Построение абстрактной модели силового поля типа электромагнитного часть 1 Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

«НАУКА. ИННОВАЦИИ. ТЕХНОЛОГИИ», №2,2015

УДК 537.611 Попов И.П. [Popov I.Р.]

ПОСТРОЕНИЕ АБСТРАКТНОЙ МОДЕЛИ СИЛОВОГО ПОЛЯ ТИПА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО. Часть 1

Abstract model power field electromagnetic type building. Part 1

Показано, что классическая модель магнитного поля допускает нарушение третьего закона Ньютона, исключает взаимодействие соосных элементов проводников с токами, не предусматривает существование моментов сил, действующих на элементы проводников, законом Ампера принято считать формулу в общем случае несовместимую с его основным результатом. Построена формальная модель аналога электромагнитного поля, не имеющая указанных особенностей, при этом модель удовлетворяет основному требованию Ампера - безусловному выполнению третьего закона Ньютона.

Ключевые слова: магнитное поле, третий закон Ньютона, соосные элементы проводников, моменты сил.

It is shown that the classical model of the magnetic field allows the violation of Newton's third law, eliminates interference elements coaxial conductors with currents, does not provide for the existence of moments of forces acting on the elements of the conductors, Ampere's law is considered to be the formula generally incompatible with its main findings. The formal model is an analogue of the electromagnetic field, not having these features in this model meets the essential requirements Ampere - unconditional implementation of Newton's third law.

Key words: magnetic field, Newton's third law, the elements of coaxial conductors, the moments offerees.

Введение

В существующей модели магнитного поля силы взаимодействия между замкнутыми контурами с токами удовлетворяют третьему закону Ньютона (ТЗН). Однако эти силы являются результатом сложения элементарных сил, действующих между малыми элементами проводников с токами, для которых ТЗН может нарушаться [1]. На рисунке представлен предельный случай такого нарушения.

Первый элемент проводника <Л] с током /, действует на второй с силой

к

ей,

с№21 1 (й2

(1)

где ¿/В] - магнитная индукция, - магнитная проницаемость, г - рациус-вектор.

Эта сила имеет максимальное значение, поскольку все перемножаемые векторы взаимно перпендикулярны. В то же время, второй элемент действует на первый с силой

Щ2 = А = = о,

так как сП2 и г коаксиальны.

Модель магнитного поля имеет ряд других противоречий, которые будут показаны ниже.

Целью настоящей работы является не исправление существующей теории электромагнитного поля, а построение в трехмерном евклидовом пространстве модели формального аналога магнитного поля, с одной стороны - максимально похожей на магнитное поле, с другой стороны - не вступающей в противоречие (на микроуровне) с ТЗН - одним из основных законов механики и свободной от других противоречий модели магнитного поля. На невозможность нарушения ТЗН при взаимодействии проводников с токами указывал Ампер [2]. Попытки построения непротиворечивых моделей предпринимались в работах [3, 4], которые представляются излишне феноменологическими.

Далее величины формального аналога электромагнитного поля для отличия их от соответствующих величин электромагнитного поля обозначаются другим шрифтом: д, I, В, Н, Д Е, Р —* С), I, В, Н, О, Е, Р.

В качестве одной из предпосылок дальнейшего рассмотрения может быть рассмотрена измененная конфигурация вышеприведенного примера,

в которой второй проводник расположен параллельно первому, при этом они перпендикулярны соединяющему их радиус-вектору, так, что силы взаимодействия лежат на одной прямой. ТЗН в этом случае не нарушается. При этом

ар = (2) 4я г2

Материал дальнейших разделов починен следующей логике изложения.

1. Определяется формула силы взаимодействия элементов проводников с токами, являющаяся отправной точкой. Эта формула связывает классическую и предлагаемую теории, поскольку удовлетворяет обеим.

2. Обосновано наличие взаимодействия соосных элементов проводников с токами, являющегося необходимым условием соблюдения ТЗН на микроуровне.

3. Вводится в рассмотрение формула в общем виде для взаимодействия соосных элементов, унифицированная с формулой первого раздела для параллельных элементов. Безразмерный коэффициент формулы нуждается в дальнейшем уточнении.

4. Определяется формула для произвольно расположенных элементов, являющаяся суперпозицией формул для параллельных и соосных элементов. Формула содержит неопределенный коэффициент, привнесенный сосной составляющей.

5. Выделяются закономерности полевых взаимодействий, необходимые для установления значения неопределенного коэффициента в формуле для произвольно расположенных элементов.

6. Устанавливается искомое значение неопределенного ранее коэффициента.

7. С учетом найденного коэффициента определяются формулы для силы и энергии взаимодействия элементов проводников при соблюдении ТЗН.

1. Первый признак формального аналога электромагнитного поля, совпадающий с соответствующим признаком магнитного поля

Этот признак состоит в том, что если элементы формальных аналогов токов ДоТ] и 12с/\ 2 лежат в одной плоскости Л" и перпендикулярны соединяющему их радиус-вектору г, то также как и в (2) они взаимодействуют с силой

12 — 21 — , ;

4тгг г

¿г- .тШЯМгЯ

4лг~

Здесь /77 - формальный аналог магнитной проницаемости. Если Sj и ,V2 - плоскости, образованные соответственно парами векторов l ili . г и Аб/Ь. г, и а - угол между .V и ,V2. то

алХшаЖ2

éF = -т cosa (3)

4тгг'

2. Второе противоречие модели магнитного поля

Несмотря на то, что Ампер считал, что силы взаимодействия соосных токов существуют (этот вывод он сделал, в том числе, и на основании собственных многочисленных экспериментов [2]), в классической модели магнитного поля соосные проводники с токами не взаимодействуют.

Из того обстоятельства, что сила взаимодействия элементов проводников с токами является градиентом энергии магнитного поля, созданного этими элементами, следует, что между элементами со стабилизированными токами существует сила взаимодействия, если при изменении расстояния между ними энергия результирующего поля, созданного элементами, изменяется. Впредь, для того, чтобы не усложнять рассуждения учетом влияния электромагнитной индукции, имеется в виду, что рассматриваемые токи являются стабилизированными.

Таким образом, если сила Р между соосными элементами существует, то интеграл

¡/•с/г = А = 1¥п-1¥,

00

не равен нулю.

Пусть для двух соосных элементов ЦЦ = с!1= Л, токи I I. /и направлены в одну сторону. Модуль напряженности магнитного поля, созданного одним элементом в произвольной точке, равен

„ Ш .

Н =--втф

4кг-

где ср - угол между векторами сА иг. При расстоянии между со-

осными проводниками равном бесконечности суммарная энергия поля, созданного ими, равна

гН2 ц0ц(М) гзт2ф

•'V 107Г г

Г

где V = / . При расстоянии между соосными проводниками равном нулю М и совмещаются и образуют один элемент Л, по которому течет ток 21.

ж _ ц0ц(2М)

2 . о О

32тг

следовательно, сила взаимодеиствия между соосными элементами с током

17 ^

F =--(4)

йг

существует.

В этой связи возникает необходимость выяснить, в какой мере эксперименты, выполненные Био и Саваром, исключают возможность существования этой силы.

Эти эксперименты, по существу, не являлись опытами по определению напряженности магнитного поля. Это и не были эксперименты по определению взаимодействия линейных проводников с током. Они задумывались и осуществлялись для определения силы взаимодействия проводников и постоянного магнита. Не случайно в формулу входила

«магнитная масса» т (Г тЫЫтцу/г2 [5]). А поскольку действие магнита определяется действием круговых токов, которые можно условно заменить одним эквивалентным круговым током, то эксперименты по существу показывали, как отрезок линейного проводника взаимодействует с круговым током.

Пусть магнит располагается на оси линейного проводника (но не самом проводнике) так, чтобы ось совпадала с плоскостью кругового тока магнита. Круговой ток можно представить в виде двух токов, направленных в противоположные стороны и соосных линейному проводнику. Один из этих токов в соответствии с (4) притягивается к линейному проводнику, а второй с такой же по величине силой отталкивается от него и суммарное осевое усилие равно нулю. По этой причине эксперименты Био и Савара не могли выявить силу взаимодействия соосных проводников и, следовательно, не дают никаких оснований ее «запретить».

Таким образом, вторым противоречием классической модели магнитного поля является противоречие с методом определения силы как градиента энергии, т.е. отсутствие учета силового взаимодействия между соосными составляющими элементов проводников с токами.

Модель квазиэлектромагнитного поля свободна от указанного противоречия.

Замечание. Нетрудно убедиться, что ТЗН нарушается тогда, когда векторы сА имеют продольные составляющие, коаксиальные радиус-вектору. Из этого следует вывод: если исходить из того, что ТЗН нарушаться не может в силу своей всеобщности (по крайней мере, в условиях магнитостатики), значит, при классическом расчете из-за двойного векторного произведения (1) теряются силы взаимодействия продольных проводников или их составляющих. На существование этих сил указывал Ампер и их наличие обосновано выше.

Поскольку расчет сил методом двойного векторного произведения корректен лишь в случае, когда перемножаемые векторы ортогональны, следует прибегать к более универсальному методу определения сил как градиента энергии (4).

3. Второй признак формального аналога электромагнитного поля, не совпадающий с соответствующим противоречивым признаком магнитного поля

Этот признак заключается в том, что соосные элементы формальных аналогов токов /, с/1, и /2с/12 в заимоде иству ют с силой

d Fn = —й/F-,, = —km

i А1 '¡2^2 Г12

Anr1 r

л. , (Ц1 (LdUX dF ——km— — Ч —-4nr

где kT - некоторый безразмерный коэффициент, величина которо-

го будет установлена ниже. В классической модели магнитного взаимодействия эта сила считается равной нулю.

4. Общий случай взаимного расположения элементов формальных аналогов токов

В общем случае взаимодействующие элементы формальных аналогов токов l\dlг и /2¿/I2 расположены под углом у относительно друг друга и составляют с соединяющим их радиус-вектором г углы cpj и ф2. При этом

cosy = sincpjsincp^cosa + coscpjcosq)., (6)

Векторы I]С/\] и l2dl2 можно разложить на поперечные i /|б//| , (l2cll2 и продольные (lldl1)x, (LdL )т составляющие относительно радиус-вектора. В соответствии с (3), (5) и (6) суммарная сила взаимодействия элементов формальных аналогов токов /, ¿/I, и /2<Л2 равна

dF = -т ' '' г)п cos a - к.т " ъЛ\ 2Л = 4кг 4пг

^С/Д si»^Х/^/д sinф2)____ , cosyJO^coscpj) _

ГГ| - vUj IX K^íTI - —

4кг 1 4го-

-т háhbáh (sin ф, sin ф2 cos a + cos ф, cos ф2) = 4 кг

-т rcos у + _ i) cos ф, cos ф2 ]• ^7 *

4тсг

¿/F направлена вдоль г.

Выражение (7) совпадает с основной формулой Ампера применительно к магнитному взаимодействию. По-видимому, является недоразумением считать законом Ампера выражение (1), которое в общем случае несовместимо с его основным результатом.

При этом Ампер полагал кт = -0,5. Однако эта величина нуждается в уточнении. Для ее определения потребуется прояснить ситуацию с моментами.

5. Моменты сил в классическом магнитном поле и заимствование результатов для формального аналога

электромагнитного поля

Если в системе из п контуров с токами какой-то контур под действием поля повернется на угол ¿/(р. то энергия магнитного поля изменится на величину $¥м и совершится механическая работа Мскр. где М - момент, действующий по направлению ¿/ф [7]. Для ¿-го контура уравнение по второму закону Кирхгофа;

При умножении уравнения на ¡ик получается + цс№к = ек1кЛ.

Для всей совокупности контуров

п п п

Е**2 V+=

к=1 1=1 к=1

ИЛИ

п п п

1>'А=-

к=1 4=1 к=1

Это энергия, полученная от источников электродвижущей силы за вычетом тепла. В соответствии с законом сохранения энергии

^к№к=М<1ц> + са¥м.

к=1

М=ы----(8)

В частном случае, если при повороте конту ра на угол cl<.р токи во всех контурах меняются таким образом, чтобы потокосцепления оставались неизменными, т.е. с1Ук = 0,М=- dWM/d(p.

Представляет интерес другой частный случай со стабилизированными токами (4 = const), для которых

wM= Х^ь

При подстановке в (8)

м =

у к к iW

к=1 z ¿=1 _ ипМ

dq> с/ф

Таким образом, получены следующие результаты:

5.1. В обоих рассмотренных частных случаях приращение энергии магнитного поля dWM равно механической работе А/с/о.

5.2. В первом частном случае работа совершается за счет изменения энергии поля.

5.3. Во втором частном случае и работа и изменение энергии осуществляются за счет энергии внешних источников.

5.4. На объекты (/dl), испытывающие воздействие со стороны магнитного поля, действуют моменты, если энергия совокупного магнитного поля является функцией углов (одной из сторон которых является dl).

5.5. Для определения моментов нужно аналитические выражения для энергии магнитного поля продифференцировать по углам, функции которых входят в состав этих выражений.

5.6. В первом частном случае поле стремится повернуть взаимодействующий с ним объект таким образом, чтобы энергия поля убывала.

5.7. В случае стабилизированных токов поле стремится повернуть взаимодействующий с ним объект таким образом, чтобы энергия поля возрастала.

Для описания формального аналога электромагнитного поля заимствуются результаты по п.п. 5.4, 5.5, 5.7., а именно:

5.8. На элементы формальных аналогов токов Ml, испытывающие воздействие со стороны поля, действуют моменты, если энергия совокупного поля является функцией углов (одной из сторон которых является /<//).

5.9. Для определения моментов нужно аналитические выражения для энергии формального аналога электромагнитного поля продифференцировать по углам, функции которых входят в состав этих выражений.

5.10. В случае стабилизированных формальных аналогов токов поле стремится повернуть взаимодействующий с ним элемент Idl таким образом, чтобы энергия поля возрастала.

6. Уточнение величины кт

В соответствии с (7) энергия формального аналога электромагнитного поля равна

W = f Fdr = m [cosу + (к -1)cos<р, coscp21 + C. (9)

J 4jir

Для наглядности можно допустить, что а = 0, а углы ф!

и ф2 острые, равны между собой и расположены по одну

сторону от радиус-вектора.

Пусть к7 < 1. В соответствии с 5.10. поле стремится повернуть элементы таким образом, чтобы энергия поля возросла. А это значит, что моменты М] 2 и М21 направлены в одну сторону, в сторону уменьшения ф! и ф2 и принцип противодействия нарушается. Таким образом, предположение кт< 1 неверно.

Пусть кт< 1. Моменты М12 и М21 тоже направлены в одну сторону, в сторону увеличения ф] и ф2 и принцип противодействия снова нарушается. Таким образом, предположение кт< 1 тоже неверно.

Единственным непротиворечивым значением кт является кт = 1. Несмотря на то, что Ампер применительно к классическому магнитному полю получил другое значение (кт = -0,5), он сделал правильный вывод:

Система стремится уменьшить угол у, т.е. элементы стремятся повернуться так, чтобы стать параллелъ-нылт друг другу [2].

Этот вывод распространяется на формальный аналог электромагнитного поля. При этом выполняется аналог третьего закона Ньютона для моментов

с1М12 = -с1М21.

7. Энергия, силы и моменты для формального аналога электромагнитного поля

Из (9) с учетом того, что kT = 1

LdLLdL _ l,dl,-l2dl2 ,1ПЧ

W = m ————— cos у + С = m-—1 1 2- + C. (10)

4nr 4nr

12 = 2\ = — = -«l1^1 COSy.

or 4 nr

Для параллельных (антипараллелъных) элементов формальных аналогов тока Idl сила взаимодействия не зависит от углов ф] и ф2, в частности, соосные элементы притягиваются (отталкиваются) с такой же силой, как и перпендикулярные соединяющему их радиус-вектору (при одинаковом расстоянии между ними). Это также следует из (3) и (5), с учетом того, что kT = 1.

Векторная форма записи:

dri2=-din=-^(dlv<R2)rn. (11)

4 nr

Другими словами, ТЗН для формального аналога электромагнитного поля выполняется при любом взаимном расположении элементов формальных аналогов тока Idl.

В соответствии с (6)

.»г _ т (!Жтирг) соаа т (/¡4 со8ф, )(12<Л2сояф2) 4 пг2 4пг2

Первое слагаемое является силой взаимодействия между поперечными составляющими элементов. Второе слагаемое - это сила взаимодействия между продольными составляющими.

Для частного случая, соответствующего (3) (о = ф2 = л/2, а = 0)

dFI = -т

lldlil2dl2 4 пг2

Для другого частного случая, соответствующего (5) (ф, = ф2 = а = 0)

у /i dl i ry б//П

dFz = -m 1 - - • 4 га-

Дня этих двух частных случаев dF„ = dFT, как и указано в начале параграфа.

В соответствии с 5.8. и 5.9. на элементы формальных аналогов тока Idl действуют моменты

,пл 51N l.df.LdL .

dMn = -dMn =-= -т 1 12 2 sm у

aß 4 го- (12)

dN\n = -с/М21 = --^^-[б^.сЛ,]-4 га-

Другими словами, аналог ТЗН для моментов для формального аналога электромагнитного поля выполняется при любом взаимном расположении элементов формальных аналогов тока Idl.

dW

-= т-———-

с^ 4 зг/'

dW _ Щ1Ж .

dMф1 = = т-———-(cos ф, sin ф2 cosa - sin ф1 cos ф2)' Эф! 4ткг

dM 2 =-= т 1122 (sin cos ф2 cos a - cos ^ sin ф2) >

<Эф2 4 л:r

dW IMIJI, .

dMa =-= -m-———-su^ втф, sma'

да 4 кг

dM = dFrtgy

с/М„ = (1РпП£ос,

«Ид = - ■

¿м г = ф2 - ф2 •

Заключение

Классическая модель магнитного поля имеет следующие особенности:

— допускает нарушение ТЗН;

— исключает взаимодействие соосных элементов проводников с токами;

— не предусматривает существование моментов сил, действующих на элементы проводников;

— законом Ампера принято считать формулу в общем случае несовместимую с его основным результатом.

Указанные особенности, по-видимому, в меньшей степени обусловлены субъективными факторами и в значительной степени являются следствием ограниченности арсенала средств векторной алгебры.

Построенная модель формального аналога электромагнитного поля этих особенностей не имеет. Устранение этих особенностей не потребовало введения новых физических представлений. «Потерянное» в классической теории осевое взаимодействие отыскивается классическим же образом - как градиент энергии поля. В свою очередь учет «восстановленного в правах» осевого взаимодействия автоматически приводит к сохранению ТЗН на микроуровне.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ

список

1. Тамм И.Е. Основы теории электричества. М.: Физматлит, 2003. 616 с.

2. Ампер A.M. Электродинамика. М.: АН СССР, 1954. 492 с.

3. Томилин А.К., Прокопенко Е.В. Продольные колебания упругого электропроводного стержня в неоднородном магнитном поле // Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2013. № 1(21). С. 104-111.

4. Николаев Г.В. Непротиворечивая электродинамика. Теория, эксперименты, парадоксы. Томск, 1997.

5. Фихтенгольц ПМ. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 3. М.: Наука, 1966. 656 с.

6. Корн Г. Справочник по математике. М.: Наука, 1977. 832 с.

7. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электромагнитное поле. М.: Высшая школа, 1986. 263 с.

ОБ АВТОРАХ

Попов Игорь Павлович, старший преподаватель кафедры общей физики Курганского государственного университета. Телефон: (3522) 42-94-58. E-mail: [email protected].

Popov Igor Pavlovich, senior lecturer of the Common physics Department, Kurgan State University, Phone: (3522) 42-94-58. E-mail: [email protected].