Пружна та гранична рівновага пластинчастого елементу конструкції з криволінійним отвором Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.3 Доц. О.1. Думанський, канд. фiз.-мат. наук;

асист. Б.О. Бекас - УкрДЛТУ

ПРУЖНА ТА ГРАНИЧНА Р1ВНОВАГА ПЛАСТИНЧАСТОГО ЕЛЕМЕНТУ КОНСТРУКЦИ З КРИВОЛ1Н1ЙНИМ ОТВОРОМ

Дослщжено пружно-рiвноважний стан пластинчастого елементу, який знахо-диться тд дieю рiзноманiтних силових факторiв, послабленого криволшшним отво-ром. Отриманi формули комплексних потенцiалiв, за якими визначена концентращя та iнтенсивнiсть напружень.

Doc. O.I. Dumanskij; assist. В.О. Bekas- USUFWT

Elastic and limiting balance of the lamellar element of the design

with the curvilinear aperture

The offered operation is dedicated to research of tight - equilibrium state of a flap-type unit, loosened curvilinear hole, which one is under an operation of the different power factors. The formulas of complex potentials are obtained, from which one it is possible to define density and intensity of efforts.

Актуальшсть дослщжень

Часто, з практичних потреб, необхщно порушувати суцшьшсть плас-тинчастих елемеш!в тонкостшних конструкцш вир1зами, надр1зами, шдлина-ми тощо. Наприклад, з метою полегшення конструкци, утворення проход1в для шших деталей, кабел1в i т.д. Взагаш, внаслщок експлуатаци конструкци можуть утворюватись рiзноl форми дефекти i часто, в бiльшостi випадюв, вони можуть мати трiщиноподiбний вигляд, тобто вигляд гострокiнцевих де-фектiв (розкрито! трiщини). У таких випадках, досить мала за розмiрами трь щина може за певних умов, спонтанно розвиваючись призвести до руйнуван-ня конструкци.

Анал1з вщомих досл1джень i публ1кац1й, яким присвячена

означена стаття

У фундаментальних наукових роботах та монографiях М.1. Мусхелш-вiлi, Г.М. Савiна, В.В. Панасюка, О. С. Космодамiанського, А. А. Камiнського, М.П. Саврука, Г.П. Черепанова та шших представлений широкий спектр дослщжень пружного та гранично^вноважного стану пластинчастих та оболон-кових елемеилв, шдданих ди рiзноманiтних силових або температурних фак-торiв, тобто, необхiднiсть та доцшьшсть цього напрямку дослiджень в меха-нiцi суцiльного деформiвного середовища не викликае сумнiву. У бшьшост iз цих задач розглядаеться пружно-деформiвний стан пластинчастих або обо-лонкових елеменпв конструкцiй з простою геометричною конф^ураци кри-волiнiйних отворiв, трщин, надрiзiв та iн. Але часто у проектуванш кон-струкцiй потрiбнi отвори складшшо! конф^ураци, утворюються трщини рiз-ного напрямку, !х рiзноманiтнi напрямки розгалужень тощо. Дослiдження, проведет у працях [1-4], присвячеш гранично^вноважному стану пластинчастих елементiв, послаблених трщинами у виглядi математичних розрiзiв (вiддаль мiж берегами трiщини дорiвнюе нулю). Широкий набiр задач та методика !х розв'язання наведено у монографи [5], стосовно пружно! та гранично! рiвноваги ашзотропних пластинок з отворами та трщинами.

У цш роботi наведено дослiдження пружного та гранично^вноваж-ного стану пластинчастого елемента конструкци при д11 певних силових фак-торiв, послабленого криволшшним отвором iз заокругленими (дослщжуеться концентращя напружень) або гострокiнцевими вершинами - розкрита трщи-на (розглядаеться штенсившсть розподiлу напружень). Дослiдження мають бшьш загальний характер, порiвняно iз проведеними шшими авторами, ос-кiльки розглядаеться концентращя розподшу напружень вздовж гладкого криволшшного контуру та знайдено штенсившсть напружень у вершит гос-трокшцевого отвору - розкрито! трiщини.

Осмовмий матер1ал досл1джеммя з обгрумтуваммям отримамих наукових результат1в

Розглядаеться пружний iзотропний пластинчатий елемент конструк-цИ, який послаблений криволшшним отвором, контур якого описуеться такими параметричними рiвняннями:

х(0) = А ооб 0 ^(е)= А Бт 0

1 +

т(1 - г)

1-

1 - 2г еов20 + г2 у

т(1 + г) л

1 - 2г еов20 + г

2

(1)

де: 0 <0< 2п, е = Ь / а, 0 <е< 1:

т

(^М; А = §11 - г + (1 + г)];

а = х(о) - вщдаль вiд центру отвору до найбшьш вщдалено! точки отвору; Ь -радiус вписаного кола в отвiр; г - параметр, який обчислюеться за такою формулою:

/ а(1 - 2е) + е(2 - е) - 2^ г0/ а(1 - г0/ а) -е2)

(2 -е)2 - г0/ а(5 + 4е)

i приймае значення (г| < 1), г0 - радiус заокруглення вершин отвору. Якщо

8=0.5 i г0/а=0,5, то параметричш рiвняння (1) опишуть криволiнiйний контур з паралельними берегами (рис. 1); при 8=0,2 i г0/а=0,5 маемо криволшшний от-вiр з симетричними берегами (рис. 2).

у

у

Рис. 1. КриволтШний контур отвору

з паралельними берегами

Рис. 2. КриволтШний контур отвору з симетричними берегами

Зокрема, при г0=0 i 0<8<1 маемо криволшшний отвiр (трiщиноподiб-ний) з двома гострокшцевими вершинами iз певною вiддаллю d мiж берегами трiщини, тобто розкриту трщину (рис. 3).

Вiднесемо цей елемент до прямокутно! системи декартових координат хОу так, що початок координат зб^аеться з центром отвору, площина хОу -iз серединною поверхнею пластини, а вiсь Ох проходить через одну iз його

г

0

г

о

х

вершин. Пластинчастий елемент шдданий дД! у нескшченно вiддалених його точках розтягу або стиску зовшшшми зусиллями р i д, якi дiють у взаемно перпендикулярних напрямках, причому так, що зусилля р напрямленi пiд ку-том а до осi Ox або зсувним зусиллям т. На контурi отвору дiють рiвномiрно розподшений тиск до його берегiв штенсивност р1 або дотичнi зусилля Т. Потрiбно визначити концентрацiю напружень, що виникае навколо отвору, якщо його границя е гладкою лiнiею або розподш iнтенсивностi напружень при гострокшцевому контур1 отвору.

Рис. 3. КриволШйний контур отвору (трiщиноподiбний) з двома гострокшцевими вершинами

Зауважимо, що при t=0 рiвняння (1) опишуть контур елштичного отвору, а при т=0 - круговий отвiр.

Дослщимо напружено-деформiвний стан пластинчастого елементу, послабленого криволшшним отвором, який описуеться параметричними рiв-няннями (1). Для розв'язання поставлено! задачi скористаемося методом М.1. Мусхелiшвiлi [6] з використанням конформно перетворюючо! функцн

2 = ю(^) = А

(2)

У

С-1

яка перетворюе область пластичного елементу з криволшшним контуром, описаним рiвнянням (1) на зовтштсть кругового отвору > 1, тобто, розв'язання задачi зводиться до знаходження двох регулярних у площиш > 1 функцш ф(^) i як знаходимо iз контурно! умови [6]:

фМ + ==ф'(°) + = / М, аеу. (3)

ю (а)

Залежно вiд заданого типу навантаження, надаемо функщям ф(^) i у(^) такий вигляд:

X + УУ

ф(0 = Гю(£) - —---1п[) - ю(С о)]+ Фо(0,

2п(1 + х)

= (Г' + /т)ю(С) + Х2(Х1-гУ))1п[ео(С) - ю (Со)]+

2п(1 + х) (4)

+

Мо + ю(^о) (X + УУ)

1 + У о(СХ

ю(0 -ю(С о)

2п 2п(1 + х)

/(а) = - р1ю(аХ

де: X, У - компоненти зосереджено! сили Р i пара сил з моментом Мо, прикладе-них у точцi Гi Г - постiйнi, як виражаються через напруження в несюнчен-но вiддалених точках наступними формулами: Г=1/4(р+д), Г= -1/2(р - д)е'ъв; т - iнтенсивнiсть дотичних напружень на нескшченост^ р1 - штенсившсть

рiвномiрно розподiленого навантаження на контурi отвору, ф(£) I щ(С) - ре-гулярнi в областi функци, включаючи нескiнченно вiддалену точку. З контурно! умови (3) визначаемо комплексы потенщали залежно вiд д11 певного силового фактору.

Оскшьки, розподiл напружень вздовж границ отвору виражаеться зпдно з формулою [7]

ф')

а0 = 4Яе

V)

(5)

то обмежимось записом виразу знайденого комплексного потенщалу ф(^), конкретизуючи його вигляд, при ди рiзноманiтних силових факторiв.

1. При ди рiвномiрно розподшених зусиль iнтенсивностi р i д пiд кута а до горизонтально! ос отвору в нескiнченно вщдалених точках елементу

(1+ П0)2 - г - С1)+ 2(1 -Л0 У!а

^ - С^3^- СзС

, (6)

де:

С,=

т^2^; С2 = 1 т(1 - г2)Г(1 - г2) - тг(1 + г2)!

(1 - г2)2 - 2тг(1+г2)' 2" к

С3 = кт2 (1 - г2+ г2); к = (1 + г 2)(1 + 3г2)т2-((1 - г2)2 - тг(1 + г2)), п0 = д / р.

2. Пластинчастий елемент знаходиться пiд дiею зсувних зусиль штен-сивностi т:

ф(С) = Ат

/ 7. \

' 1 + С2^3 -Сз^Л

V

с

С2 - г

(7)

У

Пластинчастий елемент знаходиться тд дiею рiвномiрного тиску ш-тенсивност р1 i дотичних (зсувних) зусиль штенсивност Т на береги контуру отвору:

ф(0:

р1 Ат

; ф(С):

ТАт1

(8)

Якщо у формулi (6) прийняти п0 = 1 або а = п /2, п0 = 0, або а = 0, П0 = 0, то одержимо вирази комплексних потенцiалiв при усесторонньому i одностороннiх дiях розтягуючи зусиль, вiдповiдно впоперек або вздовж горизонтально! ос отвору.

Напружемо-деформ1вмий стам пластимчастого елемемту

Зпдно з формулою (5), обчислимо концентращю напружень вздовж контуру отвору при ди:

а) розтягу зусиллями р { д тд кутом а до горизонтально! ос отвору

„ = р а1а2 + Ь1Ь2

а0 =р 2 7Г~ а2 + Ь2

(9)

де:

a1 =(1 + n0 )[(cos20-1)2 - sin 20 - 2(1 -n0 )[(cos20-1)2 - sin2 20 cos2(a-0) + 4(1 -n0 )x x sin 2(a - 0) sin 20(cos 20 -1) + (l + n0 ) [cos 20 +1 ] + 2C3 (l - n0 )[cos 2(a + 30) + +1 cos(2a)] + 2(l - n0)C2 [3t cos 2(a - 0) - cos 2(a - 20)] ; b = 2(l + n0 )sin20(cos 20-1)-2(1 -П0 )[2 sin 20( cos 20-1) cos 2(a-0) + sin 2(a-0) x

x (cos20 -1)2 - sin2 20 sin 2(a - 0)]+ (1 + n0) sin 20 + 2(1 - n0)C3 [sin 2(a + 0) + +1 sin(2a)] - 2C2 (1 - n0)[t sin 2(a - 0) - sin 2(a + 20) +] ; a2 = (cos0 -1)2 - sin2 20 - mt - m cos20; b2 = sin20[2(cos20-1)-m], n0 = q/p•

Коефщенти Q, С2, С3 мають аналогiчнi значення, як i у формулах (6).

Якщо у формулi (9) теж покласти п0 = 1 або a = п /2, п0 = 0, або a = 0, п0 = 0, то обчислимо значення концентраци напружень вздовж контуру отвору при усесторонньому i одностороншх дiях розтягуючи зусиль вщпо-вiдно впоперек або вздовж горизонтально! ос отвору. б) зсувних зусиль штенсивност т:

^ 4т aí" a2 ~ bl- b2 (10)

a0 = 4t-2—Г2—' (10)

af + b22

(cos20 -1)2 - sin2 20 sin 20 + 2 cos20 sin 20(cos 20 -1)- C3 sin 60 -

+ C2 [3t sin 20- sin 80];

b{ = 2 sin 20( cos 0 -1)sin 20 + cos 20(cos 20 -1)2 - C3 (cos 20 + -1) - C2 [3t sin 20 - cos 80 + 3t cos 20].

де

a: =

Коефщенти a2 i b2 мають аналогiчний вираз, як i у попередшх формулах.

в) на контур отвору рiвномiрно розподшених i зсувних зусиль штенсив-ност р1 та Т:

A Л"

= 8P1mB1, = 8Tm^, (11)

B1 B'

О о

де: A1 = cos30-2tcos20 +1 cos0-2m, A[ = sin30 + 2tsin0-1 sin0;

B1 = (1 +12 ) + 4t2 cos 20(1 -1 cos 20) - 4m(cos 30 - 2t cos 0 +12 cos 0)+

+ 4m2 - 4t cos 20 .

Оскшьки, максимальш значення концентраци напружень будуть у вершинах отвору при будь-якш дп силових факторiв, за винятком зсувних зусиль на торцях пластини та контурi отвору, то прийнявши у виразах (9), (10) 0=0, одержимо формули для обчислення коефщента концентраци напружень К у вершинах отворiв залежно вiд радиуса заокруглення вершин, при рiзних величинах роз-криття отвору s та орieнтуваннi прикладених зовшштх зусиль, у виглядi:

• усестороннш розтяг зусиллями iнтенсивностi р (По = 1)

к _ (1 - г )2 + (1 + г у а _ т(1 - г2)2 т _Л-е)-£2]_. (12) (1 -X)2 - т(1 + X) (1 -X2)2 - 2т(1 + X2У (1 -х)+(1 + Xу

• одностороннiй розтяг зусиллями штенсивносп р впоперек горизонтально!

осi отвору (%=0, а=п/2)

к _ 3(1 - X )2 + (1 + X )(1 + 2х )а. (13)

(1 - X)2 - т(1 + X) '

• одностороннiй розтяг зусиллями штенсивносп р вздовж горизонтально! ош

отвору (п0=0, а=0)

к_ (1-х)2 а(1-х-а2); (14)

(1 - X)2 - т(1 + X)

• рiвномiрний тиск штенсивност! р1 на контурi отвору

к ^^-. (15)

(1 + X2)2 + 4(1 - XXX2 - т(1 + X))

Значения коефщента концентраци напружень К=0 у вершинах отвору при дп зсувних зусиль штенсивност т на торцях пластинчастого елементу або Т на контур! отвору.

Прийнявши у формулах значень коефщенлв концентраци напружень К вщповщно X=0, одержимо значення К для елштичного отвору, а дальше 1 т=0 - для кругового отвору.

Грамичмо-р1вмоважемий стан пластинчастого елементу

У випадку гострокшцевого криволшшного отвору (г0/а=0) - маемо тр1ш,инопод1бний дефект. За визначеними комплексними потенщалами (6-12), залежно вщ типу силового навантаження знаходимо штенсившсть розподшу напружень у вершинах дефекту, як виражаються через коефь щенти штенсивност напружень [8].

Наприклад, значення коефщенпв штенсивност розподшу напружень, при дн р1вном1рно розподшених зусиль штенсивност р \ д у взаемно перпен-дикулярних напрямках 1 при напрямленш зусилля р шд кутом а до горизонтально! ос дефекту мають такий вигляд:

, |1-е

к

1 2(2-е)П + е

(2 -е)(2 + е2) _л ч4-е(2-е)(2 - 2е + е2)

2(1 + е)(1 + е2) + е3 (2 - е)[2 - е(2 - 2е + е2

_ 2^(1 + е) (1-П0\Д-^ аи^а де п _ д/р. (2-е)2 V 1 + е

coSlа

(16)

Отримаемо значення коефщенлв штенсивност напружень, розгляда-ючи частинш випадки ор1ентаци розтягуючи зусиль вщносно трщини при розтягуванш пластинчастого елементу:

• при усесторонньому розтягувант (п0=1)

р4а 1

к

1 (2-е)\1 + е

(2 -е)(2 + е2) 2(1 + е)(1 + е2) + е3

; к2 _ 0; (17)

при односторонньому розтягуваннi (впоперек горизонтально! осi трщини По=0 i а= я/2)

К =

К =

р4а ¡1 — е

2(2 — е) V1 + е

(2 — е)(2 + е2) + 2 4 — е(2 — е)(2 — 2е + е2 )

2(1 + е)(1 + е2) + е3

(2 — е) 2 — е(2 — 2е + е2

; ^2 = 0; (18)

при односторонньому розтягувант (вдовж горизонтально! оа трщини п0=0 i а= 0)

р4а 11 — е

2(2 — е) V! + е

(2 — е)(2 + е2) — 24 — е(2 — е)(2 — 2е + е2) 2(1 + е)(1 + е2) + е3 (2 — е)[ — е(2 — 2е + е

при дi! зсувних зусиль штенсивноси т

4x4а (1 + е) 11 — е

К = 0;

1+е

; К2 = 0; (19)

(20)

(2 — е)

Прийнявши у формулах (17-20) значень коефщенпв штенсивност напружень параметр е=0, отримаемо !х значення для прямолшшно! трщини (задача Гр1ффггса).

К1 8

1,2 8

-0,7

К1

Рис. 4. К при розтягувант впоперек Рис. 5. К1 при розтягувант вздовж лти

тни отвору

отвору

К1

1,2

1

К2 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0

1,2

Рис. 7. К2 при зсувi

Рис. 6. К при усесторонньому розтягувант

На рис. 4-6 наведено графжи змши значень коефщента штенсивност напружень К1 у вершит трщини при дн розтягуючих, а на рис. 7 - при ди зсувних зусиль, обчислених, зпдно з формулами (17-20).

0

1,2

-0,1

-0,2

-0,3

0,6

-0,4

0,4

-0,5

0,2

-0,6

0

0

0,2

0,4

0,6

0,8

0,8

0,6

0,4

0,2

0

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,2

8

8

Висновки

При 3MiHi параметра s i r0/a можемо змiнювати геометричну конф^у-рацiю контуру криволiнiйного отвору (вщ кругового до отворiв типу рис. 1, рис. 2 або шш^, тобто проводити розрахунки розподшу концентраци напружень у випадку заокруглених вершин отвору та штенсивност напружень -при гострокшцевих вершинах для рiзноманiтноl системи отворiв. Як бачимо i3 рисунка та таблищ, значення коефщенлв концентраци напружень е досить великими, наприклад, порiвняно iз круговим (£=3) або елштичним (£=1+2-a/b, a, b - вiдповiдно велика i мала твош елiпса) отворами.

Лггература

1. Саврук М.П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами. - К.: Наук. думка, 1981. - 324 с.

2. Саврук М.П. Коэффициенты интенсивности напряжений в телах с трещинами. -К.: Наук. думка, 1988. - 620 с.

3. Саврук М.П., Осив П.Н., Прокопчук И.В. Численный анализ в плоских задачах теории трещин. - К.: Наук. думка, 1989. - 248 с.

4. Стащук Н.Г. Задачи механики упругих тел с трещиноподобными дефектами. - К.: Наук. думка, 1993. - 359 с.

5. Божедаршк В.В., Максимович О.В. Пружна та гранична рiвновага ашзотропних пластинок з отворами i трщинами. - Луцьк: ЛДТУ, 2003. - 240 с.

6. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. - М.: Наука, 1966. - 707 с.

7. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. - К.: Наук. думка, 1968. - 887 с.

8. Панасюк В.В. Предельное равновесие хрупких тел с трещинами. - К.: Наук. думка, 1968. - 248 с. _

УДК 502.5.(477.86) Доц. Б.1. Хархалк1, канд. техн. наук - УкрДЛТУ;

студ. М.Б. Хархалк2 - НУ "Л.beiecbm полтехмка";

3 3

студ. М.П. Гожельник ; студ. О.В. Янчук - УкрДЛТУ

ДОСЛ1ДЖЕННЯ ЕКОЛОГ1ЧНОГО СТАНУ МАЛИХ М1СТ

ЛЬВIВСЬКОÏ ОБЛАСТ1

З метою формування основних засад управлшня малими мютами дослщжено еколо-пчний стан трьох мют ^BÎBCb^ï области Самбора, Золочева, Новояворiвська. У результат! дослщжень сформовано основш принципи управлшня екосистемами малих мют.

Ключов1 слова: мале мюто, управлшня, еколопчний стан, система

Doc. B.I. Harhalis- USUFWT; stud. M.B. Harhalis-NU "L'vivs'ka politekhnika"; stud. M.P. Godzelnik; stud. O.V. Yanchook- USUFWT

Research of the ecological state of the Lviv region littlest towns

To create the basis of the management little town system research of the ecological state the three towns of the Lviv region: Sambir, Zolochiv, Novoyavorivsk. As a result of that the principles of the management system have been created.

Keywords: Little town, management, ecological state, system.

1 кафeдра eкологiï Украш^кою дeржавного лicотexнiчного yнiвeрcитeтy (УкрДЛТУ), 79053, м.Львiв, а/c 433, т. 230-14-22;

2 Нацюнальний yнiвeрcитeт "Львiвcька полггехшка" (НУ "ЛП"), 79053, м.Львiв, а/c 433 т. 320-14-22;

3 Украш^к™ дeржавний лicотexнiчний yнiвeрcитeт (УкрДЛТУ), 79005, м.Л^в, вул. О.Кобилянcькоï, 1, т. 72-57-92