Система слежения для объекта с распределенным запаздыванием в условиях возмущений и помех Текст научной статьи по специальности «Математика»

А

нализ и синтез систем управления

удк 681.5

СИСТЕМА СЛЕЖЕНИЯ ДЛЯ ОБЪЕКТА С РАСПРЕДЕЛЕННЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ В УСЛОВИЯХ ВОЗМУЩЕНИЙ И ПОМЕХ

A.M. Цыкунов

Рассмотрена задача робастного слежения за эталонным сигналом для объекта с распределенным запаздыванием, когда на него действуют ограниченные внешние возмущения, а вектор состояния измеряется с помехами. Получен алгоритм управления, позволяющий получить асимптотически точную оценку источника помех и компенсировать внешние ограниченные возмущения с требуемой точностью. Приведен числовой пример и результаты моделирования.

Ключевые слова: робастное управление, вектор состояния, возмущения, распределенное запаздывание.

ВВЕДЕНИЕ

Одна из основных проблем теории автоматического управления динамическими объектами заключается в компенсации внешних неизмеряемых возмущений и помех. В таких условиях проектируемая система управления должна обеспечивать выполнение основной цели управления, например, слежение за эталонным сигналом с требуемой точностью, что возможно осуществить, если скомпенсировать внешние возмущения и помехи. Один из основных подходов решения этой задачи состоит в применении робастных систем управления. Достаточно подробно эта проблема изложена в книге [1], где приводится классификация задач проектирования робастных систем управления и различных типов возмущений.

Существует немало подходов и методов, позволяющих сконструировать системы управления, которые компенсируют априорную неопределенность в математических моделях объектов управления и внешние ограниченные возмущения — метод инвариантных эллипсоидов [2, 3], метод матричных неравенств [4, 5], метод гарантированного управления [6], решается задача компенсации возмущения с помощью линейного динамического регулятора, для построения которого применяется

метод инвариантных эллипсоидов [7], используются специальные фильтры [8], применяется специальный вспомогательный контур [9—11], позволяющий получить оценку возмущений. Задача ро-бастного управления объектами с запаздыванием исследована в ряде работ [12—14]. Решены задачи робастного управления для объектов с запаздыванием нейтрального типа [15—18]. Исследована компенсация возмущений и неопределенности параметров математической модели с распределенным запаздыванием исследована [19].

В настоящей статье результаты, полученные в работе [20], используются для получения оценки векторного источника помех и компенсации внешних неизмеряемых возмущений для объекта с распределенным запаздыванием.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим объект управления, математическая модель которого задана уравнением

о

X (?) = Лх(?) + Б | х(? + 9) ¿9 + Яи(0 + Г/(х, ?),

-к

г( ?) = х( ?) + №;( ?), у( ?) = Сх( ?), (1) х(9) = ф(9), 9 е [-к, 0],

где х е Яп, и(г) и у(г) — скалярные управляющее воздействие и регулируемая переменная, которая не измеряется, г(г) — измеряемый вектор, /(х, г) е Яу — внешнее, векторное возмущение, ф(9) — непрерывная начальная векторная функция, ^ е Яг — вектор, который является источником помех, N — матрица интенсивности помех, к — время запаздывания, А, Б, В, Г, С и N — числовые матрицы соответствующих порядков.

Требуется получить алгоритм управления, обеспечивающий выполнение целевого условия

!у(г) - ут(0! < 8 при г > то,

(2)

где ут(г) — сигнал, который должен отслеживаться выходом объекта управления, величина 8 > 0 характеризует точность слежения, Т0 — время, по истечении которого с начала функционирования системы выполняться целевое неравенство. Иными словами, выражение (2) означает, что целевое неравенство должно выполняться за конечное время, которое зависит от многих факторов: начальных условий объекта и источника помех, величины возмущений и эталонного сигнала.

Будем решать сформулированную задачу при следующих ограничениях.

Предположения

1. Пара (А, В) — управляема, а пара (А, С) — наблюдаема.

2. Уравнение (1) — минимально-фазовое, т. е. квазиполином Са4)Л(я)В является гурвицевым, где 5 — комплексная переменная в преобразовании Лапласа, Л(5) = (1п5 — А — Б ст(я)), 1п — единичная матрица порядка п х п, аё)Л(5) — присоединенная матрица (транспонированная матрица алгебраических дополнений матрицы Л(5)),

ст(я) = | е"=

1 - е

-к"

3. Ранг матрицы Г плюс размерность вектора-источника помех не должны превышать размерности вектора х, гапкГ + г < п. Без потери общности будем считать что гапкГ + г = п, rankN = г.

4. Компоненты векторной функции /(х, г) — гладкие ограниченные функции по переменной г, и удовлетворяющие глобальным условиям Липшица по переменным х.

5. Функция ут(г) является гладкой.

6. Матрицы А, В, Б, N и С известны.

7. Компоненты векторной функции ^(г) — ограниченные функции.

Ясно, что для выполнения целевого условия (2) с требуемым значением величины 8 необходимо

скомпенсировать влияние возмущений и помех на регулируемую переменную. Однако вектор измеряемых переменных г(г) несет информацию о возмущениях и помехах. Поэтому первый этап решения сформулированной задачи состоит в выделении сигнала, который бы нес информацию только о помехах, или только о возмущениях.

2. МЕТОД РЕШЕНИЯ

Метод решения сформулированной задачи состоит из двух этапов:

— конструирование системы, позволяющей оценить сигналы помех и скомпенсировать их влияние на вектор х(г);

— проектирование системы, позволяющей компенсировать влияние возмущений на точность слежения.

Сформируем новый вектор измерения

г (г) = г(г) + ^(г).

(3)

Здесь ф(г) — управляющий сигнал, предназначенный для компенсации влияния помех.

Выберем в матрице N г строк таких, что составленная из них матрица будет невырожденной. Без потери общности, будем считать, что это первые г строк.

Преобразуем уравнение (1), положив х = Тх.

Берем матрицу Т так, чтобы матрица Т- ХГ имела нулевые первые г строк. Такая матрица всегда существует, так как гапкГ = п — г. Далее,

.0

х (г) = т- хАтх (г) + т- хбт {х (г + е)^е +

+ т хВм(г) + т 1Г/(х, г),

(4)

где Т 1АТ =

А11 А12 А21 А22

Т 1БТ =

Бц Б12 Б21 Б22

Т 1В =

Т 1Г =

Г2

, 0гХг — нулевая матрица

порядка п х п. Запишем уравнение (4) в виде системы векторных уравнений

х1(г) = А11 х1 (г) + А12 х2 + Б11 х (г + е)^е + В1м(г)

х2(г) = А21 х1 (г) + А22х2 + б2 | х (г + е)^е +

+ В2м(г) + Г2Дх, г).

(5)

к

5

к

1

2

к

Здесь Б = [Бп Б12], Б2 = [Б21 Б22], х1 (?) е Я", Х2 (?) е Я"-г.

Введем новый вектор измерения

п(?) = Т -1г(?) = Т —1(х(?) + N1(0) =

= х + Т-1^(?) = х^ |(?), N = Т-1Ж

Запишем это матричное равенство в виде двух равенств:

П1(?) = ¿1П(?) = х1 + л^(?), П2(?) = ^2П(?) = х2 + ^|(?), (6)

где щ(?) е Яг, ^(?) е Я - г, пТ(?) = [п[(?), Ъ (?)],

¿1 = [/г 0(л-r)x(л-r)], Т = [^, ], ¿2 = [°гхг/(„-г)].

Принимая во внимание равенства (6), преобразуем первое из уравнений (5):

о

п 1 (?) = ЛПП1(?) + Л12П2 + Б | п(? + 9М9 +

-к

+ Я^?) + N11 (?) - ЛПЛ^(?) - -

- DxN j 4(? + 9)d9.

(7)

Введем вспомогательный контур, динамические процессы в котором описываются уравнением

nb (?) = АцЛь(?) + А12П2 + D j n(? + 0)dе +

-h

+ BjU(?). (8)

Составим уравнение для вектора рассогласования д(?) = п1(?) + пь(?), вычитая уравнение (8) из уравнения (7):

q (?) = Anq(?) + N 4 (?) - A N 4(?) о

- dxN j 4(?+ e)de.

(9)

Отсюда получаем уравнение для оценки вектора, который является источником помех:

4 (?) = Nf1 (+a n 4 (?) + d n j 4 (? + e)de) +

-h

+ N1-1 (q (?) - Anq(?)),

4 (e) = 0, e e [-h, 0]. (10)

Для работоспособности полученного алгоритма необходимо, чтобы матрица Л11 была гурвицевой, а уравнение

- ( -- - 0 - л

I (?) = N1-1 +Л1N| (?) + Б1N | I (? + 9)^9 I (11)

асимптотически устойчивым.

Покажем, что в этом случае получается асимптотически устойчивая оценка вектора |(?).

Применим преобразование Лапласа к уравнениям (9) и (10):

- An)q(s) =

/„s - N-

N1s - A1N - D1N + q(0) - 4(0),

1 - e

-hs "

4(s) +

+A1N + D1N i--^

hs

4 (s) =

= N-1 ((/,s - An)q(s) - q(0). Подставив первое уравнение во второе, получим

/s - N1

( (

+A1N + D1N

1 - e

hs

4 (s) =

/r s - N1-1A1N - N-1 D1N

hs

4(s) +

+ q(s) - q(0) - 4(0) I.

Разрешим уравнение относительно оценки 4 (s):

4 (s) = 4(s) -

/s - N-

+A1N + D1N ^^

hs

4(0)).

Так как уравнение (11) асимптотически устойчиво, то квазиполином det(/r s - N1-1(-A1N - D1N s s (1 - e hs)/s)) является гурвицевы. Тогда оригинал изображения х(?) = L-1(/rs - N-1 (-A1N - D1N s

s (1 - e hs)/s)) 14(0)) мажорируется затухающими экспонентами. Следовательно, lim %(?) = 0, 0,

t ^m

lim 4 (?) = 4(?). Таким образом, 4 (?) = 4(?) - x((?).

t ^ m

Тогда, положив в формуле (3) ф(?) = - 4 (?), получим

Z (?) = z(?) + ^(?) = x(?) + N4(?) - N4 (?) =

= x(?) + x(?). (12)

h

s

s

h

1

h

В результате получили асимптотически точную оценку вектора х(?).

Отметим, что после того, как отфильтрован сигнал помехи, можно воспользоваться любым известным алгоритмом, который позволяет скомпенсировать влияние возмущений на регулируемую величину.

В данном случае рассматривается один из возможных алгоритмов. Сформируем оценку регулируемой переменной, принимая во внимание формулу (12):

У (?) = с* (?) = Сх(?) + Сх(?) = у(?) + Сх(?).

Для проектирования системы слежения имеем математическую модель

о

xX (t) = Ax(t) + D J x(t + 9)de + Bu(t) + rf(x, t),

-h

у (?) = у(?) + Сх(?), х(9) = ф(9),

9 е [-Й, 0]. (13)

Применим преобразование Лапласа к уравнению (13) и преобразуем полученное матричное уравнение в скалярное относительно переменной у (я):

п т

I Оп - г.(5)аг(5)У (5) = I Ят -}(*)ф) +

г = 0

j = о

v n - 1

+ X X M(m - 1 - g)(s)aW^) +

k = 1 g = о

+ X Qn - /(s)a;(s)Cx(s) + K(s), (14)

i = 0

где I Оп - /(5)аг(5) = ёеВД, I Ят - }(*) =

г = 0 } = 0

п - 1

= Сасул^, I Ик(т - 1 - = Са^ЛфГ*,

g = о

Гк — к-й столбец матрицы Г, К(5) — преобразование Лапласа начальных условий, индексы многочленов указывают на их порядок. Порядки полиномов Мк(5) взяты максимально возможными. Их порядок зависит от структуры матрицы Г.

Применим алгоритм деления Евклида к полиному Оп(5):

Оп(5) = Оу(5)Ят (5) + АОт - !<*),

Ят (5) = Яm(s)/rm0, У = П - т

Здесь гт0 — коэффициент при старшем члене полинома Ят(5). Разложим полином Оу(5) на две составляющие Оу(5) = Оу0(5) + АОу - 1(5), Оу0(5) — гур-

вицев полином. Тогда получим Оп(?) = Оу0(^) Я т (5) +

+ АОу - 1(5)Ят (5) + АОт - 1(5). Подставив этот полином в уравнение (14) и разделив левые и правые части уравнения на Ят (5), получим Оу0(я) у (5) = = гтом(5) + у 1(5). Выполнив обратное преобразование Лапласа, получим

Оу0(Р)У (?) = Гт0И(?) + У1(?),

где Р = 1/Л — оператор дифференцирования, у1(?) — оригинал изображения у1(5),

Vi(s) = 1

X Qn - ¿(^(s)y (s) =

г = 1

R m ( 5 )

m

= X Rm - j(s)^j(s)u(s) +

j = 1 v n - 1

+ X X Mk(m -1- g)(s)af) +

k = 1 g = 0

n '

+ X Qn - ¿(sy(s)Cx(s) + K(s)

г = 0

Составим уравнение для ошибки e (t) = y (t) — - ym(t):

Qy0(p)e (t) = rm0"(t) + V1(t) + QT0(P)ym(t)-

Введем новое управляющее воздействие u(t) = = aS(t), а > 0. В результате получим

QT0(P) e (t) = a9(t) + y(t),

где y(t) = (rm0 - 1)aS(t) + Q/P^t) + V1(t). Доказано [21], что алгоритм управления

((цР + 1)Y - 1Ж0 = QT0(P) e (t)

обеспечивает выполнение целевого условия | e (t)| < 81 за конечное время работы системы, если число ц > 0 выбрать достаточно малым. Другими словами, числа ц и а являются параметрами алгоритма, выбор которых обеспечивает выполнение целевого условия за конечное время.

Принимая во внимание равенство e (t) = e(t) + + Cx(t), можно сделать вывод. Если выбрать величину 81 меньше числа 8, то учитывая условие

lim ^(t) = 0, получим lim e (t) = e(t). Следователь-

t ^ да t ^ да

но, существует момент времени Т0, по истечении которого будет выполнено целевое условие (2). Таким образом, получили систему управления, математическая модель которой имеет вид:

* (?) = *(?) + ^(?), п(?) = Т-1*(?), щ(?) = Ап(?),

0

Пь (?) = ЛцПА(?) + Л12П2 + Б | п(? + 9)^9 + Я1«(?),

-к

<;(?) = щ(?) - Пь(?), . о

I (?) = N1-1 (+Л1NI (?) + Б1N I I (? + 9)^9) +

-к

+ ^ ( ? (?) - Лц^(?)),

I (9) = 0, 9 е [-к, 0], ф(?) = -1 (?), У (?) = С*(?), е (?) = У (?) - Ут(?), и(?) = аЗ(?), ((цР + 1У - 1)9(?) = О0о(Р)е(?).

3. ПРИМЕР

Рассмотрим объект управления, математическая модель которого задана уравнением

X (?) =

-3 1 -2 -1 -1 -1 0 1

-2 -2 1 1 *(?) + -1 -2 1 1

-1 1 -4 1 1 0 -1 1

-1 2 1 -4 -1 -1 1 -2_

I *(? + 9)^ 9 +

-2

0 1111

+ 3 и(?) + 12 2 1

-5 12 2 1

-4 .1111.

0,5 0,2

г(?) = *(?) + 0,5 0

0,3 0,4

0 0,4

/(X, ?),

4(?),

у(?) = [1 0 0 0]*(?), х(9) = ф(9), 9 е [-А, 0].

Ранг матрица Г равный двум, 4 е Л2, / е Л4, ф(9) — ограниченная начальная векторная функция. Предположение 3 выполнено.

Возьмем матрицу преобразований

Т =

2 -1 1 0 1 0 0 -1

3 -2 2 -1 , т-1 = 1 -1 1 -1

2 -1 2 -1 0 -1 1 1

1 -1 1 0 1 -1 0 1_

Тогда уравнение (4) будет иметь вид:

X (?) =

-10 4 -7 4 1 -2 1 1

-9 2 -10 6 X (?) + 7 -6 3 1

3 -2 -2 -1 1 0 -1 0

1 0 -2 -3 -4 3 -3 0

| х (? + 9)^9 +

-2

4 0 0 0 0

+ -4 и(?) + 0 0 0 0

-12 1111

_-7_ 10 0 1

/(X, ?),

п(?) = X (?) +

0,5 -0,2 0,3 0,2 -0,2 0,8 0 0,6

4(?).

Первое уравнение из системы (5) примет вид:

(?) =

10 4 -9 2

(?) +

-7 4 -10 6

*2 +

+

1 -2 11 7 -6 3 1

о

IX (? + 9)^9 +

-2

и(?).

Уравнение (7) запишется как

П ! (?) =

1 -2 11 7 -6 3 1

10 4

-9 2_

о

V?) +

-7 4 -10 6

I п(? + 9М 9 +

-2

0,5 -0,2 4 (?) - -2,4 -0,4

0,3 0,2. .-1,9 -2,2

П + и(?) +

4(?) -

-0,3 0,8 1,1 0,4

| 4(? + 9)^9.

-2

Математическую модель вспомогательного контура зададим в виде

П ь (?) =

10 4 -9 2

пй(?) +

-7 4 10 6

П2

+

+

1 -2 11 7 -6 3 1

о

| п(? + 9)^9 +

-2

и(?).

Тогда получим уравнение для вектора рассогласования ё(?) = п 1 (?) - Пй(?)

ё (?) =

-10 4 ё(?) + 0,5 -0,2

.-9 2 0,3 0,2.

-2,4 -0,4 4(?) - -0,3 0,8

-1,9 -2,2 1,1 0,4

4 (?)

14(? + 9)^9,

-2

о

+

о

о

о

Переходные процессы по ошибкам слежения и оценивания помех: а и б — начальная функция ф(6) = [1 1 1 1]т, 6 е [—2, 0], ц = 0,01, погрешность слежения после 18 с не превышает значения 0,002; оценка помех асимптотически устойчива; в — ц = 0,1, погрешность слежения 0,03; значения ц не влияют на переходные процессы по ошибкам оценивания %,-(0; г — начальные условия нулевые, ц = 0,01, погрешность слежения 0,002

откуда получаем уравнение для оценки источника помех

11 (г + 9)^9 +

-2

4 (г) = " -5,37 -3,25" 4 (г) — "1 1,5"

-1,4375 -6,125 4 -0,25_

+

23,75 -7,5 9,375 1,25

?(0 +

1,25 1,25 -1,875 3,125_

ё (г).

Формируем оценки вектора х(г) г (г) = г(г) — N4, (г) =

= х(г) + х(г) и регулируемой переменной у (г) = г (г) = = Хх(г) + Хх(г).

Передаточная функция по управлению имеет вид:

а(д)) = [1782 + 100^ + 69 + (137 + 308 - 7^2)а(^) + + (42 - 20^)а2(^) + 4а3(^)]/С(^, а(^)),

С а(д)) = 84 + 13^3 + 5782 + 888 + 14 + + (683 + 5б52 + 2368 + 79)а(^) + (1352 + 778 + 81)а2(^) + + (108 + 30)а3(8) + 4а4(8).

Относительная степень равна двум, математическая модель минимально-фазовая. Поэтому берем алгоритм управления

и(0 = р(Ж0), э(0 = 5и(г),

(ц2Р + цР)и(г) = (Р2 + 7Р + 12) е (г),

где р(-Э(г)) — нелинейность с насыщением, равным 30, которая введена для учета ограничений на управляющее воздействие.

На рисунке приведены переходные процессы по ошибке слежения е(г) = у(г) — ут(г) и ошибкам оценивания источника помех х,(0 = \1 (г) — 4,(0, г = 1, 2, ^(0 = = 8ш3г + п(г), 42(г) = Бт7г + п(г), + п(г), где п(г) — нормированный белый шум,

f(x, г) = Бшг + 8шх; + 1п(1 + х2), г = 1, 4, ут(г) = 3в1п1,3г + 3вт0,7г.

о

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Решена задача слежения для объекта, математическая модель которого задана уравнением с распределенным запаздыванием. На объект действуют неизмеряемые возмущения, а в каналах измерения присутствуют помехи. Для решения задачи применен подход, предложенный в работе [20], который позволяет получить асимптотически точные оценки вектора — источника помех. Естественно, что на математическую модель объекта управления накладываются ограничения, перечисленные в предположениях, Кроме того, требуется, чтобы уравнения (9) и (10), были асимптотически устойчивыми при отсутствии внешних сигналов. Результаты моделирования показывают, что предложенный алгоритм управления позволяет получить качественные переходные процессы. Точность регулирования зависит от параметров ц и а.

К недостаткам следует отнести необходимость подбора параметров ц и а на этапе проектирования.

ЛИТЕРАТУРА

1. Поляк Б. Т., Щербаков П. С. Робастная устойчивость и управление. — М.: Наука, 2002.

2. Назин С.А., Поляк Б.Т., Топунов М.В. Подавление ограниченных внешних возмущений с помощью метода инвариантных эллипсоидов // Автоматика и телемеханика. — 2007. — № 3. — С. 106—125.

3. Поляк Б.Т., Топунов М.В. Подавление ограниченных внешних возмущений: управление по выходу // Автоматика и телемеханика. — 2008. — № 5. — С. 72—90.

4. Баландин Д.В., Коган М.М. Синтез законов управления на основе матричных неравенств. — М.: Наука, 2007.

5. Баландин Д.В., Коган М.М. Синтез субоптимального регулятора по выходу для гашения ограниченных возмущений // Автоматика и телемеханика. — 2011. — № 4. — С. 3—10.

6. Афанасьев В.Н. Концепция гарантированного управления в задачах управления неопределенными объектами // Известия РАН. Теория и системы управления. — 2010. — № 1. — С. 24—31.

7. Хлебников М.В. Подавление ограниченных внешних возмущений: линейный динамический регулятор по выходу // Автоматика и телемеханика. — 2011. — № 4. — С. 72—42.

8. Никифоров В. О. Нелинейная система управления с компенсацией внешних детерминированных возмущений // Известия РАН. Теория и системы управления. — 1997. — № 4. — С. 69—73.

9. Цыкунов А.М. Алгоритмы робастного управления с компенсацией ограниченных возмущений // Автоматика и телемеханика. — 2007. — № 7. — С. 103—115.

10. Фуртат И.Б., Цыкунов А.М. Робастное управление нестационарными нелинейными структурно неопределенными объектами // Проблемы управления. — 2008. — № 5. — С. 2—7.

11. Цыкунов А.М. Робастное управление линейным объектом по косвенным измерениям // Проблемы управления. — 2009. — № 3. — С. 13—22.

12. Park P. A delay-dependent stability for systems uncertain time-invariant delays // IEEE Trans. on Automat. Control. — 1999. — Vol. 44. — P. 876—887.

13. Zhang W., Allgover F., Liu T. Controller parameterization for SISO and MIMO plants with delay // Journal of Process Control. — 2006. — Vol. 55, N 10. — P. 794—802.

14. Gao H, Chen T, Lam J. A new delay system approach to network based control // Automatica. — 2008. — Vol. 44, N 1. — P. 38—52.

15. Han Q.L. Robust stability of uncertain delay-differential systems of neutral type // Automatica. — 2002. — Vol. 38, N 4. — P. 719—723.

16. Ivanescu D., Niculescu S.I., Dugard L., Dion J.M., Verriest E.I. On delay dependent stability of neutral systems // Automatica. — 2003. — Vol. 39, N 2. — P. 255—261.

17. Mishiels W., Engelbarghs K., Roose D., Dochain D. Sensitivity to infinitesimal delays in neutral equations SIAM // J. Control Optim. — 2002. — Vol. 40, N 4. — P. 1134—1158.

18. Li X.G., Zhu X.J., Cela A., Reama A. Stability analysis of neutral systems with mixed delays // Automatica. — 2008. — Vol. 44, N 11. — P. 2698—2772.

19. Цыкунов А.М. Робастное управление объектом с распределенным запаздыванием // Проблемы управления. — 2013. — № 3. — С. 2—8.

20. Цыкунов А.М. Робастное управление с компенсацией ограниченных возмущений и помех // Изв. РАН. Теория и системы управления. — 2014. — № 3. — С. 19—26.

21. Цыкунов А.М. Алгоритм робастного управления линейными динамическими объектами по выходу // Мехатроника, автоматизация, управление. — 2008. — № 8. — С. 7—12.

Статья представлена к публикации членом редколлегии

В.Н. Афанасьевым.

Цыкунов Александр Михайлович — д-р техн. наук,

зав. кафедрой, Астраханский государственный технический

университет, И [email protected].

Содержание сборника «Управление большими системами», 2015, вып. 56

Белов М.В. Системно-инженерные и экономические аспекты управления жизненным циклом Иванов Н.Н. Стохастические сетевые графики с переменной структурой Легович Ю.С., Максимов Д.Ю. Выбор исполнителя в группе интеллектуальных агентов Зоркальцев В.И., Киселева М.А. Взаимодействующие олигопольные и олигопсонные рынки Курно Марвин С.В. Альтернативная дробная модификация индекса Хирша, учитывающая количество авторов цитируемых статей

Паламарчук Е.С. Оптимальное управление в задаче портфельного трекинга с учетом временных предпочтений инвестора

Еременко Ю.И., Полещенко Д.А., Глущенко А.И. О применении нейросетевого оптимизатора параметров пи-регулятора для управления нагревательными печами в различных режимах работы S Пантелеев А.В., Летова Т.А., Помазуева Е.А. Параметрический синтез оптимального в среднем дробного ПИД-регулятора в задаче управления полетом S Каравай М.Ф., Подлазов В.С. Системная сеть с малым диаметром из малопортовых маршрутизаторов S Стецюра Г.Г. Средства для расширения функций коммутируемых непосредственных оптических связей в цифровых системах

Тексты статей доступны на сайте http://ubs.mtas.ru/