Построение абстрактной модели силового поля типа электромагнитного. Часть 2 Текст научной статьи по специальности «Физика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

«НАУКА. ИННОВАЦИИ. ТЕХНОЛОГИИ», №3, 2015

УДК 537.611 Попов И. П. [Popov I. Р.]

ПОСТРОЕНИЕ АБСТРАКТНОЙ МОДЕЛИ СИЛОВОГО ПОЛЯ ТИПА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО. Часть 2

Abstract model power field electromagnetic type building. Part 2

Показано, что в классической модели электромагнитного поля направление вектора напряженности поля не совпадает с направлением вектора силы, действующей на элемент проводника с током, индукция зависит от свойств среды, а напряженность - нет, дивергенция поля равна нулю, законом Ампера принято считать формулу, в общем случае несовместимую с его основным результатом, закон электромагнитной индукции является феноменологическим. Построена формальная модель аналога электромагнитного поля, не имеющая указанных особенностей, в частности, формальные аналоги закона электромагнитной индукции являются простым следствием других свойств и соотношений поля, при этом построенная модель удовлетворяет основному требованию Ампера - безусловному выполнению третьего закона Ньютона.

Ключевые слова: электромагнитное поле, напряженность, индукция, дивергенция, третий закон Ньютона.

It is shown that in the classical model of the electromagnetic field the direction of the vector field strength does not coincide with the direction of the force acting on an element of the conductor with current induction depends on the properties of the medium, and the tension -no, the divergence of the field is zero, the Ampere law is considered to be a formula in the general case is incompatible with its main result, the law of electromagnetic induction is phenomenological. A model of the formal analogy of the electromagnetic field, which has no specified features, in particular, the formal analogy of the law of electromagnetic induction is a simple consequence of the other properties and relations of the field, while the constructed mode! satisfies the basic requirement Ampère - unconditional implementation of Newton's third law.

Key words: electromagnetic field, tensions, induction, divergence, Newton's third law.

В первой части настоящей работы [8] выполнено согласование формального аналога магнитостатики с третьим законом Ньютона (ТЗН). Сделанные в этой связи поправки неизбежно повлияли на формальный аналог электродинамики. Учету этого влияния и посвящена предлагаемая вторая часть. Поскольку первая и вторая части составляют

единое целое и для исключения разночтений при ознакомлении с ними, в них использована сквозная нумерация формул, рисунков, разделов и цитируемой литературы.

добно (1) в виде произведения двух векторов, один из которых напряженность включает в себя /, сЛ, и г, а второй - 12с/\2 . при этом очевидно, что 11сЯ1 не должен быть связан с г векторной операцией, поскольку в (11) он связан с !0с1\0 операцией скалярного произведения, вводятся в рассмотрение подразумеваемые (мнимые) векторы, или псевдоеекторы, а также комбинированные векторы [9].

Определение 1. Псевдовектор - это скаляр, в котором содержится информация о включенном в него векторе. Обозначение псевдовектора:

Определение 2. Комбинированный вектор - это произведение вектора и псевдовектора.

Обозначение комбинированного вектора:

Нижний индекс содержит информацию о направлении вектора, верхний индекс - о направлении псевдовектора.

С учетом введенных понятий напряженность для формального аналога электромагнитного поля можно представить в виде

Напряженность для формального аналога электромагнитного поля. Подразумеваемые (мнимые) векторы. Комбинированные векторы. Для представления (11) по-

{Р} = {¡Рх + \РУ + {Р} = Р

ЩЛ]1 = т

Ш

4тхг2

т-т -

4ш" г

(13)

Величина напряженности для формального аналога электромагнитного поля, созданного элементом формального аналога тока Ich не зависит от угла между) радиус-вектором г и 1сЛ

Третье и четвертое противоречия

классической модели магнитного поля.

В описаниях созданных ранее классической модели маг-

нитного поля силовых полей - гравитационного и электростатического -напряженность определяется как сила, действующая на единичный объект, порождающий поле. Соответственно этому направление вектора напряженности естественным образом совпадает с направлением вектора силы. В классической модели магнитного поля вектор напряженности ортогонален вектору силы. В модели формального аналога электромагнитного поля это противоречие устранено.

У гравитационного и электростатического полей напряженность зависит от свойств среды. При этом в описании электростатического поля индукция от свойств среды не зависит. В классической модели магнитного поля все наоборот. В этом заключается его четвертое противоречие с традиционной моделью поля. Нет причины переносить это противоречие на модель формального аналога электромагнитного поля.

Индукция и потенциал для формального аналога электромагнитного поля. Индукция для формального аналога электромагнитного поля

Н = тВ

Формальный аналог электромагнитного поля имеет радиальный характер, следовательно, оно является потенциальным. При ей —> 0 эквипотенциальными поверхностями являются сферы. Для такого поля в соответствии с [1]

сМ''л' = угаскр, где (р - потенциал поля.

Величина /¿/I может рассматриваться в качестве магнитного заряда, а поле (13), (14), им созданное, - в качестве магнитного монополя.

Если выбрать систему координат таким образом, чтобы ось абсцисс совпала с радиус-вектором, то

4 кг" г 4тш дх

4лх 4кг

Свойства мнимых и комбинированных векторов и операции с ними

#=и^=и{Р 1.11.2.1 Р1р'={Р}--[р \ 11

Ф) = Ы

4. При взаимодействии мнимых векторов на них распространяются все правила операций с векторами.

1.

2. 3.

5. Мнимый вектор и вектор взаимодействуют между собой как скаляр и вектор.

6. При взаимодействии комбинированных векторов между собой могут использоваться двойные записи операций: « {•} •», « {•}* », « {х} • », « {х} X », « {+} + », «|х| + », « {+} х », « {•) + », «•». Операция в скобках связывает мнимые векторы. Вторая операция связывает векторы. При перемножении псевдовектора и комбинированного вектора нет необходимости размещения знака произведения в скобки. Очевидно, что знак произведения « • >> или « X » в этом случае распространяется на псевдовекторные составляющие.

7. При необходимости скобки раскрываются применением двойных скобок, например, {{е{р} }| = еР

8. В присутствии вектора и скобка раскрываться не может. Исключение составляет случай, когда выражение, стоящее в скобке, является скаляром, например, в результате скалярного произведения векторов Например,

и V \11 I) \и V)

10. В отсутствии вектора и скобка не раскрывается, если другая часть равенства является скалярной величиной.

ÍpI М ( и е— щ

\и [р\ [v [Р\ V и vj р\

11.

12. е^ = е ^ -+bД -=-\е±+Ъ1 =-с =с - -=<\

\р \ и \q\u и \ р q\ и |cj и

12.2. {p} + {q} = {q} + {p} = {p + q}

14. =

{р\и [р q\u

14.1. {рНЧ} = {Р-Ч} = Р-Я

= еЪ

'ля)

Р Ь

и и

- = с- = си

и и

.=4£ хА]

\р\ и [д] ч)

15.1. {р}х{я} = {рхЧ}. 11.15.2. е;р!х^р! =0

16. = + ^ +

1 ' [ дх ду дг]

17. = = =

[ дх ду д! ] дх ду д!

18. Мх{р} = {Ухр}

Связь между величинами формального аналога электромагнитного поля

т

{/Дх}г -{1Л2} = -т

2) , 3 ( г 1г Х'2Ы'21

Ажг

4 кг

г = -т-

4 %г

3 '12

г12, (15)

что совпадает с (11). Полученное выражение существенно отличается от (1), которое принято называть законом Ампера.

¿М12 = {{¿Н^ЧхМ 12Л2)г}} = \ \ Мх}.{/2Лй}г }.}. =

4кг3

4кг 4кг

(16)

что совпадает с (12)

И/ = Ф• {1&} =*)• (¿А 1 + С = т'Л'+ С 4 кг 4 кг

е

что совпадает с (10).

Теорема Гаусса для формального аналога электромагнитного поля. Поскольку формальный аналог электромагнитного поля имеет радиальный характер, для него выполняется теорема Гаусса

/в= +

где площадь замкнутой поверхности, ограничивающей не-

который объем, I - формальный аналог тока смещения.

В дифференциальной форме

,Ч,иГ а! _

сНУВ

= УВ

да

(17)

где ] - формальный аналог плотности тока,

()Х51()1 - формальный аналог плотности тока смещения, Б - формальный аналог электрического смещения или элек-

трической индукции.

Скобки могут быть раскрыты двойными скобками (11.7)

ар]

с!пВ

= }+■

50

Еще одним противоречием классической модели магнитного поля является равенство нулю его дивергенции.

Деление векторов.

Для целей дальнейшего рассмотрения требуется определить операции деления вектора на вектор.

1. Скалярное деление двух векторов Определение. Частное е/Ь от скалярного деления вектора е на вектор Ь есть скаляр

С 1 Ь 1 С

р =. =e'ü = e"^: = iT(e'b) = iT = 7cose' (18)

b b bb b ' ъ~ ъ

где q- угол между векторами е и b. При этом

eb 2

■ = cos 0

b е

2. Векторное деление двш векторов Определение. Частное е b от векторного деления вектора е на вектор b есть вектор

■ 1 b 1 / ,ч d ed

q=e-^b = ex — = ех-= —-(exb)=—г =--sin tí (19)

b b-b ЪгК ' b2 bel

При этом

e b / . ч /. . . ■ с '

(e-ьb)• (b*e) = -sin20 ££_(e*b)-(b*e) = 1, p3 +q2 =y.

Теоремы о полном делении векторов Если известны частные от скалярного р и векторного ц деления двух векторов е и Ь, а также делитель Ь, то делимое определяется, как

с Ър Ь*(]

Доказател ъство:

Ьр+Ьхя = р-[ь(е-Ь)+Ьх(«й<Ь)] = р-[Ь(е-Ь)+е(Ь-Ь)-1ф-е)] = е

3.2. Если известны частные от скалярного р и векторного q деления двух векторов е и Ь, а также делимое е, то делитель определяется, как

3. 3.1.

Доказательство:

^[(е-Ь)е+(ехЬ)хе] = 1[(е.Ь)е+Ь(е.е)-е(е.Ь)] = Ь.

Формальный аналог индуцированного электрического поля. Формальный аналог напряженности электрического поля - это сила, действующая на единичный формальный аналог электрического заряда д. Пусть последний движется со скоростью v. Могут быть рассмотрены следующие частные случаи.

4.1. Продольное движение (рис. 2)

В соответствии с (15) формальный аналог напряженности электрического поля

Рис. 2.

Продольное движение.

dq с1ц

т » ^ I 1 п , »

4 %г

4 %г

м=

Л Я1 1 Л]

т1сИТ /Л-

-^УГ ■V 1 -

4 %г 4 %Г 1с11

,/Н, 1 -{у}

-тА

Ш1

(20)

В скалярной форме

с!ЕТ = с1Нх\>

Формальный аналог ЭДС ¿/¿Г = с/Е,с/1 = сШусН .

4.2. Поперечное движение (рис. 3)

Рис. 3. Поперечное движение.

В соответствии с(16)

= {{¿нГ-Чх} • {/А И} = • {^0У}г}}

С другой стороны, й?М = [г,й?Р]. В соответствии с(19) с!?п = ¿м -8- г = {{¿н^-чх} • {^у}г}} - г = {х} ■ {^у}г}} х ~,

= + г = {{</Н<! {х} ■! V }г}} ^ г = ! {х} ■ {у}г }} х =

■ МГ}} х^ = -^{{{Ц, X у}г. г}} X -1 = X V) X г =

В скалярной форме

с1Еп=~<1Нё>.

Формальный аналог ЭДС <31 ^ = ЛЕМ = -сМл'Ш

Изменяющееся поле.

Для точки, расположенной в конце радиус-вектора г, изменение величины 1с! 1 равносильно перемещению вектора 1сИ вдоль радиус-вектора г с некоторой скоростью. Это дает возможность использовать результаты предыдущего раздела.

1. Продольное (относительно 1сЛ) поле

На рис. 2 заряд удаляется от источника поля, поэтому оно уменьшается. Если заряд неподвижен, то для уменьшения поля источник должен двигаться со скоростью, имеющей противоположный знак. С учетом этого и в соответствии с (20)

л, = --анР^, -= (22)

Ш1 Ф Ы1 с!г Ж с!г Л

2. Поперечное (относительно 1сИ)поле

В соответствии с (21)

с/Е „ с!Н кЛ.. с/Е с/Н

с/г

Ж /с// с/г

Ж

(23)

В произвольной точке поле можно разложить на продольную и поперечную составляющие

б/Е _ с/Ет (1 Е„ _ с/Н с/г с!г с/г с#

/с/1„ 1сЛ

Л

/б//,, /б//

Т У

с/НгкЛ.: кЛ. Л \ ¡41

ё/Н /С/Г б// /с//

Здесь кЛ -вектор сопряженный вектору 1(Л [10] (см. рис. 4).

1(/\,, ■ У: "У г

1сйх -1сЛТ "

Рис. 4. Сопряженные векторы.

Выражения (20)-(24) являются формальными аналогами закона электромагнитной индукции, которые в отличие от классической феноменологической модели электромагнитного поля являются простым следствием других свойств и соотношений поля.

Производные вектора по другому вектору Производную формально можно рассматривать как деление дифференциалов. Подобно тому как деление вектора на другой вектор может быть скалярным (18) или векторным (19), производная вектора по другому вектору тоже может быть скалярной или векторной. Формула для векторной производной представлена в [11 ]. Скалярную производную можно представить следующим образом.

с/а ■ — = с/(ах1 + а ] + агк) •

¿ь * ^ сцрмь^К к)

(с!а 1 + с1а \ + с1а к)----= с!а i-----—^ +

у ' с1Ъх\+с1Ъ\+(1ЬгМ х е&^ + МА + М,Ы Мх\

------+ с/а_к-----^ЬМ

с1Ь\ + с/Ьу\ + (1Ькс1. с1ЪЛ ' с!Ь:\ + с/Ь '\ + clhAi.il с]Ь_к

с1а.ДЬг ЛаДЬ с/а_с/Ь_ ¿а„ ¿а с1а_

X X | у у | л. 2, __л | у |

(МХУ (¿яд2 {¿ь7)2 аьх с1Ьу йЬ2

Представляет интерес частный случай, когда берется скалярная производная по радиус-вектор)' г .vi vj + zk

1 da da da da--= —- н--- н--- = diva = V • a

dv dx dy dz

Отсюда следует, что

f = V (25)

аг

Формальный аналог полной системы уравнений Максвелла в дифференциальной форме. Очевидным образом формальный аналог третьего уравнения Максвелла математически изоморфен оригиналу [12].

dV

В качестве четвертого уравнения следует рассматривать полученное выше выражение теоремы Гаусса для формального аналога электромагнитного поля

Аналогом первого уравнения можно считать (24). Для получения аналога второго уравнения в (17) можно использовать (25)

& 1 Г. 50

У-В1 =dв[ 8п - — = ^1 + —

& Г ¿V

<1В . dD

-= ]+- (26)

щр dt

Таким образом, аналог полной системы уравнений Максвелла в дифференциальной форме имеет вид

¿Е _ ЛН кЛ*

dr dt ¡di

SD\

II. ¿fB'171-—Hj+^k

1 í. 5D

dr dt

III. =

с/Г

.V. .

Здесь О = еЕ, где е - формальный аналог диэлектрической проницаемости.

Формальный аналог электромагнитных волн. Совместное решение (23) (для поперечного поля) и (26) при условииу = 0 дает:

с/2Е с12В с12В с!2Е с/2В (12В

■ = т—г1 —т- = е-- —т- = ет-

с/гс/1

(Ж с/г

ФА с/г

с/Г

Последнее - классическое волновое уравнение [13]. Его решение представляет собой монохроматическую волну:

В = В пе

/7 И 0

;(ю/-кг+5)

где \\ - циклическая частота,

к - волновое число,

с1 - начальная фаза. Скорость волны

1

с =

л/ёт

Аналогично находится формальный аналог электрической (поперечной) составляющей волны

р _ р ;(ю/-кг+5)

Очевидно, что от продольной составляющей аналога электрического поля (22) волна не возникает.

Таким образом, классическая модель электромагнитного поля имеет следующие особенности:

— допускает нарушение ТЗН;

— исключает взаимодействие соосных элементов проводников с токами;

— не предусматривает существование моментов сил, действующих на элементы проводников;

— направление вектора напряженности поля не совпадает с направлением вектора силы, действующей на элемент проводника с током;

— индукция зависит от свойств среды, а напряженность -нет;

— дивергенция поля равна нулю;

— законом Ампера принято считать формулу в общем случае несовместимую с его основным результатом;

— закон электромагнитной индукции является феноменологическим.

Указанные особенности, по-видимому, в меньшей степени обусловлены субъективными факторами и в значительной степени являются следствием ограниченности арсенала средств векторной алгебры. Не вводя в рассмотрение мнимые и комбинированные векторы, и имея возможность использовать только операции произведения векторов, невозможно выражение (1) сконструировать как-то иначе, так, в частности, чтобы не нарушался ТЗН.

Построенная модель формального аналога электромагнитного поля этих особенностей не имеет, в частности, формальные аналоги закона электромагнитной индукции являются простым следствием других свойств и соотношений поля.

Построенная модель удовлетворяет основному требованию Ампера для магнитостатики - безусловному выполнению ТЗН на микроуровне.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ

список

8. Попов И. П. Построение абстрактной модели силового поля типа электромагнитного. Ч. 1 // Наука. Инновации. Технологии: научный журнал Северо-Кавказского федерального университета. 2015. №2. С. 41-54.

9. Попов И. П. Поверхностные градиент, дивергенция и ротор // Вестник Псковского гос. ун-та. Естественные и физико-математические науки. 2014. Вып. 5. С. 159-172.

10. Попов И. П. О некоторых операциях над векторами // Вестник Волгоградского гос. ун-та. Серия 1: Математика. Физика. 2014. №5 (24). С. 55-61.

11. Анго А. Математика для электро- и радиоинженеров. М.: Наука, 1965. 780 с.

12. Максвелл Д. К. Трактат об электричестве и магнетизме. М.: Наука, 1989. 415 с.

13. Мешков И. Н., Чириков Б. В. Электромагнитное поле. Ч. 1. Новосибирск: Наука, 1987. 272 с.