CC BY
13
5. ШФОРМАЦ1ИИ1 ТЕХНОЛОГИ
ГАЛУЗ1
УДК 539.3 Проф. М.М. Стадник, д-р техн. наук - НЛТУ Украти, м. Львiв
НАПРУЖЕНО-ДЕФОРМ1ВНИЙ СТАН ПЛАСТИНИ З ТР1ЩИНОЮ ПРИ ДВОВ1СНОМУ РОЗТЯГУВАНН1
Отримано теоретичш залежностi, якi враховують вплив двовюного наванта-ження пластини з трщиною на К1Н Ki i 5-розкриття. Це дае змогу обчислювати характеристики трiщиностiйкостi Кс i 5с за вiдомими граничними зусиллями. Показано, що Кс i 5с не залежать вiд типу навантаження.
Prof. M.M. Stadnyk-NUFWTof Ukraine, L'viv Stress-deformable state of plate with crack under two-axes strain
The theoretical dependence taking into account influence of two-axes load of plate with crack on K1 and 5-open, are obtained it permit to compute characteristics Kc and 5с using known boundary efforts. It has shown that Kc and 5с do not depend on type of load.
Нехай нескшчена пластина з прямолшшною трщиною довжини 2 a розтягуеться на безмежност р1вном1рно-розподшеними взаемно-перпендику-лярними напруженнями p i q. Вважатимемо, що напруження p направлен перпендикулярно до лши трщини. Треба знайти критичш значення p* i q*, за яких настае гранично^вноважний стан пластини.
Для розв'язку поставлено! задачi вважатимемо спочатку, що пластина ослаблена елштичним отвором з осями 2a i 2с, (a >> c). У цен^ отвору по-мютимо початок системи декартових координат xOy, а вюь елiпса 2 a напра-вимо вздовж осi Ox. У випадку однорщно! пластини (вщсутшсть отвору) напружено-деформований стан на лши y =±cy] 1 -x2/a2 (в умовах плоско! деформацi!) набувае вигляду
(u0 )* = px (n (1 - u)-ji)! G; \_u°y ]* = pc (1 -j-j) )1 - x2/a 2/g ; (<)* = 2p; <]* = 2cqxj (a2^1 - x2/a 2), n= qjp, |x| < a, (1)
де: ux, uy - компонента перемщень; <jyy,<yx - вщповщно нормальнi i дотич-нi напруження; символ "0" позначае напруження i змщення в однорiднiй пластинi; (A)* = A+ + A~, [A]* = A+- A~, де A+ i A~ - значення величини A
вщповщно на лши y =± c yj 1 - x2/a2 = ± h (x); G, j - вщповщно модуль зсу-
ву та коефщент Пуассона матерiалу пластини.
Використовуючи суперпозищю напружено-деформованого стану
<УУ = <0У + <УУ ' <yx = <ox + <yx , Ux = Uo + ux , uy = uo + Uy (2)
на основi результату [3] i подань (1), (2) одержимо штегро-диференщальне рiв-няння
а \ ] а [<< ]
201 Ж + (1 - 2ц) { = -4рп(1 -ц), X < а, (3)
-а I - Х -а I - Х
вщносно стрибкiв перемiщень \иута напружень \<Сухберегiв трщини -а < х < а, у = ±0, на яких дшть напруження, знесеш з поверхонь елштично-
го отвору у = -х /а .Тут символом позначено збурений напруже-но-деформований стан, який викликаний наявнiстю елштичного отвору у пластинi. Оскiльки у данш задачi береги трiщини i елiптичного отвору вiльнi вiд напружень, тобто
[сух ]=< + [с^ух ], = 0, (4)
то враховуючи спiввiдношення (1) i (4), матимемо, що
\ух ] = -\_Cyx = -2сqx / (а -х2 / а2). (5)
У шдсумку рiвняння (3) мютить тiльки одну невiдому функцш \иу. Розв'язавши це рiвняння, одержуемо подання
\йу ] =( 2 ра (1 - и)- qс (1 - 2ц))-у/1 - х2/ а2 / О, |х| < а, (6)
яке виражае стрибок перемщень берегiв у = ± 0 трщини, на яких дшть напруження, знесеш з лшй у = ±Н (х).
На основi результату [1] i подань (5), (6) отримаемо формулу
<ууу = 2ра / с - q + р, х = ±а (7)
для обчислення величини концентрацй напружень у пластиш бiля елiптичного отвору.
Повернемось знову до випадку, коли замють елштичного отвору у пластиш розмщена прямолшшна трiщина довжиною 2а, тобто вважаемо, що шввюь елшса с = 0. Через 2с0 позначимо нормальне розкриття берепв трiщини в точцi х = 0. Очевидно, що для щеально! трщини (вiдрiзок прямо! лшй довжиною 2а) 2с0 = 0 за умови, що пластина i и береги вiльнi вiд наван-таження. Якщо пластина пiддана дй зовнiшнiх зусиль, то загалом 2с0 ф 0. Введемо позначення
с0 = с1 + с2, (8)
де 2с1 - початкове (до навантаження пластини) значення розкриття трщини, яке для щеально! трщини дорiвнюе нулю, тобто с1 = 0, однак в експеримен-тальних дослiдженнях с1 ф 0, оскшьки с1 залежить вiд технологй утворення трщини у дослщному зразку; 2с2 - величина нормальних перемiщень берепв трщини при х = 0, яка обчислюеться (чи вимiрюеться експериментально) за умови, що на пластину дшть тшьки зусилля р, а напруження q = 0.
Якщо деформування пластини з iдеальною трщиною вщбуваеться в межах пружно! деформаци при ди тiльки зусиль p, то згiдно з поданням (6), вона набувае форми отвору, який обмежений елшсом
x2 / a2 + y1! = 1, C2 = p (1 -ß) a / G. (9)
При виникненш пружно-пластично! деформаци у вершинi трiщини величину c2 можна також обчислити зпдно з [2]:
С2 = bi<jQa ln1 + Sin в , ß = np / (2co), (10)
1 - sin ß
де: b = 1/ (nd2G) - для узагальненого плоского напруженого стану, а для плоско! деформаци - b = d1 /nG, d1 = 1 - ß; d2 = 1 + ß; c0 - напруження у зо-ш передруйнування, яке залежно вiд властивостей матерiалу пластини можна вважати рiвним границi течiння матерiалу ст або границ мiцностi cb.
Для знаходження коефiцiента iнтенсивностi напружень (К1Н) К скорис-таемося залежнiстю [3], яку для нашого випадку запишемо у такому виглядi:
Ki = lim y[npöyy/2, (11)
Р^Ро
де: р - радаус кривини у вершинi порожнини, р0 = cl/ a; Ccyy = 2pa / c0 - q - збу-
рене значення концентраций напружень, яке обчислюеться зпдно з поданнями (2), (7). Таким чином, одержимо формулу
Ki = p4rnä (1 - С0П/(2a)), (12)
яка дае змогу теоретично врахувати вплив зусиль q на Ki. Треба сказати, що експериментальш дослщження [4, 5] з визначення характеристики трщино-стшкосп Kc, хоча i опосередковано, але також вказують на залежнiсть Ki вiд навантаження q.
Для визначення граничних значень p* i q*, за яких наступае локальне руйнування пластини у вершинах трщини (гранична рiвновага пластини) при двовiсному навантаженш пластини, скористаемося критерiем Iрвiна [6]
Ki|p=p*= Kc , (13)
q=q*
де Kc - силова характеристика трщиностшкост матерiалу пластини. 1з спiввiдношень (12), (13) отримуемо подання
p* - c0*q* / (2a ) = Kc /4nä, (14)
з якого встановлюемо граничнi значення зусиль p* i q*. Тут c0* = c1 + c2*, а величину c2* можна теоретично визначити на основi виразу (9) чи (10) за умови, що p = p*. Оскшьки рiвняння (14) зв'язуе двi невiдомi залежнi вели-чини p* i q*, то однш iз них надаеться довiльного (у фiзично оправданих межах) значення, а шша визначаеться згiдно з виразом (14).
Якщо пластина розтягуеться одновюним навантаженням p1, перпен-дикулярним до лши трiщини, то iз виразу (14) випливае, що
p1* = Kc / ■sfna . (15)
1з виразiв (14) i (15) випливае сшввщношення
p* - co*q* / (2a) = p1*, (16)
яке виражае дааграму змiни граничних значень p* i q* для двовiсного наванта-ження пластини, якщо вiдомi величини p1* i c0* за одновюного навантаження p.
Якщо локальне руйнування вiдбуваеться в межах пружно! деформацп (крихке руйнування), то для щеально! трiщини (c1 = 0) сшввщношення (16) (з врахуванням (9)) переходить у рiвняння
p* = p1* / (1 - dq* / (2G)), (17)
яке у координатах p*, q* виражае одну iз вiток гiперболи за фiзично допустимого диапазону змiни граничних значень зусиль, тобто 0 < p* < <0, -<0 < q* < <0,
0 < p1* < <0.
1з рiвностi (17) бачимо, що коли q* > 0, то p* > p*1, тобто зi збшьшен-ням q* величина p* також зростае. Таким чином, якщо за двовюного навантаження пластини трщиностшюсть Kc визначати за формулою (15), в яку за-мiсть p1* шдставити p*, то Kc iз зростанням q* також буде збшьшуватися, що i вiдзначалось в експериментальних роботах [4, 5]. Якщо ж для визначен-ня Kc користуватись отриманим тут поданням (14), то Kc, як це випливае iз сшввщношень (15), (16), не залежить вiд типу навантаження, тобто е сталою величиною - характеристикою матерiалу.
У випадку крихкого руйнування пластини, коли граничш значення p*
i q* визначаються згiдно з силовим критерiем (14) в рамках лшшно! механiки руйнування, iз рiвностi (17) випливае, що навантаження q* мало впливае на Kc, оскшьки d1q* / (2G) << 1.
Вщзначимо, що у багатьох конструкцшних матерiалах в околi верши-ни трщини при !х навантаженнi виникають пружно-пластичш деформацi!. За тако! умови для визначення гранично^вноважного стану пластини з трщи-ною застосовують не силовий критерш (13), а деформацшний Sc - критерiй [2]. Для цього необхщно мати сшввщношення, яке дае змогу обчислити роз-криття 8 = [uy ]* берепв трiщини у припущеннi, що напруження <jyy в !! вершит на вiдрiзку a < x < l, y = 0 дорiвнюе величинi <0. Користуючись методом, запропонованим у робо^ [4], на основi спiввiдношення (6) матимемо
8 = [uy ]* = < [(x - a )Г( l, x, a)-(x + a )Г( l, x, - a)], | x| ^ l, ^18)
l = a sec (n( p - qc0d3/(2d1a)) / (2<0)), d3 = 1 - 2j,
l2 -xa-J(l2 - x2)(l2 - a2) Г(/, x, a ) = ln .
l2 - xa2 -x2)(l2 - a2)
Якщо ц = 0, то iз подань (18) отримуемо вiдомий [2] результат за од-новiсного розтягу пластини.
Для визначення граничних значень р* i ц*, зпдно з 8С - критерiем та поданням (18) отримаемо сшввщношення
4^001п (Бееп( р аъ! (2йа)) / (2оо )) = 8с, (19)
де 8С - деформацiйна характеристика трщиностшкост матерiалу пластини, с2* визначаеться зпдно з рiвнiстю (10) при р = р*.
За умови одновюного розтягу пластини зусиллями р1 iз виразу (19) одер-
жуемо
4аЬ1<г01п (Беепр1
/ (200 )) = 8. (20)
Прирiвнявши правi частини рiвностей (19), (20), знайдемо залежшсть
р* - ц*с0*й3 / (2d1a) = р1*, (21)
яка виражае дiаграму для визначення р* i ц* через р1* - критичне зусилля р1.
1з рiвностей (19), (20), (21) випливае, що 8С не залежить вiд типу на-вантаження, хоча при експериментальному [4, 5] встановленi величини 8С вiдзначали як 11 спадання, так i 11 зростання зi збшьшенням ц*.
На вiдмiну вщ крихкого руйнування, де згiдно з (9) с2* / а е величиною малою, у випадку в'язкого руйнування при р* близькому до от, величина С2* / а стае згiдно з (10) досить великою. Це, зпдно з (21), i показуе ютотний вплив ц* на р*, тобто на граничний стан пластини.
Гранично^вноважний стан тш з трiщинами встановлюють i згiдно з енергетичним критерiем 0С [3]
Ос = сЮ8С , (22)
який, як це випливае зi сказаного вище, також не залежить вщ типу наванта-ження, що i вiдзначено в робот [5].
Якщо у сшввщношенш (21) замiнити р1* на от, то можна припустити, що графiчно у координатах р, ц воно зображуе лiнiю течшня у вершинi ще-ально! трщини при двовiсному навантаженнi
р - дс^3 / (2d1a) = от, |ц| < от. (23)
Тут величина с2 не визначаеться теоретично, оскшьки при р ^ от, зпдно з поданням (10), вона неконтрольовано зростае, тобто процес руйнування на-бувае нестшкого характеру. Тому с2 потрiбно визначати експериментально.
Лггература
1. Стадник М.М. Об одном методе приближенного решения трехмерной упругой задачи для тела с тонким включением// Физ.-хим. механика материалов. - 1988, № 1. - С. 53-65.
2. Панасюк В.В. Предельное равновесие хрупких тел с трещинами. - К.: Наук. думка, 1968. - 246 с.
3. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. - М.: Наука, 1974. - 640 с.
4. Лебедев А.А., Музыка Н.Р. Несущая способность пластины с трещиной при двухосном растяжении// Пробл. прочности. - 2001, № 2. - С. 20-27.
5. ¡ваницький Я.Л., Штаюра С.Т., Кост1в Р.Б. Оцшка трiщиностiйкостi матер1ашв при двовюному навантаженш// Мехашка руйнування матер1ашв i мiцнiсть конструкцш - Льв1в: Ф1з. мех. ш-т 1м. Г.В. Карпенка НАН Укра!ни, 2004. - С. 697-702.
6. Irwin G.R. Analysis of stresses and strains near the end of a crack traversing a plate. -J. Appl. Mech., 1957, 24, № 3, P. 361-364.
УДК 517.9 Проф. Б.1. СокЫ, д-р техн. наук;
acnip. Т. €. Данилевич - НУ "Львiвська полтехшка "
НЕСТАЦ1ОНАРН1 КОЛИВАННЯ У СИСТЕМ1 ВАЛ-ВАНТАЖ (ПОГЛИНАЧ КОЛИВАНЬ) ТА ВПЛИВ СИЛИ НА АФХ
Дослщжуеться вплив збурювально! сили на нелшшш поперечш коливання вала з пасивним поглиначем коливань. Розглядаються нерезонансний випадок, для якого отримано залежносп АФХ вщ геометричних i ф1зико-мехашчних параметр1в.
Ключов1 слова: нелшшш поперечш коливання, пасивний поглинач, ампштуд-но-частотна характеристика, р1вняння руху.
Prof. B.I. Sokil;post-graduate T.Ye. Danylevych -NU "L'vivs'kaPolitekhnika"
Unstationary vibrations in systems billow-load (absorber of vibrations),
and influencing of force on AFC
Influencing of revolting is explored forces on the nonlinear transversal vibrations of billow with the passive absorber of vibrations. Examined unresonance case for which dependences of AFC are collected from geometrical and physical-mechanical parameters.
Keywords: nonlinear transversal vibrations, passive absorber, amplitude frequency characteristic, equalization of motion.
Актуальшсть. Важливою техшчною задачею теорп коливань е врiв-новажування елеменлв машин, як обертаються з постшною чи змшною швидкостями. У процес !х експлуатацй у вузлах, виникають змшш збуджу-ючi сили, якi спричиняють порушення геометричних розмiрiв, коливання елеменлв машин, зростання динамiчних навантажень на шдшипники тощо. Врiвноважування стае необхщним для зменшення вказаних небажаних явищ i тим самим створення умов для роботи машин з найменшими вiбрацiями (коливаннями). Для зменшення ампштуди коливань, а значить зниження ди-намiчних навантажень пружних систем, використовують рiзноманiтнi дем-пфери, муфти, амортизатори, поглиначi коливань, тощо. У робот^ для зниження динамiчних зусиль у поперечнш площинi коливань вертикального вала зумовлених неврiвноваженими частинами i перiодичними збуреннями, запропоновано встановлення пасивного поглинача коливань (додаткова ма-са), який частину енергн неврiвноважено! системи поглинае.
Постановка задачi i методика дослiдження. Розрахункова модель вала iз пасивним поглиначем коливань представлена на рис. 1. Вона охоплюе пружний вал, який здшснюе поперечш коливання i пасивний поглинач коливань, який знаходиться у верхнш частит вала i моделюеться зосередженою масою, яка розмщена мiж кшцями пружин однаково! жорсткостi.
Динамiчнi процеси розглядуваного типу механiчних систем вивчались [1], де отримано диференцiальнi рiвняння руху вказано! системи вал-погли-
