CC BY
80МЕТОД КООРДИНАТ I ЙОГО ВИВЧЕННЯ В ШКОЛ1
В.Г. Бевз,
доктор педагогiчних наук, доцент, Нащональний педутверситет тем М.П. Драгоманова,
м. Кшв, Украта
Розглядаеться 1стор1я виникнення методу координат та особливостг запровад-ження його в шкгльний курс математики.
Ключов1 слова: поняття координат, метод координат, аналгтична геометргя, реформа шкшьног математичног освгти, метод координат в шкшьному курс1 алгебри, метод координат в шкшьному курс1 геометры.
Постановка проблеми. Остант змши у змют шкшьно! математично! освгш сто-суються переважно навчання математики в 7 та 9 класах i пов'язат вони з вивченням функцш та елеменпв аналогично! геомегри. Тему «Функцй» учт розпочинають вивча-ти в 7 клаа. На 11 вивчення вiдводиться 10 годин, за яю передбачаеться ознайомити учнiв з такими питаннями: функцiя; область визначення i область значень функцй; способи задання функцй; графiк функцй; функщя як математична модель реальних процеав; лiнiйна функцiя, й графiк та влас-тивост [2]. Зрозумiло, що в основi вивчення цих тем лежить матерiал, вивчений в 6 клаа - координатна площина та графiки залежностей мiж величинами. Цей факт збшьшуе вагомiсть матерiалу про метод координат у 6 клаа для подальшого вивчення шюльного курсу алгебри.
Систематичне вивчення теми «Декар-товi координати на площит» розпочина-еться в 9 клаа. На цьому егапi вивчаються: прямокутна система координат на площи-т; координати середини вiдрiзка; вщстань шж двома точками iз заданими координатами; рiвняння кола i прямо!. В подальшо-му цей матерiал використовуеться тд час вивчення тем «Вектори на площинi» i «Ге-ометричнi перетворення». Фактично за новою програмою з геометрй [2] в 9 клаа учт вивчають блок тем, яю стосуються анал^ично! геометр!!.
Анал1з актуальних дослщжень. Онов-лення шкiльного курсу математики за ра-хунок розгляду окремих питань аналГтич-но! геометрй розпочали С.Я. Румовський, HI. Фусс, Т Ф. Осиповський, М.В. Остро-градський, В.Я. Буняковський, П.Л. Чеби-шов, Н.В. Бугаев, В.П. Шеремегевський та шшГ математики i методисти. ПГзтше цю щею пiдгримали В.Л. Гончаров, Н.О. Глаголев, Я.С. Дубнов, О.1 Маркушевич. В.Г. Бол-тянський, А.М. Колмогоров, Ю.Н. Макари-чев, О.1. Маркушевич, Г.Г. Маслова, К.1. Неш-ков, О.Д. Семушин, А.1. Фетисов, 1.М.Яг-лом та iншi.
Сучаснi методолопчш тдходи до орга-нiзацГi системи навчання в школi i стан ма-тематично! освГти вимагають оновлення змГстового наповнення i процесуально! ре-алГзацй запровадження елементiв аналГтич-но! геометрй в шкгльний курс математики. Щоб уникнути деяких помилок, допуще-них у минулому, слГд здшснити ретроспек-тивний аналiз розглядувано! проблеми.
Мета статт - коротко охарактеризува-ти ГсторГю творення методу координат та введення елеменпв аналiтичноi геометрй в шкгльний курс математики.
Виклад основного матер1алу. 1. Уперше поняття координат (астрономГч-них та географГчних, якГ називалися широтою i довготою) з'явилися у роботах дав-ньогрецьких учених Ератосфена (Ш ст. до н.е.) i ГГппарха (II ст. до н.е.). З часом метод
(82)
© Bevz V.
географiчних координат було удосконале-но i трансформовано на iншi системи координат точок на площинi та в простер. Зок-рема Н. Орезм (1323 - 1382) покривав площину прямокутною сiткою i у такий споаб вивчав геомегричнi фiгури, дост-джуючи спiввiдношення лiнiйних розмiрiв у двох взаемно перпендикулярных напря-мах, що вiдповiдають сучасним поняттям абсциси i ординати.
Основоположниками методу координат вважаються П. Ферма i Р. Декарт. Метод Ферма (1629, опублшований у 1679) грун-тувався на взаемно однозначнiй вщповщ-ност мiж точками площини i парами чисел (х, у). Його система координат складалася з
одша прямо! (сучасна Bicb абсцис) i почат-ково! точки N (тепер початок координат). Положення, наприклад, точки Р на деякiй кривiй визначалося вщстанями А (сучасна абсциса х точки Р) i Е (сучасна ордината у точки Р) (рис. 1). Ферма розглядав лише додатнi значення х i у, а тому його система координат складалася фактично з одного першого квадранта. Прямi PZ i QM - пара-лельи, але не обов'язково перпендикуляры прямш NM. За допомогою такого тдходу встановлювалася вiдповiднiсть мiж криви-ми та !х рiвняннямиfx, y) = 0. Ферма вста-новив, що рiвняння першого степеня опи-сують прямi, а рiвняння другого степеня -конiчнi перерiзи.
Рис. 1
У Декарта система координат також складалася з одша фксовано! вю (абсцис), але, на идмну вiд Ферма, вiн розглядав точки з додатними i вщ'емними ординатами. За допомогою методу координат Декарта подавалася геометрична iнтерпретацiя вiд'eмних чисел. У такий споаб значення
вщ емних i додатних чисел зрiвнювалися.
Листування Ферма з вщомими математиками засвщчуе, що свiй метод координат Ферма розробив рашше Декарта, але останнш першим опублiкував сво! резуль-тати [1]. Порiвняйте данi таблицi.
Таблиця 1
Автор PiK оприлюднення Назва роботи
П.Ферма 1636 У лисп до Ж. Роберваля «Вступ до теорп плоских i про-сторових мюць»
1679 У зiбраннi робiт «Рiзнi твори», яке видав син - Саму!л Ферма.
Р.Декарт 1637 «Геометр1я» (додаток до роботи «М1ркування про метод».
®
«Геометр1я» Декарта виявилася важкою для читання i розумiння. Ё неодноразово коментували i доповнювали (Ф. Дебон, Ф. Скоотен, Дж. Валшс, Й. Бернуллi та ш-ш). Дж. Валлiс, зокрема, розглядав не тшь-ки вiд'емнi ординати, але й вiд'емнi абсци-си.
У 1692 рощ Й. Бернулл увiв термш «декартова геометрiя». На цей час робота Ферма про його систему координат не була вщома широкому загалу. Тому деяю понят-тя, що стосуються методу координат нази-вають декартовими: «декартов координа-ти», «декартова система координат», «де-картове рiвняння», «декартова площина».
Термiн «аналiтична геомегрiя» з'явився в 1671 р. (як назва книги I. Ньютона).
Термши «абсциса», «ордината» i «апш-
ката» мають грецьке походження i викори-стовувалися в теори про конiчнi перерiзи. В сучасному розумiннi !х почав використову-вати Г. Лейбнщ. У кшщ 17 столiтгя вiн та-кож увiв термiн «координати», щоб тдкре-слити рiвноправнiсть «абсциси» i «ординати». Але загальновживаними цi термши стали лише з середини 18 столлтя. Термш «вюь абсцис» увiв I. Барроу (1670), а термш «вюь ординат» - значно тзшше Г. Крамер (1750). Початок координат спочатку нази-вали початком абсцис, а в 1679 р. Ф. де Лапр використав окремий термш «початок». Р. Декарт увiв традицш невщо-мi величини позначати останшми буквами алфавiту, а вiдомi - першими. В таблиц подано, як рiзнi вченi позначали координа-ти точки.
Таблиця 2
Персоналпашя та хронологiя введення позначень
№ Автор Нк Позначення
1 Ф. Лапр 1679 x, у, v
2 I. Бернулш 1715 x, у, z
3 Л. Ейлер 1728 t, x, у
4 Л. Гессе 1844 Х1, x2, x3
У робот Г. Крамера «Вступ до аналiзу алгебра!чних кривих» (1750) систематизо-вано, узагальнено i доповнено багато з ре-зультапв попередниюв. Тут, зокрема, Г. Крамер першим використовував систему координат, яка мала двi рiвноправнi вiсi.
2. У царськш Роси вперше початки анал^ично! геометри вводилися в курс середньо! школи на рубежi 18 - 19 столпъ. З 1845 р. викладання основ анал^ично! геометри в гiмназiях припиняеться, незва-жаючи на те, що на пщтримку курсу ви-ступали вГдомГ вчеш С.Я. Румовський, HI. Фусс, ТФ. Осиповський, М.В. Остро-градський, В.Я. Буняковський, П. Л. Чеби-шов, Н.В. Бугаев, В.П. Шереметевський та шшт
У 1905 - 1917 роках окремий курс ана-лгтично! геометри вивчався в 7 клаа реа-льних училищ. З Програмою курсу можна ознайомитися в ро6отГ [3, С.227]. Про до-цГльнГсть такого вивчення неодноразово пiдкреслювали видатнi математики i педа-
гоги. Проти введення такого курсу висту-пав професор Д.М. Синцов, хоча в 1916 р. видав у МосквГ тдручник для середньо! школи «Краткий курс аналитической гео-метри на плоскости», який перевидавався у Петроградi (1922). Книга складалася з п'яти роздшв (Координати. Пряма лгнГя. Круг. Загальш поняття про координати i геометричт мгсця. КонгчнГ перерiзи).
На початку 30-х роюв, пГд час уведен-ня единих обов'язкових програм, елемен-ти вищо! математики, зокрема й анал^ич-но! геометрii, не ввшшли в курс математики середньо! школи.
ПТзшше iдею оновлення шкшьного курсу геометр1! за рахунок аналгтично! геоме-тр1! пiдтримали В. Л. Гончаров, Н.О. Глаголев, Я.С. Дубнов, O.I. Маркушевич.
У 1958 р. з новою силою розпочина-еться рух за реформу шкТльно! математич-но! освГти. З'являеться новий радикальний проект програми i навчальний посГ6ник В.Г. Болтянського та I.M. Яглома «Геоме-
(84)
© Bevz V.
^я», побудований на основi векторно! алгебри та геометричних перетворень.
У 1968 р. тсля широкого громадського обговорення юлькох проекпв (варiанги 1965, 1966, 1967 i 1968; автори проектiв: В.Г. Болтянський, А.М. Колмогоров, Ю.Н. Ма-каричев, О.1. Маркушевич, Г.Г. Маслова, К.1. Нешков, О.Д. Семушин, А.1. Фетисов, 1.М. Яглом та iн.) було прийнято нову про-граму з математики. Крiм iншого, цiею програмою передбачалося введення еле-менпв анал^ично! геометрй на площинi i в просторi в координатнiй i векгорнiй формах.
У 1977 р. модершзащя шкiльного курсу математики на основi обов'язкового здiйснення единого теоретико-множинно-го тдходу до побудови навчальних курсiв математики була рiзко розкритикована i
Зм1ст навчального матер1алу з теми
згодом школи перейшли на нову програму i новi пщручники. Теми «Декартовi коор-динати» i «Вектори» залишилися в про-грамi для основно! i старшо! школи.
Особливють вивчення декартових координат у сучаснш школi пов'язана з про-фiлiзацiею старшо! школи i введенням до профшьно! тдготовки в основну школу. У класах з поглибленим вивченням математики для ще! тему вiдводиться бiльше годин, шж у звичайних, розглядаеться бшь-ший обсяг питань (табл. 3), а також визна-чено бшьше вимог до й засвоення учнями [4]. Зокрема змiст навчального матерiалу у явному виглядi мстить вказiвку на озна-йомлення учшв з методом координат. Та-кий тдхщ реалiзовано i в нових тдручни-ках.
Таблиця 3 ?картов1 координати на площиш»
Звичайм класи (10 годин) Класи з поглибленим вивченням математики (18 годин)
Прямокутна система координат на площиш. Координати середини вiдрiзкa. Вщстань мiж двома точками iз заданими координатами. Рiвняння кола i прямо!. Прямокутна система координат на площиш. Формула вщсташ мiж точками iз заданими координатами. Подш вгдргзка в заданому в1дношенн1. Координати середини вiдрiзкa. Рiвняння ф^ри. Загальне рiвняння прямо!. Ргвняння прямог з кутовим коефщентом. Р1вняння прямог, яка проходить через дв1 дат точки. Умови паралельностг 1 перпендикулярност1 двох прямих. Формула в1дсташ в1д точки до прямог. Рiвняння кола. Взаемне розмщення прямог г кола. Метод координат. [Коло Аполлошя. Формула Лейбнща].
Висновки. Проведений аналiз дае мож-ливiсть зробити таю висновки:
1. Теми «Координатна площина» i «Графжи залежностей тж величинами», що вивчаються в 6 клаа, е пропедевтични-ми для вивчення функцш в курсi алгебри i декартових координат на площиш в кура геометрш. На це слщ звернути увагу вчите-л1в i учнiв.
2. Перед вивченням теми «Функщя» у 7 клаа слщ видшити час на повторення ви-вченого в 6 клаа мaтерiaлу, який стосуеть-ся декартово! системи координат i грaфiкiв. Зробити це можна п1д час юлькох попере-
днiх урок1в або на спещально вiдведеному для цього урощ.
3. У класах з поглибленим вивченням математики поняття методу координат до-цiльно ввести перед вивченням питань, якi стосуються рiвнянь фiгури. Це дозволить учням свiдомо пiдiйти до виведення визна-чених програмою формул, а також допо-може в подальшому ефективно використо-вувати метод координат до розв'язування задач.
3. 1стсря виникнення та розвитку методу координат е щкавою i доступною для учтв, й бажано використати для розвитку
Тнтересу учшв до вивчення ще! теми. 1сто-ричний матерiал можна використати на окремих уроках, а можна оргаизувати уч-швську конференцiю наприкiнцi 7 класу або наприюнщ першого семестру 9 класу.
Аналопчний аналiз доцГльно провести стосовно тем «Вектори» i «Геометричш перетворення». Але i зараз впевнено можна сказати, що змГни у навчальних програмах з математики потребують розробки нових методичних рекомендацiй щодо вивчення елеменпв аналтгично! геометри в основнГй школг
1. Бевз В.Г. 1стор1я математики / В.Г. Бевз - Х. : Вид. гр. "Основа ", 2006. -176 с.
2. Математика. Програма для загальноос-еяттх навчальних заклад1в. 5-12 класи. / М.1. Бурда та т. - К.: Перун, 2003. - 64 с.
3. Метельський М.В. Очерки истории методики математики. Под. ред. И.Я. Депмана. Минск, «Вышэйшая школа», 1968. - 340 с.
4. Програма для класв з поглибленим ви-вченням математики. 8 - 9 класи / Математи-чна газета. - 2008. - № 6.
Резюме. Бевз В.Г. МЕТОД КООРДИНАТ И ЕГО ИЗУЧЕНИЕ В ШКОЛЕ. Рассматривается история возникновения метода координат и особенности ввода его в школьный курс математики.
Ключевые слова: понятие координат, метод координат, аналитическая геометрия, реформа школьного математического образования, метод координат в школьном курсе алгебры, метод координат в школьном курсе геометрии.
Abstract. Bevz V. METHOD OF COORDINATES AND ITS STUDY AT SCHOOL.
History of origin of the method of coordinates and features of its input in the mathematics course at school are considered in the article.
Key words: notion «coordinates», method of coordinates, analytical geometry, reform of school mathematical education, method of coordinates in the school course of algebra, method of coordinates in the school course of geometry.
Надшшла доредакцп 15.09.2010р.
(86)
