Дослідження стійкості позацентрово стисненого складеного стержня Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 624.04

К. I. СОЛДАТОВ (ДПТ)

ДОСЛ1ДЖЕННЯ СТ1ЙКОСТ1 ПОЗАЦЕНТРОВО СТИСНЕНОГО СКЛАДЕНОГО СТЕРЖНЯ

В публшацп надано ршення задачi стiйкостi стисненого стержня з використання моделi у виглядi шарувато! системи. Стержнi шарувато! балки з'еднаш пружними дискретними опорами (планками) або пружним шаром.

Ключовi слова: стшюсть, стиснений стержень, балка, дискретна опора

В публикации приведено решение задачи устойчивости сжатого стержня с использованием модели в виде слоистой системы. Стержни слоистой балки соединены упругими дискретными опорами (планками) или упругим слоем.

Ключевые слова: устойчивость, сжатый стержень, балка, дискретная опора

In a publication the decision of task of stability of the compressed bar is resulted with the use of model as the stratified system. The bars of the stratified beam are connected by resilient discrete supports (by slats) or resilient layer.

Keywords: stability, compressed bar, beam, discrete supports

В роботах [1, 2] отримано ршення для вшь- таю сили можуть не дiяти на якусь окрему бал-них коливань шарувато! балки на пружних ку). опорах (або пружнш основ^, де пружшсть шару мiж балками може бути рiзною, але однако-вою по кожному окремому шару. При цьому кожна балка стиснена або розтягнута прикла-деними поздовжшми силами (при необхщност

Власн коливання

Розрахункова схема для шарувато! моделi мае вигляд (рис. 1) та наступш рiвняння для вшьних коливань: дискретш пружш опори (1) та пружний шар (20).

Система рiвнянь при дискретних пружних опорах мае вигляд: (1)

shd,

V

sin a

V

dV (chd,

C

с;=

-cos ß,-)

i

aV (cos av

V-1,V

a j-a j-1 a,

cos

(

ß)

Рис. 1. Розрахункова модель

Таким чином, коливання пакету балок може бути описане системою рiвнянь, що мають (к — 1) невiдому а(а1 = 1,0) та к невщомих

частотного параметра 1г/ для кожно! 1 -то! фо-

a 2 + d2

+ C

j, j+1

a j -a j+1 a

с ;

• i3

2 VV

j = 1,2,3...k.

рми коливань.

Оскiльки ми шукаемо нормальнi форми, то коливання у цьому випадку передбачаються одночастотними, тобто мае мюце рiвнiсть .wik , а мiж частотними пара-

W-1 = 2 = W,3 = .

(1) метрами встановлюеться залежшсть:

Л

А

© Солдатов К. I., 2012 101

; .4 4 ф ; .4

ЛУ _ ^ г ' ЛУ _Л,1ф 1 . Л,1 _ ^ . .

ЕЛ

е^

ф. ,

.41

З врахуванням цих залежностей та стввщ-ношень, система рiвнянь дае можливiсть отри-мати всi (к — 1) сшввщношення амплiтуд а,

та частотний параметр 1г1 i далi частоту

(

т _.2 •

Е

Л

При зв'язках мiж шарами у виглядi пружно-го шару система рiвнянь значно спрощуеться та мае вигляд (2)

2й„

2а„

+ -

к,, ач + .

Ч Ч Ч '

ч ч

(¿2 +Р2) /г] (а2 —Ь2) к

ч _ 1,2,3....,к.

(2)

ржня. Решггка сприймае дiю поперечно! сили. Критична сила складеного шарнiрно-спертого стержня за А. Ф. Смирновим становить

Р _

кр е 1+У Ре '

Уп _

Е

1

V Лр • tga

+

Лй • ео8 а • 8т а J

У п

й • Ь

- + -

12Е1 24Е1

р с

(3)

Рiшення дано! системи рiвнянь приводить у загальному випадку до полiному виду

т_2к

X ЦТ •фт _0, (т _0,1,2,3....2к).

т_0

Стiйкiсть

Рiшення для до^дження стiйкостi отриманi з застосуванням динамiчного пiдходу, коли при втратi стшкосп частота дорiвнюе нулю. Рiшення отримано для шарувато! балки, що навантажена поздовжшми силами (сили розтягу або стиску). Шари мiж собою з'еднаш пружним шаром, але можуть бути з'еднаш i дискретними пружними опорами (так само як i при вшьних коливаннях).

Застосування дано! моделi для дослiдження стiйкостi позацентрово стиснутих стержнiв або складених стержнiв та для вщпрацювання коре-ктно! розрахунково! моделi розглянутi в першу чергу для складеного стержня, як одше! з шару-ватих моделей.

Складенi стержнi, що утвореш з двох (або б> льше) окремих гiлок зв'язаних мiж собою планками або реш^кою, мають меншу жорсткiсть нiж суцшьт. Промiжок мiж гшками складеного стержня називають швом. По сво!й робой у складеному стержнi в'язi под^ють на два види: в'язi зсуву (сприймають зусилля зсуву) та попе-речнi в'язi (перешкоджають вiдриву або притис-канню стержнiв один до одного). Загальна жорс-ткiсть на згин складеного стержня , що не мае в'язiв зсуву, дорiвнюе сумi гiлок складеного сте-

Тут введено наступи позначення:

Ркр , Ре , У, Лр , Лй , a, 1р , 1с, Ур , Уп , якi идп°идно е:

критична сила для складеного стержня, критична Ейлерова сила для суцшьного стержня, одиничний кут зсуву вщ поперечно! сили Q _ 1, площа перерiзу двох розтрок, площа перерiзу двох розкошв, кут нахилу розкосу до ош, момент iнерцi!' двох планок, момент шерци однiе!' гiлки стшки вiдносно !! осi, одиничний кут зсуву вщ поперечно! сили Q _ 1 для реш^ки, одиничний кут зсуву вщ поперечно! сили Q _ 1 для планок.

При дослщженш складених стержшв доста-тньо обчислити пружнiсть промiжно! опори, якими в даному випадку е планки, що з'еднують стержнi. Нескладно далi перейти до пружного шару «розмазавши» пружнiсть опори по довжинi, яка дорiвнюе вiдстанi мiж пружни-ми опорами (планками).

У цьому випадку ми маемо тришарову балку, де мiж двома стержнями (балками) розта-шованi дискретш пружнi опори або пружний шар.

Системи рiвнянь, отриманi з рiвнянь (1) та (2) при т, _ 0, приймають наступний вигляд для стiйкостi стислого «чистого модульного» стержня

1

81и а,

а

1 — Ш8 р, а, (Ш8 а, — Ш8 р,) с

_~Т, (4)

_ а

N 12

а2 _ I (с', п, г).

г Е I V '

Е111

(кч _ач, йч _ I).

Аналопчно для розтягнуто! балки (стержня) умови та рiвняння мають вигляд:

shd„

1

( ^йч — ^ р,.) 1 — С^ р с

Г

\

1

1

2

- = /(с7,И,0, (kj = aj,dj = f ).

2 N1 a. = 0, dj =

1 EjJJ

яю дiйснi для форм втрати стiйкостi i = 1,2,3...n — 1. «Чистим модульним» стержнем називаемо стержень, при дослiдженнi власних коливань або стiйкостi якого не враховуються такi фактори як шерщя оберту, деформацп зсу-ву. Вплив даних факторiв буде дослiджено до-датково пiсля дослiдження рiшень для «чистого модульного» стержня.

Для балок, що зв'язаш пружним шаром, рiвняння для розтягнуто! та стисло! балки знаходимо шляхом граничного переходу i вони мають простий вигляд

2с' + a2p2 + Р4 = 0,

"yf i

2с; — d2 ь2+Р4 = о.

(6) (7)

Для переходу до моделi позацентрово стис-неного складеного стержня приймаемо кшь-юсть балок - 2, що з'еднаш мiж собою пружним шаром, але стискальна сила прикладена не центрово, а зi змiщенням.

Скористаемось для цього рiвнянням (6) та залежшстю (2), що дае змогу зв'язати балки мiж собою. У розгорнутому виглядi система рiвнянь буде мати наступний вигляд

"1—1,1

( a j — a j—i ^ a,

+ с

1,1+1

( a 1 — a 1+1 ^ a

• 13

E1J1

- +

+-

N 12 p2 • i2 p4 • i

E!I1

- + -

= 0

(8)

n n i = 1,2,3...n — 1, 1 = 1,2

У даному виразi введет наступи позначен-ня: с - жорстюсть пружного шару мiж двома балками, кН/м; у - номер балки; 1 - номер фо-рми втрати стiйкостi; п - кшьюсть прогонiв балки (кiлькiсть вщстаней мiж планками); а - коефщент розподiлу aмплiтуд; 1 - вщс-тань мiж дискретними опорами, м; N - стискальна сила, що дiе на балку, кН; Е - модуль пружностi балки, кН/м2; I - момент шерцп балки, м .

Проaнaлiзуемо наступний випадок. Колона, що складена з двох паралельних гiлок, якi з'еднaнi мiж собою планками, навантажена центрово, а по^м стискальна сила змiщуеться у бш однiе! з гiлок, тобто стискальна сила розпо-дiляеться мiж стiйкaми нерiвномiрно.

Система рiвнянь у цьому випадку буде мати наступний вигляд:

[с,—2 (1 — a2)] • 13 N/ p2 • i2 p4 • i4

4—2

EJ

V a2 J

E1I1 И2

- + -

= 0

• l3

(9)

E2 J2

N212 p2 • i2 p4 • i4 n

-----r" + —T- = 0

E2I2 n n

В с • 13 /

Введемо позначення: -= с ;

EI

N12 2

-= a2;

EI

я-/ =р

n

Система рiвнянь з врахуванням позначень

2

мае двi невiдомi a1 та a2

с1' • (1 — a2) — af р2 + р4 = 0

^ (02^) — «2 ^ +р4 = 0 (10)

a

2

З першого рiвняння знаходимо a2 i поставляемо у друге. Отримуемо квадратне рiвняння для параметра критично! сили у такому виглядi

(с1+с2 )■

/2/2 с2 • aj + с1 • a2 О 2 / 2

Р2

р2 • (a2 +a2) +

+aj2 •a2 +р4 = 0

(11)

Для отримання рiвняння з одним невiдомим, виразимо вщносну жорсткiсть промiжного шару (с') та параметр критично! сили (а2) друго! балки (стержня) через першу Е I

с, = с, —— = с, • т ;

2 1 Е212 1

а2 =а? • ^^ = а2 • к2 (12)

2 1 N^2 1 ' '

Рiвняння (10) вирiшуеться вiдносно

2 N1 . а, = —!— i мае остаточний вигляд

1 ЕI 11

, , , ч С • т •а,2 + с • а,2 • к2

(с, + с, • т)—1-1—г-1—1--

^ 1 11 р2 (13)

—р2 • (а2 • к2 +а2) + а4 • к2 +р4 = 0

За даним рiвнянням можна розраховувати складенi стержш (балки, стояки), якi мають од-нaковi або рiзнi за мaтерiaлом та поперечним перерiзом стояки, що з'еднаш гнучкими в'язями. Крiм того, можна задаватись рiзними

4

И

4

стискальними силами, що на практицi часто

/ + Р4

сили.

Оскiльки у бiльшостi випадкiв стояки колон

бувае, коли порушуеться центрове прикладання к •х х •(1 + к) •( р2 ) + 2с+р _ 0 (14)

З даного рiвняння безпосередньо отримуемо мають однаковий перерiз та виготовленi з од- рщення для параметру стискально! сили, зада/ / / / 1 \ 7 2 N2

ного матерiалу: с2 _ с1 _ с (т _ 1); к ,

запишемо рiвняння (11) таким чином (при

а2 _ х)

ючись параметром вщносно1 жорсткосп з'еднувальних планок (с )

((1 + к2) • (сЧр4)) ±

( р2 ) "V

Х1,2 _

Приклад 1. Стояк мае перерiз з двох двотав-рiв, що з'еднаш мiж собою планками, утворю-ючи складений стержень. Загальна довжина стержня 10 м, планки розмiщенi через 2,0 м.( I _ 2,0 м). Двотавр № 18 мае момент шерцп у площиш 1 _ 82,6 см4 (момент шерцп

двох гшок 165,2 см4).

Вщносну жорсткiсть приймаемо с( _ 10, що вщповщае жорсткостi планок

(1 + к2) • (сЧр4) р2

)2 — 4 • к2 • (2с' + р4)

С _-

с • I3

> М

с _ с

I3

433,65 кН/м., п _ 5.

Форма втрати стшкост перша: г_ 1. За формулою (15) маемо для параметра критично! сили два ршення Х1 _ 53,167; X2 _ 0,3944.

Приймаемо менше значення за формулою

N I2

X2 __-1-_0,3944.

Е111

знаходимо ^кр _ 34,205 кН.

Якщо по звичайнiй формулi обчислити Ейлеро-ву силу, то вона становить 342,05 кН, тобто р> знищ немае. Це обумовлено тим, що вщносна жорсткiсть промiжного шару (планок) прийнята значною. Якщо скористатись формулою А. Ф. Смирнова [4]

Р _Р- 1 кр е 1 + Уп • Ре

й • Ь Уп _-+

й2

12Е/ 24Е/

то коефiцiент Уп за даними розрахункiв становить 0,00000142 i з його врахуванням повтор-ний розрахунок дае уточнення до критично! сили по формулi (3) Ркр _32,856 кН.

Як видно рiзниця становить 3,94 %.

2к2

(15)

Позацентрове прикладання стискально! си-ли здшснено коефiцiентом к2, який показуе частку навантаження яку сприймае друга гiлка у зрiвняннi з першою (вiн може бути менше одинищ i бiльше).

Для того ж самого складеного стержня при к2 _ 0,81 (к _ 0,9) при тих же перерiзах, для критично! сили отримуемо значення ^кр _ 29,445 кН. Як видно, при змщенш

центру прикладення стискально! сили, критична стискальна сила зменшилась на 12,3 %, а при

к2 _ 0,64 (к _ 0,8) на 41,8 % (^кр _ 19,471 кН).

При зменшент вщстат мж планками (I _ 1 м), у формулi (15) шшими будуть значення

р2,р4 та с (с _ 1,25 ). Розрахунки дають для параметра критично! сили Х2 _ 0,0985 i саму кри-тичну силу ^^ _ 34,117 кН, яка практично ств-падае з обчисленою ратше (N1кр _ 34,205 кН.).

У табл. 1. наведет дат розрахунку змши критично! сили вщ ексцентриситету !! прикла-дання.

Це досягаеться змiною розподiлу вiдношен-ня навантаження (яке е постiйним для стержня в цшому) мiж гшками складеного стержня за

допомогою коефщента к2.

Результати розрахунюв свiдчать, що при по-ступовому перенесены бiльшо! частки навантаження на одну з двох гшок складеного стержня, критична сила поступово зменшуеться.

Бшьш доцшьним варiантом розрахункiв складених стержнiв на стшюсть на практицi однак е шший. Задаючись параметром стискально! сили, отримуемо ршення для вiдносно! жорсткосп з'еднувальних планок, якi необхiд-но поставити, щоб балка (колона) не втрачала стшкость

Результати розрахунку критично'1 сили (кН)

к к 2 a2 ^р к к 2 a2

1,0 1,0 0,3944 34,205 0,5 0,25 0,1465 12,706

0,9 0,81 0,3395 29,445 0,4 0,16 0,1045 9,063

0,8 0,64 0,2961 25,681 0,3 0,09 0,0575 4,987

0,7 0,49 0,2525 21,899 0,2 0,04 0,0292 2,532

0,6 0,36 0,2005 17,389 0,1 0,01 0,0011 0,095

Отримуемо рiшення для вщносно! жорстко-ст промiжного шару

E /

2 2

2 N2 E1/1

1 N1E2/2

= a2 • к2.

с =

(b4 a2• (1+к2)-a4 b2• к2-b6 2b2-a? • (1 + к2)

(16)

sin a

a.

1 - cos b i a1 (cos a1 - cos b) С • (1 - a2)

(17)

постановка у формулу (16) параметрiв попере-днього прикладу дае очшуваний результат

с1_ 10 (при к2 _ 1).

У випадку, якщо промiжнi опори приймаемо дискретними, скористаемось системою рiвнянь типу (5), i далi отримуемо аналогiчне рiвняння, застосувавши наведет вище стввщношення

sin ka.

a12 • к 2

1 - cos b a1k (cos ka1 - cos b)

, z-a 2 - 1ч

С • m • (-^-)

a

Дана система мае двi невiдомi а2 та а1 i розв'язуеться звичайним способом. Зведена до виразу, де е тшьки одна невщома а1, формула мае вигляд:

1

sin кa1

a2 • к2

1 - cos b a1k (cos ka1 - cos b)

1

sin a.

(18)

c\ • m • (1 - -

(-----^^-) • с

1 - cos b a1 • (cos a1 - cos b)

(

1

sin a

1 - cos b a1 • (cos a1 - cos b)

) • С -af

Для прикладу, наведеного вище (при к2 = 1, m = 1, с = 10, cos b1 = 0,80901) отримуемо зна-чення параметру критично! сили a1 = 0,62217 i критичну силу (N1]sp = 34,218 кН).

Даний приклад i розрахунок пiдтверджуе можливють застосування бiльш простих р> шень, замiнюючи дискретнi пружнi опори (планки) складеного стержня пружним шаром. У цьому випадку маемо систему простих алге-бра!чних рiвнянь (10) i безпосередньо рiшення (15) для параметра критично! сили. З розрахун-юв видно, що гiлки складеного стержня пра-цюють разом i коефщент розподiлу амплiтуд a2 у випадках, коли к2 = 1 також дорiвнюе 1.

а2 =

b4 -a? b2 + с

с,

0,155538 - 0,39438 • 0,3944 +10 10

=1

Додатково проаналiзуемо як змшюеться ко-ефiцiент розподiлу амплiтуд у залежност вiд стискально! сили (^ )) та коефiцiенту вiдно-

шення стискальних сил ( к 2 ) за даними таблицi 1.

Розрахунок провадимо за формулою

р4 — а?р2 + с Д . .

а2 _-1-1. Дaнi розрахунку зведеш у

с1

табл. 2.

Як видно, оскшьки пружнiй шар достатньо жорсткий, то даний коефщент змiнюеться не-значно.

З формули видно, що суттево вiн буде зм> нюватись при малш пружностi промiжного шару, оскшьки значення пaрaметрiв у чисельнику будуть мати один порядок.

Наприклад, при с[ _ 1,25 а^ _ 0,0985, а2 _ 1,0933, а при с[ _ 0,1 а? _ 0,0273, а2 _ 2,4477.

2

c2 = c1

1

1

)

Результати розрахунку коефщенту розподшу амплiтуд

k k 2 a2 a2 k k 2 a2 a2

1,0 1,0 0,3944 34,205 1,000 0,5 0,25 0,1465 12,706 1,0105

0,9 0,81 0,3395 29,445 1,002 0,4 0,16 0,1045 9,063 1,0114

0,8 0,64 0,2961 25,681 1,003 0,3 0,09 0,0575 4,987 1,0132

0,7 0,49 0,2525 21,899 1.005 0,2 0,04 0,0292 2,532 1,0144

0,6 0,36 0,2005 17,389 1,007 0,1 0,01 0,0011 0,095 1,0155

Для дослiдження впливу шерцп оберту та зсуву на стшюсть запишемо систему рiвнянь для вшьних коливань, аналогiчну (10), але з врахуванням саме цих факторiв. З врахуванням шерци оберту, деформацш зсуву та поздовжшх сил кожне з рiвнянь буде мати наступний гро-мiздкий вигляд, з якого ми отримали i рiвняння (10), коли не враховували деформацп зсуву ( kx = ¥ ), шерщю оберту ( r2 = 0 ) та прийнявши

N

kGF

r2 EJ l4kxGF

1

( 2c -14 )

+

+2ß2

EJ

Nl

J

2 i

l2 kGF

2

-14

2l2

+

EJ

2 EJ

\

1 -

N

Л

KGF

+ (19)

2l2kxGF

+ß4 = 0

2 i>4

w = 0 (що рiвнозначно 14 =

m • w2 • l

EI

= 0)

З врахуванням шерцп оберту та деформацiï зсуву отримаемо наступну систему рiвнянь для стшкост шаруватого стержня з пружним шаром мiж гiлками стержня:

1 --

N

kGF

N2

kxG2 F2 J

( 2c1 ) + 2ß2

•( 2c2 ) + 2ß2

EJ N1l

2

1 fkGF 2EJ \ kxGF

1-

N

X

E2 J2

^ l2kxG2F2

N2l

2 E2 J2

2

1

N

kxG2F2 J

+ß4=0 +ß4=0

(20)

Як видно з самих рiвнянь iнерцiя оберту у даному випадку не впливае на стшюсть (вони автоматично вилучаються з рiвнянь), але члени, яю враховують деформaцi! зсуву залишились.

Попередньо можна на наведеному вище приклaдi проaнaлiзувaти вплив деформацш зсуву на стшюсть складеного стержня. Для цього треба проaнaлiзувaти члеш, де у знамен-нику е коефщент кх . Взaгaлi даний коефщент обчислюеться за формулою

двотаврових балок даний коефщент становить kx = 0,25 . При даному значенш коефiцiента ( kx = 0,25) для двох складових формули (21) ми отримуемо:

N1 = 0,000361, E1J1

ekGF

= 0,00915 .

n2x2 +1 nX + —

К =-3-30 (1 + 2n ):

n2x4 + 1 nX2 + 3

(21)

36

де n - вщношення площi перерiзу поясiв до площi перерiзу вертикальних листiв; X - кое-фiцiент, що дорiвнюе вiдношенню вiдстанi вiд нейтральноï ос до вiдстанi до центру тяжшня.

На основi ранiше виконаних дослщжень за вiдповiдними формулами обчислено, що для

Як перший член так i другий хоча i мають не однаковий порядок, але при розрахунках критичноï стискальноï сили, будемо враховува-ти обидва, щоб проаналiзувати бiльш точнiше вплив здвигiв. Тому приймаемо до розрахункiв систему рiвнянь у виглядi (20), де невщомим е стискальна сила. П1сля постановки у рiвняння даних з попередшх розрахункiв маемо систему двох рiвнянь при

k2 = N2, N

EI = FI G F = G F

1 1 2 2 1 1 2 2

з двома невщомими a2 та N1

\

1

\

/

c

J,

\

1

c2 = c1m

2с1 • (1-

N

кО¥

+ 2р2

Е1

I2 кО¥

) • (1 — а2) — 2р2

2Е1

• (1

N

кО¥

)+р4 _ 0

N к2

2с(т • (1 — ^^ + 2р2

кО¥

Е1

12 кхО¥

) • (

)—2р2 • N1^ • (1.

а 2Е1

Ршення дае уточнене значення для критично! сили для наведеного вище прикладу (при

т _ 1, к2 _ 1) з врахуванням деформацш зсуву

N1 _ 33,146 кН., тобто уточнення в сторону

зменшення на 3,09 %.

У робот [3] наведена формула, отримана також з врахуванням зсувiв, але з деякими при-пущеннями, яка мае наступний вигляд i дае результат при шдстановщ у формулу даних наве-деного прикладу

^р _

N..

N (1 + м

_ 34,192.

(23)

в¥ а

)

де Nм — критична сила для суцшьного стержня, а - коефщент нерiвномiрностi розподiлу зсу-вiв у перерiзi.

N¿1)+р- _ 0

кО¥

Б1БЛ1ОГРАФ1ЧНИИ СПИСОК

1. Солдатов, К. И. К вопросу о собственных частотах колебаний мостовых конструкций на упругих опорах [Текст] / К. И. Солдатов // Труды ДИИТа, вкл. 116, Вопросы прикладной теории колебаний. - 1972. - С. 97-119.

2. Солдатов, К. И.. Колебания и устойчивость многопролетных регулярных балок на упругих опорах при действии продольных сил [Текст] / К. И. Солдатов, Б. П. Черевацкий // Труды ДИИТа, , Вопросы теории колебаний и динамики мостов. - 1975. - вып. 169/19. - С. 25-32.

3. Ржаницын, А. Р. Строительная механика [Текст]: учеб. пособие для строит. специальностей вузов. / А. Р. Ржаницын. - 2-е изд., перераб. - М.: Высш.шк., 1991. - 439 с.

4. Снитко, Н. К. Строительная механика [Текст]: учеб. для вузов / Н. К. Снитко. - 2-е изд., перераб. - М.: Высш.шк., 1972. - 488 с.

Надшшла до редколеги 21.11.2011.

Прийнята до друку 20.12.2011.