CC BY
55
УДК 62-50
А. В. Имангазиева
РОБАСТНАЯ СИСТЕМА АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ С КОМПЕНСАЦИЕЙ ЗАПАЗДЫВАНИЯ В УСЛОВИЯХ НЕСГАЦИОНАРНОСТИ Введение
Задачи синтеза регулятора и оценивания состояния с учетом неопределенности в модели объекта и характеристиках входных воздействий являются одними из центральных в современной теории управления [1, 2]. В настоящее время большинство имеющихся методов синтеза систем автоматического управления предназначено для стационарных систем. Однако в реальных условиях работы системы параметры объекта управления в процессе эксплуатации изменяются в широких пределах. Для таких систем автоматического управления актуальна задача синтеза регуляторов, обеспечивающих работоспособность системы при возможных изменениях параметров объектов управления. Среди полученных решений в классе задач по робастному управлению довольно мало работ по управлению со скалярными входом и выходом объектами, учитывающих нестационарность параметров, запаздывание по состоянию, что и обусловливает актуальность предложенного закона управления.
В данной работе рассмотрен нестационарный объект управления в условиях действия возмущений. Предлагается структура робастной системы управления, позволяющая скомпенсировать параметрическую неопределенность и внешние ограниченные возмущения с точностью 5. Для этого предложена схема формирования сигнала, с помощью которого получается оценка возмущений и формируется управление для нестационарных объектов, учитывающих запаздывание.
Постановка задачи
Рассмотрим объект управления, динамические процессы в котором описываются уравнением Q(p, t)y(t) = kR(p, t)u(t) + G(p, t)y(t - h(t)) + f (t), p'y(s) = У,(s), i = 1,...,n, se[-h(t);0], где y(t), u(t) - скалярные регулируемая переменная и управление; p = d / dt - оператор дифференцирования, k > 0; Q(p, t)=pn+q1(t)pn-1 +...+qn(t), R(p, t) = pm + r1(t)pm-1 +... + rm(t) - диффе-
ренциальные операторы порядков n и m соответственно; f (t)- внешнее возмущающее воздействие; yi - начальные условия.
Требуемое качество переходных процессов в объекте задается уравнением эталонной модели
Qm (P)ym (t) = kmg(tX (2)
где g(t) - задающее воздействие, km > 0; ym (t) - скалярный выход; degQm (P) = n - m.
Проектируемая система управления должна обеспечить выполнение целевого условия
|y(t) - ym (t) <5 при t > T, (3)
где 5 - некоторое достаточно малое число, T > 0 .
Предположения
А.1. Коэффициенты qi (t), r (t) операторов Q(p, t), R(p, t) представимы в виде 4i = qi0 +Dqi (t), i = 1, n, r}- = r]0 +Ar;. (t), j = 1, m, где Dqi (t), Ary- (t) - ограниченные функции, удовлетворяющие условиям | Aq (t) < ei, | A/j (t) < £j .
А.2. Компоненты qi0 , rj0 и величина k зависят от вектора неизвестных параметров Xex , где x - известное ограниченное множество возможных значений вектора X .
А.3. Задающее и возмущающее воздействия /(г), g(г) являются ограниченными функциями, причем /(г)| < А, где А — известная постоянная.
А.4. Оператор Я(р, О устойчив, и для любого фиксированного г полином Я(К, О — гурвицев, где 1 — комплексная переменная в преобразовании Лапласа.
А.5. Время запаздывания И(г) — ограниченная функция, удовлетворяющая условиям
^< 1, МО>0.
&
А.6. G(р, 0 — дифференциальный оператор, коэффициентами которого являются ограниченные функции gk (0 , удовлетворяющие условию |gk (г) <£к, где £к — некоторые числа. deg G(р, г) < п — 1.
Решение задачи. В уравнении (1) представим операторы Q(р, г) и Я(р, г) в виде б(р, 0 = 00(р) +Аб(р, 0, Я(р,0 = Я0(р)+М(р,0, где Q0(p), Я0(р) — дифференциальные операторы с постоянными неизвестными коэффициентами, зависящими от вектора неизвестных параметров , Аб(р, 0 и АЯ(р, г) - нестационарные операторы, коэффициенты которых являются ограниченными непрерывными функциями времени.
Аб(р, 0 =Ад1(0рп—1 +... +А]п(0, АЯ(р, г) =Аг1(г)рт~1+...+АИ(0, deg Аб(р, г) = п — 1, deg АД(р, г) = т — 1, deg б0(р) = п, deg Л0(р) = т.
Тогда получим
бо (р)Яг) = £До (р)“ — Аб(р, г).у + кАД(р, г)и + а(р, г)у(г — Н(г)) + /(г). (4)
Разложим операторы бо( р) и Я()( р) в виде б0(р) = бто(р) + Аб0(р),
^(р) = Ят0(р)+А^(р), где бт0(р), рт0(р) — операторы с известными коэффициентами такие,
что полиномы бт0(1), рт0(1) — гурвицевы и имеют порядки п и т соответственно, а Аб0(р) и А^( р) — операторы с неизвестными коэффициентами порядков п — 1 и т — 1 соответственно.
Так как бт0(1), Ят0(1) - произвольные известные полиномы, то выберем их так, чтобы выполнялось равенство бт0 = бт0(р)/Ят0(р). Тогда после преобразования уравнение (4) примет следующий вид:
„ А^0( р) АЯ( р, г) Аб0( р) Аб( р, г)
бт0 (р) У(г) = ки + к---и + к-------и----------у----------у +
Я-т0 (р) ^т0(р) ^(р) ^(р)
+ у(г — +—1— / (г). (5)
Дт0(р) рт0(р)
Составим уравнение относительно ошибки е(0 = у (г) — ут (г), вычитая (2) из (5):
бт0(р)е(г) = к(и +А^ и + -1— АЯ(р, г) и — кАШ) у —
^т0( р) ^т0( р) кРт0( р)
— ,р \ чАб(p, г)у + р 1,, ^(p, г)у(г—И({)) + р 1,, /(г) —, р 1,, т(г)). (б)
кРт0( р) кКт0( р) кКт0(р) кКт0( р)
Зададим закон изменения и (г) в виде и (г) = Т (Р)у(г), у(г) = а у(г), где а> 0, у(г) — новое управляющее воздействие.
Выберем бт0 (р) и Т(р) так, что Т(р)/бт0 (р) = 1/(р + ат), От > 0. Тогда, используя процедуру «операторного деления», уравнение (6) можно преобразовать к виду
(р + От МО = ру(0 + ¥(0- (7)
Здесь
У(Г) = акАК°(Р) у^) +-----—-[АЛ(р, Г)и^)]---------^(Р) у^) -
Ято(р) Дто(Р)Т(рГ П Лто(Р)Т(р)
1 - [А0( Р, t) у (t)] + 1 [б( р, t) у (t - к()] +
Лт0( Р)Т ( Р) Лт0( Р)Т ( Р)
+-----^-----------------КяЦ)— + —1—(ка - р)у^).
Лт0( Р)Т ( Р) Лт0( Р)Т ( Р) Лт0( Р)
Полученный сигнал ) несет всю информацию о неопределенности объекта управления и внешних возмущениях. Введем вспомогательный контур (р + ат )е^) = $у^).
Тогда получим уравнение для рассогласования £(0 = е(^) - ):
(Р + ат )£ (/) = у (/). (8)
Сформируем управляющее воздействие v(t) в виде
у(0 =-1(Р + ат ) Z(t) = -|^¥(0. (9)
Подставив (9) в (7), получим (р + ат ) е (t) = 0 , откуда следует выполнение целевого условия, и, кроме того, Нш е(^) = 0 . Но для работоспособности системы управления требуется,
t®¥
чтобы все сигналы в замкнутой системе были ограничены. Для того чтобы доказать ограниченность сигналов в замкнутой системе, подставим ) в (9):
у(0 =-------1--(ка-Р)у^)- каАЛ0(р) и(/)-Щ (10)
Р«т0( Р) Р«т0( Р)Т (Р) Ь
где у^) - оставшаяся часть от функции у^).
Разрешим уравнение (10) относительно переменной и(0 :
и^) = -1 (А^0(р) и(0 + АЛ(р, t)u(t) - А00(р)у(0 - А^(р, t)у(0 +
к
+ о( р, t) y(t - h(t))+/(0 - ^ и)). (11)
Подставим это выражение в (6), в результате чего получим 0т0(р)е^) = 0 , откуда следует ограниченность не только величины е(^~), но и п - т ее производных, а следовательно, и переменной у^) и ее производной в силу предположений о переменной g(0 и полиноме 0^(1) . Разрешим уравнение (11) относительно переменной и(/):
и^) =-------------1-{- А~;°(р) у(0-----------------1---[А<2(р, t)у(0] +
Ят0(р) + А^0(р) + АЛ(р, t) [ Жт0(рУУ’ ^(рГ
+----1---[б(р, t)у(1 - Щ)] + ^Ф--------к^(t) ^
к^т0(Р) кЯт0(р) кЯт0(р)
Оператор Лт0 (р) + АЛо (р) + АЛ(р, t) = Л (р) + АЛ(р, t) = Л(р, t) - устойчив, и для любого фиксированного t полином Л(1, t) - гурвицев, п - т производные е(}) стремятся к нулю, поэтому, учитывая ограниченность величин у(}), /(t) и g(t), получаем, что величина и(}) - ограничена. Тогда из выражения для функции у^) следует, что она тоже ограничена, а из (9) следует ограниченность переменной ^) и ее производной.
В случае невозможности измерения производных зададим закон изменения и(1) в виде и(0 = Т(р)^^ , где w(t) - оценка сигнала, получаемая с наблюдателя [3]:
V = ) + Во №) - w(^)), ^).
(12)
Здесь ) е Лп т; Е0 - матрица в форме Фробениуса с нулевой нижней строкой,
Ь = [1, 0, ...,0]; В =
ь_
т
к
т"
. Параметры Ь1,..., Ьп-т выбираются так, чтобы матрица
Е = Е0 + БЬ была гурвицевой, Б = [Ь1,..., Ьп-т ], т> 0 - достаточно малое число.
Тогда вместо (9) сигнал у^) формируем в виде у(0 = -'1( Р + ат )Z(t), где £(0 - оценка, получаемая с наблюдателя [3]:
і = ^о2{і) + ВоШ )), \(і) = Ь г(і),
(13)
где г^)е Л2; матрицы Е и Б0 такие же, как Е0,Б0 в (12), но только соответствующего порядка. В этом случае замкнутая система имеет следующий вид:
объект управления: Q(р, t)у^) = кЛ(р, t)u(t) + G(р, t)y(t -Щ)) + /^), закон управления: и^) = Тд, Т = [/0,1,..., 1п-т-1],
где 10, /1, ..., 1п-т-1 коэффициенты полинома Т(^), наблюдатель 1: V = Е0д(0 + Б0^(0 -у(0), у(^ = Ьд(0, де Лп-т, > (14)
вспомогательный контур: (р + ат)у^) = 1у^), Z(t) = е(0 - e(t),
наблюдатель 2: г(0 = Е0z(t) + В0(£(0-£(0), С(0 = Ь2г^), ге Л2,
у^ ) = -1 сг, с = [ат ,1].
Утверждение. Пусть выполнены условия предположений А.1-А.6. Тогда для любого 5 > 0 в (3) существуют числа т > 0, Т > 0 такие, что при т £ М-0 и t > Т для системы (14) выполнено целевое условие (3) и все переменные в системе ограничены.
Пример. Рассмотрим нестационарный объект управления, заданный в канонической наблюдаемой форме:
*1 = х2 + ^1 ^)у^ - к),
*2 = х3 + ё2 ^)у^ - к),
*3 = *4 + d3(t)у^ - к) + с0и, (15)
*4 = -44 ^)*1 - Я3 ^)*2 - q2 ^)х3 - д1 ^)х4 + ё4 ^)у (t - к) + с1 ^)и + /^),
у = *1.
Тогда уравнение в операторной форме примет следующий вид (1):
(Р4 + 41 ^)Р3 + 42 ^)Р2 + Ч3 ^)Р + 44 (t))у^) = (Гр + Г (t))и +
+ (т^)р3 + т2^)р2 + т3^)р + т4^))у(t - к) + /(t),
где коэффициенты г0 = с0, г1 (t) = с0 (t) + с1 (t) + с041 (t),
m1(t) =
m2 (t) = d2 (t) + 2d1 (t) + q1 (t )d1 (t), m3 (t) = 2d1 (t) + d1 (t) + 2d2 (t) + d3 (t) + q2 (t )d2 (t) + q1 (t )d2 (t) + q1 (t )d1 (t), m4 (t) = d1 (t) + d1 (t) + d2 (t) + q1c/1 (t) + q1 (t )d'1 (t) + q1 (t )d2 (t) + q2 (t )d'1 (t) + d4 (t) +
+ q3 (t M (t) + q2 (t )d2 (t) + q1 (t )d3 (t) + d3 (t).
Разложив коэффициенты qt (t), rj (t) на стационарные и нестационарные составляющие qi = ql0 + Aq (t), i = 1, 4; r} = rj0 + Dr} (t), j = 0,1, получим вид (4):
(p4+q10 p3+q20 p2+q30 p+q40) j=(ro p+r10)u - (Aq1(t) p3 + Aq2(t) p2 + Aq3(t) p+
+ Aq4(t)) у + (m1(t) p3 + m2(t) p2 + m3(t) p + m4(t)) y(t - h) + Ar1(t)u + / (t).
Нужно заметить, что в примере коэффициент r0 есть величина k из предположения А.2.
3
Уравнение эталонной модели имеет вид (p + 3) ym (t) = 81r(t). Класс неопределенности задан неравенствами:
-4 < qt0 < 4, - 6 < Aqi (t) < 6, i = 1,4,
1 < r0 < 4; 46 < Гю < 156, - 7 < Ar1(t) < 25,
- 6 < m1 < 6, - 78 < m2 < 78, -196 < m3 < 196, - 470 < m4 < 470.
Возмущающее воздействие удовлетворяет условию /(t)| < 10. Выберем полином
T(l) = l2 + 61 + 9, b = 20 . Вспомогательный контур вводится в виде (p + 2)e(t) = Pv(t), а уравнения наблюдателей (12), (13) имеют следующий вид:
V1 (t) = V2 (t) + -(v(t) - V1 (t)), z(t) = (Z(t) - z(t)),
8 —
V2 (t) =—(v(t) - V1 (t)), Z(t) = z(t). m2
v(t) = V1 (t).
Управляющие воздействия формируются в виде:
u(t) = 9v1(t) + 6Q2 (t) + V2 (t),
v(t)=- ^0(3Z(t) + z(t)).
В заданном классе неопределенности точность по ошибке слежения будет изменяться в зависимости от изменения параметров этого класса. По результатам моделирования можно сделать вывод, что наибольшая ошибка достигается при qi0) = inf qi0) (X) = -4, r0 = k = inf k(X) = 1
qG X qG X
и равна 5 = 0,08 . На рис. 1, 2 представлены переходные процессы по ошибке слежения e(t), управляющему воздействию u(t) и выходам объекта управления y(t) и эталонной модели ym (t) для случая наибольшей ошибки 5 = 0,08 при следующих значениях коэффициентов уравнения (4): qi0 =-4, i = 1,4; Aq1(t) = 6cos4t; Aq2(t) = 6cost; Aq3(t) = 6sin2t; Aq4(t) = 6sint; c0 = r0 = k = 1; c1(t) = 18 + sin5t; Ar1(t) = sin5t; r10 = 14; m1 =-6; m2 =-78, m3 =-196; m4 =-470; g(t) = 1 + sin3t; m = 0,01; am = 2; /(t) = 10sin1,7t.
Рис. 1. Переходные процессы по ошибке слежения е(/) и управляющему воздействию и(/) при 5 = 0,08
Рис. 2. Переходные процессы по выходам объекта управления y(t) и эталонной модели ym (t) при 5 = 0,08
Для всех других значений параметров целевые условия будут выполнены и ошибка будет меньше 5 = 0,08 .
Заключение
Характерной особенностью систем управления для объектов с запаздыванием является зависимость состояния управляемого процесса от предыстории [4], и пренебрежение влиянием запаздывания приводит к ухудшению качества функционирования системы, а иногда и к потере устойчивости. Получена система управления нестационарным объектом с запаздыванием по состоянию, аналогичная системе для нестационарного объекта без запаздывания [5].
Несомненным достоинством приведенного алгоритма является тот факт, что для формирования управления требуется только измеренный выход и переменные, получаемые с двух наблюдателей. Доказана ограниченность сигнала, который несет информацию не только о неопределенности объекта управления, но и присутствующем запаздывании, возмущении.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Поляк Б. Т., Щербаков П. С. Робастная устойчивость и управление. - М.: Наука, 2002. - 303 с.
2. Мирошник И. В., Никифоров В. О., Фрадков А. Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. - СПб.: Наука, 2000. - 549 с.
3. Atassi A. N., Khalil H. K. Separation principle for the stabilization of class of nonlinear systems // IEEE Trans. Automat. Control. - 1999. - Vol. 44, N 9. - P. 1672-1687.
4. Имангазиева А. В. Алгоритм робастного управления для нелинейного динамического объекта с запаздыванием по состоянию // Вестн. Астрахан. гос. техн. ун-та. Сер.: Управление, вычислительная техника и информатика. - 2009. - № 1. - С. 137-141.
5. Имангазиева А. В., Цыкунов А. М. Робастное управление нестационарным динамическим объектом с компенсацией возмущений // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. - 2009. -№ 2. - С. 19-23.
Статья поступила в редакцию 16.06.2011
ROBUST SYSTEM OF AUTOMATIC CONTROL WITH DELAY COMPENSATION IN CONDITIONS OF NONSTATIONARITY
A. V. Imangasieva
The structure of robust system of control for a non-stationary dynamic object with condition delay, allowing to compensate parametric uncertainty and external limited disturbances with the accuracy "8", is offered in the paper. The scheme of the signal formation is given. The signal helps to estimate disturbances, and control is formed, providing the required dynamic accuracy.
Key words: robust system of control, nonstationary dynamic object, parametric uncertainty, disturbance, dynamic accuracy.
