Робастное управление для одного класса нелинейных объектов с распределенным запаздыванием Текст научной статьи по специальности «Математика»

А

нализ и синтез систем управления

УДК 681.5

РОБАСТНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ ОБЪЕКТОВ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

А.М. Цыкунов

Предположено, что параметры математической модели неизвестны, а измерению доступны только выходные переменные. В качестве целевых условий принята точность отслеживания эталонного сигнала. Получены алгоритмы управления, позволяющие скомпенсировать априорную неопределенность и существенно уменьшить влияние неизме-ряемых внешних ограниченных возмущений на выходные переменные. Приведен численный пример и результаты моделирования, демонстрирующие эффективность полученного алгоритма слежения.

Ключевые слова: распределенное запаздывание, робастное управление, функционал, эталонный сигнал.

ВВЕДЕНИЕ

Многие объекты управления в химической промышленности, атомной энергетике, биологии, экономике и других отраслях описываются дифференциальными уравнениями с запаздыванием [1, 2]. Получение алгоритмов управления такими объектами в условиях неопределенности параметров математической модели и при наличии неконтролируемых внешних возмущений представляют собой важную научную и практическую задачу. В зависимости от типа запаздывания они подразделяются на объекты с запаздыванием по состоянию, управлению и нейтрального типа. Кроме того, запаздывание может быть сосредоточенное (в иностранной литературе оно называется дискретным) и распределенное. Естественно, что имеются объекты, в математические модели которых входят различные типы запаздываний. Каждый тип уравнений требует своих подходов к решению задач управления.

Имеется большое число опубликованных работ, посвященных построению алгоритмов управления для различных типов объектов при наличии той или иной априорной информации о

параметрах математической модели и внешних возмущениях.

Задаче управления нелинейным объектом с запаздыванием при ограничениях на управляющее воздействие посвящена работа [3]. Система стабилизации нейтрального объекта исследуется в работе [4], а задача робастного управления нейтральным объектом и нелинейным — в работах [5, 6] соответственно. Задачи управления объектом с распределенным запаздыванием решаются в работах [7—11]. Обширная библиография имеется в обзорной статье [12], а также в трудах 14-го и 15-го конгрессов ИФАК.

Для качественного управления объектом возникает необходимость в подавлении влияния возмущений и в компенсации априорной неопределенности параметров математической модели. Задача существенно усложняется, если управление строится по выходу для нелинейного объекта, так как не для любой нелинейной модели можно получить алгоритм управления по выходу.

Можно выделить два основных способа построения систем управления в данной ситуации: построение различных наблюдателей вектора состояния и оценка обобщенных возмущений, в которые входят априорно неопределенные парамет-

ры и внешние возмущения. Второй из них был применен в работах [10, 11], а также в данной статье. Однако, в отличие от работ [10, 11], здесь не используются вспомогательный контур и наблюдатель производных. Закон управления выбран так, что фактически он функционирует на основании информации об обобщенном возмущении. Доказано, что при соответствующем выборе параметров управляющего устройства существенно подавляется влияние возмущений на точность слежения.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим объект управления, математической моделью которого служат уравнения

0

x (t) = Ax(t) + D J F(y(t + 0)d0 + Bu(t) + rf(t),

-h

y(t) = Cx(t), x(0) = ф(0), 0 e [-h, 0], (1)

где x e Rn, u(t) и y(t) — скалярные управляющее воздействие и регулируемая переменная, f(t) — внешнее скалярное неизмеряемое возмущающее воздействие, F(y(t)) — нелинейная функция, ф(0) — непрерывная начальная функция, h — время запаздывания, А, В, D, Г и С — числовые матрицы соответствующих порядков.

Требуется получить алгоритм управления, обеспечивающий выполнение целевого условия

|y(t) - ym(t)i < 8, 11 T0

0

(2)

где Ут(11) — сигнал, который д олжен отслеживаться выходом объекта управления, величина 5 > 0 характеризует точность слежения, Т0 — время, по истечении которого с начала функционирования системы выполняться целевое неравенство. Иными словами, условие (2) означает, что целевое неравенство должно выполняться за конечное время, которое зависит от многих факторов: начальных условий объекта, уровня возмущений и эталонного сигнала.

Будем решать сформулированную задачу при следующих предложениях.

1. Пара (А, В) — управляема, а (А, С) — наблюдаема.

2. Известны диапазоны возможных значений

элементов матриц A =

In

n - 1

an 01 x(n - 1)

B, D, Г,

C = [1, 0, ..., 0], где 01 x (n _ 1} — нулевая матрица-строка.

3. Уравнение (1) (в случае отсутствия нелинейности F(y(t)) = 0) минимально-фазовое, т. е. полином CAdjK(s)B является гурвицевым, где s — комплексная переменная в преобразовании Лапласа, A(s) = (Ins — A), In — единичная матрица n x n, AdjA(s) — присоединенная матрица (транспонированная матрица алгебраических дополнений матрицы A(s)),

4. Внешнее возмущение f(t) и эталонный сигнал ym(t) гладкие и ограниченные функции: |f(t)| m х1,

|Уm(t)l < X^ Xi > 0, X2 > 0.

5. Производные регулируемой переменной и управляющего воздействия не измеряются.

6. Функция F(y(t)) гладкая и удовлетворяет глобальному условию Липшица, F(0) = 0.

Замечание. Отметим, что наличие только одного типа запаздывания, выбор структуры матрицы A, а также скалярной нелинейности и ограничения r m m обусловлены исключительно желанием упростить преобразования.

2. МЕТОД РЕШЕНИЯ

Преобразуем уравнения (1) в форму «вход — выход»:

0

Qn(P)y(t) = kRm(P)u(t) + K((P) J F(y(t + 0))d0 +

+ G(Pm,

(3)

где Р = й/й1 — оператор дифференцирования, 0п(Р), К(Р), Ят(Р) — линейные дифференциальные операторы, degQn(P) = п, degRm(P) = т, ёевбТ(Р) = т, т < п - 1, degKг(P) = г, г < т. Для определенности пусть г = т. Операторы 0п(Р) и Лт(Р) нормированные.

Применим алгоритм деления Евклида к полиному 0п(р):

Оп(Р) = 0У (Р)*т(Р) + - 1(Р).

Представим многочлен (Р) в виде суммы двух полиномов

е, (Р) = еу(Р) + е - 1(Р), у = п - т.

Здесь и в дальнейшем индексы будут указывать на полином и его порядок, 0у(Р) — гурвицев полином. Тогда

Оп(Р) = еу(Р) + е - ¿Р))^ + е - 1(Р).

h

Подставив это выражение в уравнение (3) и разделив полученное уравнение слева и справа на нормированный полином Ят(Р), получим

шРЖО = мо + ^о).

Здесь

^(0 = -о - ¿тъ +

(р)

-деи - \(Р)у(^) +

+ к(Р) | вы? + 6»^ + о^рт

Составим уравнение для сигнала рассогласования е(0 = у(?) - ут(?):

Оу(Р)е(0 = М?) + ^(0 - 0(Р)Ут() (4)

Сформируем управляющее воздействие и(?) в соответствии с формулами:

и(0 = а3(0, 3(0 = 3^0 + 32(0, а > 0, Мр(Р)91(?) = -Оу(Р)е(?), ^(^(0 = 3(0. (5)

Подставим значение и(?) из первого из уравнений (5) в уравнение (4):

О(Р)е(0 = 3(0 + ^(0,

(6)

где ^(0 = + (ка - 1)3(0 - Оу(Р)Ут(0.

Функция у2(0 несет всю информацию о неопределенности параметров математической модели и возмущениях.

Учитывая выражение (6), исключим из уравнений (5) переменные 31(?) и 32(0, в результате чего получим

Мр(Р)3(0 = -^2(0. (7)

Выберем многочлен Мр(Р) в виде Мр(Р) =

= (цР + 1)в, где р 1 у, ц > 0 — достаточно малое число. Подставим Мр(Р) и у2(0 в уравнение (7):

(цР + 1)р3(0 = -^(0 - (ка - 1)3(0 + Оу(Р)Ут(?). Преобразуем данное уравнение

((цР + 1)р - 1 + ка)3(0 = -у(0,

где у(0 = у1(?) - Оу(Р)ут(?). Таким образом, математическая м одель (4), (5) эквивалентна по выходу системе уравнений:

О(Р)е(0 = ки(?) + у(0, ((цР + 1)р - 1 + ка)и( 0 = -ау( ?).

Из этого уравнения следует, что многочлен (цР + 1)в - 1 + ка должен быть гурвицевым.

Преобразуем уравнения (8) в векторно-матрич-ную форму

ё ( 0 = Лте( 0 + Ь(ки( 0 + у( 0), е( 0 = Ье( 0, цг ( о = о - Ьу( 0, и( о = Ьаг( ?). (9) Здесь е е К', г е ЯР, Ь = [1 0...0], Ь = [а 0...0],

0 1 0 ... 0 001.... . ... ... ... 0

0 ... 0 0 1

Ат =

В0 =

-1 1 0 ... 0

0 -1 1 ... .

. ... ... ... 0

0 ... 0 -1 1

-ка + 1 0 ... 0 -1

-?1

Ь =

— коэффициенты полинома О (Р). Получили сингулярно-возмущенную систему {ХЕ «сингулярно-возмущенная система»} уравнений, так как второе уравнение в выражении (9) описывает быстрые составляющие, если ц — малое число.

Утверждение. Пусть выполнены условия предположений, многочлен Мр(Р) - 1 + ка является гурвицевым. Тогда существует число ц0 > 0 такое, что при выполнении неравенства ц0 > ц алгоритм управления (5) обеспечит выполнение целевого условия (2).

Доказательство приведено в Приложении.

Для иллюстрации работы полученного алгоритма слежения рассмотрим числовой пример.

3. ПРИМЕР

Предположим, что динамические процессы в объекте управления описываются уравнениями:

| В(у(? + 6)^6 +

-4

а1 1 0 0 ¿11 ¿12 ¿13 ¿14

X (?) = а2 0 1 0 х(?) + ¿21 ¿22 ¿23 ¿24

а3 0 0 1 ¿31 ¿32 ¿33 ¿34

а4 0 0 0 ¿41 ¿42 ¿43 ¿44

0 0

+ к 1 и(?) + 0

3 £1

8 §2_

(8)

ло, у(?) = [1 0 0 0М0,

х(6) = ф(9), 6 е [-И 0].

И

0

Переходные процессы

Здесь ^(у) = [ВД ед Ж3(у) ^4(у)], Ж(у), . = 1, 4 — скалярные функции, удовлетворяющие условиям предположений. Класс неопределенности задан неравенствами: -13 < а. т 13, -10 < й.. т 10, . = 174, у = 174, 8 < к т 12, |/(0| < 3, -10 < ^ < 10, г = 1, 2, |Ут1 т 20.

Требуется получить алгоритм для слежения за эталонным сигналом с целевым условием (2).

В данном случае величина у = п - т = 2. Выберем оператор е2(Р) = Р2 + 15Р + 56. Тогда алгоритм управления (5) будет иметь вид

и(0 = а3(0, 3(0 = ^(0 + 32(0, а > 0, (цР + 1)^(0 = -(Р2 + 15Р + 56)е(0,

(цР + 1)3^(0 = Э(<).

Выберем число ц = 0,01. Число а выбираем из условия гурвицевости многочлена (цР + 1)3 - 1 + ка. Для этого величина ка должна быть меньше девяти. Имеем 8 < к < 12. Возьмем а = 0,5.

На рисунке приведены результаты моделирования при значениях параметров математической модели a1 = a3 = 12, a2 = —13, a4 = 13. В этом случае собственные числа матрицы

= 10,9202, Х2 = -0,5599, Х3 = 0,8199 + 1,2058 i,

Х4 = 0,81999 + 1,2058 i, dg = 5, i = 174 , j = 174 , g1 = ^2 = 10, W = sign y ln(1 + y2), F2(y) = signy + y ln(1 + y2), F3(y) = (signy + ln(1 + y2))signy,

F4(y) = siny + ln(1 + y2).

На управляющее воздействие наложено ограничение |u(t)| < 50. Начальные условия ф(0), 0 e [—h 0), xT(0) = [1 1 1 1]. Остальные начальные условия нулевые. Для данного варианта параметров объекта управления абсолютная ошибка равна 0,02. При этом для любых параметров из заданного класса неопределенности ошибка не превышает значения 0,05.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Решена задача робастного слежения за эталонным сигналом для объекта, математическая модель которого представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение с распределенным запаздыванием. Параметры объекта управления не известны, известны диапазоны их возможных значений; на объект действуют неизмеряемые внешние возмущения. Если возмущения и эталонный сигнал удовлетворяют условиям предположений, то полученный алгоритм слежения позволяет существенно погасить влияние неопределенности и возмущений на регулируемую переменную. Результаты моделирования показывают, что предложенный алгоритм управления позволяет получить качественные переходные процессы. Точность слежения зависит от параметров ц и а.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Доказательство утвержд ения. Вначале докажем работоспособность алгоритма для редуцированной модели. Затем обоснуем близость переходных процессов в исходной системе и в редуцированной модели.

Для анализа свойств замкнутой системы воспользуемся методикой [13]. Введем новую переменную

n(0 = z(t) — F0-1by(t), где F0-1by(t) решение уравнения F0z(t) — by(t) = 0. В новых переменных система уравнений (9) примет вид

è (t) = Ame(t) + b(ku(t) + v(t)), e(t) = Lè(t),

И (t) = Fon(t) - цFo-1bф (t), u(t) = Lan + LaFQlb\V(t).

Подставив значение u(t) в первое уравнение, принимая во внимание равенство La F0-1b = -1/k, получим

è (t) = Amè(t) + bLan(t), e(t) = Lè(t),

цП (t) = Fon(t) - ц Fo-1b ф (t). (П.1)

Составим уравнение для редуцированной модели:

è (t) = Amè (t) + bLan (t), e (t) = Lè (t),

цП (t) = F,П (t). (П.2)

В этом случае функция y(t) будет иметь вид

Ф (t) = -Q - i(P)У (t) +

1

Rm( P)

-AQm - i(P)y (t) +

+ Kr(P) J F(y (t + 9) I d9 + Gr(P)f(t)) - Q(P)ym(t).

-h

Так как матрицы Am и F0 являются гурвицевыми, то lim s (t) = 0, lim n (t) = 0. Принимая во внимание

t да t да

структуру матрицы Am и порядок полинома qy _ j(P), получим lim P}e (t) = 0, j = 1, ..., у. Следовательно, пере-

t ^ да

менные PJy (t) — ограничены, так как e (t) = y (t) — ym(t), а эталонный сигнал удовлетворяет четвертому условию предположений. Кроме того, нелинейность и возмущения удовлетворяют предположениям 4 и 6. Тогда, учитывая порядки операторов Rm(P) и Kr(P), можно сделать

вывод о том, что функция ф (t) и ее производная в редуцированной модели ограниченные.

Таким образом, редуцированная система (П.2) асимптотически устойчива по переменным s (t). Тогда для заданного числа S1 > 0 существует момент времени T1 такой, что при t > T1, будет выполнено неравенство

|У (t) - Ут(0| < Si.

(П.3)

Покажем, что переходные процессы в системах (П.1) и (П.2) при соответствующем выборе числа ц будут близки. Введем векторы рассогласования

4(?) = е(?) - ё (?), С(?) = п(?) - П (?).

Тогда, вычитая систему (П.2) из системы (П.1), получим систему уравнений:

4 (?) = АДО) + ььд?), б(?) = е(?) - е (?) = ДО),

4 (?) = 1 В0С(?) - В0-1Ь(ф (?) - ф (?)) - В0-1Ьф (?). (П.4) ц

Преобразуем функцию ф(?) - ф (?):

ф(?) - ф (?) = -о - !(Р)(у(?) - у (?)) +

1

Rm(P )

-AQm - i(P)(y( t) - У( t)) + K(P) S

X ^ | В(у(? + 6))¿6 - I В(у (? + 6)М6^.

Продифференцировав эту формулу слева и справа, получим

Ф (?) - ф (?) = -РОу - ¿РЖ?) - у (?)) + + рРР ("АОт - 1(Р)(У(?) - У (?)) + К(Р) Х

Кт( Р)

X (((В(у(?)) - в(у(? - И))) - ((В(у (?)) - В(у (? - И))))).

Выделим целые части, выполнив «операторное деление» в выражениях

К( Р) = к + АКт - 1 ( Р)

Rm( P)

Rm(P) '

PA Qm - 1 ( P - = k + Qm - 1 ( P )

Rm( P) q Rm ( P) '

+

0

где кг, ку — коэффициенты при старших членах многочленов К(Р), РА0т - 1(Р) соответственно. Справедлива цепочка равенств

Вычислим производные от функций (П.7) на траекториях системы (П.6), принимая во внимание уравнения (П.8):

У(0 - У (?) = (у(?) - Ут(0) - (У (?) - Ут(0) =

= е(?) - е (?)= е(?) = Д(?).

Тогда будем иметь систему уравнений

ф(?) - ф(?) = -сТ4(?) - ю^?) - с33®2(?) + ¿до, + к(((Д(У(?)) - Д(у (?))) - (Д(у(? - к)) - Д(у (? - А))),

ю 1(?) = Лю^о + Ье(?),

со 2(?) = Л«2(?) + Ь(д(у(?)) - (Д( У (?))) -

- Ь(Д(у(? - к)) - Д(У (? - к))), (П.5)

где с13 = [-ку + ду - 1 + ^ - 1, ..., + g1], — коэффициенты полинома - 1(Р), с2, с3 — векторы, элементами которых служат коэффициенты многочленов ёт - 1(Р) и АКт - 1(Р) соответственно, записанные в обратном порядке, Л — гурвицева матрица в форме Фро-бениуса, характеристическим полиномом которой является многочлен

Подставив выражение (П.5) в систему уравнений (П.4), получим

V = -р|4(?)|2 + 24 3(?)иьхд?) - ^ |С(?)|2 -

а ц

- 2^3(?)Н1 Д0-1ЬФ (?) - 2СТ(0#1 Д0-1Ь(- с34(?) - с3ю^?) + + с3<»2(0 + ¿ДО + кД(ДХО) - Д(У (?))) -

- (Д(у(? - к)) - Д(У (? - к)))) - р^О!2 +

+ 2 ю1(0Я2Ье(0 - р3|ю2(?)|2 + 2 юТ (?)И3Ь(Д(у(?)) -

- д У (?))) - (Д(у(? - к)) - Д У (? - к))) +

+ |4(?)|2 - |4(? - к)|2. (П.9)

Воспользуемся оценками, принимая во внимание равенство ||£|| = 1:

2^Т(0ЯЬХД0 < ц|4(?)|2 + - |С(?)|2,

а ц

Х1 = ||ЯМ||2,

-2СТа)И1 Д-1Ь ф (?) < 1|С(?)|2 + цх2, ц

Х2 = 8^р|И1 д-1ьф (0|2,

4 (?) = 4^(0 + Ь^Д?), е(?) = е(?) - е (?) = Д(?),

4 (?) = 1 ДэС(?) - Д-1Ь(- с14(?) - сТ2<»1(0 + с3 »2(?) + ц

+ ¿Д?) + к.(((Д(У(?)) - Д У (?))) -

- (д(у(? - к)) - д У (? - к)))) - д-1ь Ф (?), с» 1(?) = Лю1(?) + Ье(?),

<»2 ( ?) = Л»2(?) + Ь(Д(У(?)) - (ДУ (?))) -

- Ь(Д(у(? - к)) - ДУ (? - к))). (П.6)

Возьмем функционал Ляпунова — Красовского V = 4Т(?)И4(?) + ^(Онд?) + <Т (?)И2»1(?) +

г

+ ю2Т(?)Из»2(?) + I |4(^)|2й^, (П.7)

? - к

где положительно-определенные матрицы И, И1, И2 и И3 являются решением матричных уравнений

ИАт + = ^ И1Д0 + Д02И1 =

И2Л + ЛТИ2 = -р/, И3Л + Л2И3 = -р3/. (П.8)

-2СТ(?)И1 Д0-1Ь(-с2 4(?) - с;2 »1(?) - с3 <»2(0 + + кг((Д(У(?)) - ДУ (?))) - (Д(у(? - к)) - ДУ (? - к)))) т

т 1 |С(?)|2 + цхз|4(?)|2 + цх4К(?)|2 + цх5<2(?)|2 +

+ ц|И1 Д0-1Ьк.|2(|Д(У(?)) - ДУ (?))|2 + (Д(У(? - к)) -

Д У (? - к))|2) т 1 |С(?)|2 + цхз|4(?)|2 + цх4<1(?)|2 +

у|2\ ^ 1 |г/.Л|2 ц

+ цх5<2(?)|2 + цХ6|4(? - к)|2,

Здесь р > 0, р.. > 0, I = 1, 2, 3.

2»3 (?)И,Ь(Ду(?)) - ДУ (?))) - (Д(У(? - к)) -Д У (? - к))) т 1 |Ю2|2 + цх^ДОР + цх^(? - к)|2,

Х7 = lИ3Ьk/,

2ю3(?)ИЬе(?) т 1 |Ю1(?)|2 + цх8|4(?)|2, ц

-2С3(?)И1 Д0-1Ь^аС(?) т Х9|С(?)|2,

где Х3 = И Д0-1Ьс31|2, Х4 = ||И1 Д0-1Ьс31|2, Х5 = И Д0-1Ьс33||2, Х6 = к^ |И1 Д0-1Ькг|2, кь — константа Липшица, х8 = |И2Ь|2, Х9 = ||2И1 Д0-1Ь^Л.

Отметим, Бир^ В0 1Ь ф (?)|2 существует, так как была

обоснована ограниченность ф (?). Подставив приведенные оценки в формулу (П.9), получим неравенство

V < -(р - 1 - ц(1 + Х3 + Хб + Х7 + Х8))14(?)|2 -

- Р 1 - 1 -Х 1 - ц Х 9|С(?)|2 - (р2 - 1 )|Ю1(?)|2 -ц 4 цу 1

- (Р3 - 1 )М?)|2 - (1 - ц(1 + ц(Хб + Х7))|4(? - И)|2 + цХ2.

ц

Если выбрать числа р, р1, р2, р3 и ц из условий

Р - ц(1 + Хэ + Хб + Х7 + Х8) = СТ Р1 - 1 - Х1 - Р1 - 1 -

- Х1 - цХ9 = Р2 - 1 = ^ Р3 - 1 = СТ21 - ц(Хб + Х7) > 0

цц

а > 0, ^ > 0, СТ2 > 0, то получим

V(4, п) < -ст|4(?)|2 - ^|С(?)|2 - ^МОР -ц 2 1

- ^2|Ю2(?)|2 + ЦХ2,

откуда следует, что область притяжений системы (П.б) задана неравенством

а|4(?)|2 + ^(?)|2 + СТ2К(?)|2 + СТ2|Ш2(?)|2 < цХ2. ц

Из этого неравенства следует цепочка неравенств: |б(?)|2 < |4(?)|2 < цХ2.

СТ

Принимая во внимание выражения (П.3) и (П.4), получим

|е(?)| = |е(?) + б(?)| < |е(?)| + |б(?)| < 51 + ^ц^. (П.10) Если числа 51 и ц выбрать из условия

51 + ЛцХ2 < 5,

то из неравенства (П.10) получим целевое условие (2).

ЛИТЕРАТУРА

1. Kolmanovskii V.B., Myshkis A.D. Introduction to the theory and applications of functional differential equations. — Dordrecht: Kluwer Acad., 1999.

2. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулирования систем с последействием. — М.: Наука, 1981.

3. Goodall D.P., Postoyan R. Output feedback stabilization for nonlinear time-delay systems subject to input constraints // Int. Journal of Control. — 2010. — Vol. 83. — N 4. — P. 676—693.

4. Ivanescu D, Niculescu S.I., Dugard L., Dion J.M. Verriest E.I. On delay dependent stability of neutral systems // Automatica. — 2003. — Vol. 39. — N 2. — P. 255—261.

5. Han Q.L. Robust stability of uncertain delay-differential systems of neutral type // Automatica. — 2002. — Vol. 38. — N 4. — P. 719—723.

6. Nguang S.K. Robust stabilization of a class of time-delay nonlinear systems. // IEEE Trans. Automat. Contr. — 2000. — Vol. 45. — N 4. — P. 756—762.

7. Xie L., Fridman E., Shaked U. Robust Hm control of distributed delay systems with application to combustion control // IEEE Trans. Automat. Contr. — 2001. — Vol. 46. — N 12. — P. 1930—1935.

8. Berezansky L., Braverman E. On nonoscillation and stability for systems of differential equation with a distributed delay // Automatica. — 2012. — Vol. 48. — N 4. — P. 612—618.

9. Zhong Q.-C. On the standard Hm control of processes with a single delay // IEEE Trans. Automat. Contr. — 2003. — Vol. 48. — N 6. — P. 1097—1103.

10. Цыкунов А.М. Робастное управление объектом с распределенным запаздыванием // Проблемы управления. — 2013. — № 3. — С. 2—8.

11. Цыкунов А.М. Робастная синхронизация сети объектов с распределенным запаздыванием // Автоматика и телемеханика. — 2015. — № 11. — С. 65—75.

12. Richard J.-P. Time-delay systems: An overview of some recent advances and open problems // Automatica. — 2003. — Vol. 39. — N 10. — P. 1667—1694.

13. Khalil H.K. Nonlinear systems. — 3rd ed. — N.-Y.: Prentice-Hall, 2002.

Статья представлена к публикации членом редколлегии

М.В. Хлебниковым.

Цыкунов Александр Михайлович — д-р техн. наук,

зав. кафедрой, Астраханский государственный технический

университет, Н tsykunov_al@mail.ru.

О

1\/11_50 Девятая международная конференция

,,П1, «Управление развитием крупномасштабных систем»

' ° 3—5 октября 2016 г.

Направления работы конференции:

проблемы управления развитием крупномасштабных систем, включая ТНК, госхолдинги и госкорпорации;

методы и инструментальные средства управления инвестиционными проектами и программами;

проектные офисы — институты развития крупномасштабных систем;

имитация и оптимизация в задачах управления развитием крупномасштабных систем;

управление топливно-энергетическими, инфраструктурными и другими системами;

управление транспортными системами;

управление развитием авиационно-космических и других крупномасштабных организационно-технических комплексов и систем;

управление региональными, городскими, муниципальными системами;

управление объектами атомной энергетики и другими объектами повышенной опасности;

информационное и программное обеспечение систем управления крупномасштабными производствами;

методы, инструментальные средства и приложения мониторинга в задачах управления крупномасштабными системами;

управление развитием крупномасштабных систем здравоохранения, медико-биологических систем и технологий;

методология, методы и программно-алгоритмическое обеспечение обработки и интеллектуального анализа больших массивов информации.

Более подробная информация на сайте http://mlsd2016.ipu.ru