Робастно-адаптивное управление линейным динамическим объектом с запаздывающим управлением Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК [681.511:517.938] :004.896

Р. Д. Досмухамедов, А. М. Цыкунов

РОБАСТНО-АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМ ДИНАМИЧЕСКИМ ОБЪЕКТОМ С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ УПРАВЛЕНИЕМ

R. D. Dosmukhamedov, A. M. Tsykunov

ROBUST-ADAPTIVE CONTROL OF A LINEAR DYNAMIC OBJECT WITH DELAYED CONTROL

Получен новый класс алгоритмов робастного управления, позволяющий компенсировать параметрические и внешние неизмеряемые возмущения с заданной точностью. Моделирование численного примера подтвердило результаты моделирования.

Ключевые слова: робастное управление, наблюдатель, возмущение.

A new class of algorithms of robust control enabling to compensate parametrical and external nonmetering disturbances with the given accuracy is considered in the paper. The modeling of a numerical example has approved the modeling result.

Key words: robust control, observer, disturbance.

Введение

Проблема компенсации влияния неизмеряемых внешних возмущений в теории управления не теряет своей актуальности. Это обусловлено тем, что на реальные динамические объекты действуют внешние неконтролируемые возмущения при наличии в самом объекте регулирования параметрической неопределённости, т. к. что практически любая математическая модель является идеализированным представлением реального объекта. Эти возмущения отрицательно влияют на нормальную работу динамической системы, а зачастую и вовсе приводят её в нерабочее состояние. Именно поэтому классические методы теории автоматического управления неприменимы или же дают плохие результаты при решении поставленной перед проектировщиком системы задачи, т. к. эти методы основаны на предположении, что математическая модель объекта абсолютно точно описывает его поведение и является заранее известной. Поскольку практической ценностью любого закона управления является его работоспособность, возникает необходимость поиска такого алгоритма функционирования системы, который решал бы поставленную перед специалистом задачу, в связи с чем имеет место использование специальных методов теории робастного и адаптивного управления.

Существует множество работ, посвящённых данной проблеме, в которых предлагаются различные методы решения задачи компенсации. Методы по решению задачи, описанной выше, предложены в [1-3]. В [4-6] полно представлены теория робастного и адаптивного управления и библиография. Наиболее близкими по духу к предлагаемому нами методу построения системы управления являются методы, изложенные в [7-8]. Главной в процессе проектирования системы управления, позволяющей этой системе функционировать в сложившихся условиях, является задача выделения сигнала, несущего информацию о параметрических и внешних возмущениях, который может быть в дальнейшем использован для получения нужных оценок.

Нами рассматривается задача компенсации параметрических и внешних неизмеряемых ограниченных возмущений. Для решения задачи был введён, параллельно объекту управления, вспомогательный контур, задающий желаемую динамику объекта управления и позволяющий выделить неизвестные возмущения, которые затем компенсируются. Предложенная схема формирования сигнала, обладающего всей информацией об этих возмущениях, является простой и позволяет легко получить все необходимые оценки и синтезировать закон управления. Ещё одним достоинством является довольно широкий класс неопределённости.

Постановка задачи

Предположим, что динамические процессы в объекте управления описываются следующим дифференциальным уравнением:

х '(і) = Лх(і) + Ви (і) + Сх(і - И) + Ц/(і), у(і) = Ьх(і), х(^) = у(5), 5 є[—И;0), у(0) = 0, (1)

где х - вектор состояния объекта управления; у(г), и(г1), /(г) - скалярная регулируемая переменная и скалярные управляющее и возмущающее воздействия соответственно; А, В, С, Ь -числовые матрицы соответствующих порядков. Матрица С имеет специальный вид:

Величина запаздывания известна и постоянна.

Требуется решить задачу слежения за эталонным сигналом ут (г) так, чтобы выполнялось целевое условие

где 5 > 0; Т0- время, по истечении которого, начиная с момента включения системы в работу, должно выполняться приведенное неравенство.

Будем решать сформулированную задачу при наличии следующих ограничений.

Предположения

1. Пары (А В) и (А Ь) являются управляемой и наблюдаемой соответственно.

2. Элементы матриц А, В, С, В, Ь принимают значения, принадлежащие известному ограниченному множеству X .

3. Математическая модель (1) является минимально-фазовой при любых значениях элементов матриц А, В, С, В, Ь из заданного множества X .

4. Внешнее неизмеряемое возмущение ДО и эталонный сигнал ут (г) являются гладкими ограниченными функциями времени.

5. В алгоритмах управления не допускается использование производных измеряемых сигналов у (г), и (г).

Метод решения

Преобразуем векторно-матричное уравнение (1) в эквивалентное уравнение относительно регулируемой переменной, принимая во внимание структуру матрицы С:

Здесь Q(1) - нормированный многочлен степени п, который является характеристическим полиномом матрицы Л; О(1) — многочлен степени V < п — 1; Р = й/Л — оператор дифференцирования; И — постоянное время запаздывания.

С=

' С11 0 ... 0 ^

С21 0 .. 0

0

І У(і) — Ут (і)І<5, при Ґ > T0,

(2)

Q( Р) У(і) = кЯ(Р)и(і) + О(Р) у (і — И) + N (Р)/(і).

Щ1) = Ь(И — Л)+ В, аевЯ(Р) = т, О(1) = ЦП — Л)+ С, N(1) = ЦП — Л)+ В,

где (И — А)+ — транспонированная матрица алгебраических дополнений матрицы (И — А). Будем считать, что знак высокочастотного коэффициента усиления известен: к > 0. Произведем параметризацию модели:

Q(P) = Qo (Р) + ЛQ(P), Я(Р) = Я0(Р) + ДЯ(Р).

Получим

Qo (Р) у (і) = к (Л0 (Р) + ДЯ(Р))и (і) + О (Р) у (і — И) + N (Р) / (і) — ДQ(P) у (і). Произведём замену Q0 (Р) = Qm (Р)Я0) (Р), получим

^ /т /ч А /ч ДЯ(Р) ,ч О(Р) , , . N(Р) ч ДQ(Р) , '

Qm (Р) у(і) = к и(і) +------и (і) +-------у(і — И) +---------/(і)----------у(і)

т ^ Я0(Р) кЯ0(Р) кЯ0(Р) кЯ0(Р)

(3)

где deg Qm (Р) = у, у = п — т, deg Я (Р) = т, deg N(Р) = у — 1, deg ДЯ(Р) = т - 1.

Кроме того, полиномы Я (1), Qm (1) являются гурвицевыми и нормированными. При этом полином Qm (1) является желаемым характеристическим уравнением замкнутой системы, если удастся полностью скомпенсировать влияние обобщенного возмущения

ДЯ(Р) О(Р) . , . N(Р) ДQ(P) 1„ .т . .

У(і) =------и (і) +-------у(і — И) +-------/(і)---------у(і) — Qm (Р) ут (і).

Я0(Р) к^Р) кЯ0(Р) кЯ0(Р) к

Введем обозначение Щ(і) = и (і) + у(і) и составим уравнение для ошибки слежения

е(і) = у (і) — ут (і),

Qm (Р)е(і) = кЩ(і). (4)

Преобразуем уравнение (4) в векторно-матричную форму:

е '(і) = Лте(і) + кЩ(і), е(і) = Ц1е(і), (5)

где е(і) є Яу; Лт - матрица с характеристическим полиномом Qm (1), записанная в форме Фро-бениуса, ЪТ = [0,...,0,1], Ц = [1,0, ...0].

Таким образом, вектор еТ(і) = [е(і), е'(і), е"(і), ..., еу—1(і)].

Введем вектор Х0 (і) = [е(і), е '(і), е "(і), ..., еу (і)] и вектор его оценки Х(і), который будем

формировать с помощью наблюдателя производных [6]:

X(і) = Г0Х(і) + ¿0 (е(і) — е(і)), е(і) = Хх(і) = №). (6)

й1 ¿у+1

; ¿її =

0 0

чтобы матрица Г = Г0 + ¿¿1 была гурвицевой, ёт = ^а^,..., йу+1 ^, т> 0 - достаточно малая величина. Тогда функция 1 £ (Х(і) — Х0 (і)) будет являться погрешностью оценки функции Щ(і),

к

где £ - вектор, компонентами которого являются коэффициенты дифференциального оператора Qm (Р), записанные в обратном порядке.

Утверждение. Пусть выполнены условия предположений. Тогда существуют числа а > 0, |І0 > 0 такие, что при выполнении условий т < т алгоритм управления

и '(і) = —а/Х(і) (7)

обеспечивает системе (5), (6) выполнение целевого условия (2).

Доказательство утверждения. Составим уравнение для нормированного вектора ошибок, ^(і) = Т_1(Х(і) — Х0(і)), нормированную оценку \(і) = Т_1Х(і) и нормированные производные: Х0(і) = Т_1Х0(і), где Т является диагональной матрицей Т = diag{|Jу,..., |12, т, 1}, принимая во внимание уравнение (6):

т1 X' = ГХ + т2У йе(і),

Здесь Г0 =

0 1у

аТ =

; Хє Яу+1; числа ¿1,...,йу+1 выбираются так,

^Л'О1) = Гл(г) — т2ЬеУ+\(), т =^2 = т. (8)

Воспользуемся леммой.

Лемма [9]. Если динамическая система описывается уравнением

х(0=/(х, т1, т2), х(г)е яп, т1 > о, т2 > о,

где /(х, т1, М-2) - непрерывная функция, липшицева по х, и при т-2 = 0 система имеет ограниченную замкнутую область диссипативности

Вх = {х: ^ (х) < К},

где ^(х) - непрерывная, кусочно-гладкая, положительно определенная в Яп функция, такая что при некоторых е > 0 и то > 0 выполнено неравенство

sup

3FxT

— | f(x, mi,0)

< -e при F (x) = C,

тогда для всех достаточно малых т1, т2 < т0 множество Бх остается областью

диссипативности системы.

В качестве функции ^ возьмем функционал Ляпунова - Красовского:

V(t) = eT (t)He(t) + hT (t)H1v[(t) + X (t)H2 X(t) + J2 + f eT (s)Re(s)ds, (9)

t-h

где положительно-определенные матрицы H, #i, Н2, R определяются из матричных уравнений:

HAm + ATmH = -pI, Hir + rTH1 =-Zl, H2r + rTH 2 = -£l. (10)

Вычислим полную производную от функции (9) на траекториях системы (5), (8), принимая во внимание уравнения (10) и равенство m2 = 0:

V '(t) = -p|e(t)|2 +2eT (t)HkbJ(t)- — | v(t )|2 —— | X(t )|2 +2J(t )(-agT X(t) + У '(t)) +

m1 m1

+ eT (t)Re(t) -eT (t - h)Re(t - h). (11)

Преобразуем выражения:

-2J(t)agTX(t), 2J(t)y'(t),

-2 J(t )agT X(t) = -2ak J2 (t) - 2 J(t )agTT v(t),

2J(t )У '(t) = 2J(t) ( ^ “ ,(t) + k^ > '(t - h) + k^f ,(t) - kUP) > ’(t) - (P ^ (t)

y '(t) = e '(t) + y'm (t) = ЗДО + y'm (t), L2 = [0,1,0, „.,0].

Составляющие

y 1 (t)=f (t) - pQm ( p) ym (t) - y m (t) - да (p) y m (t)+

kR0 (P) k kR0 (P)

+G1(P) y m (t - h)+^(p) y m (t - h) kR0(P)

являются ограниченными в силу гурвицевости полинома ^)(к) и четвертого условия предположений.

Воспользуемся оценками: ДЯ(Р)

Я0(Р) '' _''Я0(Р)

2Щ(і)^^и '(і) = 2Щ(і)ДЯ(Р)а/Х(і) = 2Щ(і)ДЯ(Р)а/ТХ(і) < — | Х(і) |2 +т161 Щ2(і),

Я0( Р)

М1

2Щ(і)О1 (Р)Ц2е(і — И) < 62 Щ2 (і)+1 е(і — И)|2, 81 = 8ир

ДЯ( /ю)

ЯЛ М

|а£2, §2 = $ир О1(/ю)|2,

2 Щ(і )у1 (і) < 63 + Щ2 (і), 53 = 8ир у2 (і),

2Щ(і) (,?> ¿2е(і — И)<64 Щ2(і) + |е(і — И)|2, 64 = 8ир

кЯо(Р) ю

О2 (,/«)

к^0(/ю)

—2Щ(і)ДQ1(P)Ц2е(і) < 6Щ2(і) + |е(і)| , 65 = 8ир |ДQ1(/ю)|

—2Щ(і)¿2е(і)<6бЩ2(і) + |е(і)|2, 6б = 8ир кЯо(Р) ю

ДQ2(/ю)

кЯ0(/ю)

2ет (I)ИкЬЬ(1) < 67Ь2 (í)+1 е(1) |2, 67 =| ИкЬ |2,

—2^)а/Т^) <мАЬ2(') +—|^)|2, 68 = |а&|2, т1 ет (г)Де(0 < 1тах (Л) |е(0|2, —еТ Ц — И)Яе(г — И) < —1тах (Л) |е(г — И)|2.

Во всех оценках принято во внимание равенство || Т ||2 = 1.

Подставив эти оценки в формулу для производной (11), получим

V '(і) <—((Р— 3) —1таХ(Я) )|е(і )|2

(С-1 ^

V т1 у

| Л(і )|2

М1

| Х(і )|2

—(1тах (Я) — 2) |е(і — И)|2 — (2ак — т1§8 — 67 — тх6х — 62 — 64 — 65 — 6б — 1Щ2 (і) + 63.

Если числа а, р, С выбрать из условий

Р — 3 — 1тах(Я) = 1, С = 2,2ак — цД —67 — цД —62 —64 —65 —6б — 1 = 1, 1тах(Я) — 2 = 1, то получим

V '(і) < — | е(і) |2 — | е(і — И) |2 —^| л(і) |2 —— | Х(і) |2 —Щ2 (і) + 63. (12)

М1 М1

Из неравенства (12) следует, что система (5), (8) является диссипативной. Следовательно, все переменные в ней ограничены, в том числе и еу+1 (і) . Тогда, в соответствии с леммой, существует число т0 такое, что при выполнении неравенств т1 < М0, М2 < М0 исходная система будет иметь ту же область диссипативности.

Покажем, что существуют числа а > 0, М-0 > 0, обеспечивающие справедливость целевого неравенства (2), если закон управления формируется в соответствии с формулой (7).

Предположим, что в уравнениях (5), (8) М1 = = М-0 . Возьмем функцию Ляпунова

V (і) = еТ (і)Н е(і) + ЛТ (і)Я1Л(і) + ХТ (і) Н 2 Х(і) и вычислим производную на траекториях системы (5), (8). Получим

2

ю

ю

2

ю

2

V '(X) = —р |е(Г )|2 + 2ет (X) НкЬ Ь) — -^|л(0|2 —^|Х(^)|2 + 2ХТ (О Н2Ц0 йг($) —

то т011

—2лТ (1)Н1Ьв1+1(1). (13)

Оценим эти слагаемые:

2ет (X)НкЬ J(í) < 67Ь2 (X)+1 е(^) |2, 67 =| НкЬ |2,

—2лт (^)н1Ьеу+1(^) <—|л(^)|2 + ц069, б9 = 8ир Н^е^Чо, т0 г

2ХТ (X )Н2т0—1 ¿е(г) <—| ) |2 +т05ю, 6Ш = sup|H2 ^е(г) |2.

М-0 (

Подставив эти оценки в (13), будем иметь

2 (С —1 ^ 2 (С —1 ^ 2 ^ 2

V '(X) <—(р—1)|е(0|2 — | л(^) |2 — | Х(0 |2 +М069+тХ8ю + 67^(0.

V т0 у

т0

Если числа р, С выбрать из условий р — 1 = 1/ т0, С — 1 = 1, то получим

1 2 1 2 1 I— |2

V '(0 <-|е(0|2-------|л(0|-------Щ +50, (14)

т0 т0 т0

где 50 = 67 Ь (^) + М-059 + Мо610 .

Воспользуемся неравенствами

—|е(г)|2 <-----1----ет (X)Не(г),

1тах(Н) ^ ^

II? 1 т |— |2 1 —т

—|Л(0|2<—т—— лт(0^(0,—Щ <— т—— X (0^(0

1тах(Н1) ^тах( Н 2)

и выберем число В из условия В = тт{1,-----1-----,---1-----,-----1----}. Тогда из неравенства

1тах(Н У 1тах(Н1)’ ^тах^Г ^

(14) получим

V'(X) <—^ V (X) + 60.

М0

Решение этого неравенства имеет вид

V (X) < V (0) ехр( — X) + т06°(1 — ехр(—^ X)).

т0 — т0

Из следующей цепочки неравенств следует справедливость утверждения теоремы | е(Х) |2 <---------------------1---ет (X)Не(Х) <---1---V(X) <

| ()| 1т1п(Н) () () 1т1п(Н) ()

1

/т V (0) ехр(-------X) + -—(1 — ехр(-----X)

^т1п(Н) V ^0 — М0

Для иллюстрации работы полученного алгоритма управления рассмотрим числовой пример.

Пример

Предположим, что математическая модель объекта управления имеет вид (1), где

а1 1 0" " 0 " с1 0 0" а1 "1"

Л= а2 0 1 , в = Ъ1 , С = с2 0 0 , О = ¿2 , ЦТ = 0

_ а3 0 0 _Ъ2 _ _ с3 0 0 _ а3 _ 0

Класс неопределенности х задан следующими неравенствами:

—3 < аг < 3, — 3 < йг < 3, 2 < с, < 2,г = 1,3 ,

1 < Ь < 4,2 < Ь2 < 8, | / (X )|< 3, | ут (X )|< 5.

Уравнение (3) будет иметь вид (Р3 — а1Р2 — а2 Р — а3) у^) = (Ь1Р + Ь2)и (X) + (с1Р2 + с2 Р + с3)и (X — И) + (й1Р2 + й2 Р + й3) / (X).

Принимая во внимание то, что у в данном случае равно 2, возьмем полином Qm (1)

второго порядка:

Qm (1) = 12 + 71 +12.

Тогда уравнение для ошибки слежения е^) = у^) — ут (X) (4) можно записать следующим образом:

(Р2 + 7 Р + 12)е^) = Ь1 (u(X) + y(X)).

Возьмем наблюдатель для оценки производных сигнала ошибки, динамические процессы в котором описываются уравнением

• 5

Х^) = Х2 (X) + —(e(X) — )),

М

6

Х2 (і) =—(е(і) — Хх(і)>-

м2

Тогда алгоритм управления (7) запишется в виде

и (і) = —а(12^1(і) + 7X2 (і) + X '2 (і)).

На рисунке представлены результаты моделирования при следующих исходных данных:

а1 = 3, а2 = 1, а3 = 2, сі = 1; Ъ1 = 1, Ъ2 = 5, сі = 2; йі = 2; і = 1, 2, 3; /(і) = 2 8Іп 1,5і,

М = 0,01, ут(і) = 8Іи3і.

Ут (X)

е(Х)

Графики эталонного сигнала и ошибки слежения

б

а

На рис., а, представлен график переходного процесса эталонного сигнала. На рис., б,

т

представлен график ошибки слежения за эталонным сигналом, когда х (0) = [1 1 1], а = —0,4, к = 200 . Ошибка слежения не превышает величины 0,03 через три секунды после начала работы системы.

Следует отметить, что для любых параметров модели из заданного класса неопределенности качество слежения практически не изменяется.

Заключение

Получен новый класс алгоритмов робастного управления, позволяющий компенсировать параметрические и внешние неизмеряемые возмущения с требуемой точностью. Кроме того, в отличие от результатов работы [3], в данном случае уравнения системы управления получаются меньшего порядка, т. к. отсутствует вспомогательный контур. Моделирование числового примера подтвердило теоретические результаты.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Никифоров В. О. Адаптивное и робастное управление с компенсацией возмущений. - СПб.: Наука, 2003. - 282 с.

2. Никифоров В. О. Нелинейная система управления с компенсацией внешних детерминированных возмущений // Изв. РАН. Теория и системы управления. - 1997. - № 4. - С. 69-73.

3. Цыкунов А. М. Алгоритмы робастного управления с компенсацией ограниченных возмущений // Автоматика и телемеханика. - 2007. - № 7. - С. 103-115.

4. Фрадков А. Л. Адаптивное управление в сложных системах. - М.: Наука, 1990. - 283 с.

5. Мирошник И. В., Никифоров В. О., Фрадков А. Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. - СПб.: Наука, 2000. - 549 с.

6. Поляк Б. Т., Щербаков П. С. Робастная устойчивость и управление. - М.: Наука, 2002. - 303 с.

7. Цыкунов А. М. Адаптивное и робастное управление динамическими объектами по выходу. - М.:

Физматлит, 2009. - 268 с.

8. Земляков С. Д., Рутковский В. Ю. Алгоритм функционирования адаптивной системы с эталонной моделью, гарантирующий заданную динамическую точность управления нестационарным динамическим объектом в условиях неопределенности // Автоматика и телемеханика. - 2009. - № 10. - С. 35-44.

9. Брусин В. А. Об одном классе сингулярно-возмущенных адаптивных систем // Автоматика и телемеханика. - 1995. - № 4. - С. 119-127.

Статья поступила в редакцию 25.11.2011

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ

Досмухамедов Рамиль Дамирович - Астраханский государственный технический университет; аспирант кафедры «Математика в инженерном образовании»; [email protected].

Dosmukhamedov Ramil Damirovich - Astrakhan State Technical University; Postgraduate Student of the Department "Mathematics in Engineering Education"; [email protected].

Цыкунов Александр Михайлович - Астраханский государственный технический университет; д-р техн. наук, профессор; зав. кафедрой «Математика в инженерном образовании»; [email protected].

Tsykunov Alexander Mikhailovich - Astrakhan State Technical University; Doctor of Technical Science, Professor; Head of the Department "Mathematics in Engineering Education"; [email protected].