CC BY
6ТЕОР1Я КОМПЛЕКСНИХ ЧИСЕЛ У П1ДРУЧНИКАХ ДЛЯ СЕРЕДН1Х ЗАКЛАД1В ОСВ1ТИ
О.В.Шаран
викладач,
Дрогобицький державний педумверситет iм. I. Франка
м. Дрогобич, УКРА1НА
Стаття присвячена кторичному огляду вивчення комплексных чисел учнями середшх за-клаЫв освти.Шдтмаетъся питания про вивчення учнями профглъних кчасгв основ теорп комплексных чисел та Их застосуванъ.
Модертзащя нащонально'1 системи освгги, впровадження моделi профшьно-го навчання ставить перед освггянами цщу низку проблем, вирiшення яких по-требуе нових теоретичних i прикладних дослщжень. Гостро актуальною е проблема вщбору змiсту навчання для курсу математики профшьного рiвня, курав за вибором та розробка вщповщного методичного забезпечення. Роздiл "Комплек-снi числа" вiдноситься до тих, як недо-статньо дослiдженi методистами.
Вагомють цього роздiлу в математи-чнiй культурi учнiв е незаперечною. Вивченням роздiлу "Комплекснi числа" завершуеться одна з основних змiстових лшш шк1льного курсу математики - ро-звиток поняття числа. Цiлiсне, заверше-не уявлення про число е важливим кро-ком в процесi формування наукового свиогляду учнiв. Широке коло застосу-вань комплексних чисел вiдкривае зна-чнi дидактичнi можливостi для розвитку математичних штереив учнiв. Адже на-явнiсть в арсеналi учнiв комплексних чисел збагачуе гхт уявлення про методи пiзнання, розширюе iхнi можливост при розв'язуваннi задач, посилюе прик-ладну функцiю математики.
Розглянемо юторичний аспект вивчення комплексних чисел у середшх закладах освгги.
Як вщомо, комплексн1 числа виникли як чисто формальний математичний результат при розв'язувант рiвнянь вищих степешв. Багато великих математиюв дос-тджували питания добування квадратного
кореня з вщ'емного числа, зокрема, це: Сщпюн дель Ферро (1465-1526 ), Нколо Тарталья (бл. 1499-1557), Джироламо Ка-рдано (1501-1576), Рафаеле Бомбелл (1550-1572) та ш. Вперше про комплексш числа згадав Кардано в 1545 рощ у свогй робой "Велике мистецтво або про правила алгебри", хоча i називав гх "суто софгстич-ними величинами". Детальнше вони роз-глядалися у книзi Бомбелл "Алгебра", який розглянув правила дй над комплекс-ними числами. Вперше символ I для поз-начення уявног одинищ V-! вжив Леонард Ейлер (1707-1783) у 1777 рощ (I - перша буква латинського слова та^папш, що означае "уявний", "несправжн1й"). Бiльш строге обгрунтування теорп нових чисел, названих уявними, дав шмецький математик Карл Гаусс (1777-1855). Гаусс першим термш "уявт числа" замiиив термшом "комплексы числа" i записував гх у вигля-д а + Ы. Вш також обгрунтував застосу-вання комплексних чисел у математицi.
У школи комплексш числа прийшли значно шзшше. Бшьше трьох столiть минуло з часу вщкриття та першого знайомства вчених з комплексними числами (ХУ-ХУ1 ст.) i до гх загального визнання (середина XIX ст.) та вивчення студентами утверситепв, учнями середшх закладiв освгги.
Одним iз перших пщручниюв, в яких пропонувалося вивчення комплексних чисел, був тдручник нiмецького вченого А. Г. Кестнера пiд назвою "Початковi ос-нови математики". За цим тдручником у
друггй половит XVIII столгття Кестнер читав популярнг лекцп з математики для студентiв унгверситету в Геттiнгенi (Нг-меччина). На той час в унгверситетах ви-вчали тi вiдомостi, якi надалг, бiля 30-х рок1в XIX столггтя, перейшли в школу. Вивчення комплексних чисел починаеть-ся у книзг А. Кестнера словами: "Той, хто намагаеться добути коргнь з парним пока-зником з вщ'емно! величини, вимагае не-можливого, оскГльки немае нг одте! вгд'емно! величини, яка була б таким сте-пенем". Цг зауваження е справедливими. Проте далг автор пише: "Так кореш на-зиваються неможливими або уявними" [2, 112]. I вже оперуе ними, як звичайними числами. Тут бачимо вгдображення точки зору Лейбнща, який уявнг числа представляв як щось зовсгм безглузде, але, тим не менше, якг незрозумглим чином ведуть до правильних результатгв.
1нша книга з математики "Досвгд цгл-ком послщовно! системи математики" бе-рлгнського професора Ома вийшла в свгт набагато пгзнгше, в 1828 роцг; в нгй пода-еться виклад комплексних чисел набагато ближче до сучасно! точки зору. Професор Ом пише: "Подгбно до вгд'емних чисел,
потргбно г символ V-1 приеднати до дгйсних чисел як нову ргч" [2, 113]. Тобто Ом висувае принцип розширення множи-ни дгйсних чисел.
У Росшськш гмперп елементи вищо! математики в шкгльний курс були введет у 1804 роцг зггдно з Ггмназичним статутом, в розробцг якого брали участь М.1.Фусс г С.Я.Румовський. Навчання в ггмназгях проводилося за такими основ-ними пгдручниками:
1) "Початковг основи математики" А. Г. Кестнера;
2) "Курс чисто! математики" Т. Ф. Осиповського;
3) "Початковг основи чисто! математики" М. I. Фусса [7, 7].
У своему пгдручнику М. I. Фусс нази-вае комплекснг числа неможливими, але такими, якг "нам будуть дуже корисними тзтше" [8, 59]; розглядаеться поняття уявного числа, зокрема, добування квад-
ратного кореня з вщ'емних чисел, та ви-користовуються уявнi числа при розв'я-зувант рiвнянь вищих степенiв.
Зручним тдручником для школи того часу був тдручник А. Ф. Малшша i К. П. Буренiна "Керiвництво алгебри i зiбрання алгебра!чних задач" (1870 р.). Автори ще! книги коршь парного сте-пеня з вщ'емно! кiлькостi називають "уявними виразами виду а4~1". Розг-лядаються д11 з такими виразами: дода-вання, вiднiмання, множення, дiлення, тднесення до степеня, добування кореня [4, 200-210]. У 90-х роках XIX ст. цей тдручник було замшено за розпо-рядженням Вченого ком^ету "Алгеброю" А. П. Кисельова, яка теж витрима-ла багаточисельт видання i була основ-ним тдручником з алгебри довгий час (до середини XX ст.).
Цшавим тдручником для учтв пм-назiй та реальних училищ стала книга "Алгебра" БЫбша М., директора Санкт-Петербурзького Першого реального училища, перше видання яко! було удостоене премп 1мператора Петра I. Вона була видана за Бертраном, Бурле та iншими шоземними авторами. У нiй вже вживаеться термш "комплекснi числа", введення !х вiдбуваеться усклад-нено, як пари чисел. Крiм вищезгаданих основних питань, роздш "Комплекснi числа" мютив багато цiкавих теорем, а також геометричне зображення комплексного числа, "нову форму" комплексного числа (тригонометричну), розв'я-зування бшвадратних i двочленних рiв-нянь, рiзнi значення ф.
Цiкавi завдання з роздшу "Комплекс-нi числа" мютив "Збiрник вправ i задач з елементарного курсу алгебри" авторiв Д. А. Бем, А. А. Волков, Р. Е. Струве, виданий в Мос^ у 1915 рощ. Тут розг-лядалися до з комплексними числами в алгебра!чнш та тригонометричнш формах, розв'язування двочленних рiвнянь, розглядалося питання замкненостi мно-жини комплексних чисел та принцип пе-рманентносп для ще! числово! множини.
Подiбнi питання мiстив пiдручник
"Початки алгебри", виданий в 1915 рощ в Петроградi заслуженим професором Утверситету Святого Володимира Д.А.Граве для пмназш i шших середтх навчальних закладiв. Роздiл IX ще"! книги пiд назвою "О числах комплексных" мютить своерiдне обгрунтування необ-хiдностi розширення числово! множини: "Останне узагальнення поняття про число необхщно зробити для того, щоб було можливо добувати кореш квадрат-нi з вiд'емних чисел" [1, 154-161].
З шоземних шдручниюв були ухва-ленi в якост посiбникiв для гiмназiй тага книги: "Алгебра" Ж. Бертрана (пере-кладена в 1874 р.) i "Початковi основи алгебри" Мейера i Шоке (перекладена в 1845 р.). У роздЫ про комплекснi числа поабника Ж. Бертрана широко розгля-далися алгебра!чна та тригонометрична форми комплексного числа та дп над ними у рiзних формах запису, геомет-ричне тлумачення комплексних чисел. Широко вщомим на той час був також тдручник Бардея тд назвою "Збiрник задач", виданий в Лейпщгу в 1907 рощ. Тут на перший план виступае принцип розширення поняття числа, а поим да-еться i геометричне тлумачення. В цьо-му i полягае загальноприйнятий тепер погляд на шкшьне вивчення комплексних чисел, хоча в окремих мюцях пiд-ручника розвиток цього питання зали-шився на попереднiх ступенях.
Таким чином, можна сказати, що до 1917 року у гiмназiях i реальних училищах, хоч i не iснувало стабiльних програм i пiдручникiв з математики, проте були видат як росшсью, так i за-рубiжнi пiдручники та збiрники задач для середтх закладiв освiти, якi широко висвилювали змiст роздiлу "Комплекснi числа". Було напрацьовано багатий дос-вщ викладання основних питань даного роздшу з математичного погляду, хоча практичт застосування комплексних чисел не розглядалися.
В першi роки Радянсько! влади еди-них програм для трудово! школи з математики не було, був прийнятий курс на
загальну освиу. Виникла потреба пере-будови системи навчання, найголовтше, планiв i програм за предметним типом. У цей перюд (1933 р.) у школу передбача-лося ввести стабiльнi пщручники зi всiх предметiв. Швидке створення нових щд-ручникiв з математики виявилось немо-жливим. Тому в середнш школi були введенi тсля деяко! переробки кращi з тих тдручниюв, якi iснували ранiше. Зо-крема, в VI-X класах алгебру вивчали за пiдручником А.П.Кисельова i збiрникам задач Н.А.Шапошнiкова i Н.К.Вальцева. У навчальних програмах з математики з 1935 по 1940 роки на вивчення теми "Комплекст числа" вщводилося 10 годин (вперше про це вщзначено в програ-мi 1938 року). У 1942/43 - 1944/45 навчальних роках на цю тему вiдводилося 12 годин. Згщно з пiдручником А.П.Кисельова тема "Комплекст числа" вивча-лася у такому обсязг алгебра!чна та три-гонометрична форма комплексного числа, дп над комплексними числами у цих формах запису, геометрична штерпрета-ц1я комплексних чисел.
Постановою РНК вiд 6 жовтня 1943 року в перiод Велико! Вгтчизняно! вiйни була вiдкрита Академiя педагогiчних наук, яка в "Известиях АПН" (що видавали-ся з 1945 року) публжуе фундаментальт дослiдження в галузi методики математики. Зокрема, в 1946 рощ номер 4 "Известий АПН" мютить працю професора 1.В.Арнольда "Операторне тлумачення числа в кура елементарно! математики". А номер 6 "Известий АПН" за цей рж мь стить статтю А.I.Фетiсова "Вчення про тригонометричт функцГ! в курсi серед-ньо! школи", в як1й тригонометр1я буду-еться автором на векторнш основi з вико-ристанням комплексних чисел.
Починаючи з 1946 року, на вивчення комплексних чисел у школi выводиться 16 годин. Матерiал для вивчення допов-нюють юторичт вiдомостi про розвиток поняття числа, добування квадратного кореня з вщ'емного числа. Дiйсне число розглядаеться як окремий випадок комплексного. Додаються дГ! пiднесення до
(22б)
степеня i добування квадратного кореня, перехiд вiд алгебра1'чно'1 форми до три-гонометрично'1 i навпаки. У цей час 19481949 рр. приймаеться оновлений "Збiр-ник задач з алгебри" автора П.А.Ларiче-ва, II частина якого мютить завдання з основ теорп комплексних чисел.
Основним тдручником у загальноос-вiтнiй школi з 1966/67 навчального року був пiдручник С.С.Кочеткова i К.С.Ко-четково'1 "Алгебра i елементарш функ-цп" (видавництва 1965 року). Порiвню-ючи з тдручником А. П. Кисельова, ма-терiал теми був збагачений питаннями про використання комплексних чисел при розв'язувант двочленних рiвнянь 3-го та 4-го степеня та основно'1 теореми алгебри многочлешв.
Першим поабником з математики, призначених для шкщ з математичною спецiалiзацiею стала книга Н.Я.Вшенкь на, Р.С.Гутера, С.1.Шварцбурда, В.Г.Аш-кiнузе "Алгебра", видана в 1968 рощ. Дана книга була побудована в кщькох планах. Основний текст ïï можна було використати i в звичайних школах. Цей же текст разом з матерiалом, набраним шшим шрифтом, був розрахований на учшв шкщ з математичною спецiалiзацi-ею i на сильних учшв звичайних шкщ.
Отже, в перюд з 30-х по 60-тi роки у зв'язку iз введенням стабщьних програм i пiдручникiв вiдмiчаеться поширене вивчення елеменпв аналiзу, у тому чи^ комплексних чисел, а в деяких випадках - поглиблене вивчення дано'1 теми, включаючи використання комплексних чисел до розв'язування двочленних рiв-нянь вищих порядюв та основно'1 теореми алгебри.
У стати "Новi програми i деяк ос-новнi питання вдосконалення курсу математики в середнш школГ' академiк А.М.Колмогоров пише: "Великою жертвою, пов'язаною зi скороченням зага-льного числа обов'язкових занять з математики в старших класах, е виклю-чення з обов'язково'1 програми комплек-сних чисел. Ми вважаемо збереження теми в обсязi дiючих зараз програм, ко-
ли, наприклад, тригонометрична форма комплексних чисел вивчаеться, але до-давання аргуменпв при множеннi з програми виключено, не мае розумного змюту. Уявлення про той мiнiмальний обсяг знань про комплексш числа, при якому !х вивчення буде продуктивним, дае наша програма для факультативних занять, в якш комплексш числа вво-дяться в IX клас i широко використо-вуються як чисто в алгебра!чному аспект^ так i в зв'язку з тригонометрiею i коливаннями" [3, 4].
Зпдно затверджено! програми для факультативних занять з математики в 1974 рощ планувалося дану тему вивча-ти у двох частинах - у IX i X класах. На факультативному курс "Додатковi роз-дiли i питання математики" у IX клас на вивчення комплексних чисел вщво-дилося 12 год., у X клаш - 14. З 1974/75 навчального року кшьюсть годин на дану тему зростае: у IX клас - 15, у X клас - 15 годин. Можна видщити три основт по^бники для проведення фа-культативних занять:
1) Маркушевич О. I. Алгебра i еле-ментарнi функцп. / О. I. Маркушевич, К. П. Сшорський, Р. С. Черкасов. - М.: Просвещение, 1968;
2) Алгебра: навчальний по^бник для IX-X кла^в середнix шкiл з математичною спецiалiзацiею / [Вiленкiн Н. Я., Гутер Р. С., Шварцбурд С. I. та ш.]. -М.: Просвещение, 1968;
3) Збiрник задач з математики: [по-сiбник для учнiв (для факультативних занять в 9-10 класах) / тд ред. З.А.Скопеца]. - М.: Просвещение, 1971.
Порiвнюючи з по^бником Вщенкь на та iн., тдручник Маркушевича та iн. не мютить основно! алгебри многочле-нiв, проте розглядаеться формула Ейле-ра та застосування комплексних чисел в теорп коливань.
У 1974 роцi виходить у свгг книга "Дополнительные главы по курсу математики" для факультативних занять тд редакщею З.А.Скопеца, що включае стат-тю Хасина Г.Б. "Комплексш кореш мно-
гочлена. Основна теорема алгебри", а та-кож "Геометричш застосування комплексних чисел", написану Скопецом З.А.
Проте вже з 1975/76 навчального року в перюд переходу на новi програми з математики тема "Комплекст числа" з деякими змшами переноситься для вивчення на факультативах у X клас! Фа-культативний курс "Додатковi роздши i питання математики" замшюе факуль-тативний курс "Вибранi питання математики". Плануеться вивчати наступний обсяг матерiалу (30 год.) у 10-му класп Комплекснi числа i операцп' над ними. Геометрична штерпретащя комплексних чисел. Тригонометрична форма комплексного числа. Формула Ейлера. Дп над комплексними числами в тригонометричнш формi. Функцп комплексно! змшно'1 i вiдображення комплексно'1 площини. Многочлени з комплексними коефiцiентами. Розклад многочлена на лшшт множники. Формули Вiета.
Згiдно програми, затверджено'1 у 1974 рощ, для шкш i кла^в з поглибле-ним вивченням математики (IX-X кл.) на вивчення комплексних чисел выводиться 26 год. у X клас! Можна видщи-ти такi основнi тдручники:
1) Алгебра / [Вiленкiн Н.Я., Гутер Р.С., Шварцбурд С. I. та im]. - М.: Просвещение, 1972;
2) Вейц Б.£. Алгебра i початки аналь зу: [пробт пiдруч. для IX i X клайв] / Б.£.Вейц, 1.Т.Демидов; пiд ред.
A. Колмогорова. - М.: Просвещение, 1973, 1974;
3) Навчання в математичних школах / [збiрник статей / укл. С. I. Шварцбурд,
B.М.Монахов, В.Г.Ашкшузе ] - М.: Просвещение, 1965. - (Серiя "Проблеми математично! школи").
Пiдручник "Алгебра" для 9-10 кла^в середнiх шкiл з математичною спещаль зацiею пiд редакщею Вiленкiна Н.Я. (видання 1972 р.) на той час був основ-ним. Цштсть книги - в ïï багатоплано-востi, а тому нею могли користуватися читачi з рiзним рiвнем математично'1 т-дготовки. Шдхщ до викладання матерi-
алу - теоретико-множинний.
У 1980-1985 рр. згщно з програмою для факультативних курсiв "Вибранi питання математики" час на вивчення теми у X клас "Комплекснi числа i многочлени" скорочуеться до 15 год. Зали-шаються для вивчення таю основт питання: Комплекст числа i операцп над ними. Геометрична штерпретащя ком-плексних чисел. Тригонометрична форма комплексного числа. Формула Ейлера. Операцп над комплексними числами в тригонометричнш форм! Многочлени з дшсними коефщентами. Основна теорема алгебри (без доведення). Теорема Безу. Розклад многочлена на лшшт множники. Теорема Вiета. Вщомосп з юторп алгебри комплексних чисел.
З 1980 року виходить поабник Абрамова А.М., Вшенкша Н.Я., Дорофеева Г. В. та укладачiв В.В^рсова i С.1.Шварцбурда: "Факультативний курс. Вибраш питання математики". Головною рисою нового по^бника Абрамова А.М. та im для факультативних курсiв е тдсилення прикладного аспекту всього матерiалу, що викладаеться. Зокрема, ро-зглядаеться застосування комплексних чисел до питань алгебри, геометрп, ма-тематичного аналiзу. До методичних ус-пiхiв цього роздiлу можна вiднести бага-тоступiнчастий пiдхiд до формули Ейлера, розгляд вщображень з допомогою ль нiйноï функцй' комплексно'1 змшно'1, тд-бiр прикладiв, якi шюструють застосування комплексних чисел.
Програма з математики 1986 року для шкш (кла^в) з поглибленим теоре-тичним i практичним вивченням математики мютить тему "Комплекснi числа" в такому обсязп Поле комплексних чисел. Геометрична штерпретащя ком-плексних чисел. Полярна система координат. Тригонометрична форма комплексного числа. Множення, дшення, тд-несення до степеня комплексних чисел в тригонометричнш форм! Формула Муавра. Добування коретв з комплексних чисел. Комплекст корет алгебраь чних рiвнянь. Поняття про основну тео-
рему алгебри. Застосування комплекс-них чисел. На вивчення теми выводиться 20 год. в X клас! В пояснювальнш записщ програми зазначаеться, зокрема, що завершення розвитку поняття числа шляхом введення комплексних чисел i знайомства з гх застосуванням е одним з основних завдань та визначено основш вимоги до математичног тдготовки уч-нiв, що включають: вмiння виконувати дп над комплексними числами, оперу-вати комплексними числами, заданими в алгебраг'чнш i тригонометричнiй фор-мi, знаходити комплексш кореш многочлешв, застосовувати комплексш числа до розв'язання тригонометричних i гео-метричних задач.
Навчання здшснюеться за трьома основними шдручниками, рекомендо-ваними Головним управлшням загаль-но'1 середньо'1 освии Мiнiстерства освiти СРСР:
1) Вiленкiн Н.Я. Алгебра i матема-тичний аналiз для 10 класу: [навчальний поабник для учнiв шкiл i клаав з пог-либленим вивченням математики] / Н.Я.Вщенкш [та iн.]. - М.: Просвещение, 1984. - 352 с;
2) 1влев Б.М. Збiрник задач з алгебри i початкiв аналiзу для 9-10 класiв / Б.М.1влев [та ш.]. - М.: Просвещение, 1978;
3) Вибранi питання математики, 10 клас: [факультативний курс / тд ред. В.В^рсова]. - М.: Просвещение, 1980.
Отже, в перiод з 1966-го до 1990-х роюв тема "Комплексш числа" вино-ситься на вивчення на факультативт заняття та продовжуе вивчатися учнями класiв (шкiл) з поглибленим вивченням математики в досить широкому обсяз^ включаючи рiзноманiтнi застосування комплексних чисел всередит самог алгебри, при розв'язувант геометричних задач та застосування до теорп коли-вань. Пщручники того часу мютять рiзнi пiдходи до введення комплексних чисел: формальний (алгебрагчний), теоре-тико-множинний.
В перюд реформи математичног ос-
вiти 90-х рокiв Державним комиетом СРСР з народно'1 освiти розробляеться в ру^ перебудови школи нова концепщя загально'1 середньо'1 освiти i на ïï основi концепцiя шкшьно!' математичноï освь ти. Головною щеею оновлення матема-тичноï освiти визнаеться ïï гуматзащя; основнi дидактичнi ще!" - диференцiацiя навчання, рiвнева тдготовка учнiв, пе-ребудова навчально-виховного процесу в напрямi змiни вiдношення до учня i створення кращих можливостей для ш-дивiдуального розвитку учня.
Зпдно програми 1990 року для шкщ (кла^в) з поглибленим теоретичним i практичним вивченням математики [6] змют курсу алгебри i початюв аналiзу XI класу включае додатковi самостiйнi роздiли (серед них - комплексш числа), як у звичайнш школi не вивчаються, проте е важливими змютовими компонентами сучасноï системи безперервноï математичноï освiти. На тему "Комплексш числа" в XI клас выводиться 18-20 год. (з розрахунку 5 год. на тиждень); зокрема, включаються наступнi питання для вивчення: Розвиток поняття числа: натуральнi, цЫ, рацiональнi, дiйснi числа. Комплексш числа в алгебраïчнiй формi. Арифметичт дп' з комплексними числами. Спряжет комплексш числа. Розв'язування квадратних рiвнянь з комплексними коефiцiентами. Комплексна площина. Тригонометрична форма комплексного числа. Множення, дщен-ня i тднесення до степеня комплексних чисел в тригонометричнш формi. Формула Муавра. Добування коретв з комплексних чисел. [Застосування комплексних чисел в тригонометрп.] Комплексш кореш многочлена. *Основна теорема алгебри.* [Використання комплексних чисел в геометрп.] [Показникова форма комплексного числа.].
Програма передбачае можливгсть вивчення курсу з рiзним ступенем повноти. При цьому вчитель мае можливють ва-рдовати обсяг матерiалу, що вивчаеться, i, вщповщно, ступiнь поглиблення i роз-ширення курсу в залежноси вiд конкре-
тних умов (тдготовка класу, штереси учшв та im). Додатковi питання, вiдмiче-нi квадратними дужками, за певних умов можна не вивчати. Окремi питання, вщ-мiченi в програмi зiрочками з двох сто-рiн, являють собою матерiал тдвищено'1 складностi; цi питання вивчаються в ознайомлювальному порядку. Вчитель мае право самостшно будувати курс. При цьому вш може вибрати тдручник з числа дшчих в школ^ пробних i спецiа-льно призначених для поглибленого ви-вчення математики. Вищезгадане плану-вання орiентоване на пiдручник Вшенкь на Н.Я. i im "Алгебра i математичний аналiз" видання 1989 року.
Пробний тдручник "Алгебра i початки аналiзу, 10-11 класи" авторiв Л.О.Мар-кушевича, Р.С.Черкасова, Г.А.Ястрябше-цького також мютив роздш "Комплекснi числа", оскшьки автори, як i багато вчи-телiв математики, вважали, що без ujci теми курс шкiльноï математики немож-ливо вважати завершеним. На 1х думку, знайомство з комплексними числами повинно входити в програму курсу математики середнiх загальноосвгттх шкiл довь льного профiлю.
У перюд розбудови Украшсько'1 дер-жави виникла гостра проблема - забез-печення шкiл рiзнорiвневими тдручни-ками. Потрiбно було пiдготувати i шви-дко видати нацюнальт пiдручники з математики, методичну лиературу для вчителiв; i все це в умовах економiчноï кризи та скорочення фшансування потреб освгти. Було створено пробт i деяк стабiльнi рiзнорiвневi тдручники i по-сiбники з математики. Зокрема, для уч-нiв старших кла^в загальноосвиньо'1 школи виходить у св^ "Алгебра i початки аналiзу, 10-11 кл." авторiв М.ГШкшь, З.1.Слепкань, О.С.Дубинчук (1998 р.). Пщручник написаний з метою надання змоги учням працювати за ним в умовах диференщацп навчання.
Для профшьних шкш, лшё'в та пмна-зiй видаються тдручники "Алгебра i початки аналiзу" для 10-го та 11-го клаав ав-торiв М.1.Шкшь, Т.В.Колесник, Т.М.Хма-
ра (перше видання - у 1993 р.), як юлька-разово перевидавалися i залишилися осно-вними п1дручниками для класiв (шкш) з поглибленим вивченням математики. Зок-рема, тема "Комплекснi числа" розгляда-еться у 10 клаа i зг1дио чинно'1 програми включае традиц1йну частину матерiалу теми. У тдручнику п1ддбрано диференцi-йован1 завдання для самост1йно'1 роботи учнiв, серед яких гармон1чно вплiтаеться певна юльюсть завдань на застосування комплексних чисел.
При цьому програми для поглиблено-го вивчення математики вщповщних за-кладiв середньо'1 освiти (шк1л з поглибле-ним теоретичним i практичним вивчен-ням математики, спецiалiзованих шк1л фiзико-математичного профшю, гiмназiй, лiцеïв) включають тему "Комплекст числа" у широкому обсяз! Наприклад, про-грама з математики Украшського фiзико-математичного лiцею Ктвського унiвер-ситету iменi Тараса Шевченка [5, 27] мю-тить дану тему в обсязi 30 годин, в якш до основних теоретичних питань дода-ються такi: Корет степеня n з 1 та 1х гру-повi властивостi. Розв'язування двочленних рiвнянь. Побудова геометричних об-разiв на комплекснiй площит. Застосу-вання комплексних чисел до обчислення сум та доведення тригонометричних то-тожностей. Показникова, логарифмiчна i тригонометрична функцй' комплексно'1 змiнно'i. Формула Ейлера. Про походжен-ня формули Ейлера. Реальт застосування реальних чисел. Узагальнення комплекс-них чисел.
Отже, з 90-х роюв i до сьогоднiш-нього часу у зв'язку iз введенням про-фiльного навчання тема комплекст числа вивчаеться поширено у класах з по-глибленим вивченням математики i кла-сах фiзико-математичного профшю та оглядово в загальноосвитх школах. Бажаючi учнi класiв шших профiлiв мають можливiсть вивчати тему в шди-вiдуальному порядку, на спецкурсах чи заняттях математичного гуртка.
Таким чином, проведений юторико-педагопчний аналiз дозволяе зробити
висновок про те, що тема "Комплексш числа" завжди була актуальною i вивча-лася учнями старших класГв середшх за-кладiв освгги. Якщо на початку XIX сто-лiття вивчення комплексних чисел мало ознайомлюючий характер, то надалГ, у XX ст., вивчення проводиться бшьш широко, поглиблено, i сприймаеться учня-ми з штересом як робота з певними щка-вими математичними об' ектами, сприя-ючи розвитку гх пiзнавальних iнтересiв та iнтересу до математики в цшому. Це тдтверджуе також на сучасному етапi аналiз тематики дослщних робГт учшв у рамках дшльноси МАН Украши. Були перюди, коли тема виключалася з обов'язковох програми, проте ïï вивчення проводилося на шших формах навчаль-ноï дГяльностг учшв (факультативи, ма-тематичнi гуртки), де розглядалася i в бшьш широкому обсязГ, включаючи пев-m застосування.
Вивчення комплексних чисел на сьо-годт е потрГбним i важливим, особливо для учшв профшьних класГв, як плану-ють пов'язати свое майбутне з математикою, проте не в вузькому оглядовому аспектГ, а разом з практичними застосу-ваннями в рГзних галузях науки i технь ки, зокрема: геометрп, тригонометрп, мехатщ, електротехшщ. МожливостГ для цього передбачет в Концепцп про-фщьного навчання шляхом запрова-дження курсГв за вибором. Розробка вь дповщного методичного забезпечення для старшоï профiльноï ланки середньоï загальноосвiтньоï школи е важливим i
актуальним завданням у галузi методики навчання математики.
1. Граве Д. Начача алгебры: [кчассное руководство для гимназий и других учебных заведешй] / Д. Граве. - Петроград: Издаше К. Л. Рикера, 1915. - 316 с.
2. Кчейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей: [в 2 т.] / Ф. Кчейн; под. ред. В. Г. Болтянского; [пер. с нем. Д. А. Крыжановского]. - [4-е изд.]. - М.: Наука, 1987 - . - Т.1: Арифметика, алгебра, анализ. - 1987. - 432 с.
3. Колмогоров А.Н. Новые программы и некоторые основные вопросы усовершенствования курса математики в средней
/ . . // школе. - 1967. - №2. - С.4-13.
4. Мачинин А. Руководство ачгебры и собрание алгебраических задач: [для гимназий, реачъных училищ и учит. институтов] / А. Мачинин, К. Буренин. - М: Типография Волчанинова М. Г., 1890. - 415 с.
5. Програма з математики Укратсъко-
-
//
Математика в школг, 2002. - № 6. - С. 27.
6. Програми для шкш (кчаав) з поглибленим теоретичним г практичним вивченням математики та спецгалгзованих шкгл фгзико-математичного проф1чю. Математика, 8-11 кчаси. - К. : Радянсъка школа, 1989. - 23с.
7. Прудников В. Е. О русских учебниках математики для средних школ в XIX веке /
. . // . -1954. - № 3. - С. 6-20.
8. Фусс Н. И. Начачъные основания чистой математики / Николай Иванович Фусс. - Санкт-Петербург: Типография народного образования, 1820. - 384 с.
Резюме. Шаран А.В. ТЕОРИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ В УЧЕБНИКАХ ДЛЯ СРЕДНИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ. Статья посвящена историческому обозрению изучения комплексных чисел учениками средних учебных заведений. Поднимается вопрос об изучении учениками профичъных классов основ теории комплексных чисел и их применений
Summary. Sharan A. THEORY OF THE COMPLEX NUMBERS IN THE BOOKS FOR SECONDARY SCHOOLS. The article focuses on the historical survey of the complex numbers studying by the pupils of the secondary schools. The issue of the complex numbers theory study and their utilization by the pupils of the specialized classes is raised.
Надшшла до редакци 26.10.2008р.
