Компенсация возмущений и помех в системах с измеряемым вектором состояния Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.5 ББК 32.965.9

А. М. Цыкунов

КОМПЕНСАЦИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ И ПОМЕХ В СИСТЕМАХ С ИЗМЕРЯЕМЫМ ВЕКТОРОМ СОСТОЯНИЯ

A. M. Tsykunov

COMPENSATION OF PERTURBATIONS AND DISTURBANCES IN SYSTEMS WITH A MEASURED STATE VECTOR

Рассмотрена задача робастного управления объектом, когда вектор состояния измеряется с помехами, а на объект действуют параметрические и внешнее ограниченное возмущение. Выделен класс объектов, для которых возможна компенсация помех и возмущений на регулируемую переменную с требуемой точностью. Приводится числовой пример и результаты моделирования спроектированной системы.

Ключевые слова: робастное управление, вектор состояния, возмущение, помехи.

The problem of robust control for an object, when a state vector is measured with disturbances and an object is experiencing parametrical and outer limited perturbation, is considered. A class of objects for which compensation of perturbations and disturbances of the regulated variable with demanded accuracy is possible, is defined. A numerical example and the results of the designed system modeling are given.

Kew words: robust control, state vector, perturbation, disturbance.

Введение

Задача компенсации помех и возмущений всегда интересовала исследователей и проектировщиков систем управления. Это объясняется тем, что большинство объектов управления подвержены действию внешних и параметрических возмущений. При этом на выходе объекта, кроме шумов самого объекта и измерительных устройств, часто присутствуют внешние факторы, которые влияют на измеряемые переменные, например электромагнитные поля, вибрация в подвижных объектах. Именно поэтому, как отмечается в [1], задача подавления внешних возмущений является одной из основных в теории управления и долгое время решением этой задачи занимались в стохастической постановке. Однако подавление ограниченных возмущений исследуют сравнительно недавно [1]. Классификация внешних и внутренних возмущений приведена в [1, 2], а наиболее распространенная постановка задачи следующая.

Имеется математическая модель объекта управления

x(t) = Ax(t) + Bu (t) + D1 f (t), z(t) = C1x(t) + NX(t), y(t) = C2x(t) + D2u (t),

где x(t)e Rn - вектор состояния; z(t)e Rl - вектор измерения; u(t) e Rm - вектор управления;

y(t) e Rk - вектор регулируемых переменных; f (t) e Rm1, X(t) e Rm2 - ограниченные возмущения и помехи измерения; A, B, D^ D2, N, Q, C2 - числовые матрицы соответствующих порядков.

Очевидно, что для построения качественной системы управления необходимо уменьшить или исключить влияние возмущений и помех на вектор регулируемых переменных y(t).

Применение метода инвариантных эллипсоидов для подавления возмущений рассмотрено в [3]. В [4] излагается подход к синтезу робастных регуляторов, основанной на методе H¥ -оптимизации. В [5, 6] предлагается использовать динамический регулятор. Для расчета параметров в [5] используется метод инвариантных эллипсоидов, а в [6] - метод матричных неравенств. Применение других методов, например ^-теории, описано в [7]. Каждый из перечисленных способов требует определенных ограничений на структуру матриц. В [4, 7] предполагается, что f (t) = X(t), а векторы D^(t), NX(t) должны быть ортогональными. При этом должны

T T

выполняться следующие равенства: C2 D2 = D2C2 = 0 .

Однако методы построения систем управления, результатом которых являются специально рассчитанные обратные связи при условии, что исходная информация о помехах - их ограниченность, не гарантируют их подавления. Поэтому более эффективными являются методы, предполагающие оценку помех. Естественно, что эти оценки должны быть достаточно точными.

В данной статье предлагается принцип построения робастной системы управления с измеряемым вектором состояния, все компоненты которого подвержены действию помех, генерирующихся одним источником. Предлагаемый подход позволяет получить асимптотически точное значение помех, в результате чего появляется возможность спроектировать систему управления, в которой осуществляется компенсация помех и подавление параметрических и внешних ограниченных возмущений с требуемой точностью. Естественно, что на математическую модель объекта управления накладываются определенные ограничения, которые будут приведены в следующем разделе.

Задача построения системы управления решается в два этапа. Строится подсистема, позволяющая получить точную оценку помех. При этом рассматриваются два случая. Вначале предполагается, что матрицы в математической модели имеют такую структуру, когда не требуется дополнительных преобразований, а сразу можно приступать к построению подсистемы оценки помех. Выбирается вспомогательный контур, с помощью которого выделяется сигнал, несущий информацию только о помехе. Использование этого сигнала позволяет получить асимптотически точную оценку помехи. Во втором случае требуются дополнительные преобразования, приводящие к математической модели, имеющей такую же структуру, как в первом случае. Принцип формирования подсистемы оценки остается таким же, как в первом варианте, только используются другие сигналы.

После того как получена оценка помехи, производится ее компенсация, в результате появляется возможность получить оценку регулируемой переменной, которая используется для построения системы управления.

Постановка задачи

Пусть математическая модель динамических процессов в объекте управления имеет вид

Х^) = Лх^) + Bu(V) + Df (x, V), г(V) = x(t) + NХ(У), у^) = Сх^), (1)

где х^) е Яп - вектор состояния; ) е Яп - вектор измерения; и(^) е Я - управляющее воздействие; у^) е Я - регулируемая переменная; ) - сигнал, который является источником помех

в каналах измерения вектора состояния; f (х, V) - скалярная функция, в которой сконцентрированы параметрические и ограниченные внешние возмущения; Л е Я”х”, В е Я”х1, D е Я”х1,

N е Япх1, С е Я1хп - числовые матрицы; N - матрица интенсивности действия помех в каналах измерения вектора состояния. Сформулируем хорошо известную задачу слежения.

Требуется спроектировать алгоритмическое обеспечение системы слежения за эталонным сигналом ут (V), чтобы выполнялось целевое условие

|у(0 - Ут (V )| < 5, когда V > То, (2)

где величина 5 > 0 характеризует величину ошибки слежения по истечении времени Т0)

с момента включения системы в работу.

Будем решать сформулированную задачу при следующих ограничениях.

Предположения

1. Пара (Л, В) - управляема, а пара (Л, С) - наблюдаема.

2. Передаточная функция от управления к регулируемому выходу Жи (1) = С(11 — Л)-1 В = ^(1) / Q(1) является минимально-фазовой, к > 0 , где 1 - комплексная переменная в преобразовании Лапласа.

3. Функция /(х, V) является ограниченной по всем переменным х(:) или удовлетворяет глобальным условиям Липшица, а по переменной V является гладкой ограниченной функцией.

4. Матрицы А, В, О, N, С являются известными, векторы В, D - линейно независимыми.

5. В уравнении (1) имеется хотя бы одна /-я строка, в которой Ь/ ^ 0, = 0 , а полином

П

Ni 1 - X aijNj - гурвицев.

у=1

6. Эталонный сигнал ут (^) является гладкой ограниченной функцией времени, а сигнал помехи Х(() - ограниченная непрерывная функция.

Следует отметить, что при линейной зависимости векторов В, О или для случая Ь/ = = 0 задача тоже разрешима, но при этом принцип построения уравнения вспомогательно-

го контура изменяется.

Ясно, что для выполнения целевого условия (2) с требуемым значением величины 5, необходимо скомпенсировать влияние возмущений и помех на регулируемую переменную. Однако вектор измеряемых переменных 2^) несет информацию о возмущениях и помехах, поэтому первый этап решения сформулированной задачи состоит в выделении сигнала, который нес бы информацию только о помехах или только о возмущениях.

Компенсация помех

Пусть выполнены условия предположений. Будем формировать управляющее воздействие в виде суммы двух составляющих

и(0 = ип ^) + ик ^), (3)

где ип ^) предназначено для компенсации влияния компонент вектора состояний на его /-ю составляющую, а с помощью ик ^) будем компенсировать влияние возмущений на регулируемую переменную у^) .

Сформируем новый вектор измерения:

2 (0 = z(t) + ) . (4)

Здесь ) - управляющий сигнал, предназначенный для компенсации влияния помех. Пусть в /-й строке векторного уравнения (1) выполнено пятое условие предположений

п

X (0 = X а-у ху ^) + Ь/ (ип ^) + ик ^)).

у =1

Принимая во внимание второе уравнение в (1), из (5) получим уравнение для /-й компоненты вектора 2^):

пп

2 () = X а/у2у (Г) + Ь/ (ип ^) + ик ^)) + NІХ ^) - X aijNj x(t) , (6)

У=1 У=1

где , Ь/, Ni - /-е компоненты векторов 2, В, N соответственно.

Сформируем составляющую сигнала управления ип ^) в соответствии с формулой

ип (0 = -С2() -112, ^), (7)

Ь/

где с = ^[аг1, ••■, аг(г-1),0, ai^i+1), , а/п], 1> 0. Подставив значения ^) из (4) в (7), а ип(0

из (7) в формулу (6), получим

п

2/ ^) = (ап -1)2г (t) + Ьгик (t) + N1 (X() - ту(О) - Xа^уX(t). (8)

у=1

В результате того, что сигнал управления ип (V) сформирован в соответствии с формулой (7), в уравнении (8) отсутствуют все компоненты вектора ^), кроме 7-й. Следовательно, можно выделить сигнал помехи.

Введем вспомогательный контур, математическая модель которого имеет вид

2(0 = (а77 - т)2#) + Ь7Щ (V) - N7ту(*), (9)

где 2 е Я , и составим уравнение для сигнала рассогласования £(^) = (V) — 2(V), вычитая (9) из (8):

п

С (0 = (ай — Т)С(0 + N7 X (V) — X а^. £(,). (10)

}=1

Утверждение 1. Пусть выполнены условия предположений. Тогда устройство, функционирующее в соответствии с формулами:

2(V) = 2^) + №(?) , ип (V) = — С2(V) — — (V),

Ь

(Р — ай + т)2 (V) = b7.Uk (V) — N7ТУ(0, С(^) = 2 (V) — 2(V), (11)

п

(NlP — Xа^} )&) = (Р + Т — а77 )^), Х(0) = 0 ,

.=1

обеспечивает асимптотически точную оценку ) значения помехи Х(^), где Р = &— оператор

&

дифференцирования.

Доказательство. Решая (10) и последнее уравнение в (11), получим

Х(0) 1 п

) = Х(^)------ехр(—ю0, ю =-X а.N1 , откуда следует справедливость утверждения 1.

Щ N 7 }=1

Из уравнения (10) следует, что если пропустить сигнал £(^) через фильтр с передаточной

1 + Т — а7 7 г

функцией-----------------, то получим оценку значения помехи ХМ ).

п

а . . . =1

N71 — X а.

Тогда, сформировав вспомогательное управляющее воздействие у(^) в соответствии с формулой

Р + Т — а7 7 у, ч

V«) =-----------^),

п

*7р — X а^,

. =1

из (4) получим 2 (V) = 2($) + N^(1) = х(^) + N ) + №(1) = х(^) + о(^), ) = N Х(0) ехр(—ю^),

N

т. к. у(^) = —Х(^). Оценку регулируемой переменной у(^) = Сх(^) можно получить в соответствии с формулой у(0 = С(V).

Блок-схема системы компенсации помех представлена на рис. 1, где Ц - матрица-строка с единичным, 7 -м элементом, а остальные составляющие нулевые. Все устройства на блок-схеме технически реализуемы, нет необходимости использовать производные сигналов. При этом происходит точная компенсация помех.

/

-Аф—►

і

и

Объект

N

N

1

—т

г

«і? - Е

N^т

Рис. 1. Блок-схема системы компенсации помех

Рассмотрим общий случай получения оценки Х(^), когда во всех строках векторного уравнения (1) не выполнено пятое условие предположений. Это означает, что в уравнении (1) матрицы В и В такие, что любые 7 -е компоненты либо нулевые, либо имеют некоторые значения.

Формируем новый измеряемый вектор в соответствии с формулой (4). Введем линейное неособое преобразование х(^) = Т0(^), где 0^) е Яп - новый вектор состояния, а матрица Т такая, что в уравнении

0(і) = Т_1 АТ0(0 + Т~хВи(і) + Т~ХВ/ (х, і), Л(0 = Т_12(і)

(12)

появляется одно і-е уравнение, в котором Т 1В Ф 0, Ті 1В = 0, где Т 1 - і-я строка матрицы Т 1; Т(і) - новый вектор измерения.

ц(і) = Т~12(і) = Т_1х(і) + Т_1«Х(і) = 0(і) + КХ(і), К = Т_1« .

Запишем уравнение (12) в виде

0(і) = Г0(і) + Ри(і) + р/(х, і), т(і) = 0(і) + КХ(і). (13)

Здесь Г = Т-1 АТ, Ь = Т_1В, р= Т. Уравнение (13) удовлетворяет условиям, которые были оговорены для первого случая, поэтому далее процедура получения системы с компенсацией помех аналогична первому случаю. Выполнив эти преобразования, получим следующую математическую модель системы компенсации помех:

2(і) = 2(і) + «у(і), л(і) = Л(і) + Ку(і), ип (і) = -с^(і) - р- Ш (і),

Рі

(Р - уй + ^1 )'Л (і) = Ри (і) - К х^(і), £(і) = т (і) - ті (і), (14)

(К? - ЕУК)Х(і) = (Р + Т1 - Уіі)С(і):

І=1

1

где С1 = р"[ У'1,"', У(і-l),0, Уі'Сі+1)’

, уіп ]; І1 > 0 ; т(і) - выходной сигнал вспомогательного кон-

тура. Для реализации данной формулы требуется, чтобы полиномы 1 + Т — у7-7, К71 — X т,К,

. =1

были гурвицевыми. Тогда, определив сигнал у(( ) в соответствии с формулой

2

С

и

Т

С

ь

2

Ь

Ь

V

Р + т - а

Р + т - а

*)- Р+Тп~г'7 №),

Кр—X

. =1

из первого уравнения (14) получим 2(V) = г(^) + )). Теперь можно сформировать оценку

регулируемой переменной у(0 = С(V). Таким образом, имеем систему

Х^) = Л0х^) + В(ик (V) — с1КХ(()) + О/(х, V), у(V) = Сх^) + Сс^). (15)

Здесь Л0 = Л — В(с1Т_1 +—Т1Т 1), С1 (V) стремится к нулю при V ® ¥ .

Р;

Алгоритм слежения с компенсацией возмущений

Преобразуем векторное уравнение (15) в форму вход-выход:

01 (Р)у(V) = кО(Р)(ик (V) + ф(г)) + 5(Р)/(х, V) + 01 (Р)СС1 (V), (16)

где ф(0 = —сК£(0; 01(Р) = <1е1;(/Р — Л0); аее01(Р) = п, О(Р) = С(1Р — Л^В,аееО(Р) = т;

5(Р) = С(1Р — Ло)+ О, deg 5(Р) < п — 1; I - единичная матрица; (1Р — Л0)+ - транспонированная матрица алгебраических дополнений матрицы (1Р — Лф). Операторы 0ДР), О(Р) - нормированные. Воспользуемся алгоритмом Евклида для полинома 01 (1).

01(1) = 00(1)0(1) + 51(1), где deg 00(1) = п — т; deg 51(1) = у — 1; у = п — т. Тогда из (16) имеем

00 (Р)0( Р) у (V) = кО( Р)(ик (V) + ф(*)) — 51 (Р) у (V) + 5 (Р) / (х, V).

Так как полином 0(1) - гурвицев, то, выполнив «операторное деление», получим

00 (Р) у(г) = кик (V) — |(Ру у(<) + / (х, V) + ОР С°1 (V) + к Ф(^).

Разложим оператор 00 (Р) = 0т (Р) + 02 (Р), где 0т (1) - нормированный гурвицев полином deg 0т (1) = у, deg 02 (1) = Т — 1. Составим уравнение для ошибки е^) = у(0 — ут (V):

0т (Р)е(^) = кик (V) + ^), (17)

где У1 (V) = —02 (Р)У(Г) — 01Ру(() + о0(Р/(х, 0 + 0РСС1 (0 + кф(0 — 0т (Р)ут (V).

Утверждение 2. Если выполнены условия предположений, то для любого числа 5> 0 существуют числа ^-0 > 0, а > 0 такие, что при выполнении условий: полином (цР + 1)у + к а — 1 -гурвицев, т < т0, алгоритм управления

((цР + 1)у — 1)ик(г) =—а0т (Р)е(1) (18)

обеспечивает для системы (17) выполнение целевого условия (2), и все переменные в замкнутой системе ограничены, где а > 0 .

Доказательство имеется в [8].

На рис. 2 представлена блок-схема системы слежения.

Подсистема компенсации помехи отличается от первого случая дополнительными матричными блоками Т-1 и К .

Пример

Для иллюстрации предложенного способа построения системы управления, которая компенсирует влияние возмущений и помех на регулируемую переменную, рассмотрим числовой пример.

Рассмотрим объект управления, математическая модель которого имеет вид

[ х1 = -2х1 + х2 + к1х1 + к2 х2 + (к3 х1 + к4 х2) 8т( х2) + / ^),

[ х2 = х1 - х2 + и + к1х1 + к2х2 + (к3х1 + к4х2)8т(х2) + /^).

С измерительных устройств получаются сигналы

Г г = х1 + ^

1 ^2 = х2 + 0,5£.

Регулируемой величиной является переменная у = х1 + х2.

Класс неопределенности задан неравенствами 0 < кг- < 5,1 = 1, 4, | /(^)| < 5 . В данном случае в уравнении (1) С = [1 1], ВТ =[0 1],ОТ =[1 1],

/(х, t) = к1х1 + к2х2 + (к3х1 + к4х2) 8т(х2) + /^).

Сформируем управление в соответствии с формулой (3) и = ип + ик и введем новый измеряемый вектор (4) г = г + Ыу .

Воспользуемся линейным преобразованием с невырожденной матрицей:

Т =

_ 2 1 3 3

1 1 3 3

Т-1 =

-1 1 1 2

Тогда уравнение (13) примет вид

0 =

8 1 3 3

1 _ 1

3 3

0 +

"1" "0" "_0,5"

2 (ип + ик ) + 3 /(х, і), л = 0 + 2

Выписываем первое уравнение относительно переменной Г|1, принимая во внимание уравнение выхода

8 1 „ ^ „г

Л1 = - 3Л1 + 3Л2 + ип + Ч - 0,5Х - 2^.

ип = _ 1 Л2, Л2 - вторая компонента вектора Л = Т 1г = Л +

Формируем составляющую управляющего воздействия ип (і) в соответствии с формулой

^ 0,5"

2

В результате подстановки ип (і) получим

V .

8 2 п _ ТІ1 =_3Л1 _3V + ик _0,5Х_2Х.

Берем вспомогательный контур, который описывается уравнением

Л:

82 —Л--------V + ик,

3 3

и составим уравнение для сигнала рассогласования С = Л1 _ Л:

С (t)=-3 ^) - 0,5Х (t) - 2^).

Отсюда получаем формулу, реализация которой позволяет получить оценку сигнала X :

; = Р + 8/3 0,5Р + 2

Сформировав вспомогательное управление V в соответствии с формулой

Р + 8/3

V = -

0,5Р + 2

С

получим г (t) = х^).

Преобразуем математическую модель объекта управления в одно уравнение относительно переменной у = Сг и составим уравнение для ошибки ё = у - ут , не учитывая экспоненциально затухающие составляющие

(Р2 + 3Р + 1)ё = (Р + 3)ик + (Р + 5)/(х, t) - (Р2 + 3Р +1)ут .

В данном случае относительная степень у = 1, поэтому формула (19) примет вид

ик = _а

Р + 4_ е .

тР

Таким образом, алгоритм функционирования системы управления описывается следующими уравнениями:

и = ип + ик , г = г + Ыу , Л= Т_1г , Л = Т_1г , ип =-1Л2,

л 8„ 2 ~ /\~/\ Р + 8/3 с*

11 = -3Л- 3 V + 4, С(0 = Лl(t)-1l(t), V = 05Р + 2 С ’

_ _ __ Р + 4_

у = 12 , е = у - Ут , ик =-а-— ё .

На рис. 3, 4 представлены результаты моделирования при следующих исходных данных: а = 5, т = 0,01, к = 3,1 = 1,4, х1(0) = х2(0) = 2.

и(і)

Лі)

Рис. 3. Графики изменения возмущений и помех

е(1)

(

/"Л

1 / "Л ч / / \

\ \

\ /

V/

3,5

10

і, с

20

0

-0,5

і, с

10

і, с

20

Рис. 4. Переходные процессы в системе слежения

Величина 8 в целевом условии (2) не превышает значения 0,02 для любых параметров математической модели из заданного класса неопределенности.

Заключение

Решена задача слежения за эталонным сигналом для объекта, на который действуют внешние ограниченные возмущения, а в каналах измерения вектора состояния присутствуют аддитивные помехи, формируемые одним источником. При определенных структурных ограничениях на математическую модель объекта управления удается выделить сигнал, несущий информацию только о помехах. Это позволило получить оценку помех и осуществить их компенсацию. На примере проиллюстрирована работа полученного алгоритма слежения. Результаты моделирования подтверждают теоретические утверждения. Они продемонстрировали, что при значительном уровне помех, действующих во всех каналах измерения компонент вектора состояния, а также при наличии параметрических и внешних ограниченных возмущений возможна компенсация их влияния на регулируемую переменную с требуемой точностью.

СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ

1. Поляк Б. Т., Щербаков П. С. Робастная устойчивость и управление. - М.: Наука, 2002. - 303 с.

2. Буков В. Н. Вложение систем. Аналитический подход к анализу и синтезу матричных систем. -Калуга: Изд-во науч. лит. Н. Ф. Бочкарёвой, 2006. - 718 с.

3. Назин С. А., Поляк Б. Т., Топунов М. В. Подавление ограниченных внешних возмущений с помощью метода инвариантных эллипсоидов // Автоматика и телемеханика. - 2007. - № 3. - С. 106-125.

4. State space solutions to standard H2 and H¥ control problems / J. C. Doyle, K. Glover, P. P. Khargone-kar, P. A. Francis // IEEE Transactions on Automatic Control. - 1989. AC. 34, N 8. - P. 833 - 847.

5. Баландин Д. В., Коган М. М. Синтез субоптимального регулятора по выходу для гашения ограниченных возмущений // Автоматика и телемеханика. - 2011. - № 4. - С. 3-10.

6. Хлебников М. В. Подавление ограниченных внешних возмущений: линейный динамический регулятор по выходу // Автоматика и телемеханика. - 2011. - № 4. - С. 27-42.

7. Методы робастного, нейронечеткого и адаптивного управления / под. ред. Н. Д. Егупова. -М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2002. - 733 с.

8. Цыкунов А. М. Адаптивное и робастное управление динамическими объектами по выходу. -М.: Физматлит, 2009. - 268 с.

Статья поступила в редакцию 6.06.2012

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРЕ

Цыкунов Александр Михайлович - Астраханский государственный технический университет, д-р техн. наук, профессор; зав кафедрой «Математика в инженерном образовании»; [email protected].

Tsykunov Alexander Mikhailovich - Astrakhan State Technical University; Doctor of Technical Sciences, Professor; Head of the Department "Mathematics in Engineering Education"; [email protected].