Робастно-адаптивная система слежения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.513.6:519.712

Р. Д. Досмухамедов, А. М. Цыкунов РОБАСТНО-АДАПТИВНАЯ СИСТЕМА СЛЕЖЕНИЯ

Введение

Задача компенсации внешних и параметрических возмущений в адаптивных системах управления всегда вызывает повышенный интерес у разработчиков систем управления. Это связано с тем, что объекты, имеющие параметрическую неопределенность в математических моделях, подвержены действию внешних возмущений, которые отрицательно влияют на качество управления. Именно поэтому возникает необходимость исключить это влияние на регулируемые переменные или минимизировать его.

Решению этой проблемы посвящены работы [1-4]. В [5] предложен новый алгоритм адаптивного управления с эталонной моделью, позволяющий уменьшить влияние параметрических и внешних возмущений на измеряемый вектор состояния объекта управления. Кроме того, предложенный алгоритм управления не имеет настраиваемых параметров, что позволяет отнести его к классу робастных систем управления. В алгоритме сочетаются достоинства непрерывных систем управления и систем с переменной структурой.

Нами принцип построения систем управления, предложенный в [5], используется для построения систем управления объектами по выходу.

Постановка задачи

Предположим, что динамические процессы в объекте управления описываются следующим дифференциальным уравнением:

х '(*) = Ах(*) + Ви (*) + Б/ (*), у(*) = Ьх(*), х(0) = х0, (1)

где х - вектор состояния объекта управления; у(*), и(*), /(*) - скалярные регулируемая переменная, управляющее и возмущающее воздействия; А, В, Б, Ь - числовые матрицы соответствующего порядка.

Требуется решить задачу слежения за эталонным сигналом ут (*) так, чтобы выполнялось целевое условие

I У(^) - Ут (*)1<5, * > T0, (2)

где 5 > 0; То - время, по истечении которого, начиная с момента включения системы в работу, должно выполняться приведенное неравенство.

Будем решать сформулированную задачу при наличии следующих ограничений.

Предположения

1. Пара (А В) является управляемой, пара (А Ь) - наблюдаемой.

2. Элементы матриц А, В, Б, Ь принимают значения, принадлежащие известному ограниченному множеству X .

3. Математическая модель (1) является минимально-фазовой при любых значениях элементов матриц А, В, Б, Ь из заданного множества X .

4. Внешнее неизмеряемое возмущение /*) и эталонный сигнал ут (*) являются гладкими ограниченными функциями времени.

5. В алгоритмах управления не допускается использование производных измеряемых сигналов у(*), и(*).

Метод решения

Преобразуем векторно-матричное уравнение (1) в эквивалентное уравнение относительно регулируемой переменной

б( Р) у(*) = Щ Р)и(*) + в( Р) / (*).

Здесь Q(1) - нормированный многочлен степени п, который является характеристическим полиномом матрицы А; кЯ(1) = Ь(11 - А)ТВ; deg Я(Р) = m; ^(1) = Ь(П - А)ТБ;

(11 — А)Т — транспонированная матрица алгебраических дополнений матрицы (II — А).

В соответствии с предположением 3 полином Я(1) является гурвицевым. Будем считать, что знак высокочастотного коэффициента усиления известен: к > 0.

Произведем параметризацию модели:

^ /т ,ч А /ч ^(Р)/ч ^(Р) .. Б(Р)^(Р) 1 . Л

Qm (Р)у(*) = к и(*) +-1---и(*) +---2---у(*) +--------/(*) + —п(*) , (3)

т ^ кМ(Р) кМ (Р) кМ (Р) к )

где deg Qm (Р) = у; у = п - т; deg М (Р) = п -1; deg £ (Р) = у-1; deg Л^(Р) = п - 2;

deg N2 (Р) = п -1. Кроме того, полиномы М(1), ^(1), Qm (1) являются гурвицевыми и нормированными. При этом полином Qm (1) является желаемым характеристическим уравнением замкнутой системы, если удастся полностью скомпенсировать влияние обобщенного возмущения

.. N1 (Р) , ч N2(Р) , ч 8(Р)в(Р)^^ 1^ .т .ч 1 ,ч

У(*) = ;ж^р\ и(*) + 77^^у(*) + /ж^РЛ /(*) - 7Qm (Р)ут (*) + 7 П(*). (4)

кМ (Р) кМ (Р) кМ (Р) к к

Введем обозначение Ф(*) = и(*) + у(*) и составим уравнение для ошибки слежения

е(*) = у(*) - ут (*) :

Qm (Р)е(*) = Щ*). (5)

Преобразуем уравнение (5) в векторно-матричную форму:

е'(*) = Ате(*) + кЬФ(*), е(*) = Ь1е(*), (6)

где е(*) е Яу; Ат - матрица с характеристическим полиномом Qm (1), записанная в форме Фро-бениуса; ЬТ = [0,..., 0,1], Ц = [1,0, ... 0].

Таким образом, вектор еТ (*) = [е(*), е'(*), е"(*), ..., еу-1(*)].

Введем вектор Х0 (*) = [е(*), е'(*), е"(*),..., еу(*)] и вектор его оценки Х(*), который будем формировать с помощью наблюдателя производных

X(*) = Г0Х(*) + ^ (е(*) -е(*)), е (*) = Хх(*) = Ш). (7)

Здесь Г0 =

0 1у

^0Т =

^1 ^у+1

Хе Я у+1; числа dl, ..., й^+1 выбираются так,

0 0

чтобы матрица Г = Г0 + dL1 была гурвицевой; dT = |^, ..., dу+1 ^ ; т> 0 - достаточно малая величина. Тогда функция 1 ^ (Х(*) — Х0(*)) будет являться погрешностью оценки функции $(*),

к

где g - вектор, компонентами которого являются коэффициенты дифференциального оператора Qm (Р), записанные в обратном порядке.

Утверждение. Пусть выполнены условия предположений. Тогда существуют числа а > 0, т0 > 0 такие, что при выполнении условий т < Ц-0 алгоритм управления

и '(*) = ^Т Х(*) (8)

обеспечивает системе (6), (7) выполнение целевого условия (2).

Доказательство утверждения. Составим уравнение для нормированного вектора ошибок

^(*) = Т_1(Х(*) - Х0 (*)), нормированную оценку Х(*) = Т_1Х(*) и нормированные производные:

Х0(*) = Т 1Х0(*), где Т является диагональной матрицей Т = diag {-у, ..., -2, -, 1}, принимая во внимание уравнение (7):

-1Х'=гХ+т2у de(t), 1 (9)

-1 л '(*)=гл (*) - т2Ьеу+1 (*), - =-2 =-.

Воспользуемся леммой.

Лемма [6]. Если динамическая система описывается уравнением

х(*)=/(х, т1, -2), х(*)е яп, — > 0, -2 > 0,

где /(х, т1, —2) - непрерывная функция, липшицева по х, и при —2 = 0 система имеет ограниченную замкнутую область диссипативности

Бх = {х: Е(х) < К},

где Е(х) - непрерывная, кусочно-гладкая, положительно определенная в Яп функция, такая, что при некоторых е > 0 и т0 > 0 выполнено неравенство

д^т

— | /(х, т15 о)

< -е при Р(х) = С,

тогда для всех достаточно малых —1, —2 < М-0 множество Бх остается областью диссипативности системы.

В качестве функции Е возьмем функцию Ляпунова

V (*) = еТ (*) Н е(*) + лТ (*) Н1 л (*) + X (*) Н 2 Х(*) + д2, (10)

где положительно определенные матрицы Н, #1, Н2 определяются из матричных уравнений

НАт + АТтН = -р1, Н1Г + ГТН1 =41, Н 2Г + ГТН 2 =-С1. (11)

Вычислим полную производную от функции (10) на траекториях системы (6), (9), прини-

мая во внимание уравнения (11) и равенство М2 = 0:

V'(*) = -р | е(*) |2 +2еТ(*)НкЬт - — | л(*)|2 —— I Х(*) |2 +2д(*)(^Т£(*)-у'(*)). (12)

-1 -1

Преобразуем выражения -2J(*)agTХ(*), -2Ф(*)у'(*):

-2д(* )agT Х(*) = -2а д2(*) - 2Ь(*^Т (Х(*) -Х0 (*)) = -2а д2(*) - 2д(* ^ТТл(*), кк

-2д(*) у '(*) = -2д(*) Г и '(*) + у '(*) + 5(Р)а(Р) / () + PQm (Р)ут (*) + Р1 п(*)

\ кМ(Р) кМ (Р) кМ (Р) т т к

у '(*) = е '(*) + у 'т (*) = ^(0 + у 'т (*), Ь2 = [0, 1, 0, ..., 0].

Составляющие у1(*) = ^(Р) у'т (*) + 5(Р)^(Р) /<(*) + pQm (р)ут (*) + р 1 у(*) являются

1 кМ (Р) кМ (Р) т т к

ограниченными в силу гурвицевости полинома М(1) и четвертого предположения.

Воспользуемся оценками:

-2д(* )Щрк и '(*) = 2д(* )^Тр: agT Х(*) = 2д(* agTT Х(*) < - | Х(*) |2 +-Ад2(*),

кМ (Р) кМ (Р) кМ (Р) -1

-2J(t) ЗДО <62J2(t)+|e(t)|2, Si = sup

kM(p) w

Ni( jw)

kM (jw)

lag) , 62 = sup

N2( jw)

1

kM (jw)

2

2

-2J(t)y1(t) < 63 + J (t), 63 = sup y (t), - 2J(t)ag Th(t) < m154 J (t) +--------rn(t)

t m

54 =| ag |2, 2еТ (*)НкЬд(*) < 55д2 (*)+1 е(*) |2, 55 =| НкЬ |2 .

Во всех оценках принято во внимание равенство || Т ||2 .

Подставив эти оценки в формулу для производной (12), получим

V '(t) <-(р-2) | e(t )|2

(Z-1 ^

v mi у

|h(t)|2

mi

|X(t)|2

-(2а - ц151 - 52 - ц154 - 65) д2 (ґ) + 53. (13)

Если числа а, р, С выбрать из условий: р- 2 = 1, С = 2, 2а-|1151 -52 -М-164 -65 = 1,

то получим

V '(t) < -1 e(t) |2 -— | h(t) |2 -— | X(t) |2 -J2 (t) + 63.

(14)

М1 М1

Из неравенства (14) следует, что система (6), (9) является диссипативной. Следовательно, все переменные в ней ограничены, в том числе и еу+1(ґ). Тогда, в соответствии с леммой, существует число т0 такое, что при выполнении неравенств т1 < т0, т2 < т0 исходная система будет иметь ту же область диссипативности.

Покажем, что существуют числа а > 0, > 0, обеспечивающие справедливость целевого

неравенства (2), если закон управления формируется в соответствии с формулой (8).

Предположим, что в уравнениях (6), (9) т =^2 =Мо . Возьмем функцию Ляпунова (10) и вычислим производную на траекториях системы (6), (9). Выполнив все преобразования, аналогичные случаю, когда ^2 = 0 , получим неравенство (13), в котором добавятся два слагаемых:

2 (С-1 ^ 2 (С-1^ 2

к'(0<-(р-2)|е(ґ)|2- |л(0!2- — ІХ(ґ)І2-

v mo у

mo

-2hT (t)H1be'i+l (t) + 2XT (t)H2m0-1 de(t) - (2a - m161 - S2 - m164 - S5) J2 (t) + s3 . Оценим эти слагаемые:

-2hT (t)H1beg+1 (t) < — | h(t) |2 + mod6,66 = sup | H1beg+1 (t) |2,

mo t

2XT(t)H2m0-1 de(t) <-1-|X(t)|2 +m06y,67 = sup|H2de(t) |2 .

mo t

(15)

Подставив эти оценки в (15), получим

V '(t) <-(р-2)|e(t )|2

f Z-2 >

V mo у

( Z-2 V |2 ^ X(t)

mo у

lh(t )l'

(2a m161 62 m164 65)J (t) + 63 + —o66 +m067.

(16)

2

w

Если числа a, р, Z выбрать из условий: р-2 = 1/m0,2a-m051 -52 --064 -65 = 1/-0. Z =3,то получим

1 _ 2 і

V'(t)<-—|e(t)|2 - —|h(t)|2 X(t) J2(t) + 6o,

-o

|2 _J_ -o

mo

mo

(17)

где 50 = 53 + -066 +m0S7 . Воспользуемся неравенствами: -|e(t)|2 < -

1

1max(H )

e (t)He(t),

■|h(t)Ґ <■

1

вия b = min{1

1max(H1) 1

hT (t)H1h(t), - X(t) <

1 —t

X (t)H2X(t) и выберем число b из усло-

Imax(H)’ W^)’ Imax^)

1max( H 2)

} . Тогда из неравенства (17) получим

b

к Xt) <-Л_ V (t) + 60 -0

Решение этого неравенства имеет вид

V(t) < V(0) exp (--£-1) + m06°(1 - exp (--^ t)).

-0 b -0

Из следующей цепочки неравенств следует справедливость утверждения теоремы

<

|e(t)|2 <

1

1 T 1

eT (t)He(t) < -----------V(t) <

1min( H )

1min(H )

l min (H )

^4 + -o6,

b

V(o)exp (—— t) +---------(1 - exp (—— t)

mo

b

mo

Для иллюстрации работы полученного алгоритма управления рассмотрим числовой пример. Пример

Предположим, что математическая модель объекта управления имеет вид (1), где

a1 1 o" " o" d1 "1"

A = «2 o 1 , B = b1 , D = d2 , LT = o

_ a3 o o _b2 _ _ d3 _ o

Класс неопределенности X задан неравенствами: -3 < а7 < 3, - 3 < di < 3, 7 = 1,3,

2 < Ь1 < 4, 2 < Ь2 < 8, | / (*) |< 3, |ут (*)|< 5.

Уравнение (3) будет иметь вид

(Р3 - а1Р2 - а2Р - а3)у(*) = (Ь1Р + Ь2)и(*) + ^Р2 + d2Р + d3)/(*).

Принимая во внимание то, что у в данном случае равно 2, возьмем полином Qm (1) второго порядка

Qm (1) = 12 + 71 +12.

Тогда уравнение для ошибки слежения е(*) = у(*) - ут (*) можно записать следующим образом:

(Р2 + 7Р + 12)е(*) = Ь1(и (*) + у(*)) .

Возьмем наблюдатель для оценки производных сигнала ошибки, динамические процессы в котором описываются уравнением

1

1

\

• 5

Xi(t)=x2(t)+-Xi(t)), m

x2(t)=4(e(f)-Xi(t)).

m2

Тогда алгоритм управления (8) запишется в виде

u(t) = -a(12Xi(t) + 7X2 (t) + X '2 (t))-

Результаты моделирования представлены на рисунке а, б, в, г при следующих исходных данных:

ü = 3, i = 1,2,3; b1 = 3,b2 = 4, d1 = 1, d2 = 1, d3 = 3; f (t) = 2sin2t + 2sin1,3t; m = 0,01, ym (t) = sin 2,2t + sin t.

в г

Графики изменения эталонного сигнала и ошибки слежения

На рисунке, б, изображен переходный процесс по ошибке слежения, когда

т

х (0) = [1 1 1], а = 10. Ошибка слежения не превышает величины 0,04 через две секунды после начала работы системы.

Рисунок, в, получен, когда начальные условия нулевые, а = 30. Величина 5 в целевом условии (2) не превышает значения 0,01. Рисунок, г, соответствует нулевым начальным условиям, когда а = 30. Ошибка слежения не превышает значения 0,004. Таким образом, очевидно, что с увеличением коэффициента а можно получить хорошую точность слежения.

Следует отметить, что для любых параметров модели из заданного класса неопределенности качество слежения практически не изменяется.

б

а

Заключение

Получен новый класс алгоритмов робастного управления, позволяющий компенсировать параметрические и внешние неизмеряемые возмущения с требуемой точностью. Кроме того, в отличие от результатов, полученных в [3, 4], в данном случае уравнения системы управления получаются меньшего порядка, т. к. отсутствует вспомогательный контур. Моделирование числового примера подтвердило теоретические результаты.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Никифоров В. О. Адаптивное и робастное управление с компенсацией возмущений. - СПб.: Наука, 2003. - 282 с.

2. Никифоров В. О. Нелинейная система управления с компенсацией внешних детерминированных возмущений // Изв. РАН. Теория и системы управления. - 1997. - № 4. - С. 69-73.

3. Цыкунов А. М. Алгоритмы робастного управления с компенсацией ограниченных возмущений // Автоматика и телемеханика. - 2007. - № 7. - С. 103-115.

4. Цыкунов А. М. Адаптивное и робастное управление динамическими объектами по выходу. - М: Физ-матлит, 2009. - 268 с.

5. Земляков С. Д., Рутковский В. Ю. Алгоритм функционирования адаптивной системы с эталонной моделью, гарантирующий заданную динамическую точность управления нестационарным динамическим объектом в условиях неопределенности // Автоматика и телемеханика. - 2009. - № 10. - С. 35-44.

6. Брусин В. А. Об одном классе сингулярно-возмущенных адаптивных систем // Автоматика и телемеханика. - 1995. - № 4. - С. 119-127.

Статья поступила в редакцию 22.02.2011

ROBUST ADAPTIVE SYSTEM OF TRACING

R. D. Dosmukhamedov, A. M. Tsykunov

The task of robust system construction for dynamic object control, which allows to compensate parametrical and external disturbances with the given accuracy, is solved. The numerical example and the result of computer modeling are given.

Key words: robust control, observer, disturbance.