Роль псевдовекторов в математическом моделировании формального аналога электромагнитного поля Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 537.611

И. П. Попов

РОЛЬ ПСЕВДОВЕКТОРОВ В МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ ФОРМАЛЬНОГО АНАЛОГА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

Показано, что классическая модель магнитного поля допускает нарушение третьего закона Ньютона, исключает взаимодействие соосных элементов проводников с токами, не предусматривает существование моментов сил, действующих на элементы проводников, законом Ампера принято считать формулу, в общем случае несовместимую с его основным результатом. С привлечением таких математических объектов, как псевдовекторы, комбинированные и сопряженные векторы построена формальная модель аналога электромагнитного поля, не имеющая указанных особенностей, в частности, формальные аналоги закона электромагнитной индукции являются простым следствием других свойств и соотношений поля, при этом построенная модель удовлетворяет основному требованию Ампера — безусловному выполнению третьего закона Ньютона.

Ключевые слова: псевдовектор, магнитное поле, третий закон Ньютона, соос-ные элементы проводников, моменты сил, напряженность, индукция, дивергенция.

Введение

В классической теории магнитного поля пондеромоторные силы взаимодействия между замкнутыми контурами с токами удовлетворяют третьему закону Ньютона (ТЗН). Однако эти силы являются результатом сложения элементарных сил, действующих между малыми элементами проводников с токами, для которых ТЗН может нарушаться [1]. На рис. 1 представлен предельный случай такого нарушения.

Т2

Л12

21

1 г

с1¥2

Рис. 1. Нарушение ТЗН

Первый элемент проводника dl1 с током 11 действует на второй с силой

dF2l = ¡2 [ Л2, Щ ] = -^Г |>2,[ 4,г]], (!)

где dB1 — магнитная индукция, д— магнитная проницаемость, г — радиус-вектор.

Эта сила имеет максимальное значение, поскольку все перемножаемые векторы взаимно перпендикулярны. В то же время, второй элемент действует на первый с силой

М12 = /1Ц, ЙВ2 ] = [^11,[^12,г]] = 0

так как й12 и г коллинеарны.

Известны попытки согласования электродинамики с ТЗН [2, 3]. Однако эти работы представляются излишне феноменологическими.

Модель магнитного поля имеет ряд других противоречий, которые будут показаны ниже.

Целью настоящей работы является не исправление существующей теории электромагнитного поля, а построение в К3 модели формального аналога электромагнитного поля, с одной стороны — максимально похожей на электромагнитное поле, с другой стороны — не вступающей в противоречие с ТЗН — одним из основных законов механики и свободной от других противоречий модели магнитного поля. На невозможность нарушения ТЗН при взаимодействии проводников с токами указывал Ампер [4, 5].

Далее величины формального аналога электромагнитного поля для отличия их от соответствующих величин электромагнитного поля обозначаются другим шрифтом: q, I, В, Н, D, Е, F ^ q, I, В, Н, й, Е, Г.

В качестве одной из предпосылок дальнейшего рассмотрения может быть предложена измененная конфигурация вышеприведенного примера, в которой второй проводник расположен параллельно первому. ТЗН в этом случае не нарушается. При этом

dF = I1dl112dl2

4п r2

(2)

1. Первый признак формального аналога электромагнитного поля, совпадающий с соответствующим признаком магнитного поля

Этот признак состоит в том, что если элементы формальных аналогов токов

11Й11 и 12й12 лежат в одной плоскости и перпендикулярны соединяющему их радиус-вектору г, то так же как и в (2) они взаимодействуют с силой

I,й! • А,йЦ г19

й Р,2 =- й Р21 =- т-1 1 2 2 12

d F = -m

4%r r

(/1dl1 )S (¡2 dl2 )S

4nr2 .

Здесь m - формальный аналог магнитной проницаемости.

Если S1 и S2 — плоскости, образованные соответственно парами векторов /1dl1, r и /2 dl 2, r, и a — угол между S1 и S2, то

(/1dl1 )s 1 (/2 dl2 )s 2

dF = -mK 1 l'n V2 2'n cos a . (3)

4nr2

2. Второе противоречие модели магнитного поля

Несмотря на то, что Ампер считал, что силы взаимодействия соосных токов существуют (этот вывод он сделал, в том числе, и на основании собственных много-

численных экспериментов), в классической модели магнитного поля соосные проводники с токами не взаимодействуют.

Из того обстоятельства, что сила взаимодействия элементов проводников с токами является градиентом энергии магнитного поля, созданного этими элементами, следует, что между элементами со стабилизированными токами существует сила взаимодействия, если при изменении расстояния между ними энергия результирующего поля, созданного элементами, изменяется [6]. Впредь, для того, чтобы не усложнять рассуждения учетом влияния электромагнитной индукции, имеется в виду, что рассматриваемые токи являются стабилизированными.

Если соосные проводники с токами не взаимодействуют, то для них должно выполняться тождество

0

| ГСг = А = Ж0 - = 0,

да

где А — работа, Ж — энергия суммарного поля обоих проводников. Это легко проверить.

При условии с^ = С12 = С1, I = -I и г = да.

Н2

Жда= 2 ц оц{ —СУ ф о,

V 2

где Н — напряженность поля одного проводника.

При г = 0 Ж0 = 0 и Ж0 - ф 0 . Это означает, что коллинеарные проводники с токами взаимодействуют с силой

г. (4)

Сг

В этой связи возникает необходимость выяснить, в какой мере эксперименты, выполненные Био и Саваром, исключают возможность существования этой силы.

Эти эксперименты, по существу, не являлись опытами по определению напряженности магнитного поля. Это и не были эксперименты по определению взаимодействия линейных проводников с током. Они задумывались и осуществлялись для определения силы взаимодействия проводников и постоянного магнита. Не случайно

в формулу входила «магнитная масса» т (Г = тМкту/г2 [7]). А поскольку действие магнита определяется действием круговых токов, которые можно условно заменить одним эквивалентным круговым током, то эксперименты по существу показывали, как отрезок линейного проводника взаимодействует с круговым током.

Пусть магнит располагается на оси линейного проводника (но не самом проводнике) так, чтобы ось совпадала с плоскостью кругового тока магнита. Круговой ток можно представить в виде двух токов, направленных в противоположные стороны и соосных линейному проводнику. Один из этих токов в соответствии с (4) притягивается к линейному проводнику, а второй с такой же по величине силой отталкивается от него и суммарное осевое усилие равно нулю. По этой причине эксперименты Био и Савара не могли выявить силу взаимодействия соосных проводников и, следовательно, не дают никаких оснований ее «запретить».

Таким образом, вторым противоречием классической модели магнитного поля является противоречие с методом определения силы как градиента энергии, т.е. отсутствие учета силового взаимодействия между соосными составляющими элементов проводников с токами.

Модель формального аналога электромагнитного поля свободна от указанного противоречия.

Замечание. Нетрудно убедиться, что ТЗН нарушается тогда, когда векторы & имеют продольные составляющие, коллинеарные радиус-вектору. Из этого следует вывод: если исходить из того, что ТЗН нарушаться не может в силу своей всеобщности (по крайней мере, в условиях магнитостатики), значит, при классическом расчете из-за двойного векторного произведения (1) теряются силы взаимодействия продольных проводников или их составляющих. На существование этих сил указывал Ампер и их наличие обосновано выше.

Поскольку расчет сил методом двойного векторного произведения корректен лишь в случае, когда перемножаемые векторы ортогональны, следует прибегать к более универсальному методу определения сил как градиента энергии (4).

3. Второй признак формального аналога электромагнитного поля, не совпадающий с соответствующим противоречивым признаком магнитного поля

Этот признак заключается в том, что соосные элементы формальных аналогов

токов /1&1 и /2 & 2 взаимодействуют с силой

I,сИ, • /осИп г,.

d F- = -d F, = -k„ m

ijn-.j i2m2 .12

4ш

dF = (5)

4%r

где kx — некоторый безразмерный коэффициент, величина которого будет установлена ниже. В классической модели магнитного взаимодействия эта сила считается равной нулю.

4. Общий случай взаимного расположения элементов формальных аналогов токов

В общем случае взаимодействующие элементы формальных аналогов токов

/1dl1 и I2dl 2 расположены под углом у относительно друг друга и составляют с соединяющим их радиус-вектором r углы ф1 и ф В соответствии с теоремой косинусов для сторон сферического треугольника [8] можно показать:

cosy = sin91sin92cosa + cos91cos92. (6)

Векторы Ijdlj и I2dl2 можно разложить на поперечные (I1dl1)n , (I2dl2)n и

продольные (Ijdlj )т , (I2dl2)т составляющие относительно радиус-вектора. В соответствии с (3), (5) и (6) суммарная сила взаимодействия элементов формальных аналогов токов I1dl1 и I2 dl 2 равна

(LdL)sl(L dl2)s 2 , (I,dl,). (I2 dl2)T

d f = -mK 1 1 nK 2 2'n cos a - kT mK 1 1tV 2 2'T = 4%r2 4%r2

r

8Ш Ф1 )(/2Л2 8Ш Ф2) к (к^К 008 Ф1)(/2Ш2 008 ф2 )

гг ~ 008 а к п

-т

4 п г2 /1ё11/2 Л2 4пг2

4 п г2

(8Ш Ф1 8Ш Ф2 008 а + к 008 ф1 008 ф2 ) =

-т-

/ Лх/2 Л2 4пг2

[008 у + (кг - 1) 008 Ф1 008 Ф2 ] .

аГ направлена вдоль г.

Выражение (7) совпадает с основной формулой Ампера применительно к магнитному взаимодействию [4]. По-видимому, является недоразумением считать законом Ампера выражение (1), которое в общем случае несовместимо с его основным результатом.

При этом Ампер полагал к = - 0,5. Однако эта величина нуждается в уточнении. Для ее определения потребуется прояснить ситуацию с моментами.

5. Моменты сил в классическом магнитном поле и заимствование результатов для формального аналога электромагнитного поля

Если в системе из п контуров с токами какой-то контур под действием поля

повернется на угол а Ф, то энергия магнитного поля изменится на величину Ыё ф и совершится механическая работа Ыё Ф, где М — момент, действующий по направлению а Ф [9]. Для к-го контура уравнение по второму закону Кирхгофа:

.

При умножении уравнения на ¡к&

¡кЯкЛ + 1кс№к = екгкЛ

Для всей совокупности контуров

п п и

к=1

к=1

к=1

или

Это энергия, полученная от источников электродвижущей силы за вычетом тепла. В соответствии с законом сохранения энергии

.

к-\

(8)

В частном случае, если при повороте контура на угол d ф токи во всех контурах меняются таким образом, чтобы потокосцеиления оставались неизменными, т. е.

сЯ>к = 0. M = -dWu/dф. Представляет интерес другой частный случай со стабилизированными токами

(ik = const), для которых

При подстановке в (8)

М =

п 1 п

Ух, d4>, —У i.dV,

¿-¡к к т ¿-I к к JW

к=1 L к=1 _ игг м

t/ф d ф

Таким образом, получены следующие результаты:

5.1. В обоих рассмотренных частных случаях приращение энергии магнитного

поля 0Жи равно механической работе Mdф .

5.2. В первом частном случае работа совершается за счет изменения энергии

поля.

5.3. Во втором частном случае и работа и изменение энергии осуществляются за счет энергии внешних источников.

5.4. На объекты (10!), испытывающие воздействие со стороны магнитного поля, действуют моменты, если энергия совокупного магнитного поля является функцией углов (одной из сторон которых является оИ).

5.5. Для определения моментов нужно аналитические выражения для энергии магнитного поля продифференцировать по углам, функции которых входят в состав этих выражений.

5.6. В первом частном случае поле стремится повернуть взаимодействующий с ним объект таким образом, чтобы энергия поля убывала.

5.7. В случае стабилизированных токов поле стремится повернуть взаимодействующий с ним объект таким образом, чтобы энергия поля возрастала.

Для описания формального аналога электромагнитного поля заимствуются результаты по п.п. 5.4, 5.5, 5.7., а именно:

5.8. На элементы формальных аналогов токов ¡0\, испытывающие воздействие со стороны поля, действуют моменты, если энергия совокупного поля является функцией углов (одной из сторон которых является ¡0\).

5.9. Для определения моментов нужно аналитические выражения для энергии формального аналога электромагнитного поля продифференцировать по углам, функции которых входят в состав этих выражений.

5.10. В случае стабилизированных формальных аналогов токов поле стремится повернуть взаимодействующий с ним элемент ¡0\ таким образом, чтобы энергия поля возрастала.

Вестник Псковского государственного университета 6. Уточнение величины к

X

В соответствии с (7) энергия формального аналога электромагнитного поля равна

W = J F dr

= m / 1<dl1 2d1z [cos g + (kt — 1) cos cos ф2 ] + C . (9)

4nr

Для наглядности можно допустить, что а = 0, а углы ф1 и ф2 острые, равны между собой и расположены по одну сторону от радиус-вектора.

Пусть k > 1. В соответствии с 5.10. поле стремится повернуть элементы таким образом, чтобы энергия поля возросла. А это значит, что моменты М и М направлены в одну сторону, в сторону уменьшения ф1 и ф2 и принцип противодействия нарушается. Таким образом, предположение k > 1 неверно.

Пусть k < 1. Моменты М и М21 тоже направлены в одну сторону, в сторону

увеличения ф1 и ф2 и принцип противодействия снова нарушается. Таким образом, предположение k < 1 тоже неверно.

Единственным непротиворечивым значением k является k = 1. Несмотря на то, что Ампер применительно к классическому магнитному полю получил другое значение (k = -0,5), он сделал правильный вывод:

Система стремится уменьшить угол g т. е. элементы стремятся повернуться так, чтобы стать параллельными друг другу [4].

Этот вывод распространяется на формальный аналог электромагнитного поля. При этом выполняется аналог третьего закона Ньютона для моментов

dM12 = —dM21.

7. Энергия, силы и моменты для формального аналога электромагнитного

поля

Из (9) с учетом того, что k = 1

/^2 dl2 /ld\l • /2 dl 2 „ W = m-———-cosg + C =m-—1—2—- + C . (10)

4nr 4nr

dW idl/2 dl2 dF12 = —dF21 =-= — m -—1 % 2 cos g.

12 21 dr 4nr

Для параллельных (антипараллельных) элементов формальных аналогов тока

/dl сила взаимодействия не зависит от углов ф1 и ф2, в частности, соосные элементы притягиваются (отталкиваются) с такой же силой, как и перпендикулярные соединяющему их радиус-вектору (при одинаковом расстоянии между ними). Это также следует из (3) и (5), с учетом того, что k = 1. Векторная форма записи:

m /j/2 4nr3

Другими словами, ТЗН для формального аналога электромагнитного поля выполняется при любом взаимном расположении элементов формальных аналогов тока /dl.

dFj2 =—dF2! =^TTLih(dl1,dl2)rK. (11)

Другими словами, ТЗН для формального аналога электромагнитного поля выполняется при любом взаимном расположении элементов формальных аналогов тока Idl.

В соответствии с(6)

_ (Id sin j )(I2dl2 sin j2) a _ m (I1d/1 cos ф| )(12dl2 cos j2) d i — m cos^< ^n , .

4nr2 4пr

Первое слагаемое является силой взаимодействия между поперечными составляющими элементов. Второе слагаемое — это сила взаимодействия между продольными составляющими.

Для частного случая, соответствующего (3) (ф1 _ ф2 _ п/2 а _ 0)

LdLL dl2 dF __т-Ш^.

4nr

Для другого частного случая, соответствующего (5) (ф1 _ф2 _а_ 0)

I1dl1I2 dl2

dF _ _m-

4nr2

Для этих двух частных случаев dFn _ dFT, как и указано в начале параграфа.

В соответствии с 5.8. и 5.9. на элементы формальных аналогов тока Idl действуют моменты

dW LdLLdl2 .

dМ12 __dМ21 _-_ _m 1122 sin y

12 21 дв 4nr

dM12 __dM21 __ [dl1, dl2 ]. (12)

4nr

Другими словами, аналог ТЗН для моментов для формального аналога электромагнитного поля выполняется при любом взаимном расположении элементов формальных аналогов тока Idl .

, dW LdLLdl2 . .

dМф1 _-_ m -———- (cos j1 sin j2 cos а _ sin j1 cos j2)

дф 4nr

dW LdLL dln

-_m -—

дф2 4nr

d Мф2 _ ——_m 1 12—- (sin j1 cos j2 cos a_cos j1 sin j2)

dW LdLLdL .

dМа _-_ _m -———- sin j1 sin j2 sin а,

да 4nr

d M _ d F rtgy , d Ма_ d F^,

dМф2 _ dFrtgj2 _ dF„rctgj2,

d Мф 2 _ d Ft rtgj2 _ d Fnrctgj2 .

8. Напряженность для формального аналога электромагнитного поля. Подразумеваемые (мнимые) векторы. Комбинированные векторы

Для представления (11) подобно (1) в виде произведения двух векторов, один

из которых (напряженность) включает в себя /2Л и г, а второй — /2& 2, при этом очевидно, что /1&\1 не должен быть связан с г векторной операцией, поскольку в

(11) он связан с /2 &2 операцией скалярного произведения, вводятся в рассмотрение

подразумеваемые (мнимые) векторы или псевдовекторы, а также комбинированные векторы [10].

Определение 1. Псевдовектор — это скаляр, в котором содержится информация о включенном в него векторе.

Обозначение псевдовектора:

Определение 2. Комбинированный вектор — это произведение вектора и псевдовектора.

Обозначение комбинированного вектора:

Нижний индекс содержит информацию о направлении вектора, верхний индекс - информацию о направлении псевдовектора.

С учетом введенных понятий напряженность для формального аналога электромагнитного поля можно представить в виде:

Величина напряженности для формального аналога электромагнитного поля, созданного элементом формального аналога тока /Л, не зависит от угла между радиус-вектором г и /Л.

9. Третье и четвертое противоречия классической модели магнитного поля

В описаниях силовых полей, созданных ранее классической модели магнитного поля, — гравитационного и электростатического — напряженность определяется как сила, действующая на единичный объект, порождающий поле. Соответственно этому направление вектора напряженности естественным образом совпадает с направлением вектора силы. В классической модели магнитного поля вектор напряженности ортогонален вектору силы. В модели формального аналога электромагнитного поля это противоречие устранено.

У гравитационного и электростатического полей напряженность зависит от свойств среды. При этом в описании электростатического поля индукция от свойств

{р} = {Рх + \Ру + } ,

{Р} = Р •

среды не зависит [11]. В классической модели магнитного поля все наоборот [12]. В этом заключается его четвертое противоречие с традиционной моделью поля. Нет причины переносить это противоречие на модель формального аналога электромагнитного поля.

10. Индукция и потенциал для формального аналога электромагнитного

поля

Индукция для формального аналога электромагнитного поля

о = М! I = -_!_ }Г. (14)

г 4пг2 1 Ог 4пг3 ^ '

Н = тВ .

Формальный аналог электромагнитного поля имеет радиальный характер, следовательно, оно является потенциальным. При 01 ^ 0 эквипотенциальными поверхностями являются сферы. Для такого поля в соответствии с [1, 9]

О Н'Л} = вгааФ,

где ф — потенциал поля.

Если выбрать систему координат таким образом, чтобы ось абсцисс совпала с радиус-вектором, то

о нГ {, А}1 = {, & }1=ф 1,

4 пг г 4 пг дх

Ф=т {, о){, ^+Сф.

4пх 4пг

11. Свойства мнимых и комбинированных векторов и операции с ними

^р}

11.1.

= е

11.2. и«р}= и{р}= и ^

11.2.1. рир} = {Р}и .

и

11.3. е{р} = {ер}.

11.4. При взаимодействии мнимых векторов на них распространяются все правила операций с векторами.

11.5. Мнимый вектор и вектор взаимодействуют между собой как скаляр и вектор.

11.6. При взаимодействии комбинированных векторов между собой могут использоваться двойные записи операций: « {•}•», « {х}-», « {х}- », « {х}х », « {х} + »,

« {х} + », « {•} + », « {•} + », « {+}•». Операция в скобках связывает мнимые векторы. Вторая операция связывает векторы. При перемножении псевдовектора и комбинированного вектора нет необходимости размещения знака произведения в скобки. Очевидно, что знак произведения «•» или «X » в этом случае распространяется на псевдовекторные составляющие.

Вестник Псковского государственного университета

11.7. При необходимости скобки раскрываются применением двойных скобок,

например, {e{p}} = ep .

11.8. В присутствии вектора u скобка раскрываться не может. Исключение составляет случай, когда выражение, стоящее в скобке, является скаляром, например, в результате скалярного произведения векторов. Например,

11.9. pUp!{-} + q«4!={p}U{} + {q}- = {Р• q}íU + -] = pqcos(p, q)fU + .

u V | u V J | u V J

11.10. В отсутствии вектора u скобка не раскрывается, если другая часть равенства является скалярной величиной.

11.11. e« + b« = e{£ 1U + 6 j£ 11= j£|íeU + 611 = j£}c = c« .

Ipu lpV l pl u VJ l p

11.12. e« + bUq}= e jp 1U + 6 Ы U = U{e£ + 6£ 1 = U {c} = с {i}U = ^ .

l pu l qu u l p qu l сu

11.12.1. e{p} + e{q} = e {p| + e {q| = e {p + q| = e {r} = ew .

11.12.2. {p} + {q} = {q} + {p} = {p + q}.

11.13. e,íp! • 6» = e jp 1U• 6 jq| = eb j> • I1U = e6f£• Я1U = сU = c .

pu l ql p qu 11.13.1. {p} {q} = {p • q} = p • q

y p q

u u

11.14. еГ хЬ^ — е]£I£хЬД 1 = еЬ]£хМ £ = С .

1ри {ц[р ци

11.14.1. |£}х{я} = {£ хя) .

11.14.2. е^ х Ь{£} = 0.

11.15. {V} е4 —+] ^е+к М.

1 ' [ дх ду дz

11.16. М-ыЛ^ +дру-— ^ +дру-+^ = V • £.

I дх дУ дzдх ду дz

11.17. {V} х {р} — {V х р) .

12. Связь между величинами формального аналога электромагнитного поля

й^12 — й• {!2Л2} — -—г{!1Л11}Г• {12й12} — -т1 1 1 2з 2/г — -т 1 1 2з 2 Г12, (15)

4 пг3 4 пг3 4 пг

что совпадает с (11). Полученное выражение существенно отличается от (1), которое

принято называть законом Ампера.

й М12 — {й {х} • {! 2 Л 2 }г} — {--т {^1 }г{х} • {! 2 Л 2 }г—

х/2ей2}(г _]т¡А ы е ] 4 пг3 (ГГ)Г_ 4 п г 11'*2 (16)

что сов падает с (12)

м _Ф-{/2 2} _—{ /1ег1} •{ /2 2} + с _ — ^'12 е 2 + с,

4пг 4пг

что совпадает с (10).

13. Теорема Гаусса для формального аналога электромагнитного поля

Поскольку формальный аналог электромагнитного поля имеет радиальный характер, для него выполняется теорема Гаусса

„ е8 _{Е/д1 + Е /я д1},

г

X

где X — площадь замкнутой поверхности, ограничивающей некоторый объем, 1см — формальный аналог тока смещения. В дифференциальной форме

^в!+1 }_у^в!+1 и ]+ш

а ]' (17)

где ] — формальный аналог плотности тока, дО/д! — формальный аналог плотности тока смещения, Б — формальный аналог электрического смещения или электрической индукции.

Скобки могут быть раскрыты двойными скобками (11.7)

Еще одним противоречием классической модели магнитного поля является равенство нулю его дивергенции.

Непрекращающиеся попытки отыскания в рамках классической теории магнитного заряда и магнитного монополя равносильны попыткам опровержения известного математического тождества

<ИУ10 Н = 0.

В то же время элемент 1& удовлетворяет представлениям о магнитном заряде. Соответственно, абстрактное поле (13), (14), им порожденное, удовлетворяет представлениям о магнитном монополе.

14. Деление векторов

Для целей дальнейшего рассмотрения требуется определить операции деления вектора на вектор [10].

12.1. Скалярное деление двух векторов.

Определение. Частное е/Ь от скалярного деления вектора е на вектор Ь есть скаляр

е 1 Ь 1 , . се

р _ —_ е • —_ е--_—-( е • Ь)_—г _-со80 (18)

Ь Ь Ь • Ь Ь2У ' Ь2 Ь , (18)

где 0 — угол между векторами е и Ь. При этом

e b 2

--= cos 0

b e •

12.2. Векторное деление двух векторов.

Определение. Частное e^b от векторного деления вектора e на вектор b есть вектор

1 b 1 ( ч d e d .

q = e*b = ex — = ex-= —-(exb) = —r =--sin 0 (iQ)

b b • b b2У ' b2 bd •

При этом

(e * b)(b - e) = -sin20,

bb-(e * b)(b * e ) = 1,

e2

2 2 ^ p +q = F-

12.3. Теоремы о полном делении векторов.

12.3.1. Если известны частные от скалярного p и векторного q деления двух векторов e и b, а также делитель b, то делимое определяется, как

e = bp + b x q •

Доказательство:

bp + b x q = 1 [b (e • b) + b x( e x b)] = ^ [b (e • b) + e (b • b)- b (b • e )] = e.

12.3.2. Если известны частные от скалярного p и векторного q деления двух

векторов e и b, а также делимое e, то делитель определяется, как

pe + q x e

b =—2-— •

p + q2

Доказательство.

^^ = ± bV [(e • b) e + (e x b)x e] = ± [(e • b) e + b (e • e)-e (e • b )] = b.

15. Формальный аналог индуцированного электрического поля

Формальный аналог напряженности электрического поля — это сила, действующая на единичный формальный аналог электрического заряда д. Пусть последний движется со скоростью V. Могут быть рассмотрены следующие частные случаи. 1. Продольное движение (рис. 2).

сК

Мт д У

Рис. 2. Продольное движение

Серия «Естественные и физико-математические науки». 8/2016 В соответствии с (15) формальный аналог напряженности электрического поля

d E т = — = —d H{'d 'т d q d q

"•«■d q!=Tqd H{'' ■''{q } =d H{' *'' •{ diT }=d H{'"'' * }=

m ,, „ , i ч m ,, „ , midi midi idlт /dlт

{/d|т}r • {v} = -{/dlx • v}r = -m~±w = -m~tv= mxv. (20)

4 пг 3 ^ " 1 ' 4 пг 3 ^ % ' 4 пг3 4 пг2 I dl % I

В скалярной форме

d Е = d Н V.

X X

Формальный аналог ЭДС

с1Е = d Ет dl = d Н 2. Поперечное движение (рис. 3).

Рис. 3. Поперечное движение

В соответствии с (16)

d M = {d H{'} {x} • {/ qdl q }r} = {d Hr,dl"} {x} • {d q v}r}

С другой стороны

d M = [r, d F].

В соответствии с (19)

d Fn = d M * r = {d H{' л »} {x} • {d q v}r} * r = {d H{'л"} {x} • {d q v}r} x -T-

d E n = ^ = _L d m * r = {d H{'} {x} • {v}r } * r = {d H{' л »} {x} • {v}r } x \ = d q d q r

im r im r im

{{/dln}r{x} • {v}r} x- = - —{{/dln x v}r • r}x - = -—(idln x v)x r =

4nr3 ^ v " v " ' r2 4nr3 ^ n ' rA 4nr

- ir-v ^ n )=-mvidi n=-dH-v w,. (21)

В скалярной форме

dЕ„ = -dН^ .

Формальный аналог ЭДС

dE = d Е dl = ^ Н vdl.

п п

16. Изменяющееся поле

Для точки, расположенной в конце радиус-вектора г, изменение величины 1^1

равносильно перемещению вектора 1^1 вдоль радиус-вектора г с некоторой скоростью. Это дает возможность использовать результаты предыдущего раздела.

1. Продольное (относительно ¡С1) поле. На рис. 2 заряд удаляется от источника поля, поэтому оно уменьшается. Если заряд неподвижен, то для уменьшения поля источник должен двигаться со скоростью, имеющей противоположный знак. С учетом этого и в соответствии с (20)

СЕт=- СН т V ¡^ = - СН т *

IС1 Сг IС1

Сг

СЕ^

Сг

СН С т

_т__т.

Сг ¡С1т С н

Сг

(22)

2. Поперечное (относительно ¡С1) поле. В соответствии с (21)

С Е„ С Нп С п

_^ __п__п_

Сг Сг ¡С1п

С Е С Н //л->\

—п- = —п- . (23)

Сг Сг

В произвольной точке поле можно разложить на продольную и поперечную со-

ставляющие.

СЕ

Сг

СЕт Сг

СЕп Сг

с н

¡а, ¡а.

\

¡С1 ¡а

сн (¡сИ„ - ¡о..

¡С1

с н ¡с.

\ п ту

Здесь ¡С1* — вектор сопряженный вектору ¡С1 [10] (см. рис. 4).

¡С1 •

(24)

Рис. 4. Сопряженные векторы

Выражения (20)-(24) являются формальными аналогами закона электромагнитной индукции, которые в отличие от классической феноменологической модели электромагнитного поля являются простым следствием других свойств и соотношений поля.

17. Скалярная векторная производная

Скалярную векторную производную можно интерпретировать как скалярное деление (18) дифференциалов двух векторов.

Са = С (ах 1 + а \ + а2 к) •

СЬ

(Сах 1 + Са \ + Са 2 к) •

1

СЬх 1 + СЬ \ + СЬ 2 кС

С (К1 + Ьу ] + Ь2 к) ■ = Са 1 • -

СЬ_ 1

СЬ 1 + СЬ 1 + СЬ кС СЬ 1

X у О 2 X

, . 1 dby j 1 dbz k da j----— + aaz k----— =

db i + db j + db kd db j db i + db j + db kd db k

л y J z y J л y J z z

daxdbx daydby dazdbz = dax day da2

(dbx)2 + (dby)2 + (dbz)2 = —X + ~db~ + ~db~'

Представляет интерес частный случай, когда берется скалярная производная по радиус-вектору r = xi + yj + zk .

1 dax day daz

da--= —- + —- + —- = diva = V- a

dr dx dy dz

Отсюда следует, что

— = V . (25)

dr

18. Формальный аналог полной системы уравнений Максвелла в дифференциальной форме

Очевидным образом формальный аналог третьего уравнения Максвелла математически изоморфен оригиналу.

divD=.

dV

В качестве четвертого уравнения следует рассматривать полученное выше выражение теоремы Гаусса для формального аналога электромагнитного поля Аналогом первого уравнения можно считать (24).

Для получения аналога второго уравнения в (17) можно использовать (25)

V -в И}- dB Í1* }.± = ( i+dD 1

r r dr V dt J

В скалярной форме

d B d D

— = j + —. (26)

dr dt

Таким образом, аналог полной системы уравнений Максвелла в дифференциальной форме имеет вид:

i. dE = ii. d в

dr dt Idl ,

III. divD = IV.

dV ,

Здесь D = eE, где e — формальный аналог диэлектрической проницаемости.

19. Формальный аналог электромагнитных волн

Совместное решение (23) (для поперечного поля) и (26) при условии j = 0 дает:

d2E„ d2BK

-- = m—2^'

drdt dt

С 2В С 2б

= е-

ёг2 СгС/ С2 В С2 В.

■ = ет

Сг2 Ж2

Последнее — классическое волновое уравнение. Его решение представляет собой монохроматическую волну:

В = В 0е

п п О

!(ю/-кг+5)

где ю — циклическая частота, k — волновое число, 5 — начальная фаза. Скорость волны

1

с =

Iет

Аналогично находится формальный аналог электрической (поперечной) со-

ставляющей волны

Еп = Еп 0е

'(ю/-кг +5)

Очевидно, что от продольной составляющей аналога электрического поля (22) волна не возникает.

Заключение

Классическая модель магнитного поля имеет следующие особенности:

• допускает нарушение ТЗН;

• исключает взаимодействие соосных элементов проводников с токами;

• не предусматривает существование моментов сил, действующих на элементы проводников;

• направление вектора напряженности поля не совпадает с направлением вектора силы, действующей на элемент проводника с током;

• индукция зависит от свойств среды, а напряженность — нет;

• дивергенция поля равна нулю;

• законом Ампера принято считать формулу, в общем случае несовместимую с его основным результатом;

• закон электромагнитной индукции является феноменологическим.

Указанные особенности, по-видимому, в меньшей степени обусловлены субъективными факторами и в значительной степени являются следствием ограниченности арсенала средств векторной алгебры. Не вводя в рассмотрение мнимые и комбинированные векторы, и имея возможность использовать только операции произведения векторов, невозможно выражение (1) сконструировать как-то иначе, так, в частности, чтобы не нарушался ТЗН.

Построенная модель формального аналога электромагнитного поля этих особенностей не имеет, в частности, формальные аналоги закона электромагнитной индукции являются простым следствием других свойств и соотношений поля.

Построенная модель удовлетворяет основному требованию Ампера для магнитостатики — безусловному выполнению ТЗН.

Кроме того, в абстрактной модели ключевую роль необходимо играет магнит-

ный заряд 1сИ и магнитный монополь С Н

{/¿1} г

Литература

1. Тамм И. Е. Основы теории электричества. М.: Физматлит, 2003. 616 с.

2. Томилин А. К., Прокопенко Е. В. Продольные колебания упругого электропроводного стержня в неоднородном магнитном поле // Вестник Томского гос. ун-та. Математика и механика. 2013. № 1(21). С. 104-111.

3. Николаев Г. В. Непротиворечивая электродинамика. Теория, эксперименты, парадоксы. Томск, 1997.

4. Ампер А. М. Электродинамика. М.: АН СССР, 1954. 492 с.

5. Попов И. П. Два подхода классиков электромагнетизма к взаимодействию проводников с токами // Вестник Курганского государственного университета. Естественные науки. 2015. Вып. 7. № 1(35). С. 55-56.

6. Попов И. П. О некоторых аспектах магнитоэлектрического взаимодействия // Вестник Челябинского государственного университета. Физика. 2009. Выпуск 5. № 24 (162). С. 34-39.

7. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 3. М.: Наука, 1966. 656 с.

8. Корн Г. Справочник по математике. М.: Наука, 1977. 832 с.

9. Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. Электромагнитное поле. М.: Высшая школа, 1986. 263 с.

10. Попов И. П. Поверхностные градиент, дивергенция и ротор // Вестник Псковского государственного университета. Естественные и физико-математические науки. 2014. Вып. 5. С. 159-172.

11. Ванин А. И. К теории инициированного поверхностью комбинационного рассеяния света на молекуле, адсорбированной на сферической частице // Вестник Псковского государственного университета. Естественные и физико-математические науки. 2014. Вып. 5. С. 177-185.

12. Верхозин А. Н. Магнитооптика вчера и сегодня (к 170-летию открытия эффекта Фарадея) // Вестник Псковского государственного университета. Естественные и физико-математические науки. 2015. Вып. 6. С. 114-124.

Об авторе

Попов Игорь Павлович — старший преподаватель кафедры «Технология машиностроения, металлорежущие станки и инструменты», Курганский государственный университет, Россия.

E-mail: ip.popow@yandex.ru

I. Popov

THE ROLE OF PSEUDOVECTORS IN FORMAL ELECTROMAGNETIC FIELD ANALOGY MATHEMATICAL MODELING

It is shown that the classical model ofthe magneticfield allows the violation of Newton's third law, eliminates the interference of coaxial conductors elements with currents, does not provide for the existence of the forces' momentum acting on the elements of the conductors, Ampere's law is considered to be a formula which in the general case is incompatible with its main result. With the use of such mathematical entities as pseudovectors, combined and associated vectors we have constructed a formal model of the electromagnetic field analog, not having these features, for instance, the formal analogy of the law of electromagnetic induction is a simple consequence of other properties and relations offields. With all these factors considered, the developed model meets the essential Ampere's requirements - the unconditional implementation of Newton's third law.

Key words: pseudovector, magnetic field, Newton's third law, the elements of coaxial conductors, the moments of forces, tension, induction, divergence.

About the author

Igor Popov — Senior Lecturer at the Department of Technology of Mechanical Engineering, Metal-Cutting Machines and Tools, Kurgan State University, Russia. E-mail: ip.popow@yandex.ru