CC BY
27
УДК 51-72
И. П. Попов
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ПО ВЕКТОРНЫМ ПОЛЯМ
Вводятся в рассмотрение скалярная и векторная производные вектора по другому вектору, которые могут иметь приложение к решению задач механики. Доказываются теоремы о представлении скалярной и векторной производных в виде комбинации частных производных. Доказываются аналогичные теоремы для двухмерного и одномерного случаев. В качестве характерных частных случаев рассматриваются скалярная и векторная производные по радиус-вектору, порождающие соответствующие формализмы, связывающие эти производные с оператором набла.
Ключевые слова: векторное поле, скалярная производная, векторная производная, вектор Умова, ускорение, скорость.
Введение
Работа посвящена рассмотрению операций дифференцирования на пространстве векторных полей и гладких функций в Я3.
В приложениях достаточно широко используется производная скалярной функции по вектору [1-3]. В какой-то мере подобно ей определяется производная вектора по другому вектору [4]
йа да, да, да, — = —Ъх+—Ъ +—Ъ2. с1Ь дх ду у &
Вместе с тем, формально интерпретируя производную как отношение дифференциалов, можно ввести в рассмотрение скалярную и векторную производные вектора по другому вектору, которые могут иметь приложение к решению задач механики и других разделов физики [5-7].
1. Деление векторов
Определение 1. Частное а/Ъ от деления скаляра а на вектор Ь есть вектор
Обратно, В частности,
а а Ъ аЪ а ,
с = — =---=-= —-Ь.
ь ь ь ь ь ь2
Ь с = Ь~Ь = а .
1-А
ъ~ь2
Определение 2. Частное е/Ь от скалярного деления вектора е на вектор Ь есть скаляр
е 1 Ь е-Ь с е
р = — = е • — = е • —^ = —— = — = —совЭ ,
у ь ь ь2 ъ2 ь2 ь
где Э — угол между векторами е и Ь. При этом
eb 2
--= cos 0 .
b е
Определение 3. Частное еч-b от векторного деления вектора е на вектор b есть вектор
1 b exb d е d .
q =e^-b = ex — = ex—- = —— = —=--sin 0.
4 b b2 b2 b2 bd
При этом
(e-b)-(b-e) = -sin2e,
e2
2,2 e /> =¥-
Теорема 1. Если известны частные от скалярного р и векторного q деления двух векторов е и Ь, а также делитель Ь, то делимое определяется, как
е = Ьр + b xq .
Доказател ъство
b^ + bxq = ^[b(e-b) + bx(exb)] = -^[b(e-b) + e(b-b)-b(b-e)] = e. Теорема доказана.
Теорема 2. Если известны частные от скалярного р и векторного q деления двух векторов е и Ь, а также делимое е, то делитель определяется, как
ре + qxe
b=—5-—•
р + q
Доказател ъство
^^ l^[(e.b)e + (exb)xe] = i-[(e.b)e + b(e.e)-e(e.b)] = b.
Í/ I U kj с- с-
Теорема доказана.
2. Скалярная производная вектора по другому вектору Определение 4. Операция
í/a- — db
называется скалярной производной векторного поля а = axi + ау\ + azк по векторному полю b = Ьл + Ьу\ + bzк.
Теорема 3. Имеет место формула:
, 1 da da daz ,
da--= —- + —- + —-. (1)
db dbx db dbz
Доказател ъство
da~ = d(axi + a \ + а2к)-~ 1
db w z d(bxi + b¡ + b2k)
i + da j + dazк) ^
£#у + db j + úftzk
1 db i 1 db j = í/aj----— + da j----—
db i + db i + db к db i db i + db i + db к db i
л J Z л л Z
1 (йк
+aazk----— =
db i + db i + db к db к
л J Z Z
db i db j = í/aj--;-;—--r + da A v
(dbx\ + dby\ + dbzk)-dbx\ ""y (dbxi + dby\ + dbzk)- dby¡
dbk
+daz к • -
(dbxi + db j + flftzk) • dbzк
_ ¿faj • dbxi day\ • dby j dazк • <iZ>zk _ + ¿ft2 + ¿ftz2
Ja db davdbv da db da da da
+—- + -
¿ft2 ¿ft2 dbx dby dbz
Теорема доказана.
Представляет интерес частный случай, когда берется скалярная производная по радиус-вектору г = xi + y¡ + zk.
1 да да 8az ^
da — = —- + —- + —- = diva = V • а dr дх ду dz
Следствие. Имеет место формализм:
d- — = V-dr
Замечание. При решении ряда задач механики для упрощения вычислений систему координат выбирают таким образом, чтобы, по крайней мере, направление некоторых векторов совпадало с одной из координатных осей. Если это касается вектора, по которому предполагается выполнить дифференцирование, то в таких случаях формула (1) использоваться не может, поскольку некоторые дифференциалы этого вектора равны нулю.
Это обстоятельство обусловливает следующие две теоремы.
Теорема 4. Имеет место формула:
1 dal da2 cía'-=--ь -
dQjfa + ¿2e2) dbl db2
где e орты.
Доказател ъство
da--1_= d(altl + a2e2 + a3e3) • 1
d(b1e1+b2e2) d(blcl+b2c2)
1
= (dafa + da2e2 + da3e3) ■
dbfa + db2e
2
1 db,t, , 1 £#>,e, = dafa----— + da2e2----+
dbfa + db2o.2 dbjCj dbfa + db2o.2 db2e2
+йЦе3
1
с1Ъх<£х + £#>2е2
с1Ъхех + <зй2е2 йй^ + йй2е2
<зЦе3 • (¿/¿>1е1 + <зй2е2)
¿/а2е2 • <зй2е2
^ + <зй2е2) • йй^ + <зй2е2) • <зй2е2
^ + £#>2е2) • (¿/й1е1 + <зй2е2)
йахйЪх йа2йЪ2 <зЦ йа2
с1Ъ>
<Я>!
йЪх с1Ъ2
Теорема доказана. Аналогично доказывается
Теорема 5. Имеет место формула:
¿/а-
1
йЪхих с1Ъх
Пример 1. Тело массой т движется со скоростью
.1 .л/3 . >/5
V = 1—1—у + к—V.
3 3 3
В соответствии с [8] интегральный (в смысле объемного интегрирования) вектор Умова в этом случае равен
1
.Зу/З
и = 1-ту + 1
162 162
ту +к
5-у/?
Тб2~
ту3.
При этом
ёи--=
1 <Лиу сЫ,
1
1
<Ь <ЗЬх сЬ <Зу2 что является кинетической энергией.
■ = —ту н--ту н--ту =—ту
18
18
18
3. Векторная производная вектора по другому вектору Определение 5. Операция
¿/ах — с!Ь
называется векторной производной векторного поля а по векторному полю Ь.
Теорема 6. Имеет место формула:
л 1 1
ая х — = —
<ИЬ 2
Доказател ъство
¿а А. (<1а (1аЛ. ((1аг Ла/
у У
ай сОзх
V у х
¿/а х — = й(а\ + а ¡ + ак)х---
Л ^ с1(Ьх\ + Ь\ + ЬХ)
I + с1а \ + (1агк)х
1
йЬх\ + йЬ \ + айгк
(2)
= (1ал х -
йЪх\ + йЪ А + айгк 2
+(1а Ах
ёЪ2 к —— + ——
1 ой к
¡Го» л ¿йкЛ
йЪх\ + с1ЬА + айгк 2
+о?а_кх-
1
1
= ¿/а л х
+а?а ¡х
V«»
йЪх\ + с1Ьу\ + айгк 2
+ ¿/а.д х
йЪА <Я>У\
с1ЪА &>\
X уЛ J
<Я>у\
с1Ъ_ к
2(<йу + <Я> А + сЛ2 к) • (Я) А
у
сВ)А
2 (£#у + ай А + £#>гк) • ай
- + (1а ¡ж
• VJ
2(£$у + йй^ + £#>гк) • £$>гк ай к
-2-+
2(£#у + айА + <яйгк) • айгк
+а?а_к х ■
<йи
2(<#у + йЪ А + <яйгк) • <1Ьх1
- + ¿/а к х
ай \
V«*
2(<йу + с1Ь \ + айгк) • с1Ь \
с1аА х <1Ъу] ¿¿у х <зйгк ^ ] х «^¿У ¿ау\х <зйгк х <ЛЪх\ ¿/агк х с1Ъу] _
2 0Ь2у ~2
2ёЪ:
2 аь:
2 йЫ
2 аы
2 <я>1
(1а ай
с1Ы
с1ахс1Ъ2 . (1аус1Ьх ёауёЬ2 т (1а2с1Ьх .
с1с12 йЬ #
} к+ 1+ 7ГТ~ I
\
<иЫ
с1Ь2
с1Ь2
с1Ь2
^ у
Л
с!ах, йах . ¿а <1а . йа2 . (1а2 .
—-к---]---к +—-1 + —-]---I
ай ай ай ай ай ай
\ у 2 x 2 x у /
1 ' ¿а у йа2 ^ \ + с1а2 с1а ^ с1а X с1ау"
2 йЪ Л 2 Ж йЪ2; ¿К X у
Теорема доказана.
Представляет интерес частный случай, когда берется векторная производная по радиус-вектору г.
А 1 1
ая х — = —
(1г 2
(8ау да,}. (да, да^. (дах дау}
ду дх
+ 1 —--|] +
дх &
& ду
Следствие. Имеет место формализм:
1
= —гсЛа = —Уха . 2 2
,1
ах — = —Vх . (1г 2
Приведенное выше замечание обусловливает следующие две теоремы.
Теорема 7. Имеет место формула:
с1ах —-— = —е, -
с1а.
<ЛЬ 1 йЪ Доказател ъство
¿/а х —-— = с1 (а^! + а2е2 + а3е3) х —-— = (сЬ^ + с1а2е2 + йаъ<е,ъ) х —-
Уь л л
(3)
= йахех х = йахех х
1 ййе, , 1 £$>е,
+ аа2е2 х-
1 йЪъх
с1Ъех с1Ъех
с!Ьех Мех ■ ¿¡Ьех
+ йа^ х
с1Ъех с1Ъех
с!Ьех Мех ■ Мех
с1Ъех с1Ьех
с!Ьех ¿¡Ьех ■ Мех
ёахе,х х с1Ьег <3а2е2 х с1Ьег а3е3 х с1Ьег
а>2
с1а2с1Ь
сО>2
2
е, +
а3ай
ёЪ
2 2
Теорема доказана.
Теорема 8. Имеет место формула:
а?ах-
1
<1Ь
йЬ2 с1а2
-е,.
-е, +-
й {Ьхех + Ь2е2) 2 с1Ъ2 1 2 с1Ъх Доказател ъство
1
' аЦ с1а2 Л с1Ь2 (1ЬХ
¿ах-
- = <3(ахех + а2е2 + а3е3) х
с1(Ъхех + Ь2е2)
= (¿¡ахех + Ла2е2 + ¿¡а3е3) х
1
<3(Ьхех + Ь2е2)
1
= йах<£,х х
1
с1Ъхех + £#>2е2 сй>2е2 +а?а,е, х -
£#>,е, ,
+ аа2е2 х
сй»1е1 + ай2е2 1
сй>1е1
сй»1е1 + ай2е2 йЪх£х
1
ай^ ай2е2
= с/я^! х
+£&г,е, х -
ай^ + ай2е2 2 ^ ай^ ай2е2 у
йЪх£х
Л>2о.2
+ ай2е2) • ай2е, сй»1е1
- + ¿а2е2 х -
2(ай1е1 + ай2е2) ■ ёЪхех
+ йа^ х -
^ + сй>2е2) • с/й1е1
ай2е2
2(ай1е1 + ай2е2) ■ ай2е2
¿/а^! х ай2е2 ¿а2е2 х сй»1е1 аЦе3 х сй»1е1 аЦе3 х ай2е2
с1Ы
йЪ
2 с1Ъ
с1ахс1Ь2 с1а2с1Ьх с1агс1Ьх с1аъЬ
е, -
йЪ\
2 ез+"
2йЪ[
е, -
2 2
2<й.
2йЪ:
е, =
2
-е, +
е9 +
^ аЦ с1а2 ^
2ай2 1 2с1Ъх 2 I с1Ъ2 йЪх
е,.
Теорема доказана.
Пример 2. Радиус-вектор, следящий за точкой, совершает вращательное движение с угловой скоростью
ш = кв
и тангенциальным ускорением
. . S t . St
ат = -íasin--ь íacos— .
2 2
Здесь кв — угловое ускорение. В соответствии с (3)
, 1 da . ¿fa . sí2 . sí2
da% x-= —-i--— j = -íafsin— + jai eos— = v,
d(o d(üz d(üz 2 2
т. е. результат является линейной скоростью точки. Пример 3. Скорость точки равна
V = -icoR sin coi + jcoR cosco t + kco2iíf, ускорение — а = -ico2ií cos coi - jco2ií sin coi + kco2ií. В соответствии с (2)
А 1 1
da х — = — dv 2
da . da .
—-i--J +
dv, dv,
( da da ^
_x___У_
dvv dvx
у л
.со .со .
=-i—coscoí-i—sincoí-kco =-ш . 2 2
Литература
1. Никулин В. Н., Прозорова Т. Г. Два алгоритма на основе техники стохастического градиентного спуска для рекомендательных систем // Вестник Пермского университета. Серия «Математика. Механика. Информатика». 2014. № 3 (26). С. 48-56.
2. Попов И. П. Поверхностные градиент, дивергенция и ротор // Вестник Псковского государственного университета. Естественные и физико-математические науки. 2014. Вып. 5. С. 159-172.
3. Попов И. П. Роль псевдовекторов в математическом моделировании формального аналога электромагнитного поля // Вестник Псковского государственного университета. Серия «Естественные и физико-математические науки». 2016. Вып. 8. С. 110-127.
4. Анго А. Математика для электро- и радиоинженеров. М.: Наука, 1965. 780 с. С. 125.
5. Матвеев В. А. Конусное предпочтение в динамической задаче // Вестник Псковского государственного университета. Серия «Естественные и физико-математические науки». 2014. Вып. 5. С. 131-133.
6. Ванин А. И. Дисперсионное взаимодействие в среде со сферическими наночастицами // Вестник Псковского государственного университета. Серия «Естественные и физико-математические науки». 2015. Вып. 6. С. 97-105.
7. Ванин А.И. К теории инициированного поверхностью комбинационного рассеяния света на молекуле, адсорбированной на сферической частице // Вестник Псковского государственного университета. Серия «Естественные и физико-математические науки». 2014. Вып. 5. С. 177-185.
8. Попов И. П. О мерах механического движения // Вестник Пермского университета. Серия «Математика. Механика. Информатика». 2014. № 3 (26). С. 13-15.
Об авторе
Попов Игорь Павлович — старший преподаватель кафедры «Технология
машиностроения, металлорежущие станки и инструменты», Курганский государственный университет, Россия.
E-mail: [email protected]
I. Popov
DIFFERENTIATION WITH RESPECT TO VECTOR FIELDS
The author suggests to enter in consideration scalar and vector derived vector on another vector, which may have application to the solution of problems of mechanics. Theorems on the representation of the scalar and vector derivatives in the form of a combination of partial derivatives are proved. We prove similar theorems for two-dimensional and one-dimensional case. As a typical particular case vector derivative of the radius vector is considered, generating formalism linking it with the operator nabla.
Key words: vector field, the scalar derivative, derivative vector, Umov vector, acceleration, speed.
About the author
Igor' Popov — senior lecturer of the Department "Technology of mechanical engineering, metal-cutting machines and tools", Kurgan State University, Russia
E-mail: [email protected]
