CC BY
4РОЛЬ МАТЕМАТИЧНИХ СПЕЦКУРС1В У ЗАБЕЗПЕЧЕНН1 НАВЧАННЯ ПОЧАТК1В МОДЕЛЮВАННЯ СТУДЕНТШ-БЮФ1ЗИК1В
О.В. Тимошенко, канд. педагог. наук, Донецький нащональний ушверситет, м. Донецьк, УКРА1НА, е-mail: elenabiomk@mail.ru
I.......{
Описуються математичш спецкурси, що в1д1граютъ важливу роль у забезпеченш навчання студент1в початкам моделювання й формуванню ixrnx досл1дницьких умть. Також запропоно-вана оргатзащя навчання, що передбачае не лише iндивiдуальний mdxid, але й сприяе формуванню i розвитку прийомiв розв'язання професшно орiентованих бiологiчних завдань рiзноi складностi, подальшому вдосконаленню навчання.
Ключовi слова: математичне моделювання, ницъких улпнь, профестно opienmoeciHi 6ioßoei4Hi
математичм спецкурси, формування досл1д-завдання.
■3.......t
Постановка проблеми. На сучасному erani розбудови вищо! освгги вщзначаеться необхщнють удосконалення традицшних тдаэдв до оргатзаци навчального проце-су на основi створення методичних систем профeсiйно орieнтованоro навчання. Такий пiдхiд мае сво! особливосп, а саме: викори-стання особистiсно-орiентованих технологий; поеднання та ^еграцш аудиторно! та позааудиторно! дiяльностi; розширення мiжпрeдмeтних зв'язкiв та посилення прик-ладно! спрямованосп змiсту навчання (I.I. Баврiн [1], I.A. Зайцев [2], Л.О. Соколенко [7], А.В.Хуторський [10] та ш.). Якщо оха-рактеризувати вiдношeння студенпв-бiофiзикiв до запровадження методично! системи профeсiйно орiентованого навчання, то треба вщмтити, що у процeсi роботи за щею системою спостeрiгаеться зростан-ня iнтeрeсу студенпв до розв'язування задач прикладного спрямування, зокрема б> олопчних, в порiвняннi з теоретичними чи тренувальними математичними вправами, бо такi завдання демонструють можливосп рeалiзащi' знань у життевих ситуацiях, го-тують до вивчення профeсiйно спрямова-них дисциплiн.
Деяю профeсiйно орiентованi завдання для студeнтiв-бiофiзикiв природно розгля-дати як модeлi прикладних процeсiв, що допускають !х розв'язання iз застосуван-ням ймовiрносно-статистичного апарату
[4, 5]. Тому введення спецiального курсу «Математичн моделi в бюлогп» для студенпв бюлопчних спецiальностей е повш-стю виправданим.
Метою дано! роботи е виявлення рол1 спецгального курсу «Ймов1ртсно-статис-тичш методи в бюлогп» у забезпеченш навчання студент1в-б1оф1зик1в початкам моделювання, формувант в них досл1дницьких умть та описання оргашзацтних форм навчання за цим спецкурсом.
Виклад основного матер1алу. 1снуе ряд положень, зазначае ЛХКчуговська, пов'язаних з поняттям математично'1 модели а саме: схожють реального об'екту i мо-делi; iдеалiзацiя, схематизацiя цього об'екту при перехoдi до моделц iгнoрування властивостей об'екту, якi е неютотними для дoслiдження, що проводиться; фундаментальна роль ппотез при пoбудoвi моделей одного i того ж об'екту; вимога аде-кватносп властивостей об'екту, який дос-лiджуеться i вимога простоти моделц су-перечнють цих вимог, принципово набли-жений характер мoделi [6]. Устшнють роботи з математичного моделювання за-лежить вщ умшня враховувати вказан вище положення, а також наступн елеме-нти математичного моделювання:
1) замша початкових термiнiв вибра-ними математичними еквiвалентами;
2) ощнка повноти початкових даних i
введення при необхщносп вiдсутнiх чис-лових даних;
3) вибiр точност числових значень, вь дповiдних змiсту задачi;
4) виявлення можливост здобуття даних для розв'язання завдання на практищ.
Тому не менш важливою метою на-вчання студентiв-бiофiзикiв е формування:
1) правильного розумiння особливос-тей вщображення математикою явищ на-вколишнього свiту;
2) умiння будувати прост математи-чнi моделi реальних явищ i процесiв;
3) умiння застосовувати математич-ний апарат для розв'язання бюлопчних проблем.
Найбiльш складним пщходом для ро-зумiння i використання студентами-бiофiзiками е застосування до розв'язання задач ймовiрносно-статистичного пiдходу, який реалiзований в курсi «Математичт моделi в бюлогй».
П1д час навчання студентiв-бiофiзикiв деякi ймовiрнiснi моделi реальних прикладных процесiв доцiльно розглядати у ви-глядi професiйно орiентованих задач. Розв'язання таких задач сприяе кращому розумiнню теоретичних положень, актив> зацй розумовоi дiяльносгi, проте вимагае умшь використання як загальних (евристи-чних) прийомiв (аналiз, синтез, порiвняння, узагальнення, систематизацiя, конкретиза-цiя, абстрагування тощо), так i спецiальних евристик (моделюй, намалюй картинку, дослщжуй по частинах тощо). Необхщно ставити студента в сигуацiю, що вимагае формалiзацii прикладноi ситуацй i ^ерп-ретацй математичних понять i тверджень в термшах, що вiдповiдають бюлоги [7, 8]. При цьому доцшьне обговорення питань, пов'язаних з дослщженням дано!' моделi:
• питання про юнування розв'язкiв;
• питання про единють розв'язку; по-шук умов, що забезпечують единiсть розв'язку;
• як впливае на розв'язок змiна тих або шших параметрiв моделi; дослщження моделi на стшюсть;
• виявлення, залежно вiд парамегрiв, змстовних властивостей i особливостей мо-делi i 11 розв'язкiв (екстремуми, област монотонности, симегрiя, обмежеисть i таке iнше);
• дослiдження граничноi поведшки моделi при граничнiй змiнi й параметрiв;
• питання спрощення моделц
• вибiр оптимального розв'язання [3].
Наведемо приклад бюлопчно! задачi,
розв'язування яко1 вимагае застосування ймовiрносно-статистичного апарату. Розг-ляд такоi задачi дозволяе розвивати вмшня моделювати реальнi процеси оточуючого свiту, тобто формуе дослщницью вмiння майбутнього фамвця в област бюлоги.
Задача. В результатI еколог1чно! ¡нспе-кци зафтсований факт викиду в водоймище забруднених витопв. Вгдомо, що потенцт-ними джерелами забруднення можуть бути два тдприемства, причому статистика еколог1чнш порушень св1дчить:
1) перше тдприемство робить викиди забруднених витопв у водоймище в серед-ньому в 9 раз1в част1ше, н1ж друге;
2) в середньому в 15% витотв першого I в 92% витотв другого тдприемства р1-вень ртут1 перебтьшуе гранично допус-тиму концентрацт (ГДК).
Визначити, якому тдприемству може належати виявлений викид, якщо взята проба показала перебыьшення ГДК ртути
Побудову моделi почнемо з формаль заци задачi (перекладу й на мову математики) та з аналiзу основних припущень умови завдання.
Нехай подiя Нх - полягае в тому, що викид зроблено першим пщприемством; Н2 - викид зроблено вщповщно другим пщприемством. Позначимо через П - по-дш, яка полягае в тому, що у забруднених витоках рiвень ртут перевищуе ГДК, а
через П - вщповщно протилежну подш, тобто що у забруднених витоках рiвень ртуп не перевищуе ГДК.
Побудуемо схему задач1. Оскшьки статистика спостережень свщчить, що перше пщприемство робить викиди в середньому в 9 разiв часпше, шж друге, то наше перше припущення полягае в тому, що ми бу-демо вважати, що ймовiрностi подш Нх i
Н2 дорiвнюють вiдповiдно Р(Н) = 0,9, та Р(Н2) = 0,1. Також виходячи зi статистики спостережень, можемо зробити друге припущення, а саме: Р(П / Нх) = 0,15,
P(n/ H) = 0,85, P(n/H2) = 0,92 , P(n / H2) = 0,85 . TaKHM huhom, cxeMa 3agam oyge Mara HaerynHHH BHniag.
OcKi^bKH TinbKu gBa nignpueMcTBa po6-naTb BHKHgn y BogoHMu^e, to 6ygyeMo gBi rinoTe3H, aKi cniBnagaroTb 3 paHime onuca-hhmh nogiaMH h i h.
flna BH3HaneHHa Toro, aKOMy 3 nignpu-gmctb Hane^HTb mKignuBuH BHKug, o6huc-.umo HacTynHi yMoBHi HMoBipHocTi:
P(HJ n) Ta P(H2/ n).
CKopucTyeMoca ^opMynoro EaHeca:
P(HJ n) =
P(H 2/ n) =
P( n / H) ■ P( H)
P(n)
P( n / H 2) ■ P( H 2)
aHanoriHHo,
P( n)
HMoBipmcTb P(n) nogii n 3HaHgeMo 3a ^opMynoro noBHoi HMoBipHocTi, cKopuc-TaBmucb cxeMoro 3agani:
P(n)=P(n / H) ■ P(H)+P( n / H2) ■ P(H2)
nicna po3paxyHKiB oTpuMyeMo:
P(H /n) =-0,9'0,15-« 0,595,
1 0,9 ■ 0,15 + 0,1-0,92
01- 0 92
P(H / n) =-0,1 '-« 0,405 .
2 0,9 ■ 0,15 +0,1 0,99
TaK aK P(H / n) > P(H2 / n), to 3 6i-nbmoro HMoBipHicTro Mo^Ha cTBepg^yBara, ^o BHKug 3a6pygHeHHx butoMb Hane^HTb nepmoMy nignpueMcTBy, to6to eKonoriHHa iнcneкцia Mae po3nonara nepeBipKy caMe 3 Hboro.
^KicHa nigroTOBKa CTygeHTiB-6io^i3HKiB BHMarae ninoro 6aHKy npo^eciHHo opiemo-BaHHx 3agaH. flna cTBopeHHa cucTeM TaKux 3agaH 6yno npoaHani3oBaHo i cTpyKTypoBaHo 3MicT MaTeMaTHHHHx g^nua^m.
AHani3 HaBnanbHo-MeToguHHoi i HayKo-boi niTepaTypu noKa3aB, ^o 3aBgaHHa, aKi npuBogaTbca 6inbmicTro aBTopiB, oxonnro-roTb b ocHoBHoMy nume po3ginu Kypcy cTa-thcthkh. B toh ^e Hac po3gmu, ^o BigHo-
caTbca go Kypcy Teopii HMoBipHocTi, Ha no-HaTTax aKux 6a3yroTbca noHaTTa cTaracra-ku, MicTaTb o6Me^eHy KinbKicTb 3aBgaHb 6ionoriHHoro 3MicTy. flna cTBopeHHa cucTeM 3aBgaHb, ^o cnpuaroTb po3BuTKy gocnigHu-цbкнx yMiHb, 6ynu 3acTocoBaHi: MeTog Bapi-anii i Mop^onorinHuH MeTog KoHcTpyroBaH-Ha 3aBgaHb [9].
HaBegeMo npuKnag hobux 3aBgaHb, aKi no6ygoBaHi 3a gonoMororo gaHux MeTogiB. nonaTKoBoro 3aganero 6yna HacTynHa:
3adana B iu^eKyiuuoMy eiddineuui 20 xeopux ua du^mepiern, 6 xeopux ua napo-mum i 4 xeopux ua Kip. HMoeipuicmb weud-Kozo odywauun dm xeopozo ua du^mepim -0,9, dnn xeopozo ua napomum - 0,8 i dnn xeopozo ua Kip - 0,75. 3uaumu UMoeipuicmb mozo, ^o xeopuu, ^o euSpauuu uaeMauun, weudKO odywae?
flaHa 3agana gonycKae Mo^nuBicTb Bapi-a^i nuTaHHa.
HanpuKnag, b rn^eKnifiHoMy BiggineHHi 20 xBopux Ha gu^Tepiro, 6 xBopux Ha napo-tut i 4 xBopux Ha Kip. HMoBipmcib mBugKo-ro ogy^aHHa gna xBoporo Ha gu^Tepiro -0,9, gna xBoporo Ha napoTuT - 0,8 i gna xbo-poro Ha Kip - 0,75. 3Hafira HMoBipHicTb Toro, ^o xBopuH, ^o вн6paннн HaBMaHHa, 6yge ogy^yBaTu noBinbHo?
Mogu^iKania yMoBu 3agani gae Moxnu-BicTb 3HoB BapiroBaTu nocTaHoBKy nuTaHHa. HanpuKnag:
a) 3HaHTu HMoBipHicTb Toro, ^o xBopuH, aKuH mBugKo ogy^aB i aKoro 6yno Bu6paHo HaBMaHHa, 6yB xBopuH Ha gu^Tepiro;
6) 3HaHTu HMoBipHicTb Toro, ^o xBopuH, aKuH mBugKo ogy^aB i aKoro 6yno Bu6paHo HaBMaHHa, 6yB xBopuH Ha napoTuT;
b) 3HaHTu HMoBipHicTb Toro, ^o xBopuH, aKuH mBugKo ogy^aB i aKoro 6yno Bu6paHo HaBMaHHa, 6yB xBopuH Ha Kip;
r) 3HaHTu HMoBipHicTb Toro, ^o xBopuH, aKuH noBinbHo ogy^aB i aKoro 6yno Bu6pa-ho HaBMaHHa, 6yB xBopuH Ha gu^Tepiro;
g) 3HaHTu HMoBipHicTb Toro, ^o xBopuH, aKuH noBinbHo ogy^aB i aKoro 6yno Bu6pa-ho HaBMaHHa, 6yB xBopuH Ha napoTuT;
e) 3HaHTu HMoBipHicTb Toro, ^o xBopuH, aKuH noBinbHo ogy^aB i aKoro 6yno Bu6pa-ho HaBMaHHa, 6yB xBopuH Ha Kip.
OTpuMaHi tbkum huhom 3agani e nogi6-humu, i ToMy Mo^yTb 6yTu BKnroneHi y 3MicT
<if2)
практичних, контрольних i iндивiдуальних завдань, забезпечуючи рiзноманiтнiсть варiантiв.
Завдання, що складають систему, спрямован на формування i розвиток ба-гатьох дослiдницьких прийомiв. Проте, модиф^ючи завдання, можна робити упор на той або шший прийом.
Розглянемо задачу.
Задача. У деякому колектив1 чоловтв I ж1нок пор1вну. Серед чоловтв тих, що палять - 30%, серед ж1нок тих, що па-лять - 10%. Знайти ймов1рн1сть того, що навмання вибрана особа палить.
Для розв'язання даного завдання вико-ристовуються не лише загальш, але й спе-щальт евристичт прийоми, таю як «мо-делюй», «намалюй картинку», «дослщжуй по частинах» [223].
Модифщемо задачу. У деякому коле-ктивi чоловшв i жiнок порiвну. Серед чо-ловiкiв тих, що палять - 30%, серед жшок тих, що палять - 10%. Навмання вибрана особа палить. Знайти ймовiрнiсть того, що нею е чоловш
Така модиф^щя спрямована на формування евристики «дослщжуй по частинах».
Наступна модиф1кац1я. У деякому ко-лективi чоловiкiв i жшок порiвну. Серед чоловiкiв тих, що палять - 30%, серед жь нок тих, що палять - 10%. Навмання виб-рана особа палить. Що ймовiрнiше, що це чоловш, чи що це - жшка?
Ця модифiкацiя спрямована ще й на евристику «порiвнюй».
Продовжуючи модифтацт, отримуе-мо наступну задачу. У деякому колективi чоловшв i жiнок порiвну. Серед чоловiкiв тих, що палять - 30%, серед жшок тих, що палять - 10%. Статистика свщчить, що курц беруть лiкарняний в середньому в два рази часпше, тж п, хто не палять. Вь домо, що хтось iз ствроб^ниюв знахо-диться на лiкарняному. Яка ймовiрнiсть того, що це чоловш, який палить?
Така задача спрямована на евристику «узагальнюй».
Добравши такими прийомами достат-ню кiлькiсть навчальних задач за рiзними темами курсу i об'еднавши 1х в системи, можна оргатзувати процес навчання розв'язанню професшно орiентованих за-
дач, що допускають застосування ймовiр-нiсного апарату.
Задачi мають бути сформульованi так, щоб 1х розв'язання вимагало використання певних розумових прийомiв, сприяло кращому розумшню теоретичних поло-жень, активiзацii розумово! дiяльностi студенпв, що е передумовою формування дослщницьких умiнь.
Форми оргатзаци навчання можуть бути вибранi таким чином: тсля прослу-ховування лекцшного матерiалу i прове-дення практичного заняття, на якому роз-в'язуються задачi бiологiчного змiсту, вiд-працьовуються основнi теоретичнi факти, визначення понять i теореми, студентам групи на початку заняття пропонуеться набiр задач за вщповщною темою, i вони самостшно 1х розв'язують. Викладач при цьому перевiряе i консультуе кожного студента окремо. Дана форма оргатзаци практичного заняття передбачае вдивщу-альний пщхщ до кожного студента, дозво-ляе пропонувати сильнiшим з них завдання пiдвищеноi складностi.
Оскшьки контроль успiшностi е не-вщ'емною частиною навчального процесу та сприяе успiшнiй самостiйнiй робот1 студент1в, то для його оргатзаци ми обра-ли професiйно-орiентованi тестовi завдання та використали тестову оболонку, що е в наявност! Вона випадково генеруе кожному студенту вдивщуальний набiр тес-тових завдань потрiбноi складност1 за ко-жною темою. Цей набiр включае питання, як теоретичного характеру, так и завдання на вщпрацьовування базових умiнь, а та-кож професiйно орiентованi завдання рiз-ного рiвня складност1. Пхсля виконання всiх завдань тесту на екран виводиться кшьюсть балiв, що набрав студент.
Пюля зак1нчення тестування проходить пiдведення пiдсумкiв роботи i обго-ворення питань, що виникли. Така робота значно активiзуе роботу кожного студента. Ва вони можуть переглянути т1 за-вдання, в яких було допущено помилку, та вщразу ж отримати консультацiю з тих завдань, яю не зрозумiли або ж розв'язали з помилкою. Тобто, вщразу ж з'ясовуються i лiквiдовуються прогалини в знаннях.
Апробацiя запропонованоi технолог^
(Г48)
навчання проводилася на кафедрi бюфГзи-ки Донецького нащонального ушверсите-ту в групах студенпв спецiальностi «Бю-фiзика».
Одним з позитивных чинникiв вияви-лося пiдвищення iнтересу до навчального матерiалу, бiльш усвiдомлене засвоення основних понять курсу, пiдвищення ште-ресу до математичного моделювання реальних бюлопчних процесiв, бажання са-мостшно засвоювати матерiал, знаходити мiжпредметнi зв'язки, формулювати завдання i цш дослiджень. Слiд зазначити також активiзацiю спшьно'1' роботи i взае-модопомоги студенпв шляхом обговорен-ня задач, якГ викликали особливий iнтерес або труднощi в розв'язаннi, i подальшоï роботи для лiквiдацГï прогалин в знаннях.
Для з'ясування вiдношення сгуденпв до тако'1' оргатзаци роботи за спецкурсом було проведено анкетування. Воно з'ясу-вало, що, на думку студенпв, за рахунок розв'язання професiйно-орiенгованих за-вдань даний спецкурс е дуже корисним для становлення 1'х, як майбуттх фахГвтв, змiнюе 1'хне вщношення до фундамента-льних дисциплГн, що вивчалися на пер-шому курсГ
Висновки. На наш погляд, математич-нГ спецкурси вiдiграють важливу роль у забезпеченш навчання студенпв початкам моделювання та формуванш 1'хшх дослщницьких умГнь, а запропонована оргатза-цГя навчання передбачае не лише Гндивь дуальний пщхГд, але й сприяе формуван-ню i розвитку прийомГв розв'язання про-фесГйно орГентованих бГологГчних задач рГзно'1' складносп, бшьш активному залу-ченню студентГв до обговорення нового матерГалу на лекщях, що в свою чергу сприяе поповненню банку професГйно орГентованих завдань i подальшому вдоско-наленню навчання.
1. Баврин И.И. Высшая математика: Учебное пособие для студентов химико-биологического факультета пединститутов / И.И.Баврин. - М.: Просвещение, 1980. - 237с.
2. Зайцев И.А. Высшая математика: Учебник для некоторых специальностей с.-х. вузов / И.А.Зайцев. -М.: Высшая школа, 1991. - 400 с.
3. Карлащук А.Ю. Формирование исследовательских умений школьников в процес се решения математических задач с параметрами: Дис. ... канд. пед. наук:13.00.02/Карлащук АнжелжаЮр1-евна. -Донецк, 2001. - 242 с.
4. Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях / ДжМарри. -М.:Мир, 1983. - 397 с.
5. Методы математической биологии. Методы синтеза алгебраических и вероятностных моделей биологических систем: кн. 2. - К.: Вища школа, 1981. - 312 с.
6. Нгчуговська Л.1. Математичне моделювання в систем1 економгчног освти: Монограф1я / ЛШгчуговська. - Полтава РВВ ПУСКУ, 2003. -289 с.
7. Соколенко Л. О. Прикладт задачг природни-чого характеру в кура алгебри I початтв анатзу: практикум: навч. поабник / Л.О. Соколенко, ЛГ.Фиюн, В.ОШвець - К.: НПУ м М.П.Драгоманова, 2010. -128 с.
8. Соколенко Л.О. Математичне моделювання бюлогчних, хмгчних, медичних процеав I явищ у класах природничого профтю / Л. О.Соколенко // Дидактика математики: проблеми I дослгдження: мжнар. зб. наук. робт /редкол.: О.1.Скафа (наук. ред.) та т.; Донецький нац. ун-т; 1нститут педа-гояки Акад. пед. наук Украгни; Нацюнальний пед. ун-т Ш. М.П.Драгюманюва. - Донецьк, 2006. - Вип. 25. - С. 99-105.
9. Хорольська О.В. Морфологчие конструю-вання та оптим1зац1я тестових завдань / ОВХорольська, С.В.Срьоменко, КБ.Фтахтов // Тези доп. IVМ1жвуз1вська наук.-практ. конф. "Нов1 ¡нформацШш технолог^ в навчальному процес загальнююсвiтнъюг школи та вузу" (Кигв, 15-18 листопада 1995р.). - Кигв, 1995. - С.99-100.
10. Хуторской А. В. Современная дидактика: Учебник для вузов / А.ВХуторской. - СПб: Питер, 2001. - 544 с.
Резюме. Тимошенко Е.В. РОЛЬ МАТЕМАТИЧЕСКИХ СПЕЦКУРСОВ В ОБЕСПЕЧЕНИИ ОБУЧЕНИЯ НАЧАЛАМ МОДЕЛИРОВАНИЯ СТУДЕНТОВ-БИОФИЗИКОВ. В
статье описываются математические спецкурсы, играющие важную роль в обеспечении обучения студентов началам моделирования и формирования их исследовательских умений. Также предложена организация обучения, которая предусматривает не только индивидуальный подход, но и способствует формированию и развитию приемов решения профессионально-ориентированных биологических задач различной сложности, дальнейшему совершенствованию обучения.
Ключевые слова: математическое моделирование, математические спецкурсы, формирование исследовательских умений, профессионально-ориентированные биологические задачи.
Abstract. Tymoshenko E. THE ROLE OF MATHEMATICAL SPECIAL COURSES IN PROVIDING MODELLING LEARNING PROCESS BASIS FOR STUDENTS-BIOPHYSICISTS.
This work purpose is to identify the role of the "Probabilistic and statistical methods in biology" special course in providing modelling learning process basis for students-biophysicists and their research skills formation, as well as to describe the learning organizational forms.
It is proved that some probability models of real application processes is appropriate to consider as professionally oriented tasks during students ' biophysicists learning. Such problems solution contributes to the better understanding of theoretical positions, to the mental activity intensification, but requires the skills of using both a general heuristic techniques, and also specific heuristics. The author insists that the student must be placed in a situation that requires the application problem formalization and the mathematical concepts and statements interpretation in the terms of biology. The article provides the biological problems examples, which solving requires the probability and statistical instrument using.
The author describes the variation method and the morphological method of construction problems that were used to create problems ' systems facilitating the research skills development. The author also gives examples of new problems that are built by means of these methods and constitute the system directed at many research techniques formation and development.
This paper describes the organization and success learning control forms, the results of learning are adduce. More deliberate understanding of the course basic concepts, increasing students ' interest to the mathematical modelling are noted in the article.
Key words: mathematical modelling, mathematical special courses, research skills formation, professionally oriented biological problems.
References
1. Bavrin I.I. Higher Mathematics: Textbook for students ofchemical and biological faculty ofpedagogical institutes/II.Bavrin. - M.: Prosvescheniye, 1980. -237p.
2. Zaitsev I.A. Higher Mathematics: Textbook for some agricultural specialties of farm universities / IA.Zaytsev. - Moscow: Vyshaya shkola, 1991. - 400p.
3. Karlaschuk A.Y. Formation of research abilities of schoolchildren in the process solving mathematical problems with the parameters: Dis. ... cand. ped. sciences: 13.00.02 / Karlaschuk Anzhelika Yuryevna. -Donetsk, 2001. - 242p.
4. Marri J. Nonlinear differential equations in biology. Lectures about models / JMarri. - M: Mir, 1983. -397p.
5. Methods of Mathematical Biology. Methods for the synthesis of algebraic and probabilistic models of biological systems: Book 2. - K.: Vysha shkola, 1981. -312 p.
6. Nichuhovska L.I. Mathematical modeling in economic education system: Monograph /
L.I.Nichuhovska. - Poltava RVVPUSKU, 2003. - 289p.
7. Sokolenko L.A. Appliedproblems of natural character in the course of algebra and basis of analyses: Schoolbook/L.O. Sokolenko, L.G. Philon, V.O. Shvets. -K: NPUimeni M.P. Dragomanova, 2010. -128p.
8. Sokolenko L.A. Mathematical modeling of biological, chemical, medical processes and phenomena in the natural profile classes / L.O.Sokolenko // Didactics of mathematics: Problems and Investigations: Internat. collection of Scientific works. - Donetsk: Donetsk National University, 2006. - Vol. 25. -P.99-105.
9. Horolska O.V. Morphological design and optimization of test problems / O. VHorolska, Ye.V.Yeromenko, KB.Filahtov // Proceedings ext. IV Interuniversity scientific-practical. conf"New information technologies in the education of secondary school and university"' (Kyiv, 15-18 November 1995). - Kyiv, 1995. -P.99-100.
10. Hutorskoy A. V. Modern didactics: Textbook for Universities / A.V.Hutorskoy. - St. Petersburg: Piter, 2001. - 544p.
Стаття представлена професором В. О.Швецем.
Надшшла доредакцп 18.08.2013р.
