ЦЕЛИ И СОДЕРЖАНИЕ ОБУЧЕНИЯ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ В СИСТЕМЕ ИНЖЕНЕРНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Текст научной статьи по специальности «Математика»

© Ргокорепко N.

Ц1Л1 ТА ЗМ1СТ НАВЧАННЯ ВЕКТОРНО1 АЛГЕБРИ У СИСТЕМ1 1НЖЕНЕРНО1 ОСВ1ТИ

Н.А.Прокопенко, асистент,

Донецький нацюнальний техмчний умверситет,

м. Донецьк, УКРА1НА

Розглянуто вм1ння з векторног алгебри, як1 використовуються для розв 'язання задач в деяких дисциплгнах у системг гнженерно'г освгти. Визначенг цглг та змгст навчан-ня векторног алгебри. Складена тематична компонента предметног моделг студента.

Ключовi слова: моделювання студента, предметна модель студента, операцгйна та тематична компоненти предметног моделг студента, вмгння з векторног алгебри.

Сучасна дшснють вимагае модертзаци вищог освгти. Це означае, що в процес1 на-вчання студенти повинн виконувати на-вчальну дшльтсть, яка моделюе ГГх майбут-ню професшну дшльтсть. Задовольнити цш вимоз1 може дояльшсне навчання.

Для реашацп даяльтсного навчання в своГй пракктищ викладач повинен усвщоми-ти 1 прийняти сформульован1 нижче мето-долопчн положення [1,с.7]:

- кнцевою метою навчання е форму-вання способу ддй, тобто вмшь, що забез-печують здшснення майбугньоi професш-ноГ даяльносп;

- при проектуванш 1 органзаци навчан-ня первинними е задана характером майбу-тньог спещальносл дояльтсть 1 до, що ста-новлять цю д1яльн1сть;

- зм1ст навчання складае задана характером майбутньог спещальносп система д1й 1 тшьки т1 знання, як1 забезпечують ви-конання вс1х цих дш;

- знання не самодосгатнi, вони е усього лише засобом виконання д1й 1 навчання ним. Знання вщграють службову роль, по-яснюючи 1 готуючи практичн до;

- в процес1 навчання т1, кого навчають, повинн здшснювати навчальну даяльтсть, яка моделюе майбутню профес1йну дояльтсть, а не накопичувати знання;

- мехашзмом здшснення навчальног д1-яльносп е вир1шення задач, а не опрацю-вання навчального матер1алу, 1 якщо сту-

дент не вир1шуе навчальн задач1, то це означае, що його навчальна д1яльн1сть не орган1зована;

- в сучасному розумшн знати - значить за допомогою знань зд1йснювати певну д1-яльтсть, а не тшьки пам'ятати певн знан-ня;

- засвоювати знання можна, т1льки ви-користовуючи гх 1 оперуючи ними, а не за-пам'ятовуючи Гх. Запам'ятовування знань повинне бути результатом гх застосування та використання;

- навчання являе собою сукуптсть двох взаемопов'язаних, але самост1йних д1яльностей: д1яльност1 навчаючого 1 д1яль-ност1 тих, кого навчають, або навчальног д1яльност1;

- дояльтсть викладача полягае в проек-туванн1 навчальног д1яльност1, орган1зац1г навчальног д1яльност1 1 управл1нн1 навчаль-ною дояльтстю.

Вщповщно до цього принциповим питан-ням для кожного викладача е проектування навчального курсу: визначення його ц1лей 1 змсту. Задача визначення змюту навчального курсу вир1шуеться в процес1 структурування знань цього курсу або моделювання навчаль-ног предметног област1. Це моделювання по-лягае в побудов1 предметног модел1 студента, яка складаеться з тематичног, семантичног, процедурног, операц1йног 1 функц1ональног частин. Ц1лями навчання е вм1ння, як1 забез-печують формування способ1в д1й майбутньог

професшно! дальность Щ вмння складають операц1йну компоненту предметно! модет студента.

Метою роботи е визначення цшей та змгсту навчання роздшу векторна алгебра курсу вищог математики, що викладаеть-ся студентам тженерних спецгальностей.

Векторна алгебра е дуже важливим ро-здшом дисциплши «Вища математика» в систем! шженерно! освпн. При формуванш цшей 1 змюту навчання векторно! алгебри необхщно враховувати, яш вмшня з цього роздшу використовуються як в самому кура вищо! математики, так 1 в шших дисци-плшах. Наведемо приклади використання вмшь з векторно! алгебри при розв'язанн1 деяких задач.

Наприклад, векторна алгебра викорис-товуеться при розв'язант задач теорií поля, яка застосовуеться в ддродинамщ, елект-ростатищ, теорií магнетизму, теоретичнш мехатщ [4] тощо.

Задача 1. Знайти ротор векторного поля Т = {Р&,Я), де Р, Q, Я - деякг задан функцп змтних х, у, 2.

Розв'язання. Ротор векторного поля

Т = (Р, Q, Я) - це вектор, який знаходить-ся за формулою:

rotF = grad х F =

i

д

dx

P

J d_

dy

Q

k

д

dz

R

У результат! отримаемо:

dR ЭР^ т dQ dP

dx dz) J 1 Эх dy

k

—- dR dQ

rotF =---^

{dy dz

Для розв'язання ще! задач треба вмгти: за наданими координатами двох векторгв знаходити векторний добуток цих векто-pie.

Задача 2. Знайти дивергенцю векторного поля F = (Р, Q, R), де Р, Q, R - де-ят задаш функцп змтних х, y, z.

Розв'язання

л- "F -1 дР dQ dR

divF = grad ■ f =--1---1--.

Эх dy dz У цьому випадку треба вмпи: за наданими координатами двох вектоpiв знахо-

дити скалярний добуток цих вектоpiв.

Задача 3. За допомогою формули Сто-кса перетворити криволтшний ттеграл jPdx+Qdy+Rdz, де Р, Q, R - деяю зада-L

т функцп змтних х, y, z.

Розв'язання. Формула Стокса зв'язуе криволшшний штеграл за замкненим контуром L (циркулящю) з поверхневим ште-гралом за поверхнею X, що обмежена контуром L :

<| Pdx + Qdy+Rdz = \\rotF ■ nda, L X

де F = (P, Q, R), а n - нормальний вектор поверхш X.

Для розв'язання ще! задач! необхвдно

знайти rot F за формулою rotF = grad х F

та обчислити скалярний добуток rotF ■ n . Для цього треба вмпи:

- за наданими координатами вектоpiв знаходити векторний добуток вектоpiв;

- за наданими координатами вектоpiв знаходити скалярний добуток вектоpiв.

Векторна алгебра також застосовуеться у деяких роздлах ф1зики, наприклад, у ю-нематищ та динамщ.

Задача 4. Тшо кинуте зi швидтстю V0

тд кутом а до горизонту. За польотом тша спостеркають в оптичну трубу, встановлену в точц кидання. Через який час швидтсть тша буде перпендикулярна вт труби? Прискорення вшьного падтня доpiвнюe g.

Розв'язання. Спершу зробимо малюнок до задач1 (рис.1).

Рис. 1

Необхщно визначити момент часу, коли радиус-вектор точки r(t), що зображае тло,

перпендикулярний швидкосп тша V(t).

©

© Prokopenko N.

Для цього скористаемося умовою перпен-дикулярностi вектор1в: скалярний добуток перпендикулярних вектор1в р1вний нулю.

r(t (t) = о, де V(t) = {vx (t ), Vy (t )),

KO = Vx (t ), ry (t ))

Виразимо скалярний добуток через ко-ординати векгорiв:

r (t ) V (t ) = rxVx + ryVy,

Врах°вуючи, що V0(t) = (V0x (t),V0y (t)) та формули юнематики отримаемо

gt2

Гх = Voxt, Vx = Vox, ry = Voyt - Vy = Voy -gt.

Пюля алгебраïчних перетворень ми отримаемо кубiчне ршняння:

VoxtVox + (Voyt - g22)-(Voy - gt) = 0

Розв'язком цього р1вняння е так зна-чення t :

Vn

.2

t, = 0; и - = -°|3sin a ±-J9sin2 а - 8 1 2'3 2 gl,

Причому значення часу ^ = 0 вщповь дае моменту кидка.

Задача 5. Два тта кинутi з однаковими по модулю швидкостями У0 тд рвними кутами до горизонту - перше тыо тд ку-том а, друге - 2 а до горизонту. Знайти момент часу X, коли вектори швидкостi ты будуть паралелът. Прискорення выь-ного падтня рiвне g.

Розв'язання Розглянемо малюнок до задач1 (рис. 2).

Вектори V1(t ) = V01 + gt i

V2(t) = V02 + gt де V01 та V02 початковi швидкосп першого та другого тша вщповь дно, за умовою колшеарт: V1(t ) || V2(t ).

Для розв'язання скористаемося одтею з умов колiнеарностi двох векгорiв: векторный добуток двох колшеарних векторiв до-р1внюе нульовому вектору.

Вираз векторного добутку вектор1в

V1 = V1x ,V1y V ) та V2 = V2 x V y, V2 z ) в

прямокутних координатах мае вигляд: Vx X V2 = (V yV2 z - y )Г +

WVx - — z ) j + — y - VyV2x )k ,

де i, j, k - вектори декартового базису. Вважатимемо, що рух вщбуваеться в пло-щиш XY. Тод ва проекцл на вiсь Z дор1в-нюють нулю. Для виконання умови колше-арностi повинна виконуватися р1вн1сть V1xV2y -V1yV2x = 0 (1),

де Vx = Vo cosa, Vy =Vo sina-gt та

V2x = Vo cos2a,V2y = Vo sin2a- gt. Пiсля п1дстановки координат вектор1в V1 та V2 у рiвнiсть (1) отримаемо:

t = Vo.

sin a

V1(t) Рис. 2

• 2 2

g cosa+sin a-cos a

Для розв'язання задач 4, 5 треба вмтти:

- виконувати лжйш операщ з геомет-ричними векторами;

- за наданими координатами двох век-торгв знаходити векторний добуток век-торгв;

- за наданими координатами двох век-торгв знаходити скалярний добуток век-торгв.

Задача 6. Шд дгею сталог сили F ма-тергальна точка перемщуеться з точки A у точку B. Знайти роботу, яка при цьому виконуеться.

Розв'язання. A = F ■ AB .

У цьому випадку треба вмгти: за наданими координатами двох векторгв на пло-щищ чи у просторi знаходити скалярний добуток цих векторiв.

Задача 7. Визначити момент сили F,

прикладеног до точки A, вгдносно точки О. Розв'язання. M = r X F, де r = OA .

M

F

О

A

Рис. 3

У цьому випадку треба вмгти: за наданими координатами двох векторгв на пло-щиш, чи у просторг знаходити векторний добуток цих векторгв.

Векторна алгебра також застосовуеться i в деяких роздшах математики, наприклад: в аналпичнш геометрп та теорп функцп багатьох змшних [3].

Задача 8. Скласти ргвняння прямой що проходить через двг задан точки: M1(x1, yu zx), M 2( x2, y2, z2).

Розв'язання. Нехай M(x, y, z)- довшьна точка прямо!'. Тод! вектор M1M колшеарний до вектору M iM 2. Знайдемо координати цих векторов: M1M = (x - x1, y - y1, z - z1) i

MiM2 = ( X2 - X1, У2 - У1, Z2 - Z1). 3 умови колшеарност! вектор!в, зважаючи на дов!ль-н!сть вибору точки M(x, y, z), одержимо р!вняння прямо! M1M 2 :

x - x1 = y - У1 = z - Z1 .

x2 - x1 y2 - y1 z2 - z1

У ц1й задач! використовують так! вмшня:

- за наданими координатами початку i ктця вектору знайти координати цього вектора;

- за наданими координатами векторiв перевiрити умову колтеарно^ векторiв.

Задача 9. Скласти рiвняння площини, що проходить через надану точку M0(x0,y0,z0) перпендикулярно даному вектору ~n=A,B,C).

Розв'язання: Нехай Mx,y,z) - довь льна точка площини. Тод1 вектор M0M перпендикулярний вектору n = (A, B, C).

Знайдемо координати вектора

M 0M = ( x - ^ у - Уo, z - z0).

3 умови перпендикулярносп вектор1в, зважаючи на дов1льн!сть вибору точки M ( x, y, z ), одержимо р1вняння площини:

M 0M ■ n = 0 або A ■ (x - x0) + B ■ (y - У0) + C ■ (z - z0) = 0

У щй задач! використовують так! вм!ння:

- за наданими координатами початку i ктця вектору знайти координати цього вектора;

- за наданими координатами векторiв перевiрити умову перпендикулярной век-торiв.

Задача 10. Скласти рiвняння площини, що проходить через три задаш точки:

M0(x0, У00, z0), M1( xb Уи z1) , M2(x2, У2, z2).

Розв'язання. Нехай M(x,У,z)- довольна точка площини. Тод вектори M0M,

M0M1, M0M2 - компланарн!. Знайдемо координати цих вектор!в:

MM^-^ y-y0,z-z0), MM =(x1 -%У1 -y0,z1 -z0) !

MM2 =(x2 -Xo, У2 - y0,z2 -z0). З умови компланарност! вектор!в, зважаю-чи на довшьтсть вибору точки M ( x, y, z ), одержимо р!вняння площини:

(m0M X M0M1)^ M0M2 = 0 або

x - x0 y - У0

z - zn

x xn

У1 - У0 z1 - z0

x2 - x0 y2 - y0 z2 - z0

У щй задач! використовують так! вм!ння:

- за наданими координатами початку i ктця вектору знайти координати цього вектора;

- за наданими координатами векторiв перевiрити умову компланарной векторiв.

Задача 11. Знайти похiдну функцп U = f (x, y) за напрямом вектора l.

Розв'язання. Спочатку знайдемо вектор, що е градиентом функщ! U : ' f f

gradU -

dx' dy

r

0

©

© Ргокорепко N.

Дат знайдемо орт вектора I: I =!. А

и-10.

пот1м пох1дну за напрямом вектору I:

ди д!

У цш задач1 використовують так вмшня:

- за наданими координатами вектора знайти модуль цього вектору;

- за наданими координатами вектора знайти орт цього вектору;

- за наданими координатами двох век-тор!в знайти гх скалярний добуток;

Засвоення якого-небудь навчального предмету означае посл1довне засвоення вм1нь з дек1лькох блок1в, що складають систему вмшь. Ц1 вмшня можуть бути розпо-д1лен1 за рубриками: базов1, методолог1чн1, загальт, предметт. Базов1 вмшня мають самий загальний сенс 1 визначаються люд-ською природою студента. У свою чергу, вони визначають його когнгшвт (гпзнава-льт) здобносп. Мегодологiчнi вмшня визначають пщх1д до тзнання. Загальн1 вмш-ня виконують органзаншт, забезпечуючи 1 виконавч функци. Предметт вмшня також вщносяться до одного певного навчального предмета. Предметт вмшня визначаються, насамперед, характером предмета, що ви-вчаеться, хоча 1снують предметт вмшня, загальт для р1зних предмепв. На основ1 базових, методолог1чних 1 загальних вм1нь будуеться система предметних вм1нь, яка 1 являе собою операц1йну предметну модель [2].

З векторног алгебри були вид1лен1 так1 вм1ння:

1. За наданими координатами вектора на площищ чи у простор!:

- визначати модуль вектора;

- визначати напрямт косинусы вектора;

- записувати розвинення вектора за декартовим базисом;

- знаходити добуток вектора на число;

- знаходити орт вектора;

- визначати, чи е вектор одиничним;

- визначати, чи е вектор нульовим;

2. Визначати координати вектора на площит, чи у простор!:

- за наданими координатами начала !

к!нця вектора;

- за наданими напрямними косинусами та модулем;

- за наданим розвиненням вектора за декартовим базисом;

- за наданими координатами орта вектора та модулем;

3. За наданими координатами двох вектор!в на площит, чи у простор!:

- визначати, чи е вектори р!вними;

- знаходити суму та р!зницю вектор!в;

- визначати, чи е вектори колтеарними;

- знаходити скалярний добуток векто-

р!в;

- визначати, чи е вектори перпендику-лярними;

- знаходити проекцт одного вектора на !нший;

- визначати косинус кута м!ж векторами;

- знаходити векторний добуток век-тор!в;

- знаходити площу паралелограма ! трикутника, що побудовано на цих векторах;

4. За наданими координатами трьох вектор!в у простор!:

- знаходити мшаний добуток векто-

р!в;

- знаходити об'ем трам!ди ! паралеле-тпеду, що побудоват на цих векторах;

- визначати, чи е вектори компланар-ними;

- визначати, чи можуть три вектори утворювати базис у простор!;

- переходити до нового базису у простор!.

В1дпов1дно цим вм1нням була вид1лена тематична компонента предметног модел1 студента:

1. Види вектор1в.

2. Лшшт операци з векторами.

3. Базис. Проекцш вектора на в1сь.

4. Способи завдання вектор1в.

5. Скалярний добуток вектор1в.

6. Векторний добуток вектор1в.

7. М1шаний добуток вектор1в.

Таким чином вмшня з векторног алгебри використовуються для розв'язання задач в таких дисциплшах як ф1зика, теоретична

мехашка, теорш MexaHi3MiB та машин, гщ-родинамка, електростатика, теоретичш основи електротеxнiки тощо. Для визна-чення цiлей та змюту навчання векторно'1 алгебри проaнaлiзовaно змiст прикладних дисциплiн у системi шженерно'1 освгти та визначено тематичну компоненту. Подаль-ша робота повинна полягати в розробщ ie-рархй та структури предметних вмiнь з векторно'1 алгебри та побудови спекав знань та вмiнь кожного предметного вмшня. Така робота дасть можливiсть розробити систе-

му задач, спрямовану на формування предметних вмiнь.

1. АтановГ.О. Знания як засгб навчання. -К, Кондор, 2008.

2. Атанов Г.О. Теор1я дгялъмсного навчання. - К, Кондор, 2007.

3. Пак В.В., Носенко ЮМ. Вища математика. - К, Либгдъ, 1996.

4. Яблонски й А А. Курс теоретической механики - М., Высшая школа, 1971.

ZLtteritionl

(Pußßsfiing the next issue of the internationaC collect ion of the scientific works %Didactics of mathematics: (ProßCems ancf Investigations" is planned at ßprif2010.

r(//e invito the interested*authors

to pußßcations on pages of our collection.

Резюме. Прокопенко Н.А. ЦЕЛИ И СОДЕРЖАНИЕ ОБУЧЕНИЯ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ В СИСТЕМЕ ИНЖЕНЕРНОГО ОБРАЗОВАНИЯ. В статье рассмотрены умения по векторной алгебре, которые используются для решения задач некоторых дисциплин в системе инженерного образования. Определены цели и содержание обучения векторной алгебре. Составлена тематическая компонента предметной модели студента.

Ключевые слова: моделирование студента, предметная модель студента, операционная и тематическая компоненты предметной модели студента, умения по векторной алгебре.

Summary. Prokopenko N. THE PURPOSE AND CONTENT OF THE VECTOR ALGEBRA TEACHING IN THE SYSTEM OF ENGINEERING EDUCATION. The skills that used while solving the problems in vector algebra are given in the article. These problems are necessary at some special disciplines in the system of engineering education. The purpose and content of the vector algebra teaching is determined. The thematic component of the object student model is compound.

Key words: student modelling, the student subject model, the operating component and the tematic component of the student subject model, the skills in the vector algebra.

Стаття представлена професором О.1.Скафою.

Надшшла доредакци 28.10.2009р.

®