CC BY
55
УДК 62-50
А. В. Имангазиева
АЛГОРИТМ РОБАСТНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО ДИНАМИЧЕСКОГО ОБЪЕКТА С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ ПО СОСТОЯНИЮ
Введение
Современный период развития теории управления характеризуется постановкой и решением задач, учитывающих неточность наших знаний об объектах управления и действующих на них внешних возмущениях [1]. При создании систем управления динамическими объектами часто возникают дополнительные трудности, связанные с наличием запаздывания, нелинейности объекта [2]. В этом случае центральной проблемой является построение робастного регулятора, обеспечивающего достижимость цели управления для объектов, описываемых нелинейными уравнениями с отклонениями аргумента.
Один из подходов к решению поставленной задачи - это оценка возмущений, слагаемых с запаздыванием, нелинейностей по косвенным измерениям с целью компенсации их влияния на регулируемую переменную.
В данной работе решается задача управления с эталонной моделью для нелинейного динамического объекта с запаздыванием по состоянию. Предложенный алгоритм управления представляет собой специальным образом выбранную обратную связь, в которой применяются вспомогательный контур и наблюдатели [3] переменных, несущих всю информацию о возмущениях, нелинейностях объекта. В отличие от метода, предложенного в [4], нами используются два наблюдателя, что позволяет скомпенсировать погрешность наблюдения первого фильтра.
Постановка задачи
Рассмотрим объект управления, динамические процессы в котором описываются уравнением
n q
Q(p)y(t) = kR(p)u(t) + N(p)y(t -h(t)) + pn~'jl} (y(t))tj + f (t), (1)
i=i j=i
где y(t), u(t) - скалярные регулируемая переменная и управление; p = d /dt - оператор дифференцирования; Q(p), R(p) - нормированные дифференциальные операторы; deg Q(p) = n ; deg R(p) = m ; deg N(p) < n -1; время запаздывания h(t) - ограниченная функция; k > 0, фу (1 < i < n,1 < j < q) - гладкие функции, удовлетворяющие условию Липшица; t j - неизвестные постоянные; f (t) - внешнее возмущающее воздействие.
Требуемое качество переходных процессов в объекте задается уравнением эталонной модели
Qm (p)Ут (t) = kmg(tX (2)
где g(t) - скалярное ограниченное задающее воздействие, km > 0; ym (t) - ограниченный скалярный выход, deg Qm (p) = n - m.
Проектируемая система управления должна обеспечить выполнение целевого условия
\y(t) - ym (t)| <5 при t > T, (3)
где 5 - некоторое, достаточно малое число, T > 0.
Предположения
A.1. Коэффициенты операторов Q(p), R(p), N(p), M(p) и величина k зависят от вектора неизвестных параметров , где х - известное множество возможных значений вектора X .
А.2. Время запаздывания ) — ограниченная функция, удовлетворяющая условиям
йЩ) , , , . _
—— < 1, Н(г) > 0.
&
А.3. Задающее g(?) и возмущающее /) воздействия являются ограниченными функциями времени.
А.4. Полиномы Я(1), дт(1), Ят(1)—гурвицевы, где 1 — комплексная переменная в преобразовании Лапласа.
А.5. Известны порядки операторов д(р) и Я(р): degQ(p) = п, degЯ(р) = т, degN(р) < п — 1.
А.6. deg дт (р) = п — т.
Рассмотрим объект управления, динамические процессы в котором описываются уравнением
П $
в( р) у(() = кЯ( р)и (() + N (р) у(( — И(т + рп—ф, (у(( ))т, + / (0. (4)
г=1 1=1
Здесь у г (5) — непрерывные, ограниченные начальные функции; время запаздывания й(^) удовлетворяет условиям предположения А.2; ф,(у(^)) (1 </< п,1 < , < $) — гладкие функции, удовлетворяющие условию Липшица; т, — неизвестные постоянные.
Представим операторы д(р) и Я(р) в виде д(р) = дт(р) + Ад(р), Я(р)=Ят(р)+АЯ(р), где дт (р), Ят (р) — операторы с известными коэффициентами такие, что полиномы
дт(1), Ят(1) — гурвицевы и имеют порядки п и т соответственно. Тогда преобразуем (4)
в эквивалентное уравнение относительно выхода у(^):
дт (р)у(0 = кЯт (р)Ш +ЯЯЯ(р) и(^) — у^) + -Щ-у(; — А(0) +
Я (р) кЯт(р) кЯт(р)
1 п $ 1
+—^ УУ/—Ф, (К0)т, +—^ ДО). (5)
кЯт(р) Ц? ^ 1 кЯт(р)
Составим уравнение относительно ошибки е(0 = у(^) — ут (^), вычитая (2) из (5):
дт (р)е(О = кЯт(рт)+ЯЯр и(0 — у(^) + кЯ®-у( — А(0)+
Ят(р) кЯт(р) кЯт(р)
+ттт; Ё2УЧ (У')*і + /(,) - іттї-
кЯп(р) 1 1
(6)
В случае доступности измерения п — п — 2 производных управляющего воздействия л('), зададим закон управления и(') в виде
и(') = Т (рМ'). (7)
Тогда уравнение (6) примет следующий вид:
Оп(рМ')=кТ(рШрШ) +ЯЯ(р Л')—к^Ту(')+ктт(Р)Т><'-*'))+
Яп(р) кШТ кШТ
1 п-і , ,ч ч 1 к^() (8)
+-------// р Фп(у(')У^1 +---------У(')--------).
кЦ«(р)Т / 1 1 кІП(рТ кЯп(р)Ґ
В случае невозможности измерения производных управляющего воздействия л('), закон управления зададим в виде
и(') = Т (р)Л('), (9)
где v(t) — оценка сигнала, получаемая с наблюдателя [3].
с=то+Вот—v(t)), v(t)=дю. (10)
Подставив (7) в (6), получим уравнение
где
дт (р)е(') = ЬТ ( р)у(') + Ф(') + ЬТ ( р)(у(' ) — л(')), (11)
^=(к—^)+кШv(t)—Щт ^)+—т)+
+ Я„(р)Т £^Р ф + Ят(р)ГГ(0 — ЯЛрТ^'
Выберем полином Т (1) так, чтобы передаточная функция Т (1)Ят (1) = 1
дт (1) ^ + От
Тогда уравнение (11) преобразуется к виду
(р + От )у(0 = Pv(t) + ф(0, (12)
где
ф^) = ф(t)+Ь(^)—^)).
Т(р)Ят (р)
В сигнале ф(t) сконцентрировалась вся неопределенность параметров объекта управления и внешних возмущений.
Введем вспомогательный контур
(р + От )у^) =pv(t) (13)
и, принимая во внимание (12), (13), составим уравнение для рассогласования ) = у($) — у($):
(р + От )С(t) = Ф^).
Таким образом, если измерению доступны п — т — 1 производные сигнала v(t) и первая производная регулируемой величины е^), то, сформировав v(t) в виде
^0 =—1(р + От )С(0, (14)
получим, что закон управления (7), (14) обеспечивает асимптотическую устойчивость системы (4), (7), (14) по переменной е^), а уравнение замкнутой системы будет иметь вид (р + От ) = 0.
В случае невозможности измерять необходимые производные сигнала £(0, вместо (14) сигнал v(t) формируем в виде
^) = —р + От ),
где Z(t) — оценка, получаемая с наблюдателя
* = адо+В0(С(О— С(0), (15)
С(t) = ^ ^).
Таким образом, уравнения замкнутой системы имеют следующий вид (16).
n q
Объект управления: Q( p) y(t) = kR( p)u(t) + N( p) y(t - h(t)) + pn -jy. (y(t ))t. + f (t).
i=i j=1
Закон управления: u(t) = T(p)v(t), u(t) = T(p)v(t) .
Наблюдатель 1:
X = FX(t) + B0(v(t) - v(t)),
- (16) v(t) = LX(t).
Вспомогательный контур: (p + am) y(t) = bv(t),
v(t) = - j1 (p + am )Z(t) , V(t) = - 1'(am + p)Z(t) .
Наблюдатель 2:
Z=F0z(t)+B0(Z(t) -Z(t)),
Z(t) = L2 z(t).
Утверждение. Пусть выполнены условия предположений А.1-А.5. Тогда для любого 5 > 0 в (2) существуют числа m > 0,T > 0 такие, что для m < m0 и t > T для системы (16) выполнено целевое условие (3) и все переменные в системе ограничены.
Пример. Пусть объект управления описывается нелинейным уравнением с отклоняющимся аргументом
4 3 2 3 2
(p + a1p + a2 p + аз p + a4) y(t) = (b() p + ^)u + (c^^p + C2 p + C3) f (t) +
3 2 3 2
+ (d1p + d2p + d3 p + d4)j1(y(t)) + (n1p + n2p + n3 p + n4)y(t - h) +
32
+ (m1 p + m2 p + m3 p + m4)j2(y(t)).
Класс неопределенности задан неравенствами - 7 < at < 7, 20 < b. < 50; - 2 < ck < 8;
\f (t) < 1. Уравнение эталонной модели имеет вид (p + 3)3ym (t) = 81r(t) .
Выберем полином T (l) = 12 + 16l + 64, b = 20. Управляющие воздействия формируются в виде:
u(t) = 9X1 (t) + 6X2(t) + X 2(t), v(t) = - ^0(8Z(t) + z(t)).
Анализ результатов моделирования данного объекта управления позволяет сделать вывод, что наихудшая точность 5 = 0,015 по ошибке слежения e(t) достигается при
a = inf a (X) = -7, b0 = k = inf k(X) = 20 . На рисунке представлены характеристики при наихуд-
^еН ^еН
шей точности 5 = 0,015 .
х10-3
6 4 2 0 -2 -4 -6
0 2 4 6 8 10
Переходные процессы по ошибке слежения e(t), выходам объекта управления y(t)
и эталонной модели ym (t)
Таким образом, для объекта, рассмотренного в данном примере, предложенная схема формирования управляющего воздействия обеспечивает выполнение цели управления (3) с ошибкой слежения e(t) = y(t) - ym(t) = 0,002 .
Заключение
Проблема нелинейности объекта управления при наличии запаздывания возникает при более детальном исследовании характера управляемых динамических процессов. Поэтому важно, что приведенная схема формирования управляющего воздействия позволяет с заданной точностью не только отслеживать заданный эталонный сигнал, но и учитывать эффект запаздывания, наличие нелинейности в условиях априорной неопределенности и действии внешних возмущений.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Поляк Б. Т., Щербаков П. С. Робастная устойчивость и управление. - М.: Наука, 2002. - 303 с.
2. Мирошник И. В., Никифоров В. О., Фрадков А. Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. - СПб.: Наука, 2000. - 549 с.
3. Atassi A. N., Khalil H. K. Separation principle for the stabilization of class of nonlinear systems // IEEE Trans. Automat. Control. - 1999. - Vol. 44, N 9. - P. 1672-1687.
4. Цыкунов А. М. Алгоритмы робастного управления с компенсацией ограниченных возмущений // Автоматика и телемеханика. - 2007. - № 7. - С. 103-115.
Статья поступила в редакцию 5.11.2008
ALGORITHM ОF ROBUST CONTROL FOR THE NONLINEAR DYNAMIC OBJECT WITH DELAY
А. V. Imangasieva
The robust control structure for the nonlinear dynamic object with delay, which allows compensating parametric uncertainty and limited external disturbance accurate within 8 is suggested. The scheme of signal normalization is given; with its help estimation of disturbances and control organization which provides the required dynamic accuracy are made.
Key words: robust control structure, nonlinear dynamic object, parametric uncertainty, limited external disturbance, dynamic accuracy.
