Научная статья на тему 'Рух пластини на пружному просторовому шарі'

Рух пластини на пружному просторовому шарі Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
88
8
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — В І. Пожуєв, М А. Безверха

У роботі розглянуто рух пластини на пружній основі, до якої прикладено розподілене нестаціонарне навантаження. Використано інтегральні перетворення з чисельним їх оберненням із застосуванням основної теореми про лишки підінтегральної функції.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Plate movement on elastic base under distributed non-stationary load is discussed. Integral transformations at their numerical inversion using base theorem of underintegral function excess were used.

Текст научной работы на тему «Рух пластини на пружному просторовому шарі»

УДК 534.1:534.232

Д-р фiз.-мат наук В. I. Пожуев, М. А. Безверха Державна ¡нженерна академ1я, м. Запор1жжя

РУХ ПЛАСТИНИ НА ПРУЖНОМУ ПРОСТОРОВОМУ ШАР1

У po6omi розглянуто рух пластини на пружнш ocHoei, до яко'1 прикладено розподтене нестацiонарне навантаження. Використано ттегральт перетворення з чисельним Их оберненням i3 застосуванням основно'1 теореми про лишки пiдiнтегральноi функцП.

Задачi взаемодп навантажених пластин з пружним шаром виникають при розрахунках основ та фунда-менпв рiзного обладнання пiд дieю нестацюнарних навантажень [1, 2]. Ця робота присвячена розробцi чисельних i аналггичних мегодiв обернення штеграль-них перетворень, яш застосовуються для розрахунку напружень i перемiщень, що виникають у просторо-вому шарi при взаемодп його з пластиною, на яку ддагь нестацiонарнi розподiленi навантаження. Новизною е застосування теореми Кошi [3] у сполученш з методом Ньютона для пошуку комплексних корешв трансцендентного рiвняння. Це необхщно для аналггачно-го обернення перетворення Лапласа при виршенш задач взаемодп пружних тш, що описанi рiзними моделями. Новим також е вираз у просторi зображень напружень та перемщень через функцп, що задають граничнi умови на поверхнях шару. Такий пiдхiд ско-рочуе обсяг обчислень при оберненнi штегральних перетворень та спрощуе написання умов сполучення мiж пластиною та шаром, особливо при розв'язанш про-сторових задач. Створено програму для розв'язання задач такого класу. Загальна схема алгоритму та ос-новнi спiввiдношення поданi у робот [4].

1. Постановка задачi

Розглядаеться рух пластини на пружнш основ^ до яко! раптово прикладене розподiлене нестацiонарне навантаження (рис. 1).

Рiвняння руху пластини мають вигляд

DV 4W = phWtt + g (xb x2) +

(1)

де D =-

Eph

12(1 -v p)

твердеть пластини;

Ep; v p - пружш характеристики матерiалу плас-тини;

h - товщина пластини; Р p - щiльнiсть матерiалу пластини; Р - щiльнiсть матерiалу пружного шару; g(Xi, Х2 ) - розподiлене навантаження;

(0)

g33 - Pеакцiя пружно1 основи.

На площинi контакту справедливi умови сполучення:

w = и 30); g 33) =-t33).

(2)

2. Застосування iнтегральних перетворень Лапласаi Фур'е

Застосуемо до рiвняння руху пластини iнтегральнi перетворення Лапласа i Фур'е. Одержимо умови сполучення в просторi зображень

и f\Kiq 4 + K 2 у 2 p2)=f-t3°\ 2ц

(3)

Тут символи трансформант для спрощення опуще-

но.

Ki = — =

D h3(1 + и) Ep

2Н- 12(1 -up) E

K 2 =

Р ph 2p

4 ^

P

(4)

(5)

Рис. 1. Схема навантаження пластини на пружному шар1

3. Розв'язання ОДУ вщносно зображення Представлення зображень у формi

© В. I. Пожуев, М. А. Безверха 2006 р.

ISSN 1607-6885 Нов1 матер1али i технологи в металургп та машинобудувант №1, 2006

73

°33 _ (Р2У2 + 2?2)2

2 р 2 У 2 «1

- и.

2? 2 «2

(0) ск(К1(Н - хз)) + и(1) ск(К1Хз)

зк(К1Н)

«1Н)

22 Р У

и

(0) с^(«2(Н - х3)) гг(1) сА(«2х3) --и -

*к( «2 Н )

8Ь(К2 Н)

(7)

дае можливiсть розв язати задачу про сполучення пружного просторового шару з лежачо! на нiй не-ск1нченною пластиною при наявносп умови ковзання в площинi контакту.

Трансформанта навантаження виражена через

трансформанту перемщення и30) i навпаки за формулами:

г (0)

и 30) _ 1333 д

$ _Д(ч, р)и30).

(8)

(9)

У даному випадку маемо

д/ , (У2Р2 + 2?2)2 - 4д/(Р2 + Ч2)(У2Р2 + Ч2)

Д(Ч, Р) _-^-.(12)

у р

4. Обернення перетворення Лапласа аналiтично за допомогою теорп лишк1в

Для обернення перетворення Лапласа знаходимо полюси шдштегрально! функцп. Для обчислення не-власних штегралiв, що виникають при оберненнi тег-ральних перетворень, використано основну теорему про лишки шдштегрально! функцп [3].

Полюси шдштегрально! функцп знаходилися чи-сельно як щш зворотно! функцп комплексно! змшно!. Для складних комплексних рiвнянь застосування гге-рацiйних методiв ускладнено через рiзке збiльшення числа можливих напрямк1в, за якими можна наближа-тися до кореня. Крiм того, часто бувае важко встано-вити чи юнують корнi взагалi та вказати !х можливе мiсце розташування [3].

Для побудови методiв пошуку комплексних коренiв, що не вимагають iтерацiй при визначеннi !х значень з бажаною точнiстю [5], використана теорема Кошi про логарифмiчнi лишки [6]. Згiдно з теоремою, шльшсть коренiв усерединi областi комплексно! площини Б для аналiтично! функцп /(2), знаходиться як штеграл ввд логарифмiчно! похiдно!/2) по границ областi Б зам-кнутiй кривш С

(0) _ Я _1

и 3

2Ц К1Ч4 + К2у2р2 +Д(ч, р)

(10)

N _ — <С й2

2ж1 С /

(13)

Розглянемо випадок раптового додавання рiвномi-рно розподшеного навантаження iнтенсивностi Я 0 до поверхш пластини на прямокутнику 2а х 2Ь . Трансформанта навантаження мае вигляд:

* _ Я0 вт^а^ш^Ь)

Я 3 _—-

4п

?1?2

(11)

У випадку, коли тдстава пружна напiвплощина, д(Ч, р) знаходимо за формулою:

Разом з тим, точш значення коренiв за допомогою (30) обчислюються складно. Тому, спочатку за допомогою (13) знаходимо область з одним iзольованим коренем, а попм уточнюемо його положення чисель-ним методом Ньютона, розширеним на комплексну область [4].

5. Обернення перетворення Фур'е Обернення перетворення Фур'е виконаемо чисель-но методом Файлона.

+

х

Рис. 2. Перемщення пластини i пружного шару при г _ 2

Рис. 3. Перемiщення пластини i пружного шару при t = 4

при цьому v = v = 0,3; —Р = 2; = 2;

Р

6. Побудова графшв. Аналiз результатiв

На рис. 2, 3 показаш перемщення пластини та пе-ремiщення точок шару на глибиш Н _ 5Н для двох моментiв часу г _ 2 i г _ 4,

Ер Е

а _ 5к; Ь _ 10й .

З рисунков видно, що у випадку передачi наванта-ження на шар через пластину ввдсутт розриви по-хiдних вiд перемщень.

Висновки

1. Застосовано алгоритм для розв'язання нестаць онарних задач динамжи пластини, що контактуе з пружним шаром, на основi iнтегральних перетворень з чисельним !хшм оберненням на основi теорп вира-хувань i чисельних методiв, розроблених у робот [4].

2. Вирiшено нестацiонарну просторову задачу про рух пластини на пружному шарi, що дозволило описа-

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

ти явища, як1 вiдбуваються у процеа !хнього дефор-

мування.

Список л^ератури

1. Горшков А. Г., Пожуев В. И. Стационарные задачи динамики многослойных конструкций - М.: Машиностроение, 1992. - 223 с.

2. Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. - К.: Наукова думка, 1981. - 283 с.

3. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. - М.: Наука, 1987. - 688 с.

4. Пожуев В. I., Безверха М. А. Розповсюдження збурень у пружному просторовому шар1 // Нов1 матер1али 1 технологи в металургй 1 машинобудуванш. - 2005. - №2. -С. 94-99.

5. Новацкий В. Теория упругости. - М.: Мир, 1975. -872 с.

6. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. - М.: Наука, 1981. - С. 483-484.

Одержано 27.02. 2006р.

В работе рассмотрено движение пластины на упругом основании, к которой приложена нестационарная нагрузка. Использованы интегральные преобразования с численным их обращением с применением основной теоремы о вычетах подынтегральной функции.

Plate movement on elastic base under distributed non-stationary load is discussed. Integral transformations at their numerical inversion using base theorem of underintegral function excess were used.

ISSN 1607-6885 Новi матерiали i технологи в металургй та машинобудувант №1, 2006

75

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.