CC BY
8
УДК 539.3 Проф. М.М. Стадный, д-р техн. наук - НЛТУ Украти, м. Львiв
МЩН1СТЬ Т1ЛА З КРУГОВОЮ ТР1ЩИНОЮ ЗА ТРИВ1СНОГО
НАВАНТАЖЕННЯ
Отримано аналiтичну залежнiсть, яка враховуе вплив тривiсностi навантаження тiла з круговою трщиною на 8 -розкриття вершини трiщини. Така залежнiсть дае змогу обчислювати характеристику трiщиностiйкостi 8k за граничними зусиллями. Показано, що 8k не залежить вiд типу навантаження
Prof. M.M. Stadnyk - NUFWT of Ukraine, Lviv
Strenght of body with a circular crack under trianial extending
The theoretical dependences considering the influence of three-dimensional loadiny a body with a circular crack on 8 -opening are obtained. It has allowed to calculate 8к -ha-racteristic on known boundary efforts. It is shown that the stress-toughness 8к does not depend from of this type of loading.
Розглянемо тривим1рне тшо з плоскою круговою трщиною рад1уса a . Систему декартових координат Oxyz розмютимо так, щоб li початок знахо-дився в центр1 трщини, а трщина лежала в площиш z = 0. На безмежност до тша прикладеш р1вном1рно-розподшеш навантаження p i q, з яких p направлено паралельно до осi Oz, а q - паралельно до осей Ox i Oy. Користу-ючись КРТ-критерiем треба встановити граничш значення p* i q*, за яких ть ло приходить у гранично^вноважний стан.
Розглянемо спочатку бшьш загальну задачу теори пружностi. Для цього вважатимемо, що в тш замiсть трiщини мютиться сплющена сферопо-дiбна порожнина, обмежена поверхнею (x2 + y2) / a2 + z2 / c2 = 1, c << a. Така
задача, зпдно з [1], зводиться до розв'язання штегро-диференщального рiв-няння
дГГ [Uz ]* d^dn = 4ndi p + d3cqn2 (3 + j) Syj(x-tf +(y-n)2 G 2d2aG '
вiдносно стрибка змiщень [Uz]* берегiв z = ±0 кругово! трiщини радiуса a, на яких дiе навантаження, знесене з поверхонь z = ±h = ±c^ 1 -(x2 + y2) / a2 сферо-
подiбноl порожнини. Тут А = Э2 / dx2 + d2 / dy2; G - модуль зсуву матерiалу ть ла; d1 = 1 - j, d2 = 1 + j, d3 = 1 -2j; j - коефiцiент Пуассона; S - кругова область x2 + y2 < a2; uz = Uz + u°, де u° - змiщення поверхнi z = ±h в однородному тiлi, Uz - збурене змiщення, викликане наявнiстю в тш дефекта. Розв'язавши рiвняння (1), матимемо
[Uz]* =(4pd\/(nG)-cd3q(3 + j)/(2d2aG))^/a2-x2-y2 , (2)
де r =^x2 + y2 , r < a.
Якщо у спiввiдношеннi (2) покласти p = pi i q = 0, то отримимо вщо-мий результат [2] для випадку одновюного розтягу тiла зусиллями p1
[йг ]=( 4 М/ (пв ))у1 а2 - г2 . (3) Замшивши в рiвностi (3) р1 на вираз
р1 = р - сцЬ / а > 0; Ь = п(3 + й3/ (8^<^2) (4)
отримуемо подання (2). Бачимо, що стрибок змщень [йг для складного на-
вантаження р, ц (2) отримуеться iз випадку одновюного розтягу р1(3) замь ною (4).
1з подання (2) випливае, що для трщини с = 0 [й г не залежить вiд зу-силь ц . Проте це мае мюце за умови, що р = 0. Якщо р > 0 трщина розкри-ваеться, тобто с > 0 i [йг ] стае залежним вiд величини ц .
Вважаючи тепер, що в тш розмiщена кругова трiщина радiуса а, вве-демо позначення
С0 = С1 + С2, (5)
де 2с1 - величина початкового (до навантаження) розкриття трщини при г = 0, яке для "щеальноГ трщини дорiвнюе нулю, однак, у дослщних зразках с1 ф 0, оскшьки залежить вiд технологй 11 утворення; 2с2 - значення стрибка змщень барегiв трiщини при г = 0, яке обчислюеться (або вимiрюеться) тшь-ки вiд зусиль р.
Якщо розкриття 2с2 "щеальноГ трiщини (с1 = 0) вщбуваеться в межах
пружно! деформацй, то, згiдно з поданням (2), вона переходить у сфероподiб-ну порожнину
г2 / а2 + г2 / с2 = 1, с2 = с2 / а = 2рй1 / (вп). (6)
Якщо припустити, що у вершит трщини виникае зона передруйну-вання зпдно з 5 -моделлю, то с2 можна обчислити [2] так:
с2 = с2/а = 2й\ит п/2-аго8т -(р/оТ)2^/(пв), (7)
де оТ - границя течшня матерiалу при простому розтязь Вiдзначимо, що коли розкриття поверхонь трщини проходить в межах пружно-пластичних де-формацш, то кругова трщина за дй зусиль р утворюе порожнину, форма яко! вiдмiнна вiд сфероподiбноl. В цьому розумшт подальше розв'язання за-дачi здiйснюеться наближено.
Для розв'язання поставлено! задачi необхiдно знайти стрибок змщень [йг] поверхонь кругово! трiщини радiуса Я для крайово! задачi
~ ( 0) I р - ^ 0 <г < а - Ь (8)
-Огг (г,0) = ^ Оп =От - ОДЬ . (8)
[р - с0цЬ -ОТ1, а < г < Я,
На безмежност зовнiшнi навантаження вщсутш. Тут Я - а - довжина зони пластичностц с0 = (с1 + с2) / а; Огг - збурене напруження.
Користуючись розв'язком [2] задачi (8) для одновiсного розтягу тша зусиллями р1 з врахуванням виразу (4), матимемо
242
Збiрник науково-техшчних праць
пО г~
4^
[Щ]*=л/Я
2 _ г 2
р - е0дЬ - ап
у/Я2 - а2
Я
0 < г < а.
+ ат1 | \1а2 - г2 8т2а (9)
4^1
2_ г 2
р - еодЬ - ап
Уя 2 - а2
Я
. а аггат— Я
. а
атс8т— г
+ ат1 | N1а2 - г2 8т2 а dа,(10)
а
агс8т— Я
а < г < Я.
З метою встановлення величини Я випишемо також формулу 2 г/ — ^Т Я
а?
2 I Я.
(г,0) = —п--[(р -еф) Я-Vг2 -Я1аг^-Г=
пу г - Я I у г2 -
Я 2
-ап
VЯ 2 - а2 -V г2 - Я:
аге^
У Я2 -а2
7
г2 - Я2
(11)
+ Р
для обчислення нормальних напружень при г > Я .
Забезпечуючи, зпдно з 5к -моделлю, обмеженiсть напружень а22 (г,0)
поза трiщиною, зокрема i при г ^ Я + 0, iз виразу (11) отримимо рiвняння
(р - еоцЬ)Я -от/Я2 - а2 = 0, (12)
розв'язавши яке, матимемо подання
Я = а /^1 -(р - ефд ) / а^ (13)
для визначення параметра Я .
1з спiввiдношень (11), (12) виходить, що
Нш а (г, 0) = ат , (14)
г^Я+0 4 7
тобто напруження на контурi трiщини не тшьки обмеженi, але i неперервнi. Сшввщношення (9) i (10) на основi рiвностi (12) подамо у виглядi
[й2]* = —1 ат1 [ ^а2 - г2 8т2 а dа, г < Я
* пО
(15)
. а атс8т— Я
де р = п /2, якщо 0 < г < а; р = агс8т а / г, якщо а < г < Я.
1з подання (15) випливае, що
d [щ ] 1- I 2 Ь
Нш
г ^я dг
0 i Нш [й2 ] = 0,
(16)
г ^Я
тобто, як i при одновiсному розтязi [2], е плавне змикання берепв трiщини при г = Я.
Для встановлення критичного навантаження р*, ц* знайдемо, виходя-чи з подань (13) i (15), стрибок змiщень [ й2 ]* при г = а
8 = [й* ]*| г=а = ^аа 1 -(р - сфц )2/(а2)) / (пв). (17)
Користуючись 8к -критерiем iз (17) матимемо
1 1 -(р*- с0*Ьд*)2/(а )2 ^/(пв) = 8к, (18)
де: с0* = С / а + 2^1ат п / 2 - агс8т - (р* / ат ) ) / (пв), а* = ат -С0*ц*Ь.
С
4й?1аа*1
V
/
Тут 8 - характеристика трщиностшкость
Дiйсний розв'язок рiвняння (18) юнуе тiльки за а* < а, тобто
р* -С0*Ьц* = аТ\^2а* / ау/ 1 - а* / (2а), (19)
де а* = 8кпв / (4^1аТ*1).
Сшввщношення (19) слугуе для визначення критичних значень р* i ц*. Оскiльки маемо одне рiвняння, то однiй iз величин, зокрема ц* надаеться певного, в допустимих межах, значення, а р* визначаеться iз рiвностi (19).
За одновюного розтягу тiла навантаженням р = р1, ц = 0 iз виразу (18) отримуемо подання [2]
4ё1аат 1 -(р1* / ат )2 1 / (пв) = 8к. (20)
V
Оскiльки рiвнiсть (18) виконуеться для будь-яких величин р* i ц*, в допустимих межах 1х змiни, в тому чист i за р* = р1*, ц* = 0, то виходячи iз (18), (20) отримимо сшввщношення
С
*
ат1
1 1 - (р* - С0*Ьц*)2 /(а*)2 '1 = ат 1 1 -(р1* / а)2, (21)
яке можна розглядати, як дтграму, що зв язуе р* i ц* за тривiсного наванта-ження з р1* для одновюного навантаження при застосуваннi деформацiйного критерш руйнування.
Аналiз рiвностей (18), (20), (21) показуе, що трщиностшюсть 8к не залежить вiд типу навантаження, хоча експериментальш результати [3, 4] вказують на залежнiсть 8к. При цьому в [4] виявлено спадання 8к з ростом ц, а в [3] вказуеться як на спадання так i на зростання 8к залежно вщ вщнос-но! величини ц* / р*. Це можна пояснити тим, що автори [3, 4] при визначенш 8 користувались формулою, яка не враховуе впливу навантаження ц на роз-криття 8. Крiм цього бачимо, що права частина рiвностi (19) з ростом а зменшуеться, а це означае, що р* i ц*, як визначаються з (19) е руйнуючими.
Якщо а < а*, то при р - С0цЬ = ат1 iз (13) маемо, що Я ^да. В результат iз подання (17) виходить, що
8 = 4й?1аа*1 / (пв) < 4й?1а*а*1 / пв = 8к . (22)
Зi спiввiдношення (22) випливае, що за а < а* навггь при р - с0цЬ = ат1 руйнування не виникае. Таким чином р*-С0*ц*Ь не залежить вщ наявностi в
244 Збiрник науково-технiчних праць
тш кругово! трiщини, тобто тiло поводиться як однорщне. Накiнець матиме-мо подання
p* - c0*q*b =
on, a < I
_ ,--(23)
ат1^2а* / а М - а* / (2а), а > а*,
яке при ц = 0 отримано в робот [2]. 1з подання (23) бачимо, що коли а < а*, то навантаження ц не впливае на граничний стан тша.
Лггература
1. Стадник М.М. Об одном методе приближенного решения трехмерной упругой задачи для тела с тонким включением// Физ.-хим. механика материалов. - 1988, № 1. - С. 53-65.
2. Панасюк В.В. Предельное равновесие хрупких тел с трещинами. - К.: Наук. думка, 1968. - 246 с.
3. Лебедев А.А., Музыка Н.Р. Несущая способность пластины с трещиной при двухосном растяжении// Пробл. прочности. - 2001, № 2. - С. 20-27.
4. ¡ваницький Я.Л., Штаюра С.Т., Кослв Р.Б. Ощнка трщиностшкосп матер1ал1в при двовюному навантаженш// Мехашка руйнування матер1ашв 1 мщнють конструкцш -Льв1в: Ф1з. мех. ш-т 1м. Г.В. Карпенка НАН УкраТни, 2004. - С. 697-702.
УДК 536.532 Доц. В. О. Фединець, канд. техн. наук -
НУ "Львiвська полiтехнiка"
АНАЛ1З МЕТОД1В ВИМ1РЮВАННЯ ШВИДКОЗМ1ННИХ ТЕМПЕРАТУР ГАЗОВИХ ПОТОК1В
Проанал1зовано методи вим1рювання швидкозмшних температур газових пото-юв шляхом !х прямого розрахунку.
Ключов1 слова: газовий пот1к, вим1рювання, теплообмш, температура, приймач температури.
Assoc.prof. V.O. Fedynets-NU "L'vivs'kaPolitechnica"
The analysis of methods of measurement quickly varying temperatures
of gas streams
It is lead (is carried out) the analysis of methods of measurement quickly varying temperatures of gas streams by their direct calculation.
Keywords: a gas stream, measurement, heat exchange, temperature, the receiver of temperature.
Вступ. Унаслщок певного значения теплоемност чутливого елемента приймача температури його температура завжди буде вщставати вщ температури газового потоку, якщо вона змшилася. При вимiрюваннi змшно! в час температури потоку приймач також не встигае слщкувати за змшою температури, оскшьки для змши температури його чутливого елемента потрiбен де-який час. Спотворення показiв приймача через нестащонарност теплових процеЫв як в самому приймач^ так i мiж приймачем i навколишнiм середови-щем зумовлеш тепловою iнерцiею приймача. За рахунок теплово! шерцй ви-никае додаткова рiзниця мiж температурою чутливого елемента приймача i температурою газового потоку, яку називають динамiчною похибкою вимь рювання температури газового потоку.
