Робастная система стабилизации для объекта с запаздыванием по состоянию Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.5 ББК 32.965.9

А. М. Цыкунов

РОБАСТНАЯ СИСТЕМА СТАБИЛИЗАЦИИ ДЛЯ ОБЪЕКТА С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ ПО СОСТОЯНИЮ1

A. M. Tsykunov

ROBUST SYSTEM OF STABILIZATION FOR AN OBJECT WITH THE STATE VECTOR DELAY

Решается задача стабилизации объекта с запаздыванием по состоянию, когда на него действуют ограниченные внешние возмущения, а параметры математической модели неизвестны. Получен алгоритм управления, позволяющий компенсировать параметрические и внешние ограниченные возмущения. Приводится числовой пример и результаты моделирования.

Ключевые слова: робастное управление, вектор состояния, возмущения.

The problem of stabilization of an object with delay on the state vector, when it is under the impact of the limited external perturbations and the parameters of mathematical model are unknown, is solved. The algorithm of control allowing compensation of the parametric and external limited perturbations is derived. The numerical example and the results of modeling are given.

Kew words: robust control, state vector, perturbations.

Введение

Задача компенсации возмущений в системах регулирования является одной из основных в теории управления. Наличие запаздывания в математической модели объекта управления существенно усложняет задачу проектирования алгоритмов управления как при аналитических исследованиях, так и при технической реализации.

Задача робастного управления объектами с запаздыванием исследована в работах [1-3]. В [4-6] решены задачи робастного управления для объектов с запаздыванием нейтрального типа. В [7, 8] запаздывающие составляющие принимаются как внутренние возмущения и их влияние на регулируемые переменные компенсируется. В результате уравнения замкнутой системы не содержат запаздывающих составляющих. Однако такой подход не всегда применим в реальных условиях. Для многих технических и технологических объектов запаздывающие составляющие нельзя компенсировать, что связано с техническими и технологическими условиями автоматизируемого объекта.

В данной статье рассматривается задача робастной стабилизации объектом с запаздыванием по состоянию, когда запаздывающие составляющие должны присутствовать в уравнениях замкнутой системы.

Постановка задачи

Рассмотрим объект управления, математическая модель которого имеет вид

Q(P)y(t) + G(P)y(t - h) = kR(P)u(t) + f (t), y (s) = fi (s), s e |^-h, 0J, i = 1, n -1, (1)

где y(t), u(t) - регулируемая переменная и управляющее воздействие; f (t) - внешнее возмущение; P = d/dt - дифференциальный оператор; Q(P), G(P), R(P) - линейные дифференциальные операторы порядка n, k, m соответственно; y1 — i -e производные; (s) - непрерывные на-

чальные функции; h - известное постоянное время запаздывания.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 13-08-00164).

Сформулируем хорошо известную задачу стабилизации. Требуется спроектировать алгоритм управления, обеспечивающий выполнение целевого условия

[у(0|< 6, когда г > Т0, (2)

где 6 > 0; Т - время, по истечении которого с момента начала работы системы должно выполняться целевое неравенство (2).

Будем решать сформулированную задачу при следующих ограничениях.

Предположения

1. Известны порядки полиномов deg Q(1) = п, deg 0(1) = г, deg Я(1) = т, г < п - 1, т < п,

г > т , где 1 - комплексная переменная в преобразовании Лапласа. При этом полиномы Q(X) и Я(к) являются нормированными.

2. Коэффициенты дифференциальных операторов и высокочастотный коэффициент усиления к > 0 являются неизвестными величинами. Известны величина к и множество возможных значений X , компонентами которого являются диапазоны возможных значений неизвестных коэффициентов.

3. Полином Я(к) - гурвицев для любых возможных его коэффициентов из множества Е.

4. Внешнее возмущение / (г) является ограниченной непрерывной функцией времени.

5. Производные регулируемой переменной и управляющего воздействия не измеряются.

Метод решения

Для решения сформулированной задачи будем пользоваться методом, предложенным в [8]. Применим алгоритм деления Евклида к полиномам Q(X) и О(к):

Q (X)= Q 0 (X)Я (X) + N!<X),а (X)= а 0(X)Я (X) + N 2 (X), (3)

где degQ0(X) = у, у = п - т; degG0(X) = у1, у1г - т; degN1(X) < т - 1; degN2(X) < т - 1.

Полиномы Qo (1) и 00 (1) разложим на суммы двух составляющих:

Q 0( X )= Qm (X) + А Q (X), О 0( X ) = От (X) + А О (X). (4)

Здесь degQm (X) = у, у = п - т; deg0m (X) = у1; degАQ(X) = у - 1; degАG(X) = у1;

^ (X) = Xу + у 1 + " ■ + ^у; 0т(1) = Xу' + ^1Xу' 1 + " ■ + .

Полиномы Qm (X) и 0т (1) выбираются так, чтобы были выполнены следующие условия:

1. Полином Qm (1) должен быть гурвицевым.

2. Чу > Яу1, |0т 0®)\ < |Qm О'Ц при Ю > 0. . (5)

Условия (5) являются [9] необходимыми и достаточными условиями асимптотической устойчивости при любом конечном запаздывании к системы с математической моделью

Qm (Р)у(г) + От (X)у(г - к) = 0. (6)

Принимая во внимание (3) и (4), преобразуем уравнение (1):

Qm(P)y(t) + Gm(k)y(t — h) = ku(t) + y^t),

(7)

где

ЫЛР) /ч Ы2(Р) 1

Уі(0 = ДЄ(Р)у(0 -ьо(Р)у(ґ - ю) - у(0 у(ґ - И)+—/(0.

Введем новое управляющее воздействие $(/):

и(ґ) = аФ(ґ), а> 0, у (ґ) = Ь1 х (ґ) и преобразуем уравнение (7) в векторно-матричную форму:

X(ґ) = Атх(ґ) + втх(( - И) + ЬБ1&(ґ) + В1у(ґ), у(ґ) = Х1х(ґ).

Здесь y(t) = (ka - ß)J(t) + y1 (t), ß > 0, BT =

0,..., 0,1

L1 =

1, 0, ... , 0

(8)

(9)

A = m —41 Ig—1 ' b V—7>1 —g V—1)

—qg 01X(g—1) _ _—g1 _

где Ig-i — единичная матрица порядка (g — 1) X (g —1); 0(g—.

(g—gl)Xl 0, ..., 0, 1

нулевая матрица порядка

L

1, 0, ... , 0

будем обо-

(У — Ух)! • В дальнейшем матрицы, имеющие вид

значать этими же буквами, если их порядок будет очевидным из текста.

Возьмем вспомогательный контур, динамические процессы в котором описываются уравнением

Xb (t) = Amxb (t) + dmy (t — h) + ßB1J(t), yb (t) = L1 xb (t),

(10)

где

dT =

m

_0lx(Y-g1) g1 gYi

Составим уравнение для вектора рассогласования x(t) = x(t) — xb (t), вычитая (10) из (9):

x (t) = Am x(t) + 51y(t), z (t) = y(t) — yb (t) = L1 x(t). (11)

В функции y(t) сконцентрированы априорная неопределенность параметров математической модели (1) и информация о внешнем возмущении. Принимая во внимание структуру матриц

в уравнении (11), получим y(t) = x (t) + qyZ(t), поэтому идеальный закон управления описыва-

ется уравнением

xg (t) + qgz(t)

(12)

где Ху (V) - последняя компонента вектора х(У) .

Тогда уравнение замкнутой системы будет иметь вид (6), т. е. система будет асимптотически устойчивой. Однако, в соответствии с пятым условием предположений, алгоритм (12) нереализуем, поэтому будем формировать управляющее воздействие в соответствии с формулой

#(0 = -^у+1(0 + <7уС(0)-

Здесь Ху+іО1) - последняя компонента вектора состояния наблюдателя Х(1) [10].

(13)

&) = да + аиС(0 + адо - С(0), С(0 = ¿до,

где Хе Ку+1, р0 =

1 о 1 , в0Т = " Ъ. Ъ-. 1 + Ъ . Числа Ъ

00 ’ 0 Ц2 у+1

(14)

. Числа Ъ1, ..., Ът+1 выбираются так, чтобы

Т

матрица ^ + ВЬ1 была гурвицевой; т - малое положительное число; ат = -^, ..., - о , 0

ВТ =

V

Преобразуем уравнение (11), введя новую переменную ху+1 = у(1): х(1) = ^х(1) + атС,(ґ) + В1\у(1), £(') = Ь1 х(і).

Здесь

Тогда

хТ (1) =

—Т

х х

у+1

¥(0 = ху+і(0

(15)

(1) = -Ь (ху+1 + ^)).

Вектор Х(1) является оценкой вектора х(1) .

Следует отметить: порядок вектора Х(1) на единицу больше, чем это необходимо при технической реализации, что сделано для удобства аналитических преобразований.

Введем вектор нормированных отклонений ^(0 = Г-1(х(1) - £(1)), где Г = diag{mg, ...|1, 1} . Из уравнений (14) и (15) получим уравнение для нормированных отклонений і(1):

1

ті (1) = т е л(1)+в1 :су+1(/).

(16)

где ¿у+1 =

Подставим формулу (13) в (9) и (10), учитывая (15), формулу у(1) = х 1(і:) и равенство

Б х(1 - И) = ё у(1 - И):

т 4 7 т'4 7

х(1) = Атх(1) + °тх(1 - И) + В1Ьу+1і(1), у(1) = Ь1 х(1), хЪ (1) = АтхЪ (1) + Отх(ґ - И) + В1(Ху+1(1) + (у(0 - уЪ (1)), уЪ (1) = Ь1хЪ (1), (17)

0, ..., 0, 1п

Теорема. Пусть выполнены условия предположений, а полиномы Qm (1) и От (1) выбраны из условий (5). Тогда существует число т0 > 0 такое, что при выполнении неравенства т0 > т для системы (16), (17) выполнено целевое условие (2).

Для доказательства теоремы докажем лемму, которая является аналогом леммы [11], справедливой для систем без запаздывания.

Лемма. Пусть математическая модель системы имеет вид

*(,) = I(х (^), т1, т2), х(^) = ф(5),

-Л, 0

(18)

где х є Яп , т1 є Я"2 т2 є Я"2, х,(5) = х(ґ + 5), х,(5) є С —Л, 0 - банахово пространство непрерывных функций на отрезке [— Л, 0]; ф(5) - непрерывная начальная функция;

I(х, (5), т1, т2) - непрерывное отображение из Яп+"2 X С [—Л,0^ в Яп, липшицево по х, (5). Пусть система (18) имеет ограниченную область диссипативности :

Б = {х,(5): Vх(5)) < С},

где V(х (5)) - гладкий непрерывный положительно-определенный функционал на С[— Л, 0].

Предположим, что для некоторых значений 01 > 0, е > 0 выполнено условие при т 2 = 0 :

8ир

|т 1 <01І

( Э V (х, (5)) ^Т Э х

I(х, (5), т 1,0) +

Э V (х{ ( 5 )) Э,

< —е

(19)

при V(х (5)) = С . Тогда для достаточно малых значений 0 > 0 таких, что |т21 <0, область диссипативности Б = {х{ (5) : V(х, (5)) < с} остается областью диссипативности системы (18).

Доказательство леммы. Введем обозначение

ф(т2) sup

К <01І

( , ЛТ

( ЭV(х, (5)) >

Эх

I (х, (5), т1, т2) +

ЭV (х, (5))

Э,

при V(х{ (5)) = С .

В силу того, что функционал V(х{ (5)) является гладким, а отображение /(х (5), т1, т2) непрерывное по т 2, функция Ф(^2) будет непрерывной по т 2. Так как выполнено условие (19), т. е. Ф(0) < —е , то будет существовать 0 > 0 такое, что при выполнении неравенства |т21 £ 0 будет выполнено условие Ф(^2) < 0 . Это означает, что область диссипативности остается прежней.

Доказательство теоремы. Запишем уравнение (16) в виде

М(() = ^ц(() + тАХу+1('), т1 = т2 = т- (20)

Система (17), (20) является сингулярно-возмущенной, если т - малое число. Воспользуемся леммой. Если т 2 = 0, то первые уравнения (17) и (20) являются асимптотически устойчивыми по переменным х(^) и ^(^), т. к. выполнены условия (5) и матрица ^ является гурвицевой. Покажем, что все остальные переменные в системе являются ограниченными. Так как

ґ

Л

Пт х(г) = 0, Пт ц(г) = 0,

ЫЛР) Ы2(Р) 1

то функция у1 (г) = Ад(Р)у(г) - АО(Р)у(г - И) - -¡р У({) —Я(р^ У (г - И) + ^р) /(*)

является ограниченной. Из (13) следует: р \'э7+14'

, ф)) = -

Р ^7 + 1Ч_/ ' "V/ ■ Чу-ЗЧ- /у р

= -р- (4 ^0) + Чу &)) = -р- () + х (г) + Чу &)) = -р () + ^(?)) =

Ъ(() = -1 (Пу+Р(^) + (ка - РЖ?) + УР(*)).

Разрешив это уравнение относительно Ф(0, получим ф(?) = -~_ (лу+Р(?) + ¥Р(0), откуда следует ограниченность переменной Ф(г). Тогда из второго уравнения (17) следует ограниченность переменных хь (г) и Хъ (г), но тогда ограничена переменная п(г) = Ху+^г) . Таким образом, при —2 = 0 все переменные в системе (17), (20) являются ограниченными. Определим область притяжения системы (17), (20), когда — = —0.

Возьмем функционал Ляпунова - Красовского

г

V(г) = хт (г)Нх(г) + цт (г)Ыц(г) + | хт ^)Ях^^

г - И

где положительно-определенные матрицы Н, Я являются решением матричных уравнений:

НА + Ат Н + НВ Я -1 ВтН = - Я - р I, NF + ¥т N = -с1, р > 0, с < 0. (21)

т т т т г? а,?г?а, \/

Следует отметить, что при выполнении условий (5) всегда существует матрица Я такая, что решением этого уравнения является положительно-определенная матрица Н .

Вычислим производную от функционала на траекториях системы (17), (20):

V(г) = хт (г)(НАт + АТтН)х(г) + 2хт (г)Н(Втх(г - И) + Б^л«) +

+хт (г)Ях(г) - хт (г - И)Ях(г - И) + — цт (г)(Ш + FTN)п(г) + 2цт (г)Ш.у(г).

-0

Воспользуемся тождествам и оценками:

2хт (г)НВтх(г - И) - хт (г - И)Ях(г - И) = хт (г)НВтЯ~1ВттНх(г) -

-(Я~1ВТтНх(г) - х(г - И))т Я(Я~1ВТтНх(г) - х(г - И)),

2хт (г)HБ1Zу+1h(í) < -0 |х(г)|2 + — ||н||2 |п(г)|2,

-0

2цт (г^^(г) < — |п(г)|2 + ц051, 51 = sup ||^2 |п(г)|2..

-0 г

Подставив эти оценки в правую часть производной от функционала и принимая во внимание уравнения (21), получим

V(г) < -(р - т0)\х(г)|2 - -—LJ— |п(^)|2 + ц081.

т0

II || 2

Если выбрать число — из условия — — — — 1 > 0 , то в области

-(Р - Ц0) |х(0|2 - -——-----------\ф)|2 + Ц051 < 0

Ц0

система асимптотически стремится к области притяжения:

(Р - Ц0) |х(Г)|

2-

— -1

Ц 0

|п(0|2 = Ц051.

Справедливость целевого условия вытекает из следующей цепочки неравенств:

|у(0| < |х(Г)| <

Ц 051

Р - Ц0

Из этого неравенства видно, что всегда существует число , обеспечивающее выполнение целевого условия.

Пример

Рассмотрим объект управления, математическая модель которого имеет вид

(РЪ + Ч1Р2 + <?2Р + 43 ) У(*) + (80Р2 + ё1р + 82 ) у(* - И) = ( г0Р + Г) и({) + f ({).

Класс неопределенности задан неравенствами:

-2 < < 5, I = 1,3, - 3 < 8} < 5, у = 0, 2, 3 < г0 < 6, 6 < г1 < 12, ^(г)\ < 2 .

Принимая во внимание то, что у = 2, У1 = 1, выберем полиномы Qm (X) = X2 + 5Х + 6 ,

От( 1) = -1 -1. Возьмем числа а = Ь = 10. Тогда уравнения (8) и (9) примут вид и (г) = 10Ф(?),

х (г) =

"-5 1" "1 0" " 0"

-6 0 х (г) + 1 0 х(г - к) + 10 1 (Щ + у(г)), у (г) = 1 0

х(г).

Уравнения вспомогательного контура (10) и наблюдателя (14) запишутся следующим образом:

хь (г) =

"-5 1" 1" "0"

-6 0 х О* г + 1 у (г - к) + 10 1 = -о 1 0

хъ (г):

1 1 1 О | ' ^)' 1 1"

_ * 2 (г) _ 0 0 2 (г) _ + 1

С(0 +

Ц

3

1 0

3

Ц

Управление J(t) формируется в соответствии с формулой

J(t) = -0,1 (о(4 2(t)) + 6Z(t)),

где o(Z(t)) - нелинейность с насыщением, которое равно ±10 . Эта функция вводится для ограничения управляющего воздействия, которое может быть очень большим в начальный момент времени при использовании данного наблюдателя, что отмечается его автором [10] как недостаток. На рисунке приведены результаты моделирования при следующих исходных данных:

qt = -2, i = 1, 3, gj = -3, j = 0, 2, r0 = r = 6, ц = 0,01, f (t) = sint + sin0,3t, h = 2c.

фг (5) = 0, 5 e Г-h, 0), фг (0) = 2, i = 0, 2 .

Переходные процессы по выходу и управлению

Таким образом, нами рассматривался неустойчивый объект с запаздыванием по состоянию. Предложенный алгоритм обеспечивает стабилизацию с точностью 0,005 через 10 с и компенсацию параметрической неопределенности и внешнего ограниченного возмущения.

Заключение

Предложен простой подход к проектированию робастных систем стабилизации, в которых компенсируются параметрическая неопределенность и внешние ограниченные возмущения с требуемой точностью. При этом составляющая с запаздыванием не компенсируется, а устанавливается такая, какая необходима по техническим требованиям к замкнутой системе.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Park P. A delay-dependent stability for systems uncertain time-invariant delays // IEEE Trans. on Automat. Control. - 1999. - Vol. 44. - P. 876-887.

2. Zhang W., Allgover F., Liu T. Controller parameterization for SISO and MIMO plants with delay // Journal of Process Control. - 2006. - Vol. 55, N 10. - P. 794-802.

3. Gao H., Chen T., Lam J. A new delay system approach to network based control // Automatica. - 2008.

- Vol. 44, N 1. - P. 38-52.

4. On delay dependent stability of neutral systems / D. Ivanescu, S. I. Niculescu, L. Dugard et al. // Automatica. - 2003. - Vol. 39, N 2. - P. 255-261.

5. Stability analysis of neutral systems with mixed delays. X. G. Li, X. J. Zhu, A. Cela, A. Reama // Automatica. - 2008. - Vol. 44, N 11. - P. 2698-2772.

6. Sensitivity to infinitesimal delays in neutral equations SIAM / W. Mishiels, K. Engelbarghs, D. Roose, D. Dochain // J. Control Optim. - 2002. - Vol. 40, N 4. - P. 1134-1158.

7. Цыкунов А. М. Алгоритмы робастного управления с компенсацией ограниченных возмущений // Автоматика и телемеханика. - 2007. - № 7. - С. 103-115.

8. Цыкунов А. М. Адаптивное и робастное управление динамическими объектами по выходу. - М.: Физматлит, 2009. - 268 с.

9. Цыпкин Я. З. Устойчивость систем с запаздывающей обратной связью // Автоматика и телемеханика. - 1946. - Т. 7, № 2, 3. - С. 107-129.

10. Atassi A. N., Khalil H. K. Separation principle for the stabilization of class of nonlinear systems // IEEE Trans. on Automat. Control. - 1999. - Vol. 44, N 9. - P. 1672-1687.

11. Брусин В. А. Об одном классе сингулярно-возмущенных адаптивных систем // Автоматика и телемеханика. - 1995. - № 4. - С. 119-127.

REFERENCES

1. Park P. A delay-dependent stability for systems uncertain time-invariant delays. IEEE Trans. on Automat. Control, 1999, vol. 44, pp. 876-887.

2. Zhang W., Allgover F., Liu T. Controller parameterization for SISO and MIMO plants with delay. Journal of Process Control, 2006, vol. 55, no. 10, pp. 794-802.

3. Gao H., Chen T., Lam J. A new delay system approach to network based control. Automatica, 2008, vol. 44, no. 1, pp. 38-52.

4. Ivanescu D., Niculescu S. I., Dugard L., Dion J. M. Verriest E. I. On delay dependent stability of neutral systems. Automatica, 2003, vol. 39, no. 2, pp. 255-261.

5. Li X. G., Zhu X. J., Cela A., Reama A. Stability analysis of neutral systems with mixed delays. Auto-

matica, 2008, vol. 44, no. 11, pp. 2698-2772.

6. Mishiels W., Engelbarghs K., Roose D., Dochain D. Sensitivity to infinitesimal delays in neutral equa-

tions SIAM. J. Control Optim., 2002, vol. 40, no. 4, pp. 1134-1158.

7. Tsykunov A. M. Algoritmy robastnogo upravleniia s kompensatsiei ogranichennykh vozmushchenii. [Algorithms of robust control with compensation of limited perturbations. Avtomatika i telemekhanika, 2007, no. 7, pp. 103-115.

8. Tsykunov A. M. Adaptivnoe i robastnoe upravlenie dinamicheskimi ob"ektami po vykhodu [Adaptive and robust control of dynamical objects at output]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2009. 268 p.

9. Tsypkin Ia. Z. Ustoichivost' sistem s zapazdyvaiushchei obratnoi sviaz'iu [Stability of the systems with delayed feedback]. Avtomatika i telemekhanika, 1946, vol. 7, no. 2, 3, pp. 107-129.

10. Atassi A. N., Khalil H. K. Separation principle for the stabilization of class of nonlinear systems. IEEE Trans. on Automat. Control, 1999, vol. 44, no. 9, pp. 1672-1687.

11. Brusin V. A. Ob odnom klasse singuliarno-vozmushchennykh adaptivnykh sistem [On a class of singular disturbed adaptive systems]. Avtomatika i telemekhanika, 1995, no. 4, pp. 119-127.

Статья поступила в редакцию 20.12.2012, в окончательном варианте - 23.01.2013

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРЕ

Цыкунов Александр Михайлович — Астраханский государственный технический университет, д-р техн. наук, профессор; зав. кафедрой «Математика»; a.tsykunov@astu.org.

Tsykunov Alexander Mikhailovich — Astrakhan State Technical University; Doctor of Technical Sciences, Professor; Head of the Department "Mathematics"; a.tsykunov@astu.org.