CC BY
7ДО ПИТАННЯ ПРО ВИВЧЕННЯ МЕТРИЧНИХ ЗАДАЧ ТЕОР11 ПРЯМИХ I ПЛОЩИН В АФ1ННИХ КООРДИНАТАХ
О.А. Кадубовський, канд. фiз.-мат наук, доцент, Н.О. Чиркова, студентка,
ДВНЗ «Донбаський державний педагогiчний утверситет»,
м. Слов'янськ, УКРА1НА, e-mail: kadubovs@ukr.net, e-mail: chirkova_n@jukr.net
]......-i
Висв1тлюеться авторський doceid формування профестног компетентност1 майбутмх викладач1в математики на npumadi вивчення теми «метричн 3ada4i на прямi та площини в прocтoрi» шляхом гг викладання в афтних координатах, на вiдмiну вiд традицтного викладу в прямокутних координатах.
Ключов1 слова: профестна компетенттсть викладача, афтна система координат у
npocmopi, матриця Грама, метричт задач1 на пряму та площину.
Вступ. 1з метою досягнення наочносп алгебра1чних абстракцш та лакошчносп геометричних доведень, в останш 15-20 роюв простежусться тенденщя об'една-ння традицшно рiзних роздшв математики в одну дисциплшу. Тема «Метричш задачi на ... в афшних координатах» («МЗвАК») е невiд'eмною змiстовою складовою об'еднаного курсу з лшшно'1 алгебри та анаштично'1 геометри для сту-денпв фiзико-математичних спещальнос-тей «класичних» ушверсшепв [1, 5].
Постановка проблеми. Сьогодш перед вiтчизняними ВНЗ, що готують май-бутнiх викладачiв фiзики та математики, постало надважливе завдання - формува-ти фахiвцiв iз високим рiвнем професш-но'1' компетентности [6]. Дисциплiни «Ана-лiтична геометрiя» i «Лiнiйна алгебра та анал^ична геометрiя» е нормативними дисциплiнами осв^ньо-професшних про-грам (ОПП) пiдготовки зазначених фахь вцiв.
На превеликий жаль, вщповщними ОПП пiдготовки викладачiв фiзики та математики для зазначених дисциплш не
передбачено вивчення змютових модулiв «МЗвАК». Можливо тому, в бшьшосп рекомендованих пiдручникiв, методичних поабниюв та збiрникiв задач з анал^ич-но'1' геометри для студентiв педагопчних (i не лише) ВНЗ метричш задачi розгля-дають виключно в прямокутних координатах. Але ж подальша викладацька дiя-льнiсть студенпв фiзико-математичних спецiальностей педагогiчних ВНЗ перед-бачае готовнiсть до навчання спещалюттв рiзного профiлю.
Анал1з актуальних дослщжень. Ре-зультати кiлькiсного та якюного аналiзу дидактичного забезпечення зазначено'1' теми за найбшьш розповсюдженими тд-ручниками та збiрниками задач [1-3, 5, 711] дозволяють констатувати, що систе-матизацiя та виокремлення ключових ме-тричних задач на прямi та площини в явному вигляд^ навiть для випадку прямокутних координат, залишаються невисвь тленими питаниями. «^зномашття» задач, здебшьшого, досягаеться за рахунок розгляду рiзних способiв задання прямо'1' та площини, за рахунок несуттевих дода-
ткових умов або ж за рахунок розгляду аналопчних задач з рiзними числовими даними. Задачам без числових даних та-кож придiляeться недостатня увага, а !х роль затушовуеться. На думку авторiв, збiрники задач [3, 5, 8] частково позбав-леш зазначено'1 вади.
Роздiли «МЗвАК» вперше було за-пропоновано П.С. Моденовим i О.С. Пар-хоменком у 1976 р. у збiрнику задач [8]. Причому вс задачi таких роздшв авторами було вщнесено до задач теоретичного характеру та тдвищено! складносп. Один з пiдходiв до систематизацй та вио-кремлення ключових метричних задач «на прямi в площиш» в афшних координатах викладено у робот! [4]. Представлена стаття е й лопчним продовженням.
Мета статп полягае у висвтленш ре-зультат1в авторського виокремлення та систематизацп «ключових» задач, !х до-повненш вправами-насл1дками та зада-чами-насл1дками теоретичного характеру, як1 б (у певному розумтш) «повно» охоплювали метричш задач1 «на прям1 та площини в простор1» саме в афтних координатах.
Основш поняття та попередш вщо-мость Нагадаемо [7], що узагальнена декартова (афшна) система координат у просторi визначаеться точкою О (початок координат) та впорядкованою трш-
кою некомпланарних вектор1в е1,е^,е3
спшьним початком у точцi О. Напрями цих векторiв визначають додатш напрями координатних осей ОХ (абсцис), ОУ (ординат) та 02 (аплшат) вiдповiдно. Тодi кожнiй точцi М простору в единий спосiб можна поставити у вщповщнють впорядковану тршку чисел х; у; г , яю е коефщентами розкладу й рад1ус-вектора ОМ за базисними векторами е1, е1, . I навпаки, кожнiй трiйцi чисел х; у; г
ставиться у вщповщнють едина точка простору, що е кшцем рад1ус-вектора
х-е1 +у-е2+г-еъ .
Означення 1. Афшну систему координат називатимемо косокутною, якщо
(при фiксованiй одинищ довжини) й ба-зиснi вектори е ортами.
Означення 2. Косокутну систему координат називатимемо прямокутною, як-що базиснi вектори е попарно ортогона-льними.
Означення 3. [ 1] Метричними коефь щентами базису е],е2,е:, називають скалярш добутки
\fije 1,2,3 . Матрицю О = , елементами яко! е
зазначенi добутки, називають матрицею Грама метричних коефщенпв базису
е^е2,еъ . Оскшьки тоОг =0,
де От - матриця, транспонована до мат-рицi G.
Добре вщомо [10], що для кожного базису е1,е2,е3 , визначник |0'| матрищ
Грама е додатним. Тому матрицю, обер-нену до матрищ G, можна подати у ви-
глядо О'1 - ('/\('\, де С - матриця, елементами яко'1' е алгебраiчнi доповнення елеменпв матрицi G, що визначаються за формулами
£п= +
8\2 =
8 2
: +
+
8 з
: +
8 22 8 23
832 833
812 Ей
832 833
812 8и
8 22 8 23
811 &3
831 833
811 &3
821 8 23
811 Ей
821 8 22
> 21 '
Добре вщомо [1], що якщо два вектори вщносно базису ег,е2,е3 задано ко-
a=
ординатами
b ~ bi, , h , то i'x скалярний добуток можна обчислити за формулою:
a
i=l ]= 1
= a,
a,
a3 °G<
j
(1*)
= AT °G°£,
де A i В - матрищ-стовпщ, елементами яких е координата вектор1в a i b вщпо-вiдно, A - матриця-рядок, що е транс-понованою до матрищ А .
Оск1льки
а
то
a, a) =
а =4АТ oGOA. (2*)
1з курсу векторно'1 алгебри вiдомо (напр. [7]), що площу паралелограма, по-будованого на двох неколшеарних векторах р = р^р^р, на обчислити за формулою
i q= q„q2,q.
мож-
(3*)
r= rx,r2,r3
PToGoP PT oGoQ
PToGoQ QT oGoQ '
де
PT = Pi P2 Рз - Q' = ch ch а об'ем паралелепiпеда, побудованого на трьох некомпланарних векторах
Р = Р{,Р2',Ръ > 4= i
- за формулою
Р\ Pi Рз
% Я 2 Чз
Г1 Г2 Г3
Бiльш детально з наведеними понят-тями та фактами можна ознайомитись, наприклад в [1, 5, 7-11].
Виклад основного матер1алу. В умо-вах наведених нижче задач координати даних точок i векгорiв та рiвняння пря-мих i площин задано вiдносно фiксованоï афiнноï системи координат з матрицею
Грама G = gn .
•mod
(4*)
КЗ №1. [8]. Р1вняння площини 7t, яка проходить через точку Ml x1;y1;z1 та
мае нормальний вектор п = пл ; п2 ; п3 , можна подати у виглядi
= 0
(11)
В-Н №1-1. Знайти рiвняння площини, яка проходить через дану точку перпендикулярно прямш
'gn Su gi/ f X — V
я : nx И, Щ О gn §11 g23 о У ~ л
g3l §33
J . х хо
У~Уо
Z - Z-,
(1).
m n p КЗ №2. В якосп координат нормального вектора п„ площини 7Т, задано! па-раметричним р1внянням
х - Xj = рхи + qxv
у - ух = P-Ji + q2v (2), можна обрати z- zx = рм + q, V
л :
тршку чисел n, П, пъ, як1 визначаються
за допомогою матричноï р1вност1
(
Pi Рз (li Чъ
Рз Pi (h (h
Pi Pi Ч\ (h
>G
. (2.1) З-Н №2.1. Довести, що в якосп координат нормального вектора площини
а х—х1 +Ь у-у1 +с z—z1 = 0 (3)
можна обрати тршку, що визначаеться р1внютю
щ п0 щ - a b с °G.(2.2)
КЗ № 3. Необх1дну та достатню умову перпендикулярносп
х-х, y-y, z — Z-
1) прямих l :■
Р,
m п i — 1,2 можна подати у виглядо
lx LU «Z[°G°Z2 =0,
i 'i = щ "i Pi , = щ n2 Pi ;
(3.1)
2) площин
x-X, +h v-v. +c. z-z,. =0,
II I l г/ t/ I I I ■>
i -1,2 - у вигляд1
я-j _L тг2 Af ° G ° iV2 - 0
b
2
«1 П1 W3 =
NI = а1 Ь1 C1 >Nl = а2 Ъ2 С2 ;
(3.2)
3) прямо! /, задано! р1внянням (1), i площини 71, задано! р1внянням (3), - у виглядi
agn+bgn+cgu _
I L7I<¿>-
111
ag2l + bg22 + cg23 ag3l + bg32 + cg
> 33
п р
(3.3)
В-Н 3-1. Встановити необхщну та до-статню умову перпендикулярностi:
1.1) прямо!, задано! як перетин двох площин, та прямо!, задано! каношчним рiвнянням; 1.2) двох прямих, заданих як перетин вщповщних пар вiдповiдних площин; 2.1) площини, задано! парамет-ричним рiвнянням та площини, задано! загальним рiвнянням; 2.2) двох площин, заданих параметричними рiвняннями; 3.1) прямо!, задано! каношчним рiвнян-ням, i площини, задано! параметричним рiвнянням; 3.2) прямо!, задано! як перетин двох площин, i площини, задано! параметричним рiвнянням.
З-Н №3.1. Знайти каношчне рiвняння прямо!, що проходить через дану точку перпендикулярно до площини, задано! загальним рiвнянням.
З-Н №3.2. Знайти рiвняння площини, що проходить через дану точку перпендикулярно до кожно! з двох непаралель-них площин, заданих вiдповiдними зага-льними рiвняннями.
З-Н №3.3. Знайти рiвняння площини, що мiстить пряму, задану каношчним рь внянням, i е перпендикулярною до площини, задано! загальним рiвнянням.
КЗ № 4. [1]. Косинус (синус) гострого кута (р м1ж
1) прямими
Щ Р,
можна обчислити за формулою
COS^3 =
> G oZ0
о G о Ц yjll oG°L2
- щ i\ pl ,
Li = m2 n2 p2 ; (4.1) 2) площинами
TC. '. ü, x - xi + h y-v. + c. z-z,. =0,
11 1 1 1 1 1 J
i = 1,2 - за формулою
COS (p =
TVfoG" 1
IN¡ oG"1 ° N2
Nx = a1 bx q ,N2= a2 b2 c2 ;
(4.2)
3) прямою /, задано! р1внянням (1), i площиною л, заданою р1внянням (3), -за формулою
I am + bn + ср\ sin ср = . .— ,
jNr oG^oN^¡Lt oG°L
NT = a b с , I? = m n p .
(4.3)
В-Н № 4-1. Знайти косинус (синус) гострого кута мiж
1) прямою, заданою каношчним piB-нянням, та координатними осями;
2) площиною, заданою загальним piB-нянням, та координатними осями;
3) прямою, заданою каношчним piB-нянням, та координатними площинами;
4) координатною вюсю та координат-ною площиною, яка !! не мютить;
5) координатними площинами; 6) координатними осями.
КЗ № 5. Рiвняння прямих 1Х, 12, що
проходять через точку М0 x0; y0; z0 та
перетинають пряму
* * *
J.X-X _у-у _Z-Z
m п р шд кутом 0 < ср < 90° можна подати у ви-гляд1
1 . х~хо _ У~Уо
Z - Z,-,
mt+x -х0 nt + y — у0 pt+z -z0
в 4ac-b2
Де 4,2=-^-2--
A = Lr oGoL, B = ll oGoQ, c = qt ogoq, lr = m n p ,
(5.1)
z -zn
01 v v = x -x0 у — v0
З-Н № 5.1. Знайти рiвняння прямих, що проходять через дану точку та утво-рюють даний кут з певною координатною вiссю.
КЗ № 6 [8]. Вщстань вiд точки
Mo xo;Уо;zo до 1) площини 7г:а х—х1 +b у-у1 +с z-z1 = 0 можна знайти за формулою
\nt°q\
Р м0;я =
Va'7 о с,-1
N
де
NT - а Ъ с , (f = х0~х1 У0-У1
Z0~Z1
(6.1)
2) прямо! l :
m
У ~Ух
Z-Z,
n
за формулою
Р Mo;l = , де
H2=QtoGOQ, îf =
\ltogoq\ II о G о L
/ M
0= У0 -Ух ,L = n
v-0 ~zx V
(6.2)
В-Н № 6-1. Обчислити вщстань 1) вщ дано! точки до площини, задано! загальним рiвнянням; 2) вiд дано! точки до координатних площин; 3) вiд початку координат до площини, задано! загальним рiвнянням; 4) мiж паралельними площи-нами, заданими загальними рiвняннями; 5) мiж мимобiжними прямими, заданими каношчними рiвняннями; 6) мiж паралельними прямими, заданими каношчними рiвняннями; 7) вщ дано! точки до певно! координатно! осi.
З-Н № 6.1. Знайти рiвняння бюектор-них площин двогранних купв, утворених площинами, заданими вщповщними загальними рiвняннями.
З-Н № 6.2. Знайти рiвняння бюектор-них площин двогранних купв, утворених координатними площинами.
КЗ № 7. Координати x y z ' ортогонально! проекци точки M0 x0 ; y0 ; z0
1) на площину тг \ ctx + by + cz + d = 0 можна визначити за формулами
ах() + byn + cz() + d
X у z =■ + хо У о zo
NT 0G0N
-■G0N1 +
NT = abc :
2) на пряму l :
У ~Ух
(7.1)
z — z.
mn за допомогою матрично! рiвностi
iX'l LT v (тЛ
y' 0G0Q ■L + , L =
LT Ух n
°G°L
U'J
fx -x л
Л1 о
0=
У1-У0
\zx zo J
(7.2)
В-Н № 7-1. Знайти координати ортогонально! проекци дано! точки на певну координатну площину (координатну вюь).
З-Н № 7.1. Знайти координати точки, симетрично! данш точцi вiдносно
1) площини, задано! загальним рiв-нянням;
2) прямо!, задано! каношчним рiвнян-ням.
З-Н № 7.2. Знайти рiвняння ортогонально! проекци прямо!, задано! каношчним рiвнянням, на площину, задану загальним рiвнянням.
З-Н № 7.3. Знайти рiвняння площини, симетрично! до площини, задано! загальним рiвнянням, вщносно площини, задано! загальним рiвнянням.
КЗ № 8. Координати основи х, J/, z,1 е /, сшльного перпендикуляра ДО MHMOOirKHHX прямих х-х, y-y, Z — Zj
l :
7 = 1,2 можна
Щ Р,
знайти за формулами Xj ' = n\t + Xj Д ' - f\t + ух z1 ' = pxt + Zj
(8.1)
а
де
х2 х1
1 = -
»2 Рг
Пп р"
У2-У1
Рг Р"
111-,
т
т2 п2
т ' п
т"2 + п"2 + р"2
/ Р\ Р\ т] щ \
т п Р -
V П-, Р2 Р2 то то «о У
(8.2) (8.3)
З-Н № 8.1. Знайти рiвняння прямо!, яка мютить спiльний перпендикуляр до двох мимобiжних прямих, заданих вщпо-вщними канонiчними рiвняннями.
КЗ № 9. Р1вняння прямо! /", симетрич-. ~~ *0 _ У ~ У о ~ 2о
Р\
но! прямш /п :
Щ "1 1) вщносно площини
л: ах + Ьу + сг + с/ = 0 у випадку, коли
1.1) /п с: л], можна подати у випшцц
У- У о _2~2о .
III . х хо
т.
"г РА
(9.1)
1.2) /п □ л (/„ л") — у випшцц
= (92)
т,
Р1
де х'',у'',г' ' визначаються за допомогою
формули
-2 • «х,, + Ьуи + cz(-) +
V
\2 У
( х ^
о
Уо
V У
1.3)/0пж = Цх, у, г) - у виглядо
х-х у-у
X —х у-у 2—2
де
Г = -
/ —\ X Гх ^ 0
.у = г- »1 +
2 1йу 1 20 у
ахп + Ьуп + сгп + с1
ЫТ о Ь
А =
»1
И =
ЧСУ
ах , у , г визначаються за допомогою
формули (9.2.1);
2) вщносно прямо!
/
у випадку, коли
т п р
2. !)/„=/, можна подати у вигляд1
^п . х хо
У-Уо
г - г,.
т
п
Ра
2.2) /0 □/ - у виглядо
V" V"
'о \1о/
||
х-х
т
п
2-2
Р\
(9.4)
, (95)
де х'',у'',г' ' визначаються за допомогою
формули
У
У
-2-ЬТ оСоО II О О ° Ь
/ \
л
Г«^ { \ т
Ъ ; 9.2.1 Ь = п , 0 =
V _ 2о У
(9.5.1)
2.3 )10Г\1 — Ь{х,у,г) - у вигшцц
х-х
х-х у-у 2-2
(9.6)
де х'',у'' ,г' ' визначаються за допомогою формули (9.5.1), а х,у, г у випадку
г\ п
Рг Р значити за формулою
а якщо Д1 =
Ф 0, можна ви-
п
х, х0
X у Z =tx- /«, /7, p1 + Xq y0 Zq ,
t =--
Я-Уо n Z1~Z0 P
Ъ ЯКЩО At =
mx m
, (9.6.1) 0 - за форму-
Pi P лою
x v z =t2 - mx nx px + x0 v0 z0
1
a2
JC^ XQ Ш
-1--0 P
С якщо A3 = лою
x у z -t3- Щ 1_
У- Уо n
mx m
nx n
9.6.2
Ф 0 - за форму-
f3 •
Аз
P\ + *0 Уо zo 9.6.3
2.3.1) якщо ж
/п п / = L(x,y,z)
то
/" = /п. I тому р1вняння шуканоТ прямо! / " мае вид
г. х~хо _У~Уо
Z - Z,-,
2.4)
m.
/оп/ = 0
n
Pi
у виглядi
(9.7)
j м. х хо _ У Уо _ z zo С9 8)
II II и ? \ /
X —х У -у z —z де Х^ , y0, zq визначаються за формула-
ми
f " л х0
Уо
VZoy
= 2-
LT qGQQ ]J о G ° Z
•Z +
V
Л
vziy
f \ т fx 0 \
L = п ,0 = -У1
v-0 ~Zl У
(9.8.1)
х", у", z" - за формулами
ОтоК
{ н л X
У
VZ У
= -2-
NoGoN
■G°N +
Уо
Vzo У
, (9.8.2)
Де (/= х0~х1 Уо~У1 а" 6" с" ; х, у, z - за формулами х у Г =/• /и, /7, /;, + х0 X, ,
(9.8.3)
ОтоЫ
де
t =
ЫТ оЦ
Ыт = а" 6" с" а а", Ь", с'' - за формулами
, /., - от, /?, рх ,
п Р , b и = р т
n" Р" p" m"
т п
m" п"
т"п"р" =
/ п р р т т п \ °G
V n p Pi mi тх пх
2.4.1) Якщо ж пряма l'' мае вид
I /оп/ = 0
I'o-L'
J11 . *о _ J Jo _ z zo
(9.8.4) , то шукана
, (99)
т п р
де х0 , у0, z(" визначаються за формулами (9.8.1).
В-Н № 9-1. Знайти рiвняння прямо!, симетрично! прямiй, заданiй канонiчним рiвнянням, вiдносно координатних пло-щин.
В-Н № 9-2. Знайти рiвняння прямо!, симетрично! прямш, заданiй канонiчним рiвнянням вiдносно певно! координатно!
оа.
КЗ № 10. Р1вняння площини л, яка вщстопъ вщ початку координат на вщс-таш р > 0, а й нормальний вектор утво-рюе кути ц/х, ц/2 \ ц/ъ з додатними на-
прямами осей ОХ, ОУ 1 02 вщповщно можна подати у виглядi
х + ^-С05Ц/2- у +
-г-р = 0.
Пщ нормальним р1внянням площини я будемо розумiти рiвняння ще! площи-
(10.1)
ап =
с" =
I
о
ни виду (10.1), де р - вщстань вщ початку координат до площини 71, а ц/х, у/-. 1 у/3 - кути, яю утворюе нормальний век-
тор площини п з додатними напрямами осей ОХ, ОУ 1 02 вщповщно.
Зауважимо, що для зазначених купв у/х, у/2 \ (//, повиннавиконуватисяумова
д/^СОБ^
= 1. (10.2)
З-Н № 10.1. Звести загальне рiвняння площини до нормального виду.
З-Н № 10.2. Знайти синуси купв мiж площиною, заданою загальним рiвнян-ням, та координатними осями.
З-Н № 10.3. Знайти необхщш та дос-татш умови, яким повинш задовольняти кути у/х, у/2 \ у/ъ ¡з задач1 10.
КЗ № 11. [8]. Площу паралелограма, обмеженого прямими
1)
X V 2 X у 2-1 X у 2 0~ ~ ' ~ ~ ' ~ ~
10 0 1
о
0 0 1
X V — I 2 . _
та — = --= — (пооудованого на двох
0 0 1
базисних векторах вг = 0;1;0 1 еъ- 0;0;1 ) можна обчислити за формулою 51= ^^ ; (11.1) 2)
Х = У_=2_
1 ~ 0 ~ о:
X 1
У_ 0
2-1 о '
- = у = £
о ~ о ~ 1
X — 1 V 2 .
та-= — = — - за формулою
0 0 1
52 - 4^22 ;
(112)
3)
- = 2- = -
1 ~ 0 ~ о:
х 1
У-1
о
г
о:
х 0
У_
1
2 о
Х-1 V 2 ,
та-= — =--за формулою
0 10
5з - 3.
(113)
КЗ № 12. [8] (геометричний змкт визначника матриц! Грама). Об'ем па-ралелепшеда, обмеженого площинами х = 0, х-1, у = 0, у = 1, г = 0 та 1 = 1 можна обчислити за формулою
У = ЛО\.
(12.1)
У якосп задач дослiдницького характеру можна запропонувати задача
1*. Знайти рiвняння площин, якi мю-тять пряму, задану каношчним рiвнян-ням, та утворюють даний гострий кут з площиною, заданою загальним рiвнян-ням.
2*. Знайти рiвняння площини, яка мь стить пряму, задану каношчним рiвнян-ням, та вщстопъ вщ дано! точки на данiй вщсташ.
Висновки. У представленiй роботi за-пропоновано один iз можливих пiдходiв до формування професшно! компетент-носп майбутнiх викладачiв математики на прикладi вивчення теми «метричш за-дачi на прямi та площини в просторЬ» шляхом 1! викладання в афшних координатах. Зокрема, наведено 12 ключових задач, 44 вправ-наслщюв та 21 задач-наслiдкiв теоретичного характеру, яю (в певному розумшш) «повно» охоплюють метричнi задачi «на пряму i площину в просторЬ» в афiнних координатах. Зауважимо, що алгоритми до розв'язання зазначених задач в афшних координатах позбавлеш необхщносп в апелюваннi до геометрично! наочностi. Бiльше того, 1х без змiн, проте з очевидними значними спрощеннями, доцiльно i зручно викори-стовувати при розв'язуваннi цих задач в косокутних та прямокутних координатах. На думку авторiв, цiлком досяжним зда-еться проведення дослiджень, присвяче-них оберненим задачам - «на знаходжен-ня метричних коефщенпв».
Крiм того, наведенi розв'язки запро-понованих задач (в загальному виглядi)
(28>
доцшьно використовувати як самостш-ний шструментарш (разом з результатами векторно'1 алгебри в афiнних координатах) для розв'язування метричних задач на многогранники з вщомими довжинами ребер зi спiльною вершиною та кутами мiж ними.
1. Алания Л.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре / Л.А.Алания, И.АДынников, ВММануйлов; [под ред. Ю.М. Смирнова]. - [2-е изд.]. - М.: Логос, 2005. - 376 с.
2. Атанасян Л. С. Геометр1я. Частина 1: Навчальний поабник для студент1в ф1змат факулътет1в пединститутов / Л.С.Атанасян -К.: Вища школа, 1976. - 456с.
3. Бабич В.М. Зб1рник задач з аналтичног геометрп: навчальний поабник / В.М. Бабич, С.В. Блун, В.М. Журавльовта та т.; [за ред. В.В. Кириченка]. - [вид. 3-е, переробл. та ви-пр.]. - Кам'янець-Подшьський: Аксюма, 2013. -200 с.
4. Кадубовський О.А. Основт метричн задач1 на прям1 у площит в афтних координатах / О.А. Кадубовський, М.В. Романкевич // Зб. н. праць ф1з.-мат. факультетуДДПУ. - 2013. -Вип. 3. - С. 154 -177.
5. Ким Г.Д. Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи / Г.Д.Ким, Л.В.Крицков. - М.: Планета знаний, 2007. - Т. 1. - 469с.
6. Лосева Н.М. Прикладна спрямовашсть навчання аналтичног геометрп як основа фор-мування професшног компетентност1 виклада-ча математики / НМЛосева, О.А.Нтолаева // Дидактика математики: проблеми 7 дош-дження: м1жнар. зб. наук. робт / редкол.: О.1.Скафа (наук. ред.) та т.; Донецький нац. унт; 1нститут педагогики Акад. пед. наук Украгни; Нацюнальний пед. ун-т ¡м. М.П.Драгоманова. -Донецьк, 2012. - Вип. 38. - С. 46-50.
7. Моденов П.С. Аналитическая геометрия /П. С. Моденов. - М. : МГУ, 1969. - 699 с.
8. Моденов П.С. Сборник задач по аналитической геометрии /П.С. Моденов, А.С. Пархоменко. -М. : Наука, 1976. - 384 с.
9. Мусхелишвили Н.И. Курс аналитической геометрии / Н.И. Мусхелишвили. - [4-е изд.]. - М. : Высшая школа, 1967. - 655 с.
10. Постников ММ. Аналитическая геометрия / М.М. Постников. - М.: Наука, 1973. -384 с.
11. Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии / О.Н. Цубербиллер -М. : Наука, 1964. - 336 с.
Резюме. Кадубовский А.А., Чиркова Н.А. К ВОПРОСУ ОБ ИЗУЧЕНИИ МЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В АФФИННЫХ КООРДИНАТАХ.
В статье освещается авторский опыт формирования профессиональной компетентности будущего преподавателя математики на примере изучения темы «метрические задачи на прямую и плоскость в пространстве» путем ее изложения именно в аффинных координатах, в отличие от традиционного изложения в прямоугольных координатах.
Ключевые слова: профессиональная компетентность преподавателя, аффинная система координат в пространстве, матрица Грамма, метрические задачи на прямую и плоскость
Abstract. Kadubovsky A., Chirkova N. TO THE QUESTION OF STUDY ON THE PROBLEMS OF THE THEORY OF METRIC LINES AND PLANES IN AFFINE COORDINATES.
The author's experience in the formation of professional competence of teachers at mathematics is highlighted in the example of the theme "metric problems on lines and planes in space " by its teaching in the affme coordinates, in spite of the traditional presentation in rectangular coordinates.
The aim of the article includes the results interpretation of the author's separation and systemati-zation of "core" tasks, their addition by the corollary facts exercises and corollary facts problems of theoretical implications, which would (in some sense) "fully" cover metric problems "on lines and planes in the space " namely in affme coordinates.
In this paper the 12 key tasks, 44 corollary facts exercises and 21 corollary facts problems of theoretical character are presented that are (in some sense) "fully" cover metric problem "on lines and planes in space" in affine coordinates. It should be noted that the algorithms of solving these problems in affme coordinates are almost depleted in necessity of appealing in a geometric visibility, that are
without changes (but with obvious significant simplification) should be expedient and convenient at solving these problems in the oblique and rectangular coordinates.
Moreover, the presented solutions of proposed tasks (together with the results of vector algebra in affine coordinates) should be used as an independent tool for solving metric problems on polyhedron with known lengths of edges with a common vertex and angles between them.
Key words: teacher's professional competence, the affine coordinate system in space, the Gram matrix, the metric problems on, lines and planes.
References
1. Alania L.A. Problems in analytical geometry and linear algebra / L.A. Alanya, I.A. Dynnikov, V.M. Manuilov; [ed.Y.M. Smirnov]. - [2nd ed.]. -Moscow: Logos, 2005. - 376 p.
2. Atanasyan L.S. Geometry. Part 1: Tutorial for students of physical and math faculty in pedagogical institutes/ L.S. Atanasyan- K.: High school, 1976.-456p.
3. Babich V.M. Collector of problems: Tuto-rial/V.M. Babich, S.V. Bilun, V.M. Ghuravlev; [edited by V.V. Kirichenko].- [3rd edition remade and corrected].- Kamjanets-Podilskiy: Aksioma, 2013.-200 p.
4. Kadubovsky O.A. Main metric problems on lines in planes at affine coordinates/ O.A. Kadubovsky, M.V. Romankevich// Collector of scientific works of physical and math faculty at DSPU-2013.- Edition 3.- p.154-177.
5. Kim G. D. Algebra and analytic geometry: Theorems and tasks /G.D. Kim, L.W. Kritskov. -M.: Knowledge Planet, 2007. - V. 1. - 469 p.
6. Loseva N.M. Applied learning direction analytical geometry as the basis for the formation of vocational teacher ability mathematics / N.M. Loseva, E.A. Nikolayeva // Didactics of mathematics: Problems and study: intern. collected science works - 2012. - No 38. - p. 46 - 50.
7. Modenov P.S. Analytic Geometry / P.S. Modenov. - Moscow: Moscow State University, 1969. - 699 p.
8. Modenov P.S. Collection tasks analytics geometries / P.S. Modenov, A.S. Parkhomenko. -M.: Science, 1976. - 384 p.
9. Mushelishvili N.I. Course analytics geometry / N.I. Mushelishvili. - [4 ed.]. - M.: Higher School, 1967. - 655 p.
10. Postnikov M.M. Analytical Geometry/ M.M. Postnikov.- M.:Science, 1973.-384 p.
11. Tsuberbiller O.N. Problems and exercises at analytical geometry/ O.N. Tsuberbiller- M.: Science, 1964.-336p.
Cmammn npedcmameHa npotyecopoM r.B.roppoM.
Hadiüwna do pedauuii25.12.2013p.
