CC BY
69
УДК 631.3:528.8:681.518
О.О. БРОВАРЕЦЬ
Кшвський кооперативний шститут 6i3Hecy i права
МЕТОДИКА ПОТР1ЙНО1 ТРИЛАТЕРАЦИ ВИЗНАЧЕННЯ НАДТОЧНИХ КООРДИНАТ М1СЦЕЗНАХОДЖЕННЯ ОБ'СКТА
Методика потршноИ трилатерацИ визначення надточних координат мкцезнаходження об 'екта вiдноситься до галузi физики, геодезичних i навiгацiйних вимiрiв та може бути використана в авiацii, космонавтицi, машинобудувант, будiвництвi та iнших галузях технiки, системах пошуку об'ектiв, транспортних засобiв, навiгацii та контролю автоперевезень, для визначення прямокутних координат, способiв i пристроiв по визначенню кутових координат цш, координат точок на земнш поверхнi, плоских прямокутних координат контурних точок мiсцевостi, географiчних координат об'ектiв, транспортних засобiв вiдносно базових станцт, геодезичного забезпечення вишукувань у мiстах, селищах, при ргзних вишукуваннях, на площадках промислового i житлового будiвництва, при будiвництвi тдземних комуткацш, у маркшейдерських роботах, при землевпорядженнi, мелiорацii земель, земельному кадастрi, при виконанш господарських робт на щшьно забудованих територiях, при побудови систем цшеуказання.
Ключовi слова: трилатерацИ, координати, мкцезнаходження об 'екта.
А.А. БРОВАРЕЦ
Киевский кооперативный институт бизнеса и права
МЕТОДИКА ТРОЙНОЙ ТРИЛАТЕРАЦИИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СВЕРХТОЧНЫХ КООРДИНАТ МЕСТОНАХОЖДЕНИЯ ОБЪЕКТА
Методика тройной трилатерации определения сверхточных координат местонахождения объекта относится к отрасли физики, геодезических и навигационных измерений и может быть использована в авиации, космонавтике, машиностроении, строительстве и других отраслях техники, системах поиска объектов, транспортных средств, навигации и контроля автоперевозок, для определения прямоугольных координат, способов и устройств по определению угловых координат цели, координат точек на земной поверхности, плоских прямоугольных координат контурных точек местности, географических координат объектов, транспортных средств относительно базовых станций, геодезического обеспечения изысканий в городах, поселках, при разных изысканиях, на площадках промышленного и жилищного строительства, при строительстве подземных коммуникаций, в маркшейдерских работах, при землеустройстве, мелиорации земель, земельном кадастре, при выполнении хозяйственных работ на плотно застроенных территориях, при построения систем целеуказания.
Ключевые слова: трилатерации, координаты, местонахождение объекта.
O. BROVARETS
Kyiv cooperative institute of business and right
METHOD OF TRIPLE THREELATERACII OF DETERMINATION OF OVER EXACT COORDINATES OF LOCATION OF OBJECT
The method of triple whole pointing determination of надточних co-ordinates of location of object behaves to industry of physics, geodesic and navigation measurings and can be utillized in an aviation, cosmonautics, engineer, building and other industries of technique, systems of search of objects, transport vehicles, navigation and control of autotransportations, for determination of rectangular coordinates, methods built on aims on determination of angular coordinates, coordinates of points on an earthly surface, flat rectangular co-ordinates of contour points of locality, geographical coordinates of objects, transport vehicles in relation to the base stations, geodesic providing of pretentious novelties in cities, settlements, at different pretentious novelties, on the grounds of industrial and housing building, at building of underground communications, in surveyor works, at organization of the the use of land, land-reclamation of earths, landed cadastre, at implementation of economic works on densely builtup territories, at constructions of the systems of whole pointing.
Keywords: threelateracii , coordinates, locations of object.
Постановка проблеми
Космiчна нашгацт стае невщ'емною складовою функцюнування багатьох систем людсько! дшльносл. Визначення мiсцеположення, прокладання курсу, водшня агрегатiв заданим курсом з мшмальним ввдхиленням - далеко неповний перелш застосування GPS-навiгацi!. Велике значения мае точнють визначення мiсцезнаходження GPS-приймача. Координати приймача не можуть бути визначеш абсолютно точно, але похибка мае бути мшмальною. Вона може бути зменшена, якщо вiдомi точнi координати певно! наземно! станци або, принаймш, вони визначенi достатньо точно. В робот розглядаються рiзнi пiдходи визначення координат базово! станци на основi визначених iз похибками координат дешлькох точок.
Система наземних станцiй траекторних вимiрiв для навiгацiйно-балiстичного забезпечення космiчних апаратiв мае обмеженi можливостi по зош ди i точнiсним характеристикам.
Останшм часом актуальними стали завдання створення бортових навiгацiйних систем з використання супутниково! наыгаци. Успiхи технологш супутниково! навтаци дозволили, окрiм завдання, визначення координат i швидкостi нос1я навiгацiйного приймача реалiзувати так1 задач^ як визначення кутово! орiентацi! власно! системи координат об'екта вiдносно топоцентрично! (локально!) системи координат [1] завдяки використанню допомiжних пристро!в та алгоритмш. Але успiшне вирiшення перел1чених задач можливо, якщо навiгацiйний приймач прийме сигналiв не менш нiж вщ 4 супутник1в. В той же час при руа космiчного апарата по високоелштичнш орбiтi цi умови часто не виконуються.
Вщомий спосiб коректування вишукувань за допомогою супутниково! навтацшно! системи [2], що складаеться з визначення координат шукано! точки згущення, яка вставляеться в опорну мережу вщомих точок ввдносно координат цих вщомих точок, а координати шукано! точки визначаються за допомогою супутниково! навницшно! системи. На шуканiй точщ мереж1 згущення закладаються пункти, вимiряються кути. Координати ввдомих точок i вимiрянi кути на шуканiй точщ дозволяють визначити координати шукано! точки.
Аналог не дозволяе виключити спотворювання сигнал1в вiд супутнишв навiгацiйно! системи через наявнiсть високих будiвель, лiнiй електропередач, дерев.
Вщомий спосiб коректування вимiрiв при детальних розподiльних роботах на високих монтажних горизонтах [3], що полягае у визначенш електронним тахеометром мiсць розташування характерних точок спорудження, тiльки по !хшх координатах, що визначають прокладкою тахеометричного ходу, при уведеннi поправок у координати точок.
Найб№ш близький аналог не дозволяе скорочувати витрати при виключеннi спотворювань сигналiв вщ супутниково! навiгацiйно! системи.
Вiдомий споаб визначення просторових координат центра проекци знiмально! камери полягае у тому, що на земнш поверхнi в райош аерофотознiмання встановлюють GPS-приймач; на борту рухомого об'екта встановлюють зшмальну камеру i бортовий GPS-приймач, з'еднують !х мiж собою, приймають сигнали з бортового GPS-приймача i керують зшмальною камерою [4].
Однак вщомий спосiб не завжди забезпечуе точшсть визначення просторових координат, необхiдну для складання карт великих масштабiв. Зшмальна камера, яку встановлюють на борту рухомого об'екта, наприклад, лiтаку виконуе знiмання земно! поверхнi у деяш промiжки часу з iнтервалами, яш пов'язанi з технiчною необхiднiстю тдготовки камери до знiмання. Координати центра проекци зшмально! камери визначають бортовим GPS-приймачем, який встановлюють на борту цього ж рухомого об'екта.
Вщомий споаб коректування вимiрiв при детальних розподшьних роботах на високих монтажних горизонтах [5], що включае визначення тахеометричним ходом координат шуканих характерних точок спорудження, розташованих на пром1жних поверхах i дахах, вiд координат найближчих вiдомих пунктiв.
Аналог не визначае координати шуканих характерних точок спорудження за допомогою спостережень сигнал1в супутник1в навiгацiйно! системи.
Вiдомий споаб визначення координат шуканих точок при виконанш вишукувань за допомогою супутниково! системи [6], що включае рекогносцировку найближчих вщомих пункпв геодезично! мереж1 i об'екта зйомки, розташування шуканих точок на верхшх частинах конструкцш i зовнiшнiх частинах фасадiв будиншв i на земнiй поверхнi, визначення необхвдно! точностi характерних i вихвдно! шуканих точок, прийом сигналiв супутниково! навтацшно! системи у характерних точках, виконання вимiрiв.
Найбiльш близький аналог становить значну небезпеку при прийомi сигналiв супутниково! навiгацiйно! системи у характерних шуканих точках безпосередньо на краю даху висотно! будiвлi.
Вщомий спосiб визначення координат точок на земнш поверхш полягае у тому, що проводять польове рекогносцирування мюцевосл, позначають на мiсцевостi точки геодезично! мереж!, визначають оптимальну схему вим!р!в максимально! iнформативностi, формують оптимально необхвдш сесi! вим!р!в,
встановлюють системи GPS у точках мережу виконують вим1ри i визначають положения точок на земнш поверхш [7].
Однак, на точшсть визначення планових координат точок на земнш поверхш системами GPS впливають р1зномаштш фактори, зокрема, шструментальш похибки GPS-приймачiв. Результати високоточних вим1р1в, виконаних GPS-приймачами, спотворюються у результат! того, що фазовий центр супутниково!' антени не збтаеться з и в1ссю обертання. Величина розб1жност1 може сягати к1лькох мшметр1в. Тому у прецизшних GPS-вимiрюваннях субмшметрово! точносп так1 величини спотворень необхщно враховувати. Даш вим1р1в опрацьовують програмними пакетами ф1рм виробник1в GPS-апаратури i з обов'язковим сумщенням початково! та кшцево! точок.
В1дом1 GPS - способи визначення координат статичного тша, що забезпечують високу точшсть визначення координат при умов1 тривалих за часом вим1р1в на нерухомш основ1 [8].
Також в1дом1 GPS-способи, що дозволяють виконувати визначення координат в режим1 руху з короткими зупинками в необхвдних точках [9].
Недолжом запропонованих способ1в е низька !х точшсть та статичне вим1рювання для точного визначення координат, що унеможливлюе !х використання на рухомих об'ектах.
В1дом1 нав1гацшш GPS-способи, що працюють в умовах динам1ки рухомих об'екпв [9, 10].
В1домим аналогом до винаходу, що заявляеться, е споаб визначення координат точок на земнш поверхш полягае у тому, що встановлюють пристрш для закршлення антени GPS-приймача з можливютю перемщення и заданою траектор1ею 1з центром на прямовиснш лшп, що проходить через точку, координати якоГ визначають, виконують вим1рювання 1з визначенням положення центра антени [11].
Найб1льш близьким аналогом запропонованого способу, що можна прийняти за прототип, е споаб GPS-визначення координат на рухомому об'екп [10], що основану на визначенш координат одночасно групою GPS-приймачiв.
Недолжом запропонованого способу е в1дсутн1сть чггко! методики визначення координат групою GPS-приймачiв 1з врахуванням Гх взаемного розмщення.
Аналiз ocTaHHix досл1джень i публжацш
Координати точки, в як1й знаходиться GPS-приймач, будуть визначен1 1з певною похибкою, як i 1нших точок. Щоб знайти уточнене значення координат певно! точки на основ1 координат шших точок, потр1бно спиратися на ввдом1 факти. Такими фактами можуть бути в1дом1 в1дстан1 м1ж GPS-приймачами, кути м1ж л1н1ями, що Гх з'еднують тощо. Один 1з вар1анпв - розм1щення приймач1в на прямих л1н1ях, що перетинаються в точщ, координати яко! уточняемо. П1сля обробки прийнятих сигнал1в i отриманн1 координат точок розмщення приймач1в побудован1 точки за отриманими координатами не будуть лежать на цих лш1ях, а будуть знаходитися бшя них (можливий вар1ант, що якась точка попаде на пряму). За масивом цих точок маемо провести якусь усереднену пряму, яка в 1деальному випадку мае зб1гатися 1з ведомою. На перетиш двох усереднених прямих буде знаходитися точка 1з уточненими координатами. Чим б1льше точок на прямш буде обрано для експерименту, тим точшше буде визначено положення усереднено! прямо!.
Мета дослвджень
Розробити методику потр1йно! трилатерац11 визначення надточних координат м1сцезнаходження
об'екта.
Викладення основного мaтерiaлу дослiджень
Для знаходження усереднено! прямо! за заданим масивом експериментальних точок використовуеться метод найменших квадрат1в. Його суть полягае в тому, що оцшюеться сумарна величина ввдхилень ординат кожно!' точки в1д розшукувано! прямо! i знаходиться така пряма, для яко!' ця сума буде мшмальною. Щоб додатш i в1д'емн1 в1др1зки не взаемопогашалися, вони беруться у квадрати, зввдки i п1шла назва методу.
Нехай пряма буде задана параметричними р1вняннями:
.X = ucosa + x; y = usin a + yQ, (1)
де u - довжина в1др1зка на прямш, ввдлж якого починаеться 1з точки з координатами xa y0; а - кут нахилу прямо!' до ос1 OY.
В1зьмемо дв1 прям1, нахилен1 до оа Х п1д кутом ±600 (вони будуть симетричш в1дносно ос1 Y). На цих прямих знайдемо по дв1 точки на в1дстан1 100 i 200 л1н1йних одиниць в обидв1 сторони в1д точки перетину прямих. Нехай це буде точка x0=5, y0=10. Шдставляючи ц1 даш в р1вняння (1), отримаемо координати чотирьох точок на кожн1й 1з двох прямих. Одна точка № 0 (x0=5, y0=10) буде сшльною (табл. 1).
Рис.1. Координати точок розташування GPS-приймачiв (свгглий колiр) та обчисленi за Ух
сигналами (сiрий колiр)
Таблиця 1
Координати точок, що належать двом прямим, ям перетинаються _
Пряма для а=600 Пряма для а=-600 Стль-на точка 0
№ точки 1 2 3 4 5 6 7 8
X 55 105 -45 -95 -45 -95 55 105 5
у 96,6 183,2 -76,6 -163,2 96,6 183,2 -76,6 -163,2 10
На рис. 1 побудоваш прямi iз точками, що до них належать. У кожнш iз цих точок знаходиться GPS-приймач, який показав свое мюцезнаходження iз певною похибкою (точки неточного мюцезнаходження зафарбованi в арий колiр). Координати цих точок, обчислеш тсля надходження сигналу на GPS-приймач, наведенi в табл. 2 (!х нумерацiя така ж сама, а для ввдмшносп над цифрою стоиъ риска).
Таблиця 2
Координати точок, отриманих iз GPS-приймачiв___
№ точки 1 2 3 4 5 6 7 8 0
X 67,7 90,9 -27,2 -99,7 -47 -91,8 46,4 93,5 14,5
у 97,5 175,9 -74,3 -148,8 84,6 197 -89,1 -159,4 8,3
Застосуемо метод найменших квадратiв. Вiн полягае в тому, що потрiбно мiнiмiзувати суму:
п
Р (а, Ь -(ах, + Ь )]
(2)
де y=axi+b - рiвняння прямо!, яка проходить через /-ту точку. Потрiбно знайти таку функщю F=F(a,b), щоб сума (2) була мшмальною. Для цъого вiзъмемо частинш похiднi по a i Ь i прирiвняемо !х до нуля:
'др (а, Ь)
Беремо частиннi похiднi:
да
■ = 0;
дР (а, ь) = 0 дЬ '
(3)
дР (а, Ь)
да дР (а, Ь)
п
= -2£\у - (ах, + Ь)] х, = 0;
г=1 п
дЬ
= -2^\у--(ах, + Ь)]= 0.
г=1
г=1
Розкриваемо суми (4):
п п п
аЕ х2+ЬЕх =Е х-у-; 1=1 1=1 1=1
пп
«Ех+пЬ=Е у< ■
(5)
1=1 1=1 Розв'язуемо систему (5) вщносно а i Ь:
П^ХгУг "ЕЕХ ЕУ
а =
г=1
п п
х'
г=1 г=1
пп
г=1
п
г=1 У
Л2
Е Уг - аЕ
Ь =
Х
г=1
(6)
де и - число точок.
Знайдемо р!вняння прямих у явному вигляд! у=ах+Ь. Наприклад, для першо! прямо!, яка проходить через точки 1-2-3-4 в!зьмемо дв! !з них (наприклад, точки 1 ! 2) ! по черз! тдставимо !х координати у р!вняння прямо!:
96,6у=55а+Ь ! 183,2у=105а+Ь. Розв'язуемо отриману систему ! знаходимо: а=1,732, Ь=1,34. Аналопчно знаходимо щ коефщенти для друго! криво!. Таким чином, явш р!вняння прямих запишуться: - перша крива: у=1,732х+1,34; - друга крива: у=-1,732х+18,66. (7)
Знайдемо коефщенти а ! Ь для усереднених кривих за формулами (6). Для цього скористаемося середовищем «МаШешайса». Нижче наведена формула для визначення коефщента а першо! прямо!:
п = 5; х0 = 14.5; х1 = 67.7; х2 = 90.9; х3 = -27.2; х4 = -99.7; у0 = 8.3; у1 = 97.5; у 2 = 175.9; у3 = -74.3; у 4 = -148.8;
(8)
N
п •
п * (х0* у0 + х1 * у1 + х2* у2 + х3* у3 + х4* у 4)--(х0 + х1 + х2 + х3 + х4)* (у0 + у1 + у 2 + у3 + у4) (х02 + х12 + х22 + х32 + х42 )-(х0 + х1 + х2 + х3 + х4)2
Результатом виконання е а=1,674. Скористаемося другою формулою (6), попередньо присво!вши для а знайдене значення:
а = 1.674; п = 5; х0 = 14.5; х1 = 67.7; х2 = 90.9; х3 = -27.2; х4 = -99.7;
у0 = 8.3; у1 = 97.5; у 2 = 175.9; у3 = -74.3; у4 = -148.8; (у0 + у1 + у2 + у3 + у4)-а (х0 + х1 + х2 + х3 + х4)
(9)
N
п
В результат! обчислень (9) отримуемо: Ь=-3,748. Аналопчно знаходимо коефщенти для друго! усереднено! прямо!, задавши значення координат точок 0, 5, 6, 7, 8: а=-1,895; Ь=14,192. Явш р!вняння усереднених прямих запишуться:
- перша крива: у=1,674х-3,748; - друга крива: у=-1,895х+14,192. (10)
Якщо у формули (8), (9) ввести значення координат точок, що лежать на прямш, то ми отримаемо коефщенти, як у р!вняннях (7). Отримаш р!вняння (10) значно вщр!зняються в!д р!внянь (7), однак це ще шчого не означае, оскшьки нам потр!бно пор!вняти точку перетину цих прямих !з точкою 0 (5, 10). Для знаходження точки перетину прир!внюемо м1ж собою р!вняння (10): 1,674х-3,748=-1,895х+14,192. Звщси знаходимо: х=5,04. Отже перша координата знайдена досить точно. Щдставимо и в одне !з р!внянь (10) ! отримаемо: у=4,66. Отже, друга координата мае значну похибку. Для наочносп побудуемо усереднеш прям! ! пор!вняемо !х точку перетину !з вщомою точкою. На рис. 2 побудовано обмежений фрагмент точок, представлених на рис. 1, а також усереднеш прям!, зображеш штриховою л1шею. 1х точка перетину 01 краще наближена до точного значення (точки 0) в пор!внянш !з наближенням кожно! окремо! точки до свого точного розташування, однак похибка досить значна. Будемо шукати шш шляхи зменшення похибки. Можна шукати не два коефщенти а \ Ь для прямих, а тшьки один - Ь, оск1льки точне значення коефщента а, який визначае нахил прямих, ввдомий: Ь=±1,732. В цьому випадку усереднеш прям! будуть перетинатися тд тим же кутом, що ! початков! прям!, а коефщентом Ь буде знайдена така висота тдйому цих прямих, котра забезпечить мшмальну величину сумарного ввдхилення арих точок (на рисунках) в!д них. В цьому випадку ошгашзащя по а не проводиться, тобто перша частинна похщна в (4) не береться, а використовуеться пльки друге р!вняння
п
(6). У вираз (9) поставляемо а=1,732 i знаходимо: Ь=-4,28. Аналопчно знаходимо Ь для друго! прямо! при а=-1,732 i координатах точок 0, 5, 6, 7,8: Ь=13,68. Перетин знайдених кривих дае точку з координатами (5,18; 19,41). Без побудови точки видно, що похибка зросла.
Рис. 2. Знаходження точки 01 на перетиш усереднених прямих
Двi четвiрки точок знаходяться на однаковiй ввдсташ ввд точки 0: точки 1, 3, 5, 7 - на вщсташ 100 лш. од. i точки 2, 4, 6, 8 - на вщсташ 200 лш. од. Вiдомо, що через три точки можна провести коло. Таким чином, через кожну четвiрку точок можна провести чотири кола, тобто загалом вiсiм, усi центри яких мають бути розташованi бiля точки 0. Знайдемо вирази для знаходження радуса i центра кола, заданого трьома точками. Неявне рiвняння радуса Я з координатами центра х0, у0 кола мае вигляд:
(х - х0 )2 +(у -у0) 2= Я2.
(11)
Шдставимо в (11) по черзi координати кожно! iз трьох точок i отримаемо систему трьох рiвнянь iз трьома невiдомими: х0, у0 i Я. За допомогою програмного продукту «Mathematica» отримаемо наступний розв'язок:
Я =
1
(х2
х1)2 +(У
2
У, )2 (
х
3
х1)2 +(У:
3
у, )2 (
х
3
Х2 )2 +(У:
3
У 2,
2
2 Х1 (Уз - У2 )+ Х2 (У, - Уз)+ Х3 (У2 - У,)
_1 (х12 + У,2 )(У2 - Уз )+(х22 + У22 )(Уз - У, )+(х32 + Уз2 )(У1 - У 2 )
Х0 _
Уо
2
Хл
1 (У2 - Уз )+ Х2 (Уз - У, )+ Х3 (У, - У2 )
1 (х1 + у1 )(Хз Х2 ) + (х2 + У2 )(Х1 Хз ) + (хз + Уз )(Х2 Х1 )
2
Х1 (У2 - Уз )+ Х2 (Уз - У, )+ Хз (У, - У2 )
; (12)
(13)
(14)
За допомогою формул (12), (13), (14) було знайдено радуси уах восьми к1л i координати !х центрiв. Цi даш наведенi в табл. 3
Таблиця 3
Кола рад1уса Я=100 Коларад1уса Я=200
Точки 1, 3, 5 3, 5, 7 1, 3, 7 1, 5, 7 2, 4, 6 4, 6, 8 2, 6, 8 2, 4, 8
Я 98,1 104 98,5 101,1 189,1 200,9 202,4 188,6
Х0 19,2 28,7 27,6 19,6 -19,4 6,5 -21,1 5,8
У0 12,1 13,4 7.6 8,4 22,4 21,8 7,4 7,6
Для наочностi центри уах восьми к1л в масштабi побудовано на рис. 3. Щоб оцшити ступiнь вiдхилення вiд точного значения, показана точка 0 (чорний колiр) i точка 01 (сiрий колiр). Цi точки показанi на рис. 2. Аналiзуючи розташування точок, можна зробити висновок, що вони не можуть бути
основою для вщшукання усереднено! точки, яка б максимально була наближена до точки 0. Bei вони розташоваш в хаотичному порядку на значнш вiддалi ввд точки 0 о^м одше! точки, яка добре наближена до не!.
Рис. 3. Центри кш за табл. 3
Застосуемо метод найменших квадратiв до точок, яш розташованi бiля кола заданого радуса. Цi точки ми одержимо, якщо GPS-приймачi розмiстимо на колi у точках з ввдомими координатами. Координати цих приймачiв пiсля обробки сигналу будуть вказувати на точку, яка з певною похибкою буде знаходитися поруч з приймачем, тобто недалеко вщ кола. Для обробки масиву таких точок потрiбно скласти щльову функцiю, подiбну до (2). 1з (11) знаходимо:
у = д/ Я2 "(х-х0)2 + Уо. (15)
За аналогiею iз (2) можна записати:
п г / /- \"|2
\ X-1 Г / _ о / 1
(16)
F(x0,Ус) = ]L yt -(VR2 ~(Хг - x0)2 + Уо]
i=i L V J
Далi потрiбно брати частиннi похiднi по х01 у о, прирiвнювати !х до нуля i розв'язувати систему рiвнянь ввдносно х0 I у0. Пошук у цьому напрямi показав, що система не мае аналогичного розв'язку i навiть чисельними методами сучаснi математичш пакети и не розв'язують, не дивлячись на невелику к1льк1сть задяних точок. Можна пiти по шшому шляху - мiнiмiзувати не рiзницю ординат, а рiзницю вiдстаней ввд точок до кола, вiдрiзки яких будуть приблизно перпендикулярнi до нього. В такому випадку вiдстань вщ центра кола до точки на ньому запишеться:
Я = л1(х " Хо )2 +(У - Уо) 2 . (17)
Знак рiвностi в (17) справедливий для точок, як1 належать колу. Якщо точки будуть за межами кола, виникне певна рiзниця у ввдсташ, i суму цих рiзниць потрiбно мiнiмiзувати. Отже, можемо записати:
(Х, У„ )=>1л/(Х - Х )2 +(У - У„)2 - Я) . (18)
F (xо, Уо ) = Х (Vfo - Х0)2 +(у,- - Уо) 2 - R 1 ■
2=1 V J
Мiнiмiзацiя виразу (18) мае так1 ж само проблеми, як i мiнiмiзацiя виразу (16). Ц проблеми виникають через наявшсть у цiльовiй функцй' пiдкореневого виразу. Проте цьому можна зарадити. Будемо мiнiмiзувати не рiзницю вiдстаней, а квадрат ще! рiзницi, причому мiнiмiзацiю будемо проводити не тiльки по х0 i у0, а ще i по R. Отже, запишемо:
F (Хо, Уо, R) = j [(х, - Хо )2 + (у, - Уо ) 2 - R2 f ■ (19)
о ,
2=1
Biзьмемо частиннi похiднi по х0, у0, i R:
dF(хо,Уо, r)_
^^ = -4jj [(Хг - Хо )2 +(у - Уо)2-R2 ](Хг - Хо) ■ (20)
сХо t=i
^ ^ Rl "4]j [(х, - Хо )2 +(уг - уо)2 - R2 ](у, - Уо )■
ЗУ
(21)
о 2=1
= -4jj [(Х, - Хо )2 +(у, - Уо)R2 ]r . (22)
Or ,=1
Прирiвняемо похiднi (20), (21), (22) до нуля i отримаемо систему трьох рiвнянь з трьома неввдомими х0, у0 i R:
I [(х - Хо )2 + (уг - Уо)2 - Я2 Ь - Хо ) = 0;
г=1
I [(х - Хо )2 +(уг - Уо)2 - Я2 ](уг - Уо )=0;
(23)
г=1
I [(х - Хо )2 +(У - Уо)2 - Я2 ]= о.
г=1
При складанш системи (23) ми вилучили iз рiвнянь (20), (21), (22) сталий множник «-4», а також iз рiвняння (22) Кф0, оскшьки вони не впливають на розв'язок, а наявшсть Я в останньому рiвняннi дае дек1лька зайвих розв'язшв iз Я=0. Взагалi система (23) розв'язуеться чисельними методами i мае багато розв'язк1в, серед яких е i уявнi. Серед них потрiбно вибрати дiйсний, який дае найкраще наближення до вiдомого радiуса Я. Можна розв'язувати систему iз двох останшх рiвнянь (23), оск1льки величина радуса Я нам ввдома. Тодi серед запропонованих розв'язк1в потрiбно вибрати реальш значения х01 у0.
Застосуемо отриману систему (23) до знаходження координат точки 0 за чотирма точками 1, 3, 5, 7 i 2, 4, 6, 8, яш лежать на колах. Нижче наведено систему в середовищi МаШешайса iз заданими координатами точок для меншого кола (для зручносп вони перерахованi по порядку) i результат розв'язку. Реальиий розв'язок шдкреслеио.
а б
Рис. 4. Позначення точок на колi та бшя нього iз точним та усередненими центрами: а) точки на колi та бшя нього iз зображенням точного i усередненого положення центрш; б) збiльшене зображення розташування точного i усереднених положення центрiв
Отже, не дивлячись на досить точне значення радуса Я=100,1 координати точки 0 (23,3; 10,0), а саме координата х, мають значну похибку. Застосування системи (23) для бшьшого кола теж дае значну похибку.
Очевидно, що точнiсть обчислень мае зростати по мiрi збiльшення точок, яш належать колу. Доповнимо точки 1, 3, 5, 7 ще двома 9 i 10, якi мають точш координати на колi: 9(-90, 10), 10(110, 10). Нехай GPS-приймачi надали наступнi координати цих точок: ~9(-103,5, -1,5), 10(92,9, 21,8). До зазначених чотирьох точок добавимо ще двг : "9 i ~Г0. Застосуемо систему (23) i отримаемо: Я=99,4; х0=3,6; у0=9,6. Якщо взяти до уваги, що радiус ввдомий (Я=100), i розв'язати систему (23) з двома останшми рiвняниями, то результатом з одним знаком тсля коми буде такий же само. Цей результат е доволi точним. Для наочносп на рис. 4,а в масштабi побудованi точки з точними координатами (свгт) i на основi обробки сигналу GPS-приймачiв (ср^, а також центр кола (точне i усереднене значення). Радiус вах к1л, якими позначено точки, рiвний 4 лiн. од.
Точне i усереднене положення точки 0 досить добре наближеш (кола, що !х зображають, майже збiгаються). 1з рис. 4,а видно, що знайденi координати усереднено! точки центра кола досить добре узгоджуеться iз його точним розташуванням. На рис. 4,б в масштабi показано розташування точного 0 i наближеного 02 центрiв шл. Крiм того, показано точку 01 перетину усереднених прямих (10). Точки 0 i 02 зображенi двома колами, бiльшi iз яких мають радус 4 лiн. од.
Очф5]= {{г ->■ -46.533 - 255,956 ±, а-* 23.4792 - 4.00999 1, Ь ^ 19.4377 - 272,206 л}, {г -46.533 - 255,956 1, а -с 23.4792 - 4.00999 1, Ь ^ 19.4377 - 272,206 Л},
{г - 46,533 - 255.956 1г а-» 23,4792 - 4.00999 1, Ь - 19.4377 - 272,206 1}, {г - 46,533 - 255.956 1г а - 23,4792 - 4.00999 1, Ь - 19.4377 - 272,206 1}}
Для ощнки точностi знайденого розв'язку можна порiвияти ступiнь ввдхилення рiзницi Ь мiж точним i наближеним розташуванням центрiв (рис. 4,б) i середшм вiдхилениям Ьсер мгж точним i наближеним розташуванням кожно! iз шести (п=6 в даному випадку) точок. Абсолютне значення середнього вiдхиления знайдемо за формулою:
Ьсер = ^ I . (24)
П !=1
Пiдставивши в (24) значення координат шести точок, отриманих iз GPS-приймача, i координати вiдповiдних точок точного розташування !х на кол^ знаходимо абсолютне значення середньо! похибки: Ьсер=16, 1 лш. од. За формулою (24) знаходимо при п=1 знаходимо абсолютне значення Ь (рис. 4,б):
Ь = д/(3,6 - 5)2 + (9,6 - 1о)2 = 1,5 . Таким чином, похибка знаходження точного розташування центра кола
становить 1,5*100/16,1=9,3% в порiвняннi iз середньою похибкою знаходження координат окремих точок. Це означае, що для нашого конкретного випадку точшсть вимiрювання зросла приблизно в десять разiв в порiвияннi iз окремими точками.
Висновки
Для визначення уточнених значень координат певно! точки за даними наближених значень GPS-зйомки дек1лькох точок потрiбно ввдштовхуватися вщ вiдомого !х розташування: на прямих лiнiях, на колi тощо. Для цього дощльно застосовувати метод найменших квадратiв. При розташуваннi GPS-приймачiв на прямих лiнiях усереднена точка перетину знайдених усереднених прямих мае аналггичний вираз для знаходження координат, що пришвидшуе !х знаходження. При розташуванш GPS-приймачiв
на колi координати усереднено! точки (центра кола) n0Tpi6H0 шукати за допомогою чисельних методiв, проте при цьому зростае точнiсть визначення координат. Точнiсть також зростае по Mipi збiльшення числа точок - мюць розташування GPS-пpиймачiв.
Список використаноТ лiтератури
1. Инструкция по фотограмметрическим работам при создании топографических карт и планов -М.: «Недра», 1974.), определение координат наблюдаемого объекта (Руководство по фототопографическим работам при топогеодезическом обеспечении войск. Часть 2. - М.:РИО, ВТС, 1981.
2. Могильний С.Г., Гавриленко Ю.М., Ахонша Л.1., Крешда Ю.Ф. Геодезiя. Частина перша: Щдручник. 3-е вид., випр. та доп. / За заг. ред. Могильного С.Г. i Гавриленко Ю.М. Донецьк: 2009.-514 с.
3. Патент РФ №2269095, МПК 7, G01C07/02, Е04В1/18. Хакимуллин Н.М. i iн. 19.03.2004.
4. Дорожинський О.Л., Основи фотограмметрп. - Львiв, Видавництво нацiонального унiвеpситету „Львiвська полтгехшка", 2003 р., с. 47-49.
5. Патент РФ № 2269095, МПК G01C 07/02, Е04В 1/18 вад 19.03.2004.
6. Патент Укра!ни винаходу № 98396, МПК G01C 21/00, вад 10.05.2012.
7. Споаб визначення положения точок на земнш повеpхнi. Деклаpацiйний патент на винахвд 42431. Укра!на, МПК G01С5/00/К.Тpетяк (Укра!на) - N2001021169; заявлено 19.02.2001; опубл. 15.10.2001, бюл.№9, 5ст.
8. Глобальна система визначення мюцеположення (GPS). Теоpiя i практика / Б. Гофманн-Велленгоф, Г. Лiхтенеггеp, Д. Коллшз; Пер. з англ. третього вид. шд ред. Я.С. Яцк1ва. - Ки!в: Наук. Думка, 1995 - 380с.
9. Жигулш В.М., Корольов В.М., Волчко П.1., Макаревич В.Д., Липський В.Т. Мiсце Г1С -технологш в системах упpавлiния взаемодiею у пiдpоздiлах сухопутних вiйськ тактично! ланки \\ 1нженерна геодезiя. - 2003. - №49. - С.95-101.
10. Корольов В.М. До питання комплексування автономно! системи навiгацi! iз супутниковою pадiонавiгацiйною системою в штересах навiгацi! наземного рухомого об'екту \\ Вiсник геодезi! та каpтогpафi!. - 2005. - №1. - С.8-13.
11. Патент RU N2116656 G01S7/36, H01G3/02, публ. 27.07.1998 «Способ проведения геодезических измерений с использованием глобальных спутниковых радионавигационных систем и устройство для его осуществления».
