподiл за кутовою координатою для ргзних моментiв часу.
Ключовi слова: цилiндрична оболонка, пружний простiр, динамiчне навантаження, невiсесиметрична задача, оболонка типу Тимошенко.
Вступ
Задачi про стацюнарну динамiчну поведшку не-сшнченно довгих цилiндричних оболонок, яш знахо-дяться в необмеженому шерцшному пружному сере-довищi шд дieю рухомих навантажень ранше розгляда-лись в роботах [1-3], а також в монографи [4]. У роботах [5, 6] розглянуп подабт задачi у нестацiонарнiй поста-новцi, але розгляд обмежено випадками, коли для оболонки використовуються класичнi рiвняння, а для опи-су реакцп середовища використовуеться наближена модель типу Власова-Пастернака, яка не дозволяе знай-ти напруження i перемiщення у пружному просторi та обмежуе дослiдження нестацюнарно1 поведiнки обо-лонки.
Постановка задачi
Розглядаеться невiсесиметрична нестащонарна деформацiя нескiнченно довго! цилшдрично1 оболонки, яка знаходиться у лшшно-пружному, одно-рiдному та iзотропному просторi пiд дiею навантажень, що рухаються по внутрiшнiй поверхнi оболонки вздовж ои оболонки. Нехай оболонка та прослр вiднесенi до нерухомо! цилшдрично1 систе-
ми координат {г, 6, х}. Внутрiшнiй радiус оболонки
Ь , а зовшшнш - а . У момент часу t < 0 оболонка та проспр знаходяться в сташ спокою та вiльнi вiд напружень. По^м у момент часу t = 0 в област
х = 0, г = Ь, 61 <6 < 62, -62 <6 < -61 (61 <6 2, 6l, 62 е (0, п)) прикладаеться шпулъсив-
не нормальне навантаження i у подальшi моменти часу t > 0 вщбуваеться розширення навантаженох дшян-
ки з поспйною швидк1стю c, але так, що сумарний нор-мальний тиск у Bci моменти часу залишаеться р1вним F0. Також розглядаеться випадок, коли в момент часу t = 0 в обласп
|x| < d, r = b, 91 <9 < 92, -92 <9 < -9j
(9! <9 2, 9l, 92 e (0, п)) прикладаеться МПуЛЬЛЖЖ нормальне навантаження F0, яке постшно дае на данш д1лянц1.
У данш робот рух оболонки будемо описувати за допомогою р1внянь, як1 враховують поперечний зсув та шерцш обертання (оболонка типу Тимошенко). Контакт м1ж простором та оболонкою вважаемо ковзним, а зв'язок - двостороншм. Середовище, що оточуе обо-лонку, описуеться динам1чними р1вняннями теори пружносп.
У векторнш форм1 динам1чш р1вняння теори пруж-носп мають вигляд [9]:
(2 + 2|2)rad div(u)- |2rot rot(u) = p2 . (l)
Тут u = (ux, u9, ur) - вектор перемщень; |2 - па-раметри Ламе для простору, р2 - щшьшсть простору.
Рух оболонки описуеться р1вняннями, як1 враховують поперечний зсув та шерцш обертання (оболонка типу Тимошенко), та в загальному випадку мають виг-ляд [l0]:
© А. В. Пожуев, А. В. Фасоляк, 2015 108
д2u 1 -V, д2u 1 + у, д2v
дx2
+
2a д02
+
+ V, дw
2a дхде a дx
1 -V, д2u 1 -V, Р1 ' ^2 Чх
20 дГ
20^
1 + V! д2u 1 -V! д^ 1 д2v
_1___I__1___I___
2a дхде
+
2 дх2 a2 де
+
2
2
+
+
1
(
a
1 , (1 -У:) 2
2 ^+(1-^) Х
"г ле
де
2a
Р
1 -V; д\ _ 1 - V1 1 20, д2
20^
Че
v1 ди + 1 дv к 21 - VI а дх а2 де 2
^ д V 1 д V ,,
дх2 а2 де
2
,
дХх , 1 дХе
,
дх а де
w 1 - v1 д w
+ —т + Р1 а2 1 201 дt
^ (-1+ч,)
201к
-6к2 1 "V аw + 1+ V1 д2Хе + д2Хх
к дх 2а дхде дх
- 6к
2
к2 х 2а
-X х +
1 -Vl д2Хх -р 1+^1
2
де2
Р1
201
д2Хх = 3(1 -Vl) д
-=--— Чх
да2
- 6к2
ак2
1 - v1 дw 1 + v1 д2хх , 1 - v1 д2х
,
,
ак2 де 2а дхде 2 дх2
- 6к
1 -V
1 Хе ,
1 д2Хе
к2 ' а2 де2
д2Хе = 3(1-^)
Р1
1 + У1
201
дt2
01к
-Че ,
(2)
де и, V, w - осьове, кшьцеве та нормальне пере-мiщення точок серединно! поверхнi оболонки ввдповвд-но; X х, Хе - кути повороту нормалi до серединно! поверхнi в осьовому i кiльцевому напрямках; Чг, Чх, Че - нормальна, осьова та шльцева реакцiя з боку простору на границ контакту мiж простором та оболонкою; / - нормальне навантаження; 01, р1, V1, к, а - модуль зсуву, густина, коефщент Пуассона, товщина та зовнiшнiй радiус оболонки; /2 _ 2
к _ "3 - числовий коефщент.
При вiдсутностi масових сил вводимо потенщальш функцп ф, ф, х за формулами [9]
дф д ф 1 дф 1 д ф
их _--,--- +----+ ——-
дх дг г дг г де
и _ дф д2ф , 1 дХ
иг — I ,
дг дхдг г де
ие _
1 дф 1 д 2ф дХ г де г дхде дг
(3)
Поставляемо залежносп (3) в рiвняння (1). Маемо:
^д2
1 д 1 д2 д2 , , ,
дг2 г дг г2 де2
^д2
1 д 1 д2 , , ,
дг2 г дг г2 де2
^д2
1 д 1 д2 , , ,
дх2 д2
дх2 д2
1д
с2 дt2
2
ф_ 0;
1д
2
с 2 дt ,
2 Л
ф_ 0;
1д
дг2 г дг г2 де2 дх
с2 _
_ 202 (1-V2 ) (1 - 2v 2)
с2 дt у
а
Х _ 0, (4)
р
(5)
Граничш умови мають вигляд:
Чг (х, t, е)_-Огг (а, х, t, е),
Чх (х, t, е)_ Че(х, t, е)_ о,
w(x, t, е) _ иг (а, х, t, е),
ст„ (а, х, t, е) _ а^ (а, х, t, е) _ 0.
(6)
Напруження, необхщт для задоволення граничних умов, виражаються через перемiщення згiдно з формулою:
2■G2V2
(
+
ди дх
202 (1 -V 2 ) диг
1 - 2v,
х + 1 дие , и.
г де г
л
+
1 - 2^
дг
ст„ _ а.
аге _ °2
'ди„ ди, Л
■ + ■
у дг дх у
1 диг д
--- + —
Л. \\
г де дг
г
у ;;
(7)
2
2
Р
2
е
агг _
е
Початковi умови приймаються нульовими, тобто
при t = 0 шуканi величини та !х першi похiднi за часом вважаемо рiвними нулю.
Розв'язання задачi у просторi зображень
Для розв'язання задачi будемо використовувати пе-ретворення Лапласа за часовою змшною:
да
А (р) = 1 А(t)е "Л (8)
та перетворення Фур'е за осьовою координатою:
1 да
Ар (*) = 1 /(х)е-Лх. (9)
л/2п -да
Перейдемо до безрозмiрних величин:
{Ф, х} = -1 {ф,х}; М = -1 |ф};
а а
{ и6 ,и ,У }= 1 {, {, иг, и, V, м>}
а
{, Сгх, Сг6} = ^ {, Сгх, СТг6};
р = А; {,Чх,^6}= -1 {,Чх,46}
{х*, г*} =1 {х, г}; т = ^Ч; к = -; у =
а а и.
* Р1 л 1
р = —; Л1 =1 -к; с = Л=.
Р2 Л/Р1
(10)
Застосовуемо перетворення Лапласа за змшною т та перетворення Фур'е за змшною х* до рiвнянь (4) та
розкладаемо зображення потенцiальних функцiй у ряд Фур'е за формулами:
{р,^р }= ,п,^ }(п6),
п = 0
да
А,р = ^ХЬРпП 81п(п6). (11)
п = 1
Рiвняння (4) мають вигляд:
( Л2
2
Л
Л 1 Л п 2 2 2
ТТ + —~г - "Г "П.Р - * у лг* г* лг г* J
Ф ьр,П = 0;
г Л2 1 Л п2
+
2 2 2
. 2 ' . 2 П.Р - * лг* г лг г
V = 0-
тЬр, п
V
2
'Л 1 л п 2 2 2
—2 +----г -П2Р - *
у Лг* г* Лг г* J
Аьр,п = а (12)
2 -X 1 - 2У] . 2 =У_
де пг * *
Р 2(1 -У1) Р
Загальний розв'язок рiвнянь (12) з урахуванням умов затухания на несшнченносп мае вигляд:
Ф ьр ,п {г^ *, р )=стр) кп (тг); ^р ,п ^ ^ Р ) = с2п(s, Р) кп (тг ); Хьр,п (, Р ) = Сзп (*, Р) Кп (г* ), (13)
7 2 2 2 I 2 2 2 к-''
* + п.Р , т* = у* + п,Р , а Кп - мо-
дифтоват функци Бесселя.
Застосовуемо перетворення Лапласа за змшною т
та перетворення Фур'е за змшною х* до компонент перемщень i напружень та розкладаемо !х у ряд Фур'е за формулами:
{Кр , ихЬр }= Т&ЬР ,п ,иьр ,п }с08(п6),
п=0
{ггЬр , СгхЬр }= 2 {ггЬр,п, СгхЬр,п }с08(п6),
п=0
{р, Сгеьр }= 2 { 6ьр ,п, Сгеьр ,п }п(п6). (14)
п=1
Рiвностi (7) та (3) мають наступний вигляд:
ихЬр, п = Ьр, п +
(Л2 1 Л п2 л
Лг г Лг г
V,
и
ЛФ,рп ^1р,п + п х
■ - 1з--1--А,
Лг*
Лг* г*
и =--Ф +--V —
^ 6Ьр, п ^Ьр ,п 1Ьр, п
г* г*
ЛАГ
Лг
(15)
СггЬр ,п —
2у,
™ихЬр, п +— и6Ьр ,п +
г
и,„
+ ■
(1 - 2v 2 )у
2(1 -У2) лигьр п (1 - 2у 2 )у Лг*
С гхЬр ,п — '
С г6Ьр ,п = —
У
ли.
хЬр , п
Лг
+ «и.
гЬр , п
п ТТ Л --игьрп + -гг лг*
и
Х\
6Ьр, п
. (16)
v
JJ
Розкладаемо зображення шуканих величин у ряд Фур'е таким чином:
1
У
1
{ьр }_ £ЦьР, п ,^.р, я }И,
п _0
УЬР _Ё УьРпП 81п(пЭ),
п _1
^гЬР , ЧхЬР }_ Ё ^ЧгЬР,п, ЧхЬР,п }cOS(ne),
п _0
{х ьр , р.р }_ё{х
хЬР, п, рР, п }с°^пе)
Чеьр, Хеьр }
еьр, п, Хеьр, п
}п(пе).
(17)
У прост^ зображень за Фур'е-Лапласом система (2) мае вигляд:
Враховуючи граничш умови (19), у системi (18) з четвертого та п'ятого рiвнянь знаходимо невiдомi функцп Ххьр,п > Хеьр,п, а попм з першого та другого рiвнянь знаходимо функцп иР п ,УьР п вiдповiдно:
ХхЬР,п ( Р)_АТ ЖЬР,п ( Р);
А
Хеьр ,п (5 Р )_^А2 ЖЬР ,п ( Р);
иьр ,п ( Р)_"А± ЖЬР ,п ( Р ) + "А5 Хеьр ,п ( Р);
Уьр,п ( Р) _ "А6ЖЬР,п ( Р) + "А7Хеьр,п ( Р), (20)
-(^ (п 2 + Р 2 ) + , 2 Уьрп + Ш ^ Уьрп + ■ л? 1 - V1 _
+ У1^sWLР,п _--1 ЧхЬР,п
2к
-^,и -(^(52 + Р2) + п2Хрп -
1 + Уl
(1 + ^^п + Хеьрп _
1
2к2 ЧеьР
'^ЬР,п + пУьР,п -к((хЬР,п + пХеЬР,п) +
+ Г^ (2 + п2 )2 + Р2 )+ )п _
1 -V
2к
(гЬР,п РЬР,п)
^7^1 -VI иг ■ 1 +Vl ( 2
-6к 15—^Шрп + «п—Хеьр-(5 + к2
1 ^ I 12 к2 2 2
+^г (^+п + Р
_ 3(1
Л
Х хьР,п _
2 Ч хьР,п
1 - V
6к2 п—^ Ш,„п - ¡ж
1 + v1 I 2
—Т"1 Х хьр ,п -(п +
1 - v1 I 12 к2 2 2
+1Г +5 + Р
Хе
_-3(1 -v1) -
_ 2 Ч еьр ,п ■ (18)
де А _
Г
2 1 ^ 5 +-1
Г12к2 2 2ЛЛ
• + п + Р
уу
X
2 1 ^ Г 12к2
п +
22 + 5 + Р
ЛЛ
УУ
-I ,5п
1Г.
А1 _ -6к^ 1-У1 (п2 + к
1 - V
Г 12к2
2 2 + 5 + Р
- 3/5 (кп)
1 -V2
УУ
А2 _ 6к2п+
1 - У1 Г12к2 2 2 1 ■ + п + р
■ 3п(к5 )2
1 -V 2
уу
_Г ^ + Р' )+ п2 ]
( + Р')
2 I I 1 + V1 I + 5 1-1 5п- 1 1 •
А4 _Ц^(52 + Р2)+ п2]-
- 15п
21 + ^ Г! , (1 -Уl)2 л
Граничнi умови (6) мають вигляд:
ЧгьР,п ( Р) _ аггьР,п (1, Р), Чхьр,п (s, Р)_ Чеьр,п (s, Р)_ 0, ШьРп (S, Р)_ иАРпП (1, Р),
Огхьр,п _ Огеьр,п (1,5, Р) _ 0.
(19)
А _ -г5п
1 + vl (1 -v1 )к2.
А _ -п| 1 +
2 2
,2 Л
1
2
1 -V,
(п2 + Р2)
2 Л 2 1 + У1 + 5 1 + 5 nУ1-11
12
п _0
п_1
X
2
2
к
2
2
2
к
п
1 .
+
2
2
2
к
к
2
К
к
X
2
к
2
2
X
х
2
л7 =■
-(п2 + p2)+ s2
(1 -vt))2 Г 1-V 2 ( 2
Поставляемо вирази (20) в трете piBHHHHfl системи (18), а також, враховуючи граничш умови (19), отри-муемо систему рiвнянь вiдносно нев^омих
C1n (s, p), С2п (s, p), C3n (s, p) . Розв'язавши отрима-
ну систему методом Гауса, поставляемо отриманi роз-в'язки у спiввiдношення (15) та (16) i отримуемо вирази для перемщень та напружень у просторi зображень.
Результата чисельного аналiзу
Розглянемо випадок, коли в початковий момент часу
t = 0 в областi х = 0, r = b,
п <е < 2п
3
3
2 п < е < п •
—— < е < - — прикладаеться iмпульсивне нормаль-
не навантаження F0 i у подальший момент часу t > 0 ввдбуваетъся розширення навантажено! дiлянки внутр-шньо! поверхнi цилiндричноl оболонки з постшною швидюстю c.
Функцiя навантаження мае вигляд:
f (х, t, е)= 3F0Н (ct - х>
4nctb
Не-з |х
х н^-е + ^н — е —33 |н ^^, (21)
де Н (х) - одинична функцiя Хевкайда.
Трансформанта навантаження (21) мае вигляд:
FnLF (s, p) =
_ F0 Г . Г 2пп | . I пп
3—01 sin|-| - sin
a2 l l 3
3
2л/2п2 d1 sc п
Гп Г p М -- arctg\ — 2 l sc
(22)
* c де c = —. c
Пiсля оберненого перетворення Фур'е отримаемо вирази для трансформант Лапласа:
CT„L (r., х., p, е)а2
F
4n3d1 c
z
n=0
J«^ ,n s,p ) ( - arctg\ (х. Цsin(:2пПsin(-nn | | cos(nе). (24)
Розглянемо тепер випадок, коли в початковий моп 2п
мент часу t = 0 в обласп х < d, r = b, — < е < —,
3
3
2п
Т
<е <--
3
прикладаеться iмпульсивне нормаль-
не навантаження F0 , яке постшно д1е на данiй дiлянцi. Функщя навантаження мае вигляд:
f (х, t, е) = f0h (( - d) (() н (е - п
н(-'е+Н Г-е-f^f)). (25)
Трансформанта навантаження (23) мае вигляд:
Flf (s, p)= ^ х
п2 sp
. Г 2пп | . Г пп
xisinl — I-^
(26)
7* d де d = —. a
Шсля оберненого перетворення Фур'е отримаемо вирази для трансформант Лапласа:
UrL (r,, x., P, ^
F
п2 p
xZ
sin((*s)uJrLF,n ( s, p)
cos1
(х. ])s][ sinl
2пп| . Г пп
-| - sin| —
3 ) l 3
cos
(пе), (27)
urL (r., х., p, ofia2
F
4п3d1 c
z
п=0
J UrLF^ s,p ) )п- arJjL 0 s l 2 l sc
cos
(ух.))
2пп | . Г пп
ад — I- anj-
cos
(nе), (23)
CTrrL (/"„, х., p, 9)
F
п2 p
xZ
J sin(*s)rrLF,п (, s, p)
J ; >
x cos^. ))s]! sinl "Л")- 81п[~3" I I со§(п9) (28)
X
1
*
со
s
п=0
3
1
п=0
Обчислення невласних iнтегралiв у виразах (23), (24), (27), (28) здшснювалось наближено з використанням метода Файлона [7], обернення перетворення Лапласа здшснювалось чисельно за допомогою змщених по-лiномiв Лежандра [8].
Розрахунки проведено для таких значень безрозмiр-них параметрiв: v1 _v2 _ 0,3, у_ 30, р* _ 4,
1
к _ 0,02, Л _ 1 - к _ 0,98, Л _ с* _ 0,4, х* _ 0,
г, _ 1. Величини е, т - змiнювались.
Рис. 1 iлюструе змшу нормальних перемiщень, для навантажень (21), за кутовою координатою на межi контакту оболонки i пружного простору (г, _ 1, х, _ 0),
для рiзних значень безрозмiрного часу, при цьому для криво! 1 - т _ 1, для 2 - т_ 3, 3 - т_ 10. На рис. 2 приведет аналопчт результата для нормальних напру-жень, але для криво! 1 - т _ 0,1.
На рис. 3 та рис. 4 для навантаження (25) показано зм^ нормальних перемщень та нормальних напру-жень за кутовою координатою на границ контакту оболонки i пружного простору (г* _ 1, х* _ 0) у рiзнi мо-менти безрозмiрного часу, при цьому для криво! 1 - т_ 1, для 2 - т_ 3, 3 - т _ 10.
Висновки
Отримано розв'язок невюесиметрично! динамiч-но! задачi для цилiндрично! оболонки у пружному простора При цьому вирази для перемщень i напружень у оболонцi i довiльнiй точцi простору подано у виглядi подвiйних невласних iнтегралiв Фур'е та Лапласа вiд рядiв Фур'е. Для отримання результатiв запропонова-но ефективний чисельний алгоритм, який грунту еть-ся на на методi Файлона та многочлешв Лежандра.
Рис. 2. Розподш нормальних напружень оболонки за кутовою координатою в р1зш моменти часу, для навантаження, що розбтаеться
- 1
------- 2
- 3
Рис. 3. Розподш нормальних перемщень оболонки за кутовою координатою в р1зш моменти часу, для навантаження, що залежить вщ часу, як одинична функщя Хевюайда
Рис. 1. Розподш нормальних перемщень оболонки за кутовою координатою в р1зш моменти часу, для навантаження, що розбтаеться
Рис. 4. Розподш нормальних напружень оболонки за кутовою координатою в р1зш моменти часу, для навантаження, що залежить вщ часу, як одинична функщя Хевюайда
Прошюстровано rрафiчно розподiл за кутовою координатою в рiзнi моменти часу нормальних перемщень та напружень оболонки на меж1 контакту з пружним простором. Показано, що для навантаження, що розбь гаеться, нормальнi перемщення та напруження зi збiльшениям часу збпаються до нуля. Огримаиi результата i запропонованi алгоритми можуть використову-ватись при динамiчному розрахунку пiдземних споруд, зокрема тунелiв метро та шдземних трубопроводiв.
Список лтератури
1. Львовский В. М. Установившиеся колебания цилиндрической оболочки в упругой среде под действием подвижной нагрузки / Львовский В. М., Онищенко В. И., Пожуев В. И. - Вопросы прочности и пластичности. -Днепропетровск. 1974 - С. 98-110.
2. Пожуев В. И. Действие подвижной нагрузки на цилиндрическую оболочку в упругой среде / Пожуев В. И. // Строительная механика и расчет сооружений. - 1976. -№ 1. - С. 44-46.
3. Пожуев В. И. Реакция цилиндрической оболочки, находящейся в трансверсально-изотропной среде, на действие подвижной нагрузки / Пожуев В. И. // Прикладная механика. - 1980 - т. 16 -№ 11. - С. 28-35.
4. Горшков А. Г. Пластины и оболочки на инерционном основании при действии подвижных нагрузок / Горшков А. Г, Пожуев В.И. - М. : Изд-во МАИ, 1992. - 136 с.
5. Пожуев В. И. Нестационарная реакция цилиндрической оболочки в упругой среде на действие неосесим-метрической подвижной нагрузки / Пожуев В. И., Жи-битай Мохаммед. - Изв. ВУЗов. Строительство и архитектура. - 1991. - № 6 .- С. 33-37.
6. Пожуев В. И. Нестационарные колебания трубопровода конечной длины, односторонне взаимодействующего с инерционной средой / Пожуев В. И., Жибитай Мохаммед. - Изв. ВУЗов. Строительство. - 1992. - № 4. -С. 48-50.
7. Крылов В. И. Справочная книга по численному интегрированию / Крылов В. И., Шульгина Л. Т. - М. : Наука, 1966. - 370 с.
8. Крылов В. И. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа / Крылов В. И., Скобля Н. С. - М. : Наука, 1974. - 223 с.
9. Новацкий В. Теория упругости / Новацкий В. - М. : Мир, 1975. - 872 с.
10. Вольмир А. С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек / Вольмир А. С. - М. : Наука, 1972. - 432 с.
Одержано 25.11.2015
Пожуев А.В., Фасоляк А.В. Нестационарная неосесимметричная деформация цилиндрической оболочки в упругом пространстве под действием подвижных поверхностных нагрузок
Рассматривается бесконечная цилиндрическая оболочка, находящаяся в трехмерном упругом инерциальном пространстве. Изучается случай, когда к внутренней поверхности оболочки прикладываются неосесимметрические нормальные нагрузки. Получено выражения для нормальных перемещений и напряжений, а также проиллюстрировано графически их распределение по угловой координате для различных моментов времени.
Ключевые слова: цилиндрическая оболочка, упругое пространство, динамическая нагрузка, неосесимметричная задача, оболочка типа Тимошенко.
Pozhuev A., Fasoliak А. Non-stationary not axisymmetrical deformation of a cylindrical shell in an elastic space under the action of moving surface loads
Infinite cylindrical shell, embded in three-dimensional inertial elastic space is considered. Case, when internal surface of the shell is subjected to non axi-symmetric balanced impulsive normal loads is studied. Expressions for normal displacements and stresses are received and this distribution on angle axis for different values of time is illustrated graphically.
Key words: cylindrical shell, elastic space, dynamic loads, non axi-symmetrical problem, Timoshenko's shell.
