CC BY
8
Scientific j oumal ISSN 2413-158X (online)
PHYSICAL AND MATHEMATICAL EDUCATION ISSN 2413 1571 (Print)
Has been issued since 2013.
Науковий журнал
Ф1ЗИКО-МАТЕМАТИЧНА ОСВ1ТА
Видасться з 2013.
http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/
Кузьмич В.1., Кузьмич Л.В. Формування понять точки, eidcmaHi та прямолiнiйного розмiшення точок засобами метрично)'геометрИ у 7-9 класах. Ф'зико-математична осв'та. 2020. Випуск 2(24). С. 74-79.
Kuz'mich V., Kuzmich L. Formation of concepts of point, distance and straight placements of points by means of metric geometry in 7-9 grades. Physical and Mathematical Education. 2020. Issue 2(24). Р. 74-79.
DOI 10.31110/2413-1571-2020-024-2-010 УДК 372.851
В.1. Кузьмич
Херсонський державний унiверситет, Украна vikuzmichksu@gmail. com ORCID: 0000-0002-8150-3456 Л.В. Кузьмич
Херсонський державний унiверситет, Украна lvkuzmichksu@gmail.com ORCID: 0000-0002-6727-9064
ФОРМУВАННЯ ПОНЯТЬ ТОЧКИ, В1ДСТАН1 ТА ПРЯМОЛ1Н1ЙНОГО РОЗМ1ЩЕННЯ ТОЧОК ЗАСОБАМИ МЕТРИЧНО1 ГЕОМЕТРП У 7-9 КЛАСАХ
АНОТАЦЯ
У робот! представлено концепцию формування понять точки, в1дстан1 мж точками та прямол1н1йного розм1щення точок, з використанням елементв метрично)' геометр)), у здобувачв базово)' середньо) осв)ти на уроках геометр))' та у позакласн)й робот': з математики.
Формулювання проблеми. У сучасному шкльному курс1 геометр))' для базово)' школи фактично в1дсутн1 в1домост1 про елементи неевклдових геометрй. У дючих п/'дручниках з геометрИ, нав1ть з поглибленим вивченням математики, про геометр)ю Лобачевського згадують лише у ¡сторичному аспект). Зрозумло, що це пов'язано з1 значним рвнем складност) та формал1зац1)' основ ц)е)' геометрИ. У данй робот ': пропонуеться певний п)дх)д до вир1шення цього питання на баз ': використання елемент 'ю метрично)' геометрИ, як тако), що найтсн)ше пов'язана з) шкльним курсом геометр))'. Цей п)дх)д дозволяе без особливих складнощв розпочати формування основних геометричних понять неевклдових геометрй (таких як вдстань, прямол)н)йн)сть) ще у сьомому клас) базово)' школи. На наш погляд, таке формування сл)д проводити у класах з поглибленим вивченням математики, як на уроках геометр))', так /' на заняттях гурткв та факультатив)в з математики. В)дпов)дний матер)ал може бути предметом учнвських дослджень та творчих роб)т з геометр))'.
Матер/'али / методи. Основн) результати роботи отриман) з використанням методв метрично)' геометр))'. При формуванн) поняття прямол)н)йност) використано поняття прямол)н)йного розм)щення точок, розглянуте В.Ф. Каганом. Результати роботи були апробован) при читанн) в)дпов)дного спецкурсу для здобувачв осв)тнього р)вня «Магстр», за спец)альн)стю «014 Середня осв)та (Математика)», у Херсонському державному ун)верситет).
Результати. У робот) отриман) конкретн) приклади використання елементв неевклдових геометр'ш на уроках геометр))' у базов)й школ). Наведен) в)дпов)дн) формулювання понять в)дстан) та прямол)н)йного розм)щення точок, як) демонструють неоднозначнсть )хнього )нту)'тивного сприйняття. Вказан) конкретн) теми з геометр))', при вивченн) яких ц) формулювання та приклади можна використовувати, з метою формування поняття точки, в)дстан) мж точками, прямол)н)йност) розм)щення точок.
Висновки. З результатв роботи випливае висновок про те, що формування основних понять неевклдових геометр'ш можна розпочати з сьомого класу базово)' школи, використовуючи при цьому елементи метрично)' геометр))'. Це дасть можлив)сть у старших класах, на ц'ш же основ), сформувати поняття плоского розм)щення точок. Таким пдходом може бути виршене питання адекватного сприйняття учнями основних положень неевклдових геометр'ш.
КЛЮЧОВ1 СЛОВА: точка, в!дстань, пряма л'1н'я, прямолiнiйне розм'!шення точок, шкльний курс геометрп.
ВСТУП
Постановка проблеми. Розглянута у робот проблема полягае у способах введення у шктьний курс геометри базово! школи, та у рiзнi види неформально! освти з математики, узагальнених понять точки, вщстаы мiж точками та прямолЫмносп, з метою формування на !хый основi понять про неевклiдовi геометри.
Аналiз актуальних дослiджень. З друго' половини XIX сторiччя розпочинаеться стрГмкий розвиток неевклщових геометрй спричинений побудовою Миколою 1вановичем Лобачевським (1792-1856) ново' геометрГ'', яка базувалась на заперечены п'ятого постулату геометрГ'' Евклiда. У 1906 роц французький математик МорГс Рене Фреше (1878-1973) увiв у розгляд поняття метричного простору, що базувалось на поняттi вiдстанi мiж двома точками (метрики простору). З цього часу розпочинаеться розвиток метрично' геометрГ'' - геометричних структур та стввщношень мiж ними, що базуються лише на поняттi вiдстанi мiж точками метричного простору. Таким чином, метрична геометрiя у значнiй мiрi носить аналiтичний характер, i у меншлй мiрi пов'язана з Гнту'тивним сприйняттям таких основних геометричних понять як точка, пряма, площина, кут i т. п. З Гншого боку, метрична геометрiя розвиваеться як узагальнення геометрГ'' ЕвклГда, i тому основы факти геометрп ЕвклГда можна отримати як частины випадки вщповщних фактiв метрично' геометрГ''. Це дае можливГсть застосувати метричний пГдхГд до вивчення основних понять геометрй ЕвклГда, вщГйшовши вГд 'хнього Гнту'тивного сприйняття. У свою чергу, такий пщхщ дае можливГсть адекватно сприйняти особливост неевклiдових геометрiй, не вступаючи у лоты протирГччя з геометрiею ЕвклГда, та Гнту'тивним розумГнням 'й основних понять. Слщ вiдзначити достатньо прост аналiтичнi перетворення при встановленнi елементарних фактГв метрично' геометрй, оскГльки вони базуються на зрозумГлих аксiомах вщстаы мГж точками метричного простору.
Основоположниками метрично'' геометрГ'' вважають англiйського математика Артура КелГ (1821-1895) та австрмсько-американського математика Карла Менгера (1903-1985). Значний вклад у розвиток метрично'' геометрй зробив роайський математик О. Д. Александров (1912-1999). Останым часом метрична геометрiя знайшла сво'' застосування у найрiзноманiтнiших сучасних дослiдженнях з бюлогй, астрономй, ядерно'' ФГзики, комп'ютерних наук (комбiнаторна оптимiзацiя), архiтектури та Ыженерп'. До математикiв, якГ внесли значний вклад у розвиток метрично'' геометрй слщ вщнести також ВеыамЫа Федоровича Кагана (1869-1953), який значну частину свое' науково'' дГяльностГ провГв на фГзико-математичному факультетi Одеського уыверситету. У 1902 роцГ В. Ф. Каган, обГрунтовуючи основи геометрй ЕвклГда, побудував геометричну систему, у якГй незалежно вГд М. Р. Фреше використовував поняття точки, що не означуеться, та на основГ якого означаються ГншГ геометричнГ образи, що розглядаються як сукупностГ точок. ВЫ увГв поняття «вщстаж» мГж точками, що не змГнюеться при рус у просторГ. Це дозволяе побудувати геометрГю ЕвклГда не спираючись на Гнту'тивне сприйняття '"'' основних понять (Каган, 1902). В. Ф. Каган побудував вичерпну теорГю прямо' лЫй, встановивши ГзоморфГзм множини дГйсних чисел i точок прямо' (Каган, 1956). При побудовГ теорй В. Ф. Каган використовував поняття «прямолГнГйно' розмГщеносп» точок (Каган, 1963). Це поняття буде головним при викладеннГ основного матерГалу дано' роботи. За висловленням авторГв курсу метрично' геометрГ'' «...метрична геометрГя залишаеться, можливо, одним Гз самих «елементарних» математичних методГв» (Burago&Burago &Ivanov, 2001). У сучаснГй математицГ розглядають значну кГлькГсть способГв метризацГ'' просторГв, наприклад, ультраметричнГ, або неархГмедовГ простори з ГнварГантною метрикою (Savchenko &Zarichnyi, 2010).
У недавнГх роботах з метрично' геометрй дослщжувались питання прямолГнГйного та плоского розмщення точок метричного простору (Dovgoshei&Dordovskii,2009; Кузьмич&Кузьмич, 2018; Kuz'mich, 2019). Засобами метрично' геометрГ'' можна отримати багато метричних стввщношень, якГ вивчаються у кура шкльно' геометрГ'' (Kuz'mych &Savchenko, 2019). У данГй роботГ, як застосування цих дослщжень, розглядаються приклади використання основних понять метрично' геометрГ'' з метою формування в учнГв 7-9 клаав базово' школи узагальнених геометричних понять. Використання засобГв метрично' геометрГ'' при формуваннГ у школярГв найпроспших понять неевклГдово' геометрГ'' е, на нашу думку, найбГльш доступним для 'х розумГння, оскГльки спираеться лише на поняття вГдстанГ мГж двома точками, i не потребуе додаткових складних математичних понять.
Запропонований авторами пГдхГд до формування основних геометричних понять слщ розглядати як доповнення до Гснуючих пщходГв 'х формування. У переважнГй бГльшостГ випадкГв таке формування слщ проводити паралельно дГючому, використовуючи рГзномаыты форми позакласно' роботи з математики (математичнГ гуртки, факультативи, конкурси учнГвських робГт i таке Гнше).
Мета статп. Метою статтГ е висвгтлення пГдходу до формування у базовГй школГ понять основних геометричних об'ектГв, таких як точка, вГдстань, прямолГнГйнГсть засобами метрично' геометрГ'', з метою адекватного сприйняття учнями вщомостей про неевклщовГ геометрГ''.
ТЕОРЕТИЧН1 ОСНОВИ ДОСЛ1ДЖЕННЯ
В основу даного дослГдження були покладенГ основнГ поняття i властивосп теорй метричних просторГв. Зокрема, в роботГ використанГ базовГ вГдомостГ з метрично' геометрГ'', яка узагальнюе i розповсюджуе на випадок довГльного метричного простору основы поняття геометрГ'' ЕвклГда та геометрГ'' Лобачевського.
МЕТОДИ ДОСЛ1ДЖЕННЯ
У роботГ використовуеться аксГоматичний метод означення метричного простору та аксюматичне означення вщношення «точка z лежить мГж точками х i у». Для демонстрацй цього вГдношення використовуеться метод графГчно' ГнтерпретацГ'' та метод прямокутних координат.
РЕЗУЛЬТАТИ ДОСЛ1ДЖЕННЯ
Наведемо основы означення, що стосуються метричних просторГв.
Означення 1. Метричним простором називаеться сукупнсть непорожньо)' множини X eneMeHmie яко:' завгодно природи й однозначно¡'дiйсно¡нев'д'емно¡'функцИр(х;у) означено¡'для будь-якихeneмeнmiв х iу зX iяказадовопьняе так умови:
1) р(х;у) = 0 тод'1 й тпьки тод'1, копи х = у,
2) р(х;у) = р(у;х) (акаома симетрП),
3)для будь-якихтрьохелементiв x, y izвиконуетьсяHepieHicmbp(x;y) < p(x;z) + p(z;y) (акаоматрикутника).
При цьому елементи множини X називають точками метричного простору, функцию р - метрикою простору X, а числове значення функцй р(х; у) - вщстанню мiж елементами (точками) x i у. Метричний проспр X з метрикою р позначають (X; р). Умови 1)-3) Означення 1 ще називають аксюмами вiдстанi.
Звернемо увагу на те, що в Означены 1 елементи множини X можуть мати будь-яку природу. Евклщ описував точку наступним чином: «Точка е те, що не мае частин» (Начала Евклща, 1948). Це узгоджуеться з описом точки у шктьних пiдручниках: «Точка найпроспша геометрична фiгура. Це едина ф^ура, яку неможливо розбити на частини» (Мерзляк&Полонський&Я^р, 2015). На наш погляд, поняття точки можна було б описати бтьш детально, вказавши, що точкою можна вважати будь-який об'ект у тих випадках, коли не використовуються його структура, форма, властивост i т. п. Наприклад, у випадку коли потрiбно порахувати кшьмсть буа^вель на певнiй територй та встановити вiдстанi мiж ними, не враховуючи при цьому розмiри, форму, кiлькiсть поверхiв та примЩень цих будiвель, хоча кожна з буа^вель мае цi характеристики i вони можуть використовуватись надалк При знайомств з поняттям множини слщ наголосити, що це сукупнiсть об'ектв (елементiв) об'еднаних мiж собою за певною ознакою: множина y4Hie одного класу, множина парних чисел i т. п. Ус елементи (точки) множини рiвнопрaвнi мiж собою, однак при опера^ях з ними необхщно перевiряти точки на виконання ознаки, за якою вони належать до множини, а також можна використовувати цю ознаку при опера^ях з точками множини. Таке поняття точки дещо ширше вщ поняття точки у геометри Евклща, однак воно точыше вщображае сучасний погляд на точку, як елемент множини. Запропонований опис точки, на наш погляд, повыстю узгоджуеться з Означенням 1, i готуе учыв до узагальненого сприйняття понять точки та вщстаы мiж точками у конкретних метричних просторах.
Перше знайомство з поняттям вщстаы мiж двома точками на рiвнi означення вiдбувaеться у сьомому клаа при знaйомствi з основними геометричними поняттями: «Вщстанню мiж точками A i В називають довжину вiдрiзкa AB. Якщо точки A i В зб^аються, то вважають, що вщстань мiж ними дорiвнюе нулю» (Мерзляк&Полонський&Я^р, 2015). На цьому етат вивчення математики, на наш погляд, ще рано говорити про Ышл означення вщстаы мiж точками, хоча можна звернути увагу учнiв на те, що при рус по мкту найменша вiдстaнь, яку вони повинн подолати мiж двома об'ектами, не завжди вимiрюеться довжиною вiдрiзкa що з'еднуе цi об'екти, а може ÏÏ перевищувати. Ще й бтьш того, таких шляхiв (геодезичних лЫм) може бути декiлькa. Це може стати першим прикладом неоднозначности (вщносносп) поняття вiдстaнi мiж двома точками, ^м того, це допоможе пщготувати учыв до сприйняття нaдaлi нерiвностi трикутника (умова 3 Означення 1). З ^ею нерiвнiстю учн знайомляться теж у 7 клаа: «Кожна сторона трикутника менша вщ суми двох iнших його сторн..» (Мерзляк&Полонський&Я^р, 2015).
У зв'язку з нерiвнiстю трикутника, як правило, робиться висновок про характеристичну влaстивiсть трьох точок, що належать одый прямй та вводиться поняття «точка В метиться мiж точками A i С», що е ознакою «прямолЫмного розмщення» (Каган, 1963) точок А, В, С: «якщо для трьох точок А, В i С виконуеться рiвнiсть AB = АС + СВ, то точка С е внутршньою точкою вiдрiзкa AB» (Мерзляк&Полонський&Я^р, 2015). Цтеспрямоване i бтьш детальне знайомство учыв з елементами метрично!' геометрй слiд розпочати, на наш погляд, у дев'ятому клаа. У кура геометри дев'ятого класу вивчаеться такий базовий для елементв метрично! геометрй' мaтерiaл, як елементи тригонометрй, теорема косинуав, теорема синуав, нерiвнiсть трикутника, розв'язування трикутникiв, декaртовi координати на площинi, скалярний добуток векторiв. Крiм того, паралельне вивчення у кура алгебри властивостей функцм дае можливiсть розпочати вивчення конкретних метричних простив, наприклад, простору лЫмних (або квадратичних) функцiй, означених на вiдрiзку.
Тепер перейдемо до фактичного мaтерiaлу, який пропонуеться для вивчення. Спочатку сформулюемо дещо спрощене, але бтьш об'емне, означення метричного простору та вщстаы мiж його точками. Це означення використовуе поняття множини та ÏÏ елеметчв, що сформован у восьмому клaсi (Мерзляк&Полонський&Я^р, 2016).
Означення 2. Непорожню множину X елементiв яко\завгодно природи будемо називати метричним простором, якщо кожнй парi (х; у) р'вних елементiв ц/'eïмножини за певним правилом р поставлене у вiдповiднiсть едине додатне число р(х; у), що називаеться в'дстанню м'ж елементами x i у, i яке задовольняе умовам:
1) для будь-яких двох рiзних елеметчв x i y вщстань мiж елементами x i y дорiвнюе вщстаы мiж елементами y i x, тобто виконуеться рiвнiсть p(x;y) = p(y;x) (умова симетрй);
2) для будь-яких трьох рiзних елементв x, y, z вiдстaнь мiж елементами x i y не бтьша нiж сума вiдстaней мiж елементами x i z та мiж елементами z i y, тобто виконуеться нерiвнiсть p(x;y) < p(x; z) + p(z;y) (нерiвнiсть трикутника).
Означення 2 метричного простору, у такм формi як воно записане, слщ подавати у старших класах, а у дев'ятому клаа його доцтьно подати (як i означення функцй) в описовм форм^ використовуючи достатню кiлькiсть приклaдiв. При цьому, можна роздтити формулювання умов 1) i 2) означення на словесну i аналггичну форми.
Вкажемо дектька найпроспших приклaдiв метричних простив, доступних для легкого засвоення учнями.
Приклад 1. Нaйпростiшим прикладом метричного простору е множина уах точок числовой' осi. Такий простiр називають одновимiрним арифметичним евклiдовим простором, i позначають R1. Як вiдомо (Мерзляк&Полонський&Я^р, 2017), вiдстaнь мiж двома точками x i у числовой' ос знаходять як абсолютну величину (модуль) рiзницi вiдповiдних чисел х i у: Р(х\у) = 1х у1.
Виконання уах умов Означення 2 для простору R1 перевiряеться досить просто. У 9-му клаа Ух можна перевiрити за допомогою властивостей множини дмсних чисел, а у 7-му на Ытутивному рiвнi, використовуючи числову пряму.
У дев'ятому клаа можна розглянути бiльш склaднiший приклад метричного простору - координатну площину, яка детально вивчаеться у кура геометрй для дев'ятого класу (Мерзляк&Полонський&Я^р, 2017).
Приклад 2. Множина точок координатно!' площини е метричним простором. Такий проспр називають двовимiрним арифметичним евклщовим простором, i позначають R2.
За вщстань мiж двома точками М1(х1;у1) i М2(х2;у2) простору R2 беруть довжину вiдрiзкa М1М2, що знаходиться за формулою: М1М2 = ^(х1 — х2)2 + (у1 — у2)2 (Мерзляк&Полонський&Я^р, 2017).
При nepeBipu,i виконання умов Означення 2 для простору R2 деяк труднош^ можуть виникнути лише при nepeBipu,i умови 2), однак, вони цтком пiд силу учням 9-го класу.
На координатой плошинi можна по шшому означити вiдстань мiж точками, при цьому отримуеться Ыший метричний простiр.
Приклад 3. Вiзьмемо в якостi вiдстанi мiж точками М1(х1;у1) i М2(х2;у2) координатно'|' площини число: р(М1;М2) = \х1 — х2\ + \у1 —у2\. Цей проспр позначають
Легко перевiряеться виконання усiх умов Означення 2, отже проспр Rf е метричним. Цей проспр uiкавий тим, що його суть легко пояснити навпь учням сьомого класу. За ^ею метрикою на координатшй площин найменшу вiдстань мiж точками M1 i М2 можна подолати йдучи паралельно координатним осям (по катетах прямокутного трикутника, для якого вiдрiзок М1М2 е гiпотенузою). Подiбна ситуа^я виникае у мiстi з прямокутним розташуванням вулиць. Це один iз прикладiв, де поняття вiдстанi мiж точками не спiвпадае з класичним, як довжини вiдрiзка, що з'еднуе ui точки.
Наведемо ще один простий випадок метричного простору точок координатно' площини.
Приклад 4. Вiзьмемо у якосл вiдстанi мiж точками М1(х1;у1) i М2(х2;у2) координатно' площини число: р(М1-;М2) =тах{\х1—х2\; \У1—У2\}-
Перевiрити виконання умов Означення 2 для такого простору також не складно, тому розглянутий проспр е метричним, його позначають R0,. Простiр теж може бути прикладом простору, у якому вщстань мiж точками не завжди е довжиною вiдрiзка, що з'еднуе ui точки.
Наступний приклад демонструе неоднозначнiсть поняття прямолЫмного розмiшення точок метричного простору.
Приклад 5. Розглянемо у прост^ чотири точки: М^О; 1), М2(0; —1), М3(—1; 0), М4(1; 0). Знайдемо за метрикою простору вщсташ мiж цими точками: р(М1;М2) = 2, р(М1;М3) = 1, р(М1;М4) = 1, р(М2;М3) = 1, р(М2;М4) = 1,
р(Мз;М4) = 2.
Слщ звернути увагу на рiвностi, ям при цьому виконуються:
р(М1;М2) = р(М1;М3) + р(М2;М3) = 1 + 1 = 2; р(М1-;М2) = р(М1-; М4) + р(М2-;М4) = 1 + 1 = 2; р(М3;М4) = р(М1;М3) + р(М1;М4) = 1 + 1 = 2; р(М3;М4) = р(М2;М3) + р(М2;М4) = 1 + 1 = 2.
Геометрично, на координатшй площиш, точки М1, М2, М3, М4 е вершинами квадрата, довжина сторони якого дорiвнюе V2. У геометрй Евклща довжина дiагоналi квадрата менша за суму довжин двох його сторЫ, а у цьому прикладi вони виявляються рiвними. Бiльш того, з кожно'|' з отриманих чотирьох рiвностей у геометрй Евклiда слiдуе, що уа три точки, якi беруть участь у рiвностi, повиннi лежати на одшй прямiй.
Цей приклад наочно демонструе вщмшнкть понять вщстаы мiж точками однiеï й ж множини при рiзному означены вщсташ.
Розглянемо бiльш детально поняття прямолЫмного розмiшення точок метричного простору. Воно е частинним випадком Означення 2 у випадку, коли нерiвнiсть трикутника перетворюеться у рiвнiсть.
Означення 3. Будемо казати, що точки х, у, z метричного простору (Х,р) розмiщенi прямол/н/йно у цьому просторi, якщо виконуеться рiвнiсть р(х; у) = p(x;z) + p(z; у).
При виконанн рiвностi у Означены 3 природно казати, що точка z «лежить мiж» точками х i у, або називати ÏÏ «внутршньою» для точок х, у, z. Одночасно, про точку х (точку у) можна казати, що вона «лежить поза» точками у i z (точками х i z), або називати ÏÏ «крайньою» для точок х, у, z (Мерзляк&Полонський&Я^р, 2015).
На основi Означення 3 можна дати означення прямолЫмного розмщення множини точок метричного простору. Для цього слщ вимагати прямолЫмного розмщення будь-яких трьох точок ще'| множини.
Означення 4. Будемо казати, що множина точок метричного простору прямол'шшно розм/щена, якщо будь-як три точки ц/'е/ множини прямол/н/йно розм/щен/.
Найпроспшим прикладом прямолЫмно розмщено'|' множини е проспр R1, осктьки з властивостей множини дмсних (натуральних, цтих, рацюнальних) чисел слщуе, що з трьох рiзних чисел х, у, z одне з них буде найменшим, друге -найбтьшим, а трете - промiжним.
Наведемо бiльш складний приклад прямолiнiйно розмiшеноï множини.
Приклад 7. Розглянемо множину лЫмних функцм у = кх, означених на вiдрiзку х Е [0; 1]. Графтами цих функuiй е прямi лiнiï, що проходять через початок координат. На вд^зку [0; 1] графтами будуть вiдрiзки цих прямих.
Уведемо метрику у цм множиы, вибравши за вiдстань мiж двома рiзними ïi елементами у = k1x i у = к2х число: р(к1х ;к2х) = таххЕ[0.1]\к1х — к2х\ = \к1 —к2\. Можна показати, що при такому виборi вщстаы мiж елементами уа умови Означення 2 виконуються, тобто, множина функцм у = кх е метричним простором. ПрямолЫмне розмiшення буд-яких трьох точок цього простору слщуе з вщповщно!' властивостi точок числово'|' осi. З Означення 4 випливае прямолЫмне розмiшення усiеï множини точок простору.
Розглянутий проспр е тдпростором бiльш загального метричного простору С[а,Ь] неперервних на вiдрiзку [а;Ь] функцй Однак, простiр С[а,Ь] слiд вивчати у старших класах, пiсля знайомства з неперервними функ^ями, |'х властивостями та другою теоремою Вейерштрасса (Мерзляк&Номiровський&Полонський&Якiр, 2011) про iснування найбiльшого та найменшого значень функци неперервно'|' на вiдрiзку.
Досить Грунтовно з властивостями функцм учн знайомляться у дев'ятому клаа, однак, з окремими елементарними функ^ями та ïх найпростiшими властивостями, зокрема з лЫмною функuiею, знайомство розпочинаеться ще iз сьомого класу.
ПрямолЫмне розмiшення точок може iнтуïтивно асо^юватись з прямолiнiйнiстю розмiшення точок у геометрй Евклща, однак, це не завжди вiрно. Наступний приклад демонструе цю своерiднiсть прямолiнiйного розмiшення точок у метричному просторк
Приклад 8. У Приклад1 5 ми встановили, що будь-як три точки, i3 розглянутих чотирьох Мъ М2, М3, М4, розмiщенi прямолiнiйно, а отже, за Означенням 4, yci чотири точки розмщен прямолiнiйно у просторi R12. Цей результат дещо вiдрiзняeться в^д Ыту'тивного сприйняття поняття прямо! лiнií у геометрй Евклiда, оскiльки цi чотири точки на координатой площинi е вершинами квадрата.
Ми розглянули дектька основних понять метрично'' геометри, та дектька найпростiших метричних просторiв, з якими можна познайомити учыв базово'' школи. Вчитель може на власний розсуд вибрати рiвень обГрунтованосп результат - штугтивний, графiчний або строгий аналгтичний. У старших класах можна розглянути бiльш складнi метричнi простори, що потребують понять неперервностi, диференцмованосп та iнтегрованостi функцй.
ОБГОВОРЕННЯ
Наведений у робот матерiал можна вважати першим знайомством з основами метрично'' геометри. За наведеними зразками можна створювати i розв'язувати велику кiлькiсть рiзноманiтних задач на взаемне розмiщення основних елементарних функцм у рiзних метричних просторах, будувати i дослiджувати рiзнi геометричнi образи у цих просторах. Цей матерiал використовувався в межах спецкурсу для здобувачiв освiтнього рiвня «Мапстр», за спецiальнiстю «014 Середня освгта (Математика)» у Херсонському державному уыверситетГ Результати опитування студентв 1-го курсу про 'х знання суп не Евклiдовоí геометрй (геометрй Лобачевського), та зв'язку з геометрiею Евклща, свiдчили про повне ii нерозумЫня. Це розумiння з'являеться лише тсля вивчення курсiв «Проективно'' геометрй» та «Основ геометри», на старших курсах. Така ситуа^я зумовлена вiдсутнiстю елементв неевклiдових геометрiй у шкiльному кура математики. Результати викладання спецкурсу вказують на те, що у студентв значно зростае iнтерес до використання елементiв метрично'' геометрй при аналiзi матерiалу шкiльного курсу геометрй. При цьому, значно розширилось коло задач дослщницького характеру, якi можна запропонувати учням базово'' школи для творчо'' роботи над вiдповiдними темами з геометри. Слщ зазначити, що наведений у даый роботi матерiал доцтьно використовувати у класах з поглибленим вивченням математики. На уроках геометри слщ знайомити учыв лише з узагальненими поняттями точки, вiдстанi мiж точками, прямолiнiйностi розмiщення точок, знайомити з найпроспшими прикладами метричних простив, а також розглядати найпростiшi приклади неевклiдовостi цих понять (неiнтуíтивного 'х сприйняття). З бiльш складними прикладами метричних простив та 'х властивостей краще знайомити учыв у межах неформально'' освти, використовуючи при цьому рiзнi и види - математичн гуртки, факультативи з геометрй, дослщницьк групи, конкурси наукових робiт i таке iнше.
ВИСНОВКИ ТА ПЕРСПЕКТИВИ ПОДАЛЬШОГО ДОСЛ1ДЖЕННЯ
Отриманi у даый роботi результати вказують на те, що формування узагальнених геометричних понять про точку, вщстань та прямолЫмысть можна розпочинати на уроках геометрй вже з 7-го класу базово'' школи. Знайомство учыв з елементами неевклщових геометрiй доцiльно проводити при вивченн вiдповiдних тем на уроках геометри, i, паралельно з цим, за рiзними видами неформально'' освти.
Подальшi дослiдження у цьому напрямку повинн забезпечити можливiсть формування засобами метрично'' геометрй узагальнених понять кута i плоского розмiщення точок. Ц поняття природним чином повиннi узагальнювати класичнi (Евклiдовi) поняття кута i площини.
Список використаних джерел
1. Каган В. Ф. Система посылок, определяющих евклидову геометрию. Зап. матем. отд. О-ва естествознания. Одесса, 1902. № 20. С. 67-105.
2. Каган В.Ф. Основания геометрии. Часть 2. М.-Л.: Гостехиздат, 1956. 344 с.
3. Каган В.Ф. Очерки по геометрии. М.: Издательство Московского университета, 1963. 571 с.
4. Burago D., Burago Y., Ivanov S. A course in metric geometry. AMS: Providence, Rhode Island. 2001. 415 с.
5. Savchenko A., Zarichnyi M. Metrization of free groups on ultrametric spaces. Topology and its applications,2010. 157(4). С. 724729. DOI: 10.1016/j.topol.2009.08.015
6. Dovgoshei A. A., Dordovskii D. V. Betweenness relation and isometric imbeddings of metric spaces. Ukrainian Mathematical Journal, 2009. Vol. 61, No. 10. P. 1556-1567.
7. Кузьмич В. I., Кузьмич Л. В. Вивчення властивостей прямолЫмно та плоско розмщених множин точок метричного простору. В/'сник Черкаського ушверситету. Серiя «Педагогiчнiнауки». Черкаси: Вид-во ЧНУ iм. Богдана Хмельницького, 2018. Випуск № 9. С. 77-89. DOI: 10.31651/2524-2660-2018-9-77-89
8. Kuz'mich V. I. Geometric properties of metric spaces. Ukrainian Mathematical Journal, 2019. Vol. 71, No. 3. P. 435-454. DOI: 10.1007/s11253-019-01656-1
9. Kuz'mych, V. I., Savchenko A. G. Geometric relations in an arbitrary metric space. Matematychni Studii, 2019. 52(1). С. 86-95. DOI: 10.30970/ms.52.1.76-85
10. Начала Евклида. Книги I-VI. / пер.: Д. Мордухай-Болтовский. М.-Л.: Гостехиздат, 1948. 447 с.
11. Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Я^р М. С. Геометр'т. Пропедевтика поглибленого вивчення : навч. поаб. для 7 кл. з поглибленим вивченням математики. Х.: Гiмназiя, 2015. 192 с.
12. Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Я^р М. С. Алгебра : пщруч. для 8 кл. з поглибленим вивченням математики. Х.: Гiмназiя, 2016. 384 с.
13. Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Я^р М. С. Геометр'т для загальноосв'1тн'1х навчальних заклад'в з поглибленим вивченням математики : пщруч. для 9 кл. загальноосвгт. навч. закладiв. Х.: Гiмназiя, 2017. 304 с.
14. Мерзляк А. Г., Номiровський Д. А., Полонський В. Б., Я^р М. С. Алгебра. 11 клас : пщруч. для загальноосвп-. навчальн. закладiв : академ. рiвень, проф. рiвень. Х. : Гiмназiя, 2011. 431 с.
References
1. Kagan, V.F. (1902). Sistema posylok, opredelyayushchikh yevklidovu geometriyu. [A system of premises defining Euclidean geometry]. Odessa [in Russian].
2. Kagan, V.F. (1956). Osnovanija geometrii. Chast'2. [Geometry bases. Part 2]. M.-L.: Gostekhizdat [in Russian].
3. Kagan, V.F. (1963) Ocherkipo geometrii. [Geometry essays]. M.: Izdatel'stvo Moskovskogo universiteta [in Russian].
4. Burago, D., Burago, Y. & Ivanov S. (2001). A course in metric geometry. AMS: Providence, Rhode Island [in English].
5. Savchenko A. & Zarichnyi M. (2010). Metrization of free groups on ultrametric spaces. Topology and its applications, Volume 157, Issue 4. P. 724-729. DOI: 10.1016/j.topol.2009.08.015 [in English].
6. Dovgoshei, A.A. & Dordovskii, D.V. (2009). Betweenness relation and isometric imbeddings of metric spaces. Ukrainian Mathematical Journal. Vol. 61, No. 10. P. 1556-1567 [in English].
7. Kuz'mych, V.I. & Kuz'mych, L.V. (2018). Vyvchennya vlastyvostey pryamoliniyno ta plosko rozmishchenykh mnozhyn tochok metrychnoho prostoru. [Investigation of the properties of the linear and plane-placeable multiples of a point of metric space]. Visnyk Cherkas'koho universytetu. Seriya «Pedahohichni nauky» - Bulletin of Cherkasy University. Pedagogical Sciences Series, 9, 77-89. DOI: 10.31651/2524-2660-2018-9-77-89 [in Ukrainian].
8. Kuz'mich, V.I. (2019). Geometric properties of metric spaces. Ukrainian Mathematical Journal. Vol. 71, No. 3. P. 435-454. DOI: 10.1007/s11253-019-01656-1 [in English].
9. Kuz'mych, V.I. & Savchenko A.G. (2019). Geometric relations in an arbitrary metric space. Matematychni Studii, V.52, No. 1. P. 8695. DOI: 10.30970/ms.52.1.76-85 [in English].
10. Nachala Yevklida. Knigi I-VI. [Elements of Euclid. Books I-VI] (D. Mordukhai-Boltovsky Trans.). M.-L.: Gostekhizdat (1948) [in Russian].
11. Merzlyak, A.H., Polons'kyy, V.B. & Yakir, M.S. (2015). Heometriya. Propedevtyka pohlyblenoho vyvchennya : navch. posib. dlya 7 kl. z pohlyblenym vyvchennyam matematyky. [Geometry. Propedeutics of in-depth learning : tutorial tool for 7 grade with in-depth study of mathematics]. Kharkiv: Himnaziya [in Ukrainian].
12. Merzlyak, A.H., Polons'kyy, V.B. & Yakir, M.S. (2016). Alhebra : pidruch. dlya 8 kl. z pohlyblenym vyvchennyam matematyky. [Algebra : textbook for 8 classes with in-depth study of mathematics]. Kharkiv: Himnaziya [in Ukrainian].
13. Merzlyak, A.H., Polons'kyy, V.B. & Yakir, M.S. (2017). Heometriya dlya zahal'noosvitnikh navchal'nykh zakladiv z pohlyblenym vyvchennyam matematyky : pidruch. dlya 9 kl. zahal'noosvit. navch. Zakladiv. [Geometry for secondary schools with in-depth study of mathematics : textbook. for 9 classes. general education. textbook institutions]. Kharkiv: Himnaziya [in Ukrainian].
14. Merzlyak, A.H., Nomirovs'kyy, D.A., Polons'kyy, V.B. & Yakir, M.S. (2011). Alhebra. 11 klas : pidruch. dlya zahal'noosvit. navchal'n. zakladiv : akadem. riven', prof. riven'. [Algebra. Grade 11 : textbook for general educational institutioni : academic level, professional level]. Kharkiv: Himnaziya [in Ukrainian].
FORMATION OF CONCEPTS OF POINT, DISTANCE AND STRAIGHT PLACEMENTS OF POINTS BY MEANS OF METRIC GEOMETRY IN 7-9 GRADES Valerii Kuz'mich, Liudmyla Kuzmich
Kherson State University, Ukraine
Abstract. The paper presents the concept of forming the concepts of point, the distance between points and rectilinear placement of points, using elements of metric geometry, in middle school pupils in geometry lessons and extracurricular work in mathematics.
Formulation of the problem. In the modern school course of geometry for middle school, there is virtually no information about the elements of non-Euclidean geometries. In current textbooks on geometry, even with an in-depth study of mathematics, Lobachevsky's geometry is mentioned only in the historical aspect. This is due to the significant level of complexity and formalization of the basics of this geometry. This paper proposes a certain approach to solving this problem based on the use of elements of metric geometry, as one that is most closely related to the school course of geometry. This approach allows without much difficulty to begin the formation of basic geometric concepts of non-Euclidean geometries (such as point, distance, straightness) in the seventh grade of middle school. In our opinion, such formation should be carried out in classes with an in-depth study of mathematics, both in geometry lessons and in classes and electives in mathematics. Relevant material can be the subject of student research and creative work in geometry.
Materials and methods. The main results of the work are obtained using the methods of metric geometry. While forming the concept of straightness authors used the concept of rectilinear placement of points, considered by V.F. Kagan. The results of the work were tested during the reading of the relevant special course for students of the educational level "Master", specialty "014 Secondary Education (Mathematics)", at Kherson State University.
Results. The paper provides specific examples of the use of elements of non-Euclidean geometries in geometry lessons in middle school. Appropriate formulations of the concepts of point, distance, and rectilinear placement of points are given, which demonstrate the ambiguity of their intuitive perception. Specific topics in geometry are indicated, in the study of which these formulations and examples can be used to form a concept of a point, the distance between points, the straightness of the location of points.
Conclusions. From the results of the work, it follows that the formation of the basic concepts of non-Euclidean geometries can be started from the seventh grade of middle school, using elements of metric geometry. This will allow in the senior classes of junior high school, on the same basis, to form a concept of flat placement of points. This approach can solve the problem of adequate pupils' perception of the basic provisions of non-Euclidean geometries.
Keywords: point, distance, straight line, rectilinear placement of points, school course of geometry.
