Операторы типа набла: поверхностный, нулевой и мнимый нулевой Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.742.43

ОПЕРАТОРЫ ТИПА НАБЛА: ПОВЕРХНОСТНЫЙ, НУЛЕВОЙ И МНИМЫЙ

НУЛЕВОЙ

OPERATORS TYPE OF NABLA: SURFACE, ZERO AND ZERO IMAGINARY

И.П. Попов I.P. Popov

Курганский государственный университет, Россия, 640669, г. Курган, ул. Гоголя д.25 Kurgan state university, 25 Gogol St, Kurgan, 640669, Russia

E-mail: [email protected];

Аннотация. Вводится понятие о слагаемых векторных произведений, которыми являются первая или ортоположительная часть и вторая или ортоотрицательная часть; дальнейшим развитием этого понятия является представление о сопряженных векторах, векторном дифференциальном поверхностном операторе, поверхностном градиенте, производной по поверхности, поверхностных дивергенции и роторе. Рассматриваются поверхностные функции, их поверхностное дифференцирование и интегрирование. Показаны особенности поверхностных функций, для которых все слагаемые являются функциями не менее чем двух переменных, кроме того, поверхностные функции имеют смешанные частные производные второго порядка, при этом, по крайней мере, одна из смешанных частных производных второго порядка от любого слагаемого не обращается в нуль. Доказывается теорема о восстановлении поверхностной функции по ее поверхностному градиенту. Вводится понятие о линейной комбинации координат и ее делении на вектор, нулевом и мнимом нулевом векторных операторах, псевдовекторах и комбинированных векторах. Приведен ряд разложений с использованием введенных операций.

Resume. We introduce the notion of the terms of vector products, which are the first or ortopolozhitelnaya part and the second part or ortootritsatelnaya; further development of this concept is the notion of conjugate vectors, vector differential operator of the surface, the surface gradient, the derivative on the surface, the surface divergence and rotor. Treated surface functions, their surface differentiation and integration. The features of surface functions for which all terms are functions of at least two variables, in addition, surface features have mixed partial derivatives of the second order, with at least one of the mixed partial derivatives of second order of any term does not vanish . We prove a theorem on the restoration of surface features on its surface gradient. We introduce the notion of a linear combination of coordinates and its division by a vector zero and zero imaginary vector operators, pseudo and combined vectors. Is a series of expansions using these operations.

Ключевые слова: слагаемые векторных произведений, сопряженный вектор, векторный дифференциальный поверхностный оператор.

Key words: : items of vector products, conjugate vector, vector differential surface operator.

Введение

Работа посвящена рассмотрению ряда операций на пространстве гладких функций и векторных полей в □ 3. В качестве исходного пункта могут выступать нулевые величины. Их можно условно разделить на две категории. К первой категории относятся величины, содержимое которых "пусто". Ко второй - состоящие из величин, сумма которых равна нулю. К последней категории относится векторное произведение оператора Гамильтона (набла) на самого себя. При этом использование взаимно противоположных компонентов этого произведения создает определенные перспективы, в частности, развития элементов поверхностного векторного анализа. К таким элементам могут быть отнесены векторный дифференциальный поверхностный оператор, поверхностный градиент, производная по произвольной поверхности, поверхностные дивергенция и ротор, являющиеся аналогами соответствующих величин первого порядка [1; 2]. Названные операции относятся к поверхностному дифференцированию, которое можно рассматривать в качестве обратной задачи к поверхностному интегрированию. Перечисленные операции могут использоваться для получения разложений ряда векторных представлений второго порядка, часть которых имеет аналоги первого порядка. В ряде случаев для этого придется прибегнуть к специальным методам, таким, как сопряжение векторов, использование линейной комбинации координат, ее де-

ление на вектор, введение нулевого и мнимого нулевого векторных операторов, псевдовекторов и комбинированных векторов.

1. Слагаемые векторных произведений

Для векторов G и H имеет место операция векторного произведения

G х H = ( - ОгНу) i + (ОгИх - ОхНг) ) + ( - GyHx )k. Его можно представить в виде:

G х H = (GHi + GHj + G И k )-(GH i + G H j + GHk).

\ y z z xJ x y f \ z y x z J y x f

Определение 1.1. Операция G х, H := GyHzi + GzHxj + GxHyk называется первой или ортоположительной частью векторного произведения G х H векторных полей G = Gxi + Gy j + Gzk и H = Hxi + Hy j + Hzk .

Определение 1.2. Операция G хп H := H х, G = GzHyi + GxHz j + GyHxk называется второй или ортоотрицательной частью векторного произведения. Очевидно, что Gх H = G х, H - H х, G = G х, H - Gхп H.

Все вышесказанное справедливо и для ротора.

dM dM dMy Определение 1.3. Операция rot, M :=У х, M =-- i +--- j +--- k

dy dz dx

называется первой или ортоположительной частью ротора rotM векторного поля

M = Mx i + My j + Mz k .

dM dM dM

Определение 1.4. Операция rotnM := Ухп M =-- i+-- j+--k

dz dx dy

называется второй или ортоотрицательной частью ротора rotM .

Очевидно, что rotM = rot,M-rotnM или УхЫ: = Ух, M-Ухп M.

2. Сопряженные векторы

Определение 2.1. Операция G х* H := G х, H - H х, G = G х, H + G х:1 H

называется сопряженным векторным произведением векторных полей G и H.

Определение 2.2. Операция rot*M := rot, M + rotn M или Ух* M = Ух, M + Ухп M

называется сопряженным ротором векторного поля M.

^ а ^ v, v, v, V, Ух* yd2. d2 . d2 , Определение 2.3. Оператор УS: = У х, У = У хп У =-=-1 +-j +-k

2 dydz dxdz dxdy

называется векторным дифференциальным поверхностным оператором.

3. Поверхностный градиент и производная по поверхности Определение 3.1. Вектор

, _ „ _ d2W . d2W . d2Г, , ,

grads W :=УХГ = -— i +—-j+-— k (3.1)

dydz dxdz dxdy

называется поверхностным градиентом функции W.

По аналогии с производной по направлению вычисляется производная по поверхности

d2W , , „г. d2W d 2W d 2W , ,

—— := (grads W )• n =-cos фН--cos f +--cos 0 . (3.2)

d ст dydz dxdz dxdy

Здесь n = i cos ф+jcos f+k cos 0 - поле единичных нормалей поверхности дифференцирования.

Теорема 3.1. Производная функции W(x, y, z) (скалярного поля) по некоторой поверхности равна проекции поверхностного градиента на единичный вектор нормали к этой поверхности

(в соответствующей точке).

dsW = |gradS W| cos (gradS W, n).

d ст

Справедливость этой теоремы непосредственно вытекает из (3-2.).

Следствие. Поверхностный градиент скалярного поля равен по величине производной поля по поверхности, для которой эта производная (в соответствующей точке) является максимальной, и совпадает по направлению с единичным вектором нормали к этой поверхности.

Л

max

dJW = gads W| = d а

д2W } (d2W Л ( д2W

дуд2 ) удхд2 ) удхду у

Определение 3.2. Функция и(х, у, z), для каждого приведенного слагаемого которой найдется смешанная частная производная второго порядка, не являющаяся тождественно нулевой функцией, называется поверхностной.

Число слагаемых поверхностной функции не ограничено.

Теорема 3.2. Поверхностная функция и(хуможет быть восстановлена по ее поверхностному градиенту С в соответствии с формулой:

и = Ц Gxdydz + Ц О+ Л в2ахау - 2V =

= Рх( х, у, 2) + р2( у, 2) + О^х, у, 2) + ОД х, 2) + X, у, 2) + Я1(х, у) - 2V . При этом V = Р1 = О = Я1, а интегралы понимаются как повторные неопределенные с нулевыми аддитивными составляющими. Доказательство

дОх = д3и = дОу = дОг

дх дхдуд2 ду д2 (3.3)

и можно искать в виде:

и = Л Gxdydz + Л Gydxdz + Ц Gzdxdy + /(х, у, 2).

При этом

Л Gxdydz = Р1(х, у, 2) + Р2 (у, 2), Л Gydxdz = О1(х, у, 2) + О2(х, 2), Ц Gzdxdy = Я1(х, у, 2) + Я2(х, у), д3 ГГ^.^ =дGx = д3 р д3 гг ^ =Юу = д О д3 = дGz = д 3Я1

ffGxdydz = ^ = , ffGdxdz = = , ff Gzdxdy = ^ = ■

' /: V /: V/ I 'I: 'У /: V/ I 'I: 'У * * Hl? /: V/ I 'I: 'У /: V/ I 'I: 'У * * Н-У

dxdydzJJ дх dxdydz dxdydzJJ ду dxdydz dxdydzJJ dz dxdydz

С учетом (3.3) P = Qx = R— = V(x,y,z). Тогда f (x, y,z) = -2V . При этом

d 2U д2

dydz дyдz

^ ff Gxdydz + ff Gydxdz + Ц Gzdxdy + f (x, y, z) J :

д2

Gx +—[61 + 62 (х, 2) + К1 + К2 (х, у) - 2V ] = ^х. дуд2

Аналогично д2и/(дхд2) = Gy, д2и/(дхду) = Gz. Теорема доказана.

Замечание 1. Равенство нулю аддитивных составляющих повторных неопределенных интегралов вытекает из того, что в поверхностных функциях соответствующих слагаемых нет.

Замечание 2. Поверхностная функция может быть восстановлена по ее поверхностному градиенту и с помощью поверхностного интеграла, однако это решение может оказаться более громоздким из-за необходимости определения поверхности интегрирования. Кроме того, при поверхностном интегрировании могут появляться константы и функции одной переменной, вследствие чего возникает необходимость прибегать к их отбрасыванию, т.е. к произволу.

2

Пример. grads U = \ 3z —-

y

— - sin (^x + z)

j +l- y - y.

_ 3 xz XZ . / \ 2 xz _ XZ 3 XZ . / \ 2

U = yz3 Л---1---v sin (x + z 1 + xy2 H---2-= yz Л---Y sin(x + z 1 + xy2.

y y y y y

4. Поверхностная дивергенция и поверхностный ротор

В (3.1) имеет место произведение вектора VS на скаляр W. Могут быть рассмотрены скалярное и векторное произведения VS на вектор M

Определение 4.1. Операция divS M :=VS • M =

32Mx 32 Mv 32M,

дуд2 дхд2 дхду называется поверхностной дивергенцией векторного поля М. Определение 4.2. Операция

'д2 Мг д2 М.

rotS M := VS x M =

32My ^ dxdz dxdy

dxdy dydz

J +

2My 32Mx Л dydz 3x3z

3 2Mz . 3 2M„

32My

называется поверхностным ротором векторного поля M.

Определение 4.3. Операция rotSIM := VS xI M = _ . „

dxdz dxdy dydz

называется первой или ортоположительной частью поверхностного ротора rotS M.

J+-

k

Определение 4.4. Операция rotSIIM := VS xn M =

32My

32 Mz

J +-

32 M„

k

dxdy dydz dxdz

называется второй или ортоотрицательной частью поверхностного ротора rotS M.

rotSM = rotS,IM - rotS,II или VS x M = VS xI M -VS xn M. Определение 4.5. Операция rotSM := rotSДM + rotS_nM или VS x* M := VS xI M + VS называется сопряженным поверхностным ротором векторного поля M.

5. Некоторые формулы

VS (aV + РW) = aVSV + PVSW (a = const, p = const) . VS - (aE + pF) = aVS • E + PVS • F . VS x (aE + pF) = aVS x E + PVS x F .

M

AS _ VS • VS _■

34

34

34

3y 23z2 3x23z2 3x23y2

V-VS _ VS -V_ 3-

3x3y 3z

VV V V 3 Г 32 32 j. 3 f 32 32 j . 3 f 32 32 VxVS _ -VS xV _ —I —----- 11 + —I —----- I. + — I —----- Ik .

S S 3x 1 3y2 3z2 I 3y 1 3z2 3x2 JJ 3z l3x2 3y2 '

VXi Vs =

33

33

33

3x3y 3y3z 3z3x

(

A SW _

34

34

k .

34

Vxn Vs =■

33

33

33

3y23z2 3x23z2 3x23y2 AS (aV + p W) = aASV + PASW .

3x3z 3y3x 3z3y W(x,y, z) = divSgradS W = VS • VSW . As F _ AsFx 1 + AsFy J + A F k.

k .

(V-Vs )W _ 3

33W

= V - VSW = divgradS W = VS - VW = divSgradW .

3x3y3z

(V-VS )(aV + PW ) = a(V-VS )V + P(V-VS )W. (V-VS )(VW )=[(V-VS )V ] W + VV -VSW + VW -VSV + [(V-VS )W ] V.

(V- Vs ) F _ (V- Vs ) Fx 1 + (V- Vs ) FyJ + (V- Vs ) Fzk . (VxV )W _ 3 132W 32W1. + 3 f 32W 32W j, + 3 f 32W 32W'' k =

VxVSW _ rotgradS W _ -VS xVW _ -rotSgrad W.

4 +_3f 32 F 32 F,

3 f32 Fx 32 Fx Л 1 3 f32 Fy 32 Fy j

3x V 3v 2 3z2 j 3v 3z2 V 3x2 J

3z 1 3x2

divrotS F = V - (VS x F) = - divSrot F = -VS • (V x F).

3y2

(VxVs)xF _

Л IF+F Г +3F

3y3z 1 3y 3z J 3x21 3z 3y

32 f 3Fx 3Fz j 32 f 3Fx 3Fz

3x3z 1 3x 3z J 3у V 3z 3x

J +

32 f 3Fx 3FV j 32 f 3Fx 3FV j

3x3y

- + -

3x 3v

3z2

-+-

3v 3x

k _ Vx(Vs xF)-VS x(VxF) = VS (V-F)-V(Vs -F).

+

+

3

3

graddivs F = V(VS F) = VS x(VxF) + )F . gradsdivF = Vs (V• F) = Vx(Vs xF) + (V • Vs)F .

gradsdivs F = Vs (Vs F ) = Vs x(Vs x F ) + As F . rotrots F = Vx(Vs x F) = Vs (V • F)-(V • Vs ) F . rotsrotF = Vs x(Vx F) = V(Vs •F)■-(V-• Vs)F . rotsrots F = Vs x(Vs x F) = Vs (Vs F)-AsF . rotsgrads W = Vs x VsW = 0. divsrots F = Vs • (Vs x F) = 0 . Vs (VW ) = W VsV + VVsW +VV x* VW . Vs -(WF ) = W Vs F + (VsW )• F + VW •(Vx* F) .

Известные методы не позволяют получить аналогичные формулы для выражений Vs (F• G), Vs-(FxG), (G• Vs)WF , Vs x (WF), Vs x (Fx G), (G• Vs)F, As (VW). Для их получения, а

также для решения других задач существующий арсенал средств операций с векторами может быть расширен за счет введения в рассмотрение линейной комбинации координат и ее деления на вектор, нулевого и мнимого нулевого векторных дифференциальных операторов, псевдовекторов и комбинированных векторов.

6. Линейная комбинация координат

В результате операций над векторными функциями, например, скалярного произведения, взятия дивергенции и т.п. появляются скалярные функции вида

—с =( +Wy + —). (6.1)

Такая функция называется линейной комбинацией координат. Ее особенностью является то, что подобные, входящие в состав слагаемых Wx , Wy , Wz, не приведены.

Пример 6.1. WC = F ~ G = (xy2 zi + yz2 j + yk) ~ (zi + xyj + zk) = (xy2z2 + xy2 z2 + yz )

- линейная комбинация координат, а W = 2xy2z2 + yz - линейной комбинацией координат не является.

Здесь и далее волнистой чертой помечена операция, результатом которой является сумма с неприведенными слагаемыми.

Может быть введена операция деления линейной комбинации координат на вектор.

W , ((+ Wy + Wz) W W W

F = = WcG1 -y-= Wi j + Wk . (6.2)

G c Gx i + Gy j + Gz k Gx G/ Gz

Действительно,

FG = W, FG = W, F G = W , F =W, F = W, F = W,

xx x > y y y ? zz z > z s-< ?

Gx Gy Gz

(—x. Wy . wz , л —i +— i + —^- k

Gx G* Gz

\ x y z

(Gx i + Gy j + Gz k ) = Wc .

Цс, в отличие от Ш, содержит информацию, достаточную для восстановления одного из векторов-сомножителей при известном другом.

FтG ( + руОу + рр)с РхОх . РуОу . рр

G Ох1 + Оу \ + О2 к Рх С/ О,

Пример 6.2. См. данные примера 6.1.

(ху2 г2 + ху2 г2 + уг) Ху2 г 2 ху2 2 2. уг 2. 2. ,

F = --^ = —-1 + —-] + — к = ху2 г. + уг2 ] + ук .

г. + ху\ + гк г ху г

Линейную комбинацию координат можно делить на любой вектор, а не только на один из сомножителей, которые ее образовали

F т G ( + РС + РО) р о . р ру . рр к

-^^-— = 1 + 7 7 | к.

Н Их 1 + Иу ] + Иг к Их в/ Иг

ТГ {ху2 г 2 + ху2 г 2 + у2 )с ху2 г2 . ху 2 г \ у^ 2 г2.

Пример 6.3. F ^ 2 ^-:--С = Л 2 2.^^-i + к =-. + хуг} + к.

0,5х у 1 + уг\ + угк 0,5х у уг уг х Замечание. В общем виде линейная комбинация координат имеет вид

ЦС =( +(5Иу +УЩ),

где а, Р, у - постоянные коэффициенты. Последнее выражение может быть получено из (6.1) следующим образом

W* = Wc -(ai + pj + у k) = ((xi + Wj + Wzk)-(ai + pj + у k) = (aWx + pWy + jWz) . i + j + k C

7. Нулевой векторный оператор

Может быть рассмотрена следующая задача. Имеются две линейные комбинации координат Wc и Vc. Найти формулы, связывающие Wc и Vc с выражениями (( + WyVy +WV ) и

( +WyV + WV)c .

Для решения этих и подобных задач может быть введен нулевой векторный оператор

w д0 . д0 . д0 , . . ,

v 0 —1VJ+д7 k =i+J + k.

Верхние индексы «о» в выражении означают частные производные нулевого порядка, т.е. производные берутся ноль раз. Некоторые свойства.

V0U = Ui + Uj + Uk.

Эта величина может рассматриваться в качестве нулевого градиента Go функции U. G0 = grad0U = V0U

V0 - F = Fe = ( + Fy + Fz )c . Эта величина может рассматриваться в качестве нулевой дивергенции векторного поля F. d^F = V0 -F '

V 0 х F = ( Fz - Fy ) i + (Fx - Fz) j + (Fy - Fx ) k . Эта величина может рассматриваться в качестве нулевого ротора векторного поля F. rot0F = V0 xF.

V0 • (V0 x F) = div0(rot0 F) - 0 .

Из (6.2)

W = V-1 • (( + Wy +WZ)C = Wxi + Wyj + Wk = W . V0

V0 - (V-1 • Wc ) = WC . V-1 .(V0-F) = F . V-1 •(Ve - V0 ) = V0 .

V0 .VS = + + . V-1 • (V0 -V) = VS . V0-V^ + f

0 S dydz dxdz дхду 0 0 S S 0 dx dy dz

V-1 • (V0 - V) = V .

V0 xVх = j —---— I i + 1----— I j + 1----— I k .

д2 . д2 . д2 k k

дх2 i +Зу 2 J +3z 2

+ f д2 - д2 1 j + Í д2

[ дyдz ЗхЗУ J [CxCZ

f + (f ^¿дХ ] j + lf д д I

сy Cx J

П i + f д2 д2 I • f д2

2 J [дх2 Cz2 J

V0 х* V0 х V = 0 ) aii v 0 2 • = V0 .

V0 xV = |----— I i + | —I j + |---— I k .

„ IV и . о и . о и

V0 x (V01 .A) = I —Ii + I-T--2- I j + I-T--2- Ik .

Возвращаясь к задаче, приведенной в начале параграфа,

( + ГV + жу )с = (■V01 • ) - (■( • ¥с ),

( + КУК + )С =■0 -[(( • ^ ) (( •Ус)]. Таким образом, применение нулевого векторного оператора позволяет решать подобные

задачи.

Представление полного дифференциала функции с помощью векторньх операторов

дW дW дW ,

йШ =-(х +-(у +-йг = (VW) • (V,,1 • (¡8,).

дх ду дг

Здесь (8, - полный дифференциал элементарной симметрической функции = х + у + г .

С помощью нулевого векторного оператора можно, например, преобразовать вектор в линейную комбинацию координат, выполнить некие операции, а затем результат преобразовать обратно в вектор. И наоборот, сначала линейную комбинацию координат преобразовать в вектор, выполнить векторные операции, а результат преобразовать в линейную комбинацию координат.

8. Мнимый нулевой векторный оператор

Может быть рассмотрена следующая задача. Имеются линейная комбинация координат WС и вектор Е . Найти формулу, связывающую WС и Е с выражением Е^у 1 + Р^г , + Р^хк. Для решения подобных задач может быть введен мнимый нулевой векторный оператор

о} = {£■ ■ ,} + {£ к } = {1} +{. + {к}.

Его главное отличие от оператора V 0 заключается в том, что псевдоорты (мнимые орты) {1} , {,}, {к} с ортами 1, , к не взаимодействуют, а взаимодействуют только с псевдоортами. Поэтому правила применения оператора {■0} по отношению к векторам такие же, как и оператора V 0 в отношении линейных комбинаций координат.

Некоторые свойства {Уо}.

= + Щк}.

Эта величина может рассматриваться в качестве мнимого нулевого градиента {Оо} функции и. {Со} = {вгаВД = . '

Wс

т , = {■о1}•(( + Wy + Wz) = Wx{\}+Wy{,}+Wz{к}. {V } с

о)

{Vо} -({V-1} • Wс) = Wс. {V-1} • ({Vо} - {Vо}) = {Vо} .

Е

ш ■ = {V„1}• Е = Рх1{1} + , + Р2к{к} . {Vо} • ({V Л • Е) = Е .

{V} х ({V„1} • Е) = (Р к „ Ру,) {1} + (Рх 1 „ Р к) {,} + (¥у, „ ¥х 1) {к}.

д2 д2 д 2

{V-1}^ = ——¡{1} + —— ,{,} + ——к{к}. {Vо}•({V-1}-V8)= V8.

дудг дхдг дхду

{V о} х((„1} •V, ) = (-^-к , ){1} + 1 к к + , 1){к} .

4 ' ^ дхду дхдг ) ^ дудг дхду ) ^ дхдг дудг )

{У„1}•у = Т-х 1{1}+д"+д"к{к}. {Vо}•({V-1}-V) .

дх ду дг 4 7

{^С-1}-)^ к--у, ){1}' к){,}+(£,-дх' )«.

{V-1} • А = -дх^г{1}+^{к} . {V о} • ({V-1} • Д) = д.

дх ду дг

х (^Д)=(|,)«.,+(£ ),+(£ „£ )«к,.

д' д2 ( д2 д2 ),., ( д2 д2

{Vо!х^ (Vо^)]^к,){1, + (£■ к), + ,.)(к,. {Vо}•[{Vо}х({V„1}^с)] = о . {Vо}х,{^} = {Vо}хII{Vо} = {Уо}х2,{Уо} = {Vо}.

Возвращаясь к задаче, приведенной в начале параграфа,

Р^у 1 + FyW2, + к = {V}• [({V-1}• Е) х1 ({V-1}- Wс)] .

Таким образом, применение мнимого нулевого векторного оператора позволяет решать подобные задачи. Другими словами, применение {V0} позволяет сохранить орты исходного вектора.

9. Псевдовекторы и комбинированные векторы

Применение мнимого векторного оператора приводит к появлению псевдовекторов. В частности, {i}, {j}, {k} являются псевдоортами.

Определение 9.1. Псевдовектор - это скаляр, в котором содержится информация о включенном в него векторе.

Псевдовектор может быть обозначен следующим образом:

£{P} = ^ {P }=£ k i+Py j+P k}.

Из представленных выше выражений значительная часть является комбинированными векторами, т.е. сочетаниями векторов и псевдовекторов.

Комбинированный вектор может быть обозначен следующим образом:

. Bf=В ^ ■ .

Нижний индекс содержит информацию о направлении вектора, верхний индекс - информацию о направлении псевдовектора.

При выполнении операций с комбинированными векторами орты взаимодействуют с ортами, а псевдоорты - с псевдоортами. Орты и псевдоорты между собой не взаимодействуют.

При умножении комбинированного вектора на другой комбинированный вектор могут использоваться следующие четыре формы записи операций умножения:

" {.}. ", " {}x ", " {X} . ", " {X} X ".

Действие знака произведения, расположенного в скобках, распространяется на псевдовекторные составляющие комбинированных векторов, а расположенного за скобками - на векторные.

Пример 91 ({i}j + Wy {j}k + Wz{k}i) {•} x (Vx {i}k + Fy {j}i + Fz {k}j) = WXVXi + WyVyj + WZFZk .

При перемножении псевдовектора и комбинированного вектора нет необходимости размещения знака произведения в скобки. Очевидно, что знак произведения " • " или " х " в этом случае распространяется на псевдовекторные составляющие.

Величина diVo {F} = {V0} - {F} = (Fx + Fy + Fz )

может рассматриваться в качестве мнимой нулевой дивергенции мнимого векторного поля {F}. Она совпадает с нулевой дивергенцией векторного поля F.

Величина roto {F} = {Vo} X {F} = (Fz - Fy ) {i} + (Fx - Fz ) {j} + (Fy - Fx ) {k}

может рассматриваться в качестве мнимого нулевого ротора мнимого векторного поля {F}.

{Vo} • ({Vo}x {F}) = diVo{(roto{F})} - 0.

С помощью мнимого нулевого векторного оператора можно преобразовать вектор в комбинированный вектор, выполнить некие операции, а затем результат преобразовать обратно в вектор. И наоборот, сначала комбинированный вектор преобразовать в вектор, выполнить векторные операции, а результат преобразовать в комбинированный вектор.

10. Некоторые формулы (продолжение)

Vs (F • G) = V-1 • {[V-1 • (Vs - F)) - G + [V-1 • ( Vs - G)) - f} + G x, (VS x F ) + F x, (VS x G ) + (Vx, F )x, (Vxn G ) + (Vx, G )x, (Vxn F ) + {Vo }•{}•( - F )]x, [{Vo1}(Vx G )] + [{V-1}(V - G )]x, [{V-1}(Vx F )]}.

Vs • (F x G) = G • (Vs x F) - F • (Vs x G) - (V x, F) • (V xn G) + (V xn F) • (Vx, G) + Vo • {[V-1 • (V - F)] x [V-1 • (V - G)]} .

(G -VS ) WF = F(G •V SW ) + W (G -VS )F + {{V-1} • [G x* (VW)]}• [{V-1} • (V - F)] + [G x* (V W)] xn (V x F).

При этом

{-[GX* (VW)]}1}- (V -F)] = V01 -{[GX* (УЖ)] -[V01 • (V-F)]} .

[g X* (VW)]Xn (VX F) = [G XJ (VW)]Xп (V X F) + [G Xп (VW)]Xп (V X F).

Vs x (WF) = VSW x F + WVs x F + [{ Vo1} • (VW)] • {{V0}x [{V^ } • (V - F)]} +

(VXj F)Xj VW+VWxn (VXJJ F).

Vs x (F x G) = (G • Vs )F - G(Vs • F) - (F • Vs )G + F(Vs • G) + {V-1}-(V-F)-[{V-1}-(VX* G)]-{V-1}-(V-* G)-[{V-1}-(VX* F)] + (Vxj F)x(Vxj G) -(Vxn F)x(Vxn G).

(G • Vх)F = ({V-1} • G)• ({V-1} • Vх • F)+ G хп (Vs X F) = V-1 • {g - [V-1 • (Vs - F)]} + G X п (Vs X F)

As (VW) = (ASV)W + (ASW)V + 4(VSV) • (VSW) + 2VV -(V X* VS W) + 2VW • (V X* VSV) + V0 • [(V-1 • Av) X* (V,;1 - Aw)] .

Без применения "расщепления" векторных произведений на слагаемые, сопряжения векторов, использования линейной комбинации координат, ее деления на вектор, введения нулевого и мнимого нулевого векторных операторов, псевдовекторов и комбинированных векторов получить представленные выше разложения было бы невозможно.

Замечание. Несмотря на то, что в некоторых приведенных разложениях использован мнимый оператор {V0}, разложения сами по себе являются "чистыми" скалярами или векторами.

11. Некоторые физические интерпретации

Если в некоторой области среды (поля) объемом V определена функция мощности, сконцентрированной в этой области,

z У x

P(x,y, z) = |Updv =| dz J dyJ p(x,y, z)dx ,

V zo Уо xo

где p(x, y, z) - объемная плотность мощности, то поверхностный градиент от этой функции представляет собой вектор Умова (вектор Умова-Пойнтинга для электромагнитного поля), т.е. вектор скорости движения энергии через единицу поверхности.

U = gradSP(x, y,z) = VSP(x, y,z).

Производная функции мощности P(x, y, z) по некоторой поверхности с единичным вектором нормали n представляет собой количество энергии, проходящей через единицу площади этой поверхности в единицу времени.

— = gradSP - n = VSP - n = U - n .

d ст

Пусть в некоторой области поля гравитации (или электростатического поля) для пробной массы (или электрического заряда) определена функция пространственного распределения сил F(x, y, z), действующих на нее (на него) со стороны поля. Тогда поверхностная дивергенция векторного поля F(x, y, z) представляет собой объемную плотность энергии гравитационного (или электростатического) поля в рассматриваемой точке.

AE

divSF = VS F = lim-.

S S AV^0 AV

Если для излучающего диполя с электрическим моментом pe известна функция пространственного распределения производной напряженности электрического поля по времени dE/dt (x, y, z), то величина A1 |pe| rotS dE/dt представляет собой вектор Умова-Пойнтинга в рассматриваемой точке.

A 'Рв ' rot= A 'Pe ' Vs x It = U(x' у' z) ,

где A - безразмерный коэффициент.

Заключение

Основным результатом работы является «расщепление» векторного произведения на две части - ортоположительную и ортоотрицательную. Это позволяет, в частности, в случае векторного произведения вектора на себя самого из нулевой величины, которой является это произведение, «извлечь» две ненулевые. Применение этого приема к векторному произведению оператора Гамильтона (набла) на себя самого приводит к появлению векторного дифференциального смешанного оператора второго порядка, являющегося ключевым элементом при определении понятий поверхностного векторного анализа - поверхностного градиента, поверхностной производной по направлению, поверхностнных дивергенции и ротора.

Введенные элементы поверхностного векторного анализа, в частности, расширяют арсенал средств для исследования физических полей, в том числе, определения вектора Умова как поверхностного градиента от функции мощности, объемной плотности энергии силового поля как поверхностного дивергенции от функции пространственного распределения сил и т.д.

Список литературы References

1. Чеканов Н.А., Беляева И.Н., Чеканова Н.Н. К вопросу о спине электрона. Научные ведомости Белгородского государственного университета. Математика. Физика. 6: 227.

Chekanov N.A., Belyaeva I.N., Chekanova N.N. 2016 On the question of electron. Nauchnye vedomosti Bel-gorodskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika. Fizika [Scientific statements Belgorod State University. Mathematics. Physics]. 227(6): 103-109.

2. Кучеев С.И., Омельченко Е.И., Усатый И.М. Электрически индуцированное допирование нематика в окрестности микроконта. Научные ведомости Белгородского государственного университета. Математика. Физика. 6: 227.

Kucheev S.I., Omelchenko E.I., Usatyj I.M. 2016. Electrically induced by doping a nematic liquid crystal in the vicinity of mikrokonta. Nauchnye vedomosti Belgorodskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika. Fizika [Scientific statements Belgorod State University. Mathematics. Physics]. 227(6): 110-114.

3. Блажевич С.В., Носков А.В., Немцев С.Н., Шевчук О.Ю. Когерентное рентгеновское излучение пучка релятивистских электронов в трехслойной мишени. Научные ведомости Белгородского государственного университета. Математика. Физика. 13: 234.

Blazhevich S.V., Noskov A.V., Nemcev S.N., Shevchuk O.J. 2016. Coherent X-ray beam of relativistic electrons in a three-layer targets. Nauchnye vedomosti Belgorodskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika. Fizika [Scientific statements Belgorod State University. Mathematics. Physics]. 234(13): 104-114.

4. Попов И.П. 2009. О некоторых аспектах магнитоэлектрического взаимодействия. Вестник Челябинского государственного университета. Физика. 24: 162.

Popov I.P. 2009. Some aspects of the magnetoelectric interaction. Vestnik Chelyabinskogo gosudarstvennogo universiteta. Fizika [Herald of Chelyabinsk State University. Physics]. 162(24): 34-39.

5. Попов И.П. 2009. О пространственной конфигурации вихревого электрического поля. Вестник Курганского государственного университета. Естественные науки. 1: 15.

Popov I.P. 2009. On the spatial configuration of the vortex electric field. Vestnik Kurganskogo gosudarstvennogo universiteta. Estestvennye nauki [Bulletin of the Kurgan State University. Natural Sciences]. 15(1): 50-51.

6. Попов И.П. Дуально-инверсный аналог силы Ампера для магнитопровода с изменяющимся магнитным потоком, находящегося в электрическом поле. Вестник Курганского государственного университета. Естественные науки. 1: 15.

Popov I.P. 2009. The dual-inverse analogue of Ampere force for the magnetic flux with a variable in an electric field. Vestnik Kurganskogo gosudarstvennogo universiteta. Estestvennye nauki [Bulletin of the Kurgan State University. Natural Sciences]. 15(1): 51-52.

7. Попов И.П. О некоторых изоморфизмах между электромагнитными и магнитоэлектрическими соотношениями. Вестник Курганского государственного университета. Технические науки. 1:

Popov I.P. 2010. Some isomorphisms between electromagnetic and magnetoelectric relations. Vestnik Kurganskogo gosudarstvennogo universiteta. Tekhnicheskie nauki [Bulletin of the Kurgan State University. Technical Sciences]. 17(1): 94-96.