CC BY
5НАУКОВ1 ЗАСАДИ П1ДГОТОВКИ МАЙБУТНЬОГО ВЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ
РОЛЬ КУРСУ «ФУНКЦЮНАЛЬНИЙ АНАЛ1З» У Щ1ДГОТОВЦ1 МАЙБУТНЬОГО ВЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ
Д.€. Бобилев, викладач,
КриворЬький нащональний ушверситет, м. Кривий Piz, УКРА1НА e-mail: dmytrobobyliev@gmail.com
].......\
Видтено загальт idei функцгонального аналгзу (на прикладi метричних npocmopie) в мате-
матицг / показано, як евристичн умгння допомагають ефективно розв 'язувати важливг про-блеми методики, зокрема, систематизацИ' й узагальнення шкыьного курсу математики. Роз-глядаеться, як саме вивчення ц^ег дисципл1ни в рамках евристичног технолога навчання дозво-ляе застосовувати м1ждисциплтарно евристичш прийоми.
К:иочов1 слова: еврнстнчт улпння, метричнии npocmip, егдстанъ, функцюналъннй аналгз.
Постановка проблеми. Анашз методично! л^ератури показав, що недостатня кшькють дослщжень присвячена розк-риттю можливостей застосування метричних просторiв у шкшьнш практищ i ме-тодичнiй пiдготовцi майбутнiх учителiв математики. В той же час, важливо при-дiляти увагу методицi формування в уч-нiв розумiння понять вщсташ i п-вимiрного метричного простору, оскiльки вони пов'язаннi з важливими застосуван-нями узагальнених щей вщсташ в сучас-нiй математищ. В навчальних планах пщ-готовки мапс^в i спецiалiстiв спешаль-носп 8.04020101 Математика* i 7.04020101 Математика* передбачено вивчення курсу функщонального анашзу. Мета даного курсу: формування науково-го свiтогляду, одним з елеменпв якого е розумiння ролi функцюнально-анаштич-них методiв у математицi i точному при-родознавствi; опанування початками тео-ри функцiональних просторiв, лшшних операторiв рiвнянь; розвиток умiння бу-дувати, дослiджувати методами функщо-
нального аналiзу моделi з pi3HHx областей теоретично'1 i прикладно'1 математики; створення необхщноi математично'1 осно-ви для подальшого вивчення функцюна-льного анашзу i його застосувань.
Анал1з останн1х дослщжень i публь кацш. Проблемi реашзаци евристичних iдей, дiалектицi евристичноi дiяльностi в навчаннi математики на сьогодш придь ляли увагу таю математики та методисти, як Г.П. Бевз, М.1. Бурда, Ю.М. Коляпн, Ю.М. Кулюткiн, Л. Ларсон, Т.М. Мiра-кова, В.М. Осинська, Ю.О. Палант, Д. Пойа, Г.1. Саранцев, G.G. Семенов, О.1. Скафа, З.1. Слепкань, Н.А. Тарасен-кова, Л.М. Фрщман, C.I. Шапiро, П.М. Ердшев та iншi.
Аналiз роб^ вище вказаних авторiв пiдтверджуе, що в основi евристичного пiдходу лежить психологiя творчого мис-лення, процедура пошуку нового, спроба формашзаци творчо'1' дiяльностi. Спираю-чись на означення формування евристич-но'1' дiяльностi за О.1. Скафою [5], в рамках формування професiйно-орiентованоi
евристично'' дiяльностi студенпв пщ час вивчення функцiонального аналiзу ми будемо розум^и новi освiтнi продукти та новоутворення особистiсних якостей майбутнього фахiвця, яю вiн набувае у процесi навчання, яю виробляють у нього умшня усвiдомлено дiяти в ситуаци ви-бору, грамотно ставити та досягати власш цiлi, дiяти продуктивно як пщ час навчання так i в майбутнiй професiйнiй дiя-льностi. Як показуе аналiз змюту функць онального аналiзу, саме вивчення ще'' ди-сциплiни в рамках евристично'' технологи навчання дозволяе застосовувати еврис-тичнi прийоми мiждисциплiнарно, що вказуе на бiльш високий розвиток еврис-тичних умiнь майбутнiх фахiвцiв з математики та методики и навчання.
Метою статт1 е визначення загальних 1дей функцюнального анал1зу (на приклад1 метричних простор1в) в математицг / представлення того, як технологи еври-стичного навчання ц1ег дисциплгни допо-магають ефективно розв'язувати важ-лив1 проблеми, зокрема, сприяють сис-тематизацИ й узагальненню шкгльних математичних знань.
Виклад основного матер1алу. Ево-люцш поняття метричного простору в математищ можна зрозумiти лише про-стеживши його розвиток вщ виникнення основних метричних понять: довжини i вiдстанi. Абстрактно-математичне поняття «вщстань» тiсно пов'язане iз абстракт-но-математичним поняттям «метричний простiр». Ц поняття за сво'м походжен-ням е геометричними i тому 'х генезис невiддiльний вiд розвитку ще' простору в геометри. Поняття вщстань i метричний простiр виникли як абстракщя над абст-ракцiею в результат! зютавлення вже вве-дених у математику абстрактних понять. Втративши матерiалiзовану конкретнiсть, абстрактно-математичнi поняття вщстань i метричний проспр набули велико'' зага-льностi. Наприклад, евклiдовi та неевкль довi простори е лише окремими випадка-ми метричного простору, оскшьки 'х метрика може розглядатись як конкретна ш-терпретащя його аксiом. Отже, еволюцiя
поняття метричного простору дозволяе реашзовувати методи евристичного на-вчання.
Пщ час вивчення модуля «Метричш простори» доцiльно звертати увагу сту-дентiв на зв'язок функцюнального аналь зу з методикою навчання математики. Для цього, в рамках модуля, слщ розгля-нути рiзнi науково-методичнi концепци вiдстанi. При цьому студентам необхщно самостiйно порiвняти концепцiю вiдстанi Кагана-Бiркгофа i концепщя вiдстанi Ев-клiда-Колмогорова.
Концепщя в1дстат КаганаБркгофа. Поняття вщсташ в класичнш формi тлу-мачиться як дшсне невiд'емне число. Та-ке тлумачення вiдстанi запропонував математик В.Ф. Каган (1869 - 1953). Система аксюм Кагана геометри Евклща спи-раеться на поняття вщсташ як iнварiанта групи аксiом перемщень, а вiдстань ште-рпретуеться як дшсне невщ'емне число. 1дею Кагана було розвинуто при побудовi шкшьного курсу геометри. Найповнiше цю щею було втiлено в працях Джорджа Давща Бiркгофа (1884 -1944). Дана концепщя знайшла вiдображення в рiзних посiбниках i пiдручниках з геометри для загальноосв^ньо'' школи [3].
За Каганом^ркгофом, поняття вщсташ можна аксiоматично означити так:
1) для кожно'' пари точок А i В визна-чено вщстань, яку позначають р(А, В);
2) вщстань р (А, В) е невщ'емним дш-сним числом;
3) (¥А,В)[р(А,В) = 0 <=>А = В],
4) (УА,В)[р(А,В) = р(В,А)],
(у А В С)[ (ДС}< (АБ}+ СВ О]
Концепщя Кагана^ркгофа, коректна з наукового боку, мае ряд ютотних недо-лiкiв методичного характеру, в нш, зок-рема:
1) величини пов'язаш з процесом ви-мiрювання, що заважае розумiнню поняття числа;
2) тлумачення поняття вщсташ як числа приводить до зачарованого кола: до-щльнють введення дробових i iррацiона-льних чисел мотивуеться потребами ви-
©
мiрювання величин, а пiзнiше ц величи-ни визначаються як числа;
3) не кожному вiдрiзку можна поста-вити у вщповщнють його довжину - число доти, поки не введено множину не-вщ'емних чисел.
Студенти, пiд керiвництвом виклада-ча, повиннi були самостiйно знайти вка-занi вище недолiки i пояснити, чому дана концепцiя не знайшла мiсце в курсi математики, хоча широко використовуеться в сучаснш науцi.
Концепщя в1дсташ Евкл1да-Колмого-рова. Св^огляд учнiв допомагае форму-вати концепцiя, в основi яко! лежить чiтке розмежування геометричноТ ф^ри як носiя величини, само! величини i Г! числового значення - невiд'емного дiйсного числа. Такою е концепщя вiдстанi, що бере початок вщ Евклiда i розвинута в працях А.М.Колмогорова, а також В.Кшффорда, В.М.Депутатова та iн. У данш концепци вiдстань розглядаеться як невщ'емна скалярна величина. Введення поняття «величина» в шкшьний курс математики дае змогу пiдiйти до питання про вимiрювання довжин, площ, об'емiв, розглядаючи величини як геометричну властивiсть протяжностi, яку можна кшь-кюно характеризувати дiйсним числом. Деяю сучаснi вченi вважають, що математика XX ст. може обштись без поняття величини. 1з ними можна погодитись лише в чистш математищ, де поняття величини явно не використовуеться. Що сто-суеться прикладно! математики, то тут поняття величини вщграе фундамента-льну роль. Тому воно важливе i в шкшь-ному кура, де особлива увага звертаеться на практичш застосування математики
[4].
У концепци Евклiда-Колмогорова поняття вщсташ аксюматично означаеться так:
1) для кожно! пари точок А i В визна-чено вiдстань, яку позначають |Аб|;
2) вiдстань |АВ| е невщ'емною скаляр-ною величиною;
3)(УДБ)[|Ле| = 0 <=> А = В1
4) 0/А,В-)[\АВ\ = \ВА\1
Слiд звернути увагу майбутнiх вчите-лiв математики, що в шкшьних пщручни-ках для позначення вщсташ i ii числового значення використовуеться один символ: |XY|. Але в функцюнальному аналiзi доць льно дотримуватися чiткого розмежування в позначеннях вщсташ |XY| та ii числового значення p(X, Y).
При вивченш рiзних пiдходiв визна-чення вiдстанi студентам можна запропо-нувати самостшно довести, що числовi значення вщстаней в концепци Евклща-Колмогорова е вщстанями в концепци Кагана^ркгофа.
Тлумачення вiдстанi як величини лежить в основi аксiоматики шкшьного курсу геометри, запропоновано'' академшом А.М. Колмогоровим. Основними, неозна-чуваними поняттями тут е: «точка», «вщстань», «пряма» - у плашметри Евклiда; «точка», «вщстань», «пряма», «площина»
- у стереометри Евклща.
Система аксiом А.М.Колмогорова складаеться з 14 аксюм. Якщо в трьох iз цих аксiом замiнити вщстань як величину ii числовим значенням, то дiстанемо аксi-оми метричного простору.
Як вправу, студентам можна запропо-нувати довести, що вс евклiдовi площини iзометричнi мiж собою.
Також доцiльно, на практичному занята, при введенш поняття метричного простору розглянути зi студентами зна-ходження вiдстаней мiж фiгурами геоме-тричним способом. Суть полягае в тому, що ми сполучаемо точки, вщстань мiж якими треба знайти, вiдрiзком прямо'' i довжину цього вiдрiзка (як геометричну властивють протяжностi) беремо за шу-кану вщстань, якш можемо поставити у вщповщнють певну (при вибранш одини-цi вимiрювання) числову характеристику
- числове значення вщсташ.
Пюля цього, за допомогою евристич-них питань (Як знайти вщстань вщ точки до ф^ури? Вiд однiеi ф^ури до шшо'?) i мозкового штурму на занята отримати вiдповiдь, яка необхщна для нарисно'' геометри, картографи, фотометри та iнших
®
прикладних наук. Правильне розв'язання цих питань можна знайти, виходячи з того, що геометричш фюури е точковi мно-жини. Тому можна скористатися понят-тям вiдстанi мiж двома множинами. У функцiональному аналiзi за вiдстань вiд точки х до множини M беруть нижню межу вщстаней вiд точки х до змшно'1 точки^ множини М\
d{x,M~) = infy£M d(x,у).
а за вщстань мiж двома множинами Mi i M2 - нижню межу вщстаней мiж змшними точками х i y вщповщно мно-жинА/i iM2:
ci(MlfM2) = mfïFjWj d(xry). jeM,
На основi отриманих вiдповiдей можна дати такi означення:
Означення 1. Вщстанню вiд точки A до фюури Ф називають найменшу (якщо вона юнуе) з вiдстаней вiд точки А до вах точок ф^ри Ф.
Слiд зауважити (постановкою студентам евристичних запитань), що така (найменша) вiдстань не завжди юнуе. На-приклад, не iснуе вщсташ вщ точки A до вщкритого вiдрiзка BC, якщо точки А, В, С лежать на однш прямш, або ортогональна проекщя точки A не належить вщрь зку BC.
Означення 2. Вщстанню вщ фiгури Ф1 до фюури Ф2 називають найменшу (якщо вона юнуе) з вщстаней вщ уах точок фь гури Ф1 до всiх точок фiгури Ф2.
Ця вiдстань також не завжди юнуе. Наприклад, не iснуе вщсташ мiж двома вiдкритими вiдрiзками, яю лежать на од-
А ,
>В
Рис. 1
нш прямiй, мiж графiком показниково' функци i вiссю абсцис.
Осюльки розглядаемо геометричнi фi-гури як множину точок, то ставити задачу про знаходження вiдстаней доцiльно лише для фюур, перерiзом яких е порожня множина; вiдстань мiж фiгурами, перерь зом яких е не порожня множина, вважа-еться рiвною нулю.
Знаходження найкоротших вiдстаней мiж двома точками на многогранних по-верхнях у школi зводять до побудови роз-горток цих поверхонь. На перший погляд у студенпв може виникнути думка, що розв'язування таких задач не спонукае до роздумiв: побудуй розгортку, сполучи на нш вказанi точки вiдрiзком i задачу розв'язано. Те, що таю висновки посшш-нi, можна довести на прикладi задачi про павука i муху [2].
Задача. Зал маерозм1ри 12*12*30 м. На однт з менших стт посередит, на в1дстат 1 м в1д тдлоги сидить муха. На протилежтй стш - павук. Який найко-ротший шлях повинен пройти павук, щоб схопити муху?
Найчаспше, навт студенти, розв'язу-ють цю задачу, як показано на рис. 1 i дь стають вщповщь р (А, В) = 42 м. Але цей розв'язок неправильний, бо е багато рiз-них варiантiв побудови розгортки, зокре-ма, такий, як подано на рис. 2. У цьому
випадку р {А, В) = л/р2(А,С) + р2(С, Б) =
®
Шсля отримання розв'язку дано! зада-чi i, розглянувши внутрiшню метрику, можна з'ясувати, разом зi студентами, питання про вiдстань мiж двома точками на деяких поверхнях тривимiрного евкш-дового простору. Для цього в науковш лiтературi здебiльшого використовують методи диференшальнох' геометри. Для наших цшей краще використати методи синтетично! геометри, яю ближчi до практики шкшьного викладання. З таких позицш з'ясовано питання внутрганьо'!' метрики i в роботi [1].
Також доцiльно розглянути деякi питання внутршньоТ метрики цишндричног, кошчног та сферично! поверхонь. Цi по-верхнi обертання розглядаються в курсi математики середньоТ школи. Вони е доступною для розумшня учнями шюстраць ею можливостей рiзних означень вiдстанi мiж двома точками.
Поняття вiдстанi i метричного простору займають особливе мюце в системi наукових знань. Особливо потрiбнi знан-ня метричних понять старшокласникам, але формування цих понять починаеться з початково! школи. У програмi з математики для 1-Ш класiв значне мiсце вщведе-но вивченню основних величин, зокрема довжин i площ. Це створюе передумови для формування в учшв молодших класiв початкових понять про вщстань i метрич-ний проспр.
В якостi самостийно! роботи студенти отримують завдання проаналiзувати реа-лiзацiю рiзних науково-методичних кон-цепцiй вщсташ в шкшьних пщручниках.
В заключному оглядi модуля «Метри-чнi простори» доцiльно провести зi студентами евристичну бесщу, в якш ще раз пiдкреслити, що у шкшьному курсi геометри вивчають властивосп фiгур у дво-вимiрному або тривимiрному евклщово-
му просторi, який е моделлю метричного простору. З числовими метричними просторами зус^чаються в кура алгебри i початюв аналiзу. Загальне абстрактно-математичне поняття метричного простору слщ використовувати для з'ясування таких питань, як несуперечливють, неза-лежнiсть i категоричнiсть (повнота) сис-теми аксiом. Компактна i проста аксюма-тика метричного простору найбшьш при-датна для цього.
Висновки. У результат аналiзу змiсту курсу функцюнального аналiзу видiлено загальнi щеТ функцiонального аналiзу (на прикладi метричних просторiв) в матема-тицi i показано, як евристичнi умiння до-помагають ефективно розв'язувати важ-ливi проблеми методики, зокрема, систе-матизаци й узагальнення шкiльних курсу математики. Показано, що евристичне навчання сприяе розвитку пiзнавальноi активностi та продуктивного мислення студентiв та е основою формування про-фесiйно-орiентованоi евристично! дiяль-ностi майбутнiх вчителiв математики.
1. Александров А.Д. Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей / А.Д.Александров. -М.-Л.: Гостехиздат, 1948 - 388 с.
2. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения /М. Гарднер. - М. : Мир, 1971. - 512 с.
3. Семенович О.Ф. Геометр1я. Аксюматич-ний тдх1д / О.Ф. Семенович. - К.: Рад. школа, 1976. -168 с.
4. Следзтський 1.Ф. Метричш простори в школьному кура математики / 1.Ф.След-зтський, 1.Ф.Тесленко. - К.: Рад. школа, 1978. -110 с.
5. Скафа Е. И. Эвристическое обучение математике: теория, методика, технология. Монография / ЕИ.Скафа. - Донецк: Изд-во ДонНУ, 2004. - 439 с.
Резюме. Бобылев Д. РОЛЬ КУРСА «ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ» В ПОДГОТОВКЕ БУДУЩЕГО УЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ. В статье выделены общие идеи функционального анализа (на примере метрических пространств) в математике и показано, как эвристические умения помогают эффективно решать важные проблемы методики, в частности, систематиза-
©
ции и обобщения школьного курса математики. Рассматривается, как изучение этой дисциплины в рамках эвристической технологии обучения позволяет применять эвристические приемы междисциплинарно.
Ключевые слова: эвристические умения, метрическое пространство, расстояние, функциональный анализ.
Abstract. Bobyliev D. COURSE «FUNCTIONAL ANALYSIS» IN TRAINING FUTURE TEACHERS OF MATHEMATICS. The article highlighted the general ideas of functional analysis (for example, metric spaces) in mathematics and shows how the heuristic ability to effectively help solve important problems of methodology, including the systematization and generalization of the mathematics school. We consider how the study of the subjects of heuristic learning technology allows you to use heuristic techniques across disciplines.
Analyzed the methodological literature and show that the number of studies reveal opportunities for application of metric spaces in school practice and methodical training of future mathematics teachers is insufficient. At the same time, emphasized how important it is to pay attention to technique development of students' understanding of the concepts of distance and n-dimensional metric space as they associate with important applications of generalized distance ideas in modern mathematics.
It reveals the evolution of the concept of metric space in mathematics and, on this basis, we can understand the origin of the basic concepts of metric: lengths and distances. Abstract mathematical concept of "distance" is closely associated with the abstract mathematical concept of "metric space". These concepts in origin is geometric and thus their genesis is inseparable from the idea of space geometry. The concept of distance and metric space have emerged as an abstraction of an abstraction as a result of matching are introduced to mathematics abstract concepts. Lost materialized concrete, abstract mathematical concepts and distance metric space gained great generality. Thus the evolution of the concept of metric space allows us to implement methods of heuristic learning.
The concept of distance and metric spaces have a special place in the system of scientific knowledge. It is therefore particularly useful knowledge metric concepts high school students, but the formation of these concepts begins with the elementary school. Program in Mathematics for classes I-III considerable space is devoted to the study of the basic variables, including length and area. It creates conditions for development of students' junior elementary notions of distance and metric space.
Key words: heuristic skills, metric space, distance, functional analysis.
References
1. Aleksandrov A.D. Vnutrennyaya geometriya vyipuklyih poverhnostey / A.D.Aleksandrov. - M.-L.: Gostehizdat, 1948 - 388p.
2. Gardner M. Matematicheskie golovolomki i razvlecheniya / M. Gardner. - M. : Mir, 1971. -512 p.
3. Semenovich O.F. Geometriya. Aksiomatichniy pidhid / O.F. Semenovich. - K.: Rad. shkola, 1976. -
168 p.
4. Sledzinskiy I.F. Metrichni prostori v shkilnomu kursi matematiki / I.F. Sledzinskiy, I.F.Teslenko. -K.: Rad. shkola, 1978. -110p.
5. Skafa O. Evristicheskoe obuchenie matema-tike: teoriya, metodika, tehnologiya. Monografya / O. Skafa. - Donetsk: Izd-vo DonNU, 2004. - 439p.
Стаття представлена професором О.1.Скафою.
На^йшла доредакцп 02.04.2014р.
(75)
