Робастная система слежения за эталонным сигналом линейного динамического объекта с распределенным запаздыванием Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УПРАВЛЕНИЕ, МОДЕЛИРОВАНИЕ, АВТОМАТИЗАЦИЯ

УДК 62-50

А. В. Имангазиева

РОБАСТНАЯ СИСТЕМА СЛЕЖЕНИЯ ЗА ЭТАЛОННЫМ СИГНАЛОМ ЛИНЕЙНОГО ДИНАМИЧЕСКОГО ОБЪЕКТА С РАСПРЕДЕЛЕННЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

Предлагается робастная система управления объектом, динамические процессы в котором описываются линейным уравнением с распределенным запаздыванием. Дополнительно рассмотрен алгоритм управления для объектов с запаздыванием по состоянию, предложенный автором ранее, с целью его использования при разработке робастной системы управления с распределенным запаздыванием. Для решения задачи слежения за эталонным сигналом применяются специальным образом выбранные вспомогательный контур и наблюдатели переменных, что позволяет обеспечить выполнение цели управления с заданной динамической точностью. Приведен числовой пример системы слежения за эталонным сигналом линейного объекта с распределенным запаздыванием в условиях действия возмущений, произведено моделирование в 8гтиИпк МаАаЪ. Результаты моделирования подтвердили теоретические выводы и показали работоспособность предложенной системы управления в условиях постоянно действующих внешних и параметрических возмущений. Математические модели, включающие распределенное запаздывание, используются в таких областях науки, как биология, нейрология, физика, экономика. Учет распределенного запаздывания позволяет сделать модели этих систем соответствующими реальности, что и обусловливает актуальность полученного результата.

Ключевые слова: робастное управление, динамический объект, возмущение, динамическая точность, распределенное запаздывание.

Введение

Одной из современных задач в теории автоматического управления является разработка робастной системы управления динамическими объектами с распределенным запаздыванием. Математические модели, включающие распределенное запаздывание (предложены еще в [1]), используются в таких областях науки, как биология, нейрология, физика и экономика. Учет распределенного запаздывания позволяет сделать модели этих систем соответствующими реальности. Примером системы с таким видом запаздывания может служить, в частности, процесс изготовления металлизированной ткани в текстильной промышленности. Металлизированная ткань состоит из множества дискретных волокон, которые не меняют свою длину в ходе процесса, и только их положение по отношению друг к другу и количество волокон в сечении меняются в зависимости от скорости вращения технологических валов. Длина отдельных волокон является случайной величиной и варьируется от минимума до некоторого максимума, и это распределение длины волокон включает в себя распределенное запаздывание [2].

Выделение систем с распределенным запаздыванием в отдельный класс вызвано, прежде всего, большой сложностью их исследования по сравнению с системами, не содержащими запаздывания. Методы, разработанные для объектов без запаздывания, требуют дополнительного рассмотрения [3] с целью их использования при разработке робастных систем управления с распределенным запаздыванием. В этом случае центральной проблемой является построение робастного регулятора, учитывающего влияние запаздывающей составляющей в модели объекта и обеспечивающего достижимость цели управления.

Компенсация действия внутренних и внешних возмущений на регулируемую величину -это один из подходов к построению робастной системы. В рамках нашего исследования с помощью подхода, предложенного в [4], решается задача управления с эталонной моделью для линейного динамического объекта с распределенным запаздыванием.

Постановка задачи

Рассмотрим объект управления, динамические процессы в котором описываются уравнением

0

X(t) = Ax(t) + D J y(t + 0) d0 + Bu(t) + rf (t),

-h

y(t) = Lx(t), (1)

x(0) = Ф(0), 0e [—h;0],

где x e Rn, y(t) и u(t) - скалярные регулируемая переменная и управление; h — время запаздывания; ф(0) — непрерывная начальная функция; f (t) — внешнее возмущающее воздействие; Л, D, B, Г и L — числовые матрицы соответствующих порядков.

Требуемое качество переходных процессов в объекте задается уравнением эталонной модели

0

Xm (t) = AnXm (t) + Dm J Ут (t + 0) d0 + Bmg(tX ...

—h (2)

Ут (t) = LmXm (tX

где xm e Rn, ym (t) и g(t) — скалярные выход эталонной модели и задающее воздействие; Лт, Dm и Bm - числовые матрицы соответствующих порядков, начальные условия нулевые. Проектируемая система управления должна обеспечить выполнение целевого условия

|у(t) — ym(t)| <8 при t > To, (3)

где 8 — некоторое достаточно малое число; T0 — время, по истечении которого с начала функционирования системы должно выполняться целевое условие.

Предположения

1. Пара A, B — управляема.

2. Известны диапазоны возможных значений элементов матриц A, D, B, Г и L.

3. Уравнение (1) является минимально-фазовым, т. е. полином L( Ins — A)+ B — гурвицев, где s — комплексная переменная в преобразовании Лапласа; (Ins — A)+ — транспонированная матрица алгебраических дополнений матрицы (Ins — A); In — единичная матрица порядка n X n .

4. Внешние возмущение f (t) и задающее воздействие g (t) являются гладкими ограниченными функциями.

5. Производные регулируемой переменной и управляющего воздействия не измеряются. Преобразуем уравнения (1) и (2) в форму «вход-выход» и применим преобразование Лапласа:

0

Q(s) y (s) = G(s) J es0d0y(s) + kM(s) u (s) + N(s) f (s) + K(s),

—h

0

Qm (s) Ут (s) = Gm (s) J es0d0Ут (s) + kmMt„ (s) g (s),

—h

где

Qm(s) = det(Ins — Am), G(s) = L(Ins — A)+ D, Gm(s) = Lm(Ins — Am)+ Dm, Q(s) = det(Ins — A);

M(s) = L(Ins — A)+ B, Mm (s) = Lm (Ins—Am)+Bm, N(s) = L(Ins—A)+r, degQ(s) = deg Qm (s) = n;

deg N(s) = n1 < n — 1, deg G(s) < n — 1, deg Gm (s) < n — 1, deg M (s) = m, deg Mm (s) < m.

Полиномы Q(s), Qm (s), M(s), Mm (s) — нормированы; K(s) — изображения по Лапласу, связанные с начальными условиями.

Составим уравнение для ошибки е(л) = у(л) - ут (л):

0 0 0т(5) е (л) = ВД / ¿4ве(*)+АШ у (л) - О) | 0у(я) + кМ(л) и (л)+

-к

где

+ М(Л)/(Л)-ктМт(л) g (Л) + Щ),

Аб(л) = От (л) - е(л), АО(л) = От (л) - О(л). Применим алгоритм деления Евклида к многочленам йт (л) и От (л):

йт (л) = ё(л) М (л) + М^), От (л) = О (л) М (л) + М 2(л), deg 2(л) = у, у = и - т, deg М1(л) < т -1, deg О(л) <у-1, deg М2(л) < т -1.

Разложим полиномы б(л) и О(л): 2(л) = й0(л) + А1(л), О(л) = О0(л) + А2(л), и разделим на многочлен М (л). В дальнейшем изложении будут представлены требования для гурви-цева полинома й0(л).

В результате этих преобразований уравнение ошибки в изображениях по Лапласу примет вид

+-

Q0(s) e (s)=G0(s) Jes0d0e (s) + ku(s) + -h

0

A1(s) у (s) + N2(s) J esQd 0 y(s)+N(s)f(s) - kmMm (s) £ (s) + K(s)

М(л) ^

где

Ы1(л) = А б (л) -М1(л) -А1(л), N2(5)=А О (л)+М2(л)+А,(л), deg= и -1, degЫ2(л) <и -1.

Выделим целые составляющие в следующих выражениях:

NМтГ = N3« + МТ* МТ = N5 0 + Мт^N31-) = т-1. degN5«) <т-1.

М (л) М (л) М (л) М (л)

Преобразуем уравнение (4) в операторную форму:

о

Qo(p) e (t) = Go(p) J e(t + 0) d 0 + ku(t) + Yi(t), (5)

где

¥i(t)=

N3(s) + NW

3 M(s)

v

A »t/ \\

y(t) +

N,(s) +

v

ад

М(л)

0

J y(t+0) d0 + o£ (t) + of (t) + o(t),

o.)=£ 0) = ^ «)+AMr £ 0o f «)=MT) f«)=^р> f «)+ ANt7 f 0

M (p) M (p) M (p) M (p)

o(t) = L- «IM(s)j, e(t) = L- {e(s)} - оригиналы от изображений Лапласа; p = d/dt - оператор дифференцирования; degAN1(p) = n1 - m; degAN2(p) < m.

h

h

h

В случае доступности измерения п - т - 2 производных управляющего воздействия v(г) зададим закон управления ы(г) в виде

и (г) = Т (рМг).

Тогда уравнение (5) примет следующий вид:

0

е0(р)е(г) = О0(Р)| е(г + 0)й 0 + кТ(р) V (г) + у,(г). (6)

- к

В случае невозможности измерения производных управляющего воздействия v(г) закон управления зададим в виде

ы(г) = Т(р) V (г), (7)

где v(г) - оценка сигнала, получаемая с наблюдателя [5]:

С = ВД) + Во^(г) - V(t)), V(t) = Д(г). (8)

L = [1, 0, ...,0], B0 =

Здесь ^(г) е К" т; Р0 _ матрица в форме Фробениуса с нулевой нижней строкой;

Ь Ь _ 1

— ,..., Пт . Параметры Ь1,..., Ьп_т выбираются так, чтобы матрица ц ц ^

^ = + БЬ была гурвицевой, БТ = [Ь1,..., Ьп_т]. Подставив (7) в (5), получим уравнение

О0(р) е (г) = рт(р) V (г) + ф(г) + рт(р) (V(г) _ v(г)), (9)

где

_ 0

ф(г) = (г) + С0(р)| е(г + 0) й0.

_ к

Выберем полином Т (X) так, чтобы передаточная функция Т (Х) = —1— . Тогда уравне-

х + ат

ние (9) преобразуется к виду

(р + ат) е (г) = Мг) + ф(г), (10)

где

ф(г) = -1- ф(г) + в(V(г) _ v(г)). Т(р)

В сигнале ф(г) сконцентрировалась вся неопределенность параметров объекта управления и внешних возмущений.

Введем вспомогательный контур

(р + ат) е (г) = Мг) (11)

и, принимая во внимание (10), (11), составим уравнение для рассогласования ^(г) = е(г) _ е(г),

(р + ат) С(г) = ф(г).

Таким образом, если измерению доступны п — т — 1 производные сигнала v(г) и первая производная регулируемой величины е(г), то, сформировав v(г) в виде

v(г) = -1( Р + ат ),

(12)

получим, что закон управления (7), (12) обеспечивает асимптотическую устойчивость системы (5), (7), (12) по переменной е(г), а уравнение замкнутой системы будет иметь вид (р + ат) е (г)= 0.

В случае невозможности измерять необходимые производные сигнала £(0 , сигнал ), вместо (12), формируем в виде

v(t) = -1( Р + ат Ш, где £(г) - оценка, получаемая с наблюдателя [5]:

Ь

&(г) = ^(С(г) - г(г)), Ц

С(г ) = г(г).

(13)

Утверждение

Пусть выполнены условия предположений 1-5. Тогда для любого 6> 0 в (1) существуют числа Ц> 0, Т > 0 такие, что для Ц<Ц0 и г > Т для системы (1), (7), (8), (12), (13) выполнено целевое условие (3) и все переменные в системе ограничены.

Доказательство утверждения аналогично доказательству утверждения, которое приведено в [4].

Числовой пример

Рассмотрим объект управления, математическая модель которого имеет вид

/ (г),

у(г) = [100]х(г), х;(0) = 1, 0е [-Л;0], I = 1,2,3. Класс неопределенности задан следующими неравенствами:

-3 < а{ <3; -5<сС1 <5, 1 <Ьj <7, -2<yj < 2.

Уравнение эталонной модели

а1 1 0" ' С1 > 0 Г 01 ' 0 1

х (г ) = а2 0 1 х (г ) + С2 | у(г + 0)С 0 + Ь и (г) + %

а3 0 0 V С3 , - А V Ь2 , V У 2 у

хт (г) =

" -6 1 0" Г 21

-12 0 1 Хт (г) + 1

-10 0 0 V 1 У

и

I Ут (г + 0) с 0

+

Г 0 1

V10 У

8(г), Ут (г) = [10 0]Хт (г).

Выберем полином Т(X) = 4Х2 + 4Х +1, Р = 10, Ц = 0,01; ат = 3. Вспомогательный контур вводится в виде (р + 3) е (г) = ^(г), а уравнения наблюдателей (8), (13) имеют следующий вид:

«^(г) = ^(г) + -^(г) -^(г)),

Ц

8

4 2(г) =—Мг) -д,(г)), Ц

¿(г) = ^ (С(г) - ¿(г)), Ц

\(г) = г (г).

v(г) = (г).

Управляющие воздействия формируются в следующем виде:

и(г) = 4^) + 4^) + & 2(г),

v(г) = - П}^) + ¿(г)).

2

-А

На рис. 1 представлены переходные процессы по ошибке слежения, выходам объекта управления и эталонной модели.

Рис. 1. Переходные процессы по ошибке слежения e(t), выходам объекта управления у^ ) и эталонной модели ут (})

На рис. 2 представлен переходный процесс по управлению.

и(£)

Рис. 2. Переходный процесс по управлению u(t)

Таким образом, для объекта, рассмотренного в примере, предложенная схема формирования управляющего воздействия обеспечивает выполнение цели управления (3) с ошибкой слежения e(t) = y(t) - ym (t) = 0,02. Отметим, что в данном алгоритме управления применяются вспомогательный контур и наблюдатели переменных [5]. В отличие от схемы формирования управляющего воздействия, описанной в [6], в предложенной схеме используются два наблюдателя, что позволяет скомпенсировать погрешность наблюдения первого фильтра.

Заключение

В ходе исследований решена задача слежения за эталонным сигналом для объекта управления, динамические процессы в котором описываются линейным уравнением с распределенным запаздыванием. В предложенном алгоритме управления применяются специальным образом выбранные вспомогательный контур и наблюдатели переменных. Такая схема формирования управляющего воздействия позволяет учесть влияние распределенного запаздывания по выходу, а также обеспечить выполнение цели управления с заданной динамической точностью. Приведен числовой пример системы слежения за эталонным сигналом линейного объекта с распределенным запаздыванием в условиях действия возмущений, произведено моделирование в Simulink Matlab. Результаты моделирования подтвердили теоретические выводы и показали работоспособность предложенной системы управления в условиях постоянно действующих внешних и параметрических возмущений.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Вольтерра В. Теория функционалов и интегральных и интегродифференциальных уравнений. М.: Наука, 1982. 304 с.

2. Zitek P. Anisochronic internal model control of time-delay systems / P. Zitek, J. Hlava // Control Engineering Practice. 2001. Vol. 9, no. 5. P. 501-516.

3. Цыкунов А. М. Робастное управление с последействием / А. М. Цыкунов. М.: Физматлит, 2014. 264 с.

4. Имангазиева А. В. Робастное управление линейным динамическим объектом с запаздыванием по состоянию / А. В. Имангазиева, А. М. Цыкунов // Мехатроника, автоматизация, управление. 2007. № 12. С. 2-6.

5. Atassi A. N. Separation principle for the stabilization of class of nonlinear systems / A. N. Atassi, H. K. Khalil // IEEE Trans. Automat. Control. 1999. Vol. 44, no. 9. P. 1672-1687.

6. Цыкунов А. М. Алгоритмы робастного управления с компенсацией ограниченных возмущений // Автоматика и телемеханика. 2007. № 7. С. 103-115.

Статья поступила в редакцию 2.09.2015

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРЕ

Имангазиева Алия Владимировна - Россия, 414056, Астрахань; Астраханский государственный технический университет; канд. техн. наук, доцент; доцент кафедры «Математика»; aliya111@yandex.ru.

A. V. Imangazieva

ROBUST TRACKING SYSTEM FOR A STANDARD SIGNAL OF LINEAR DYNAMIC OBJECT WITH THE DISTRIBUTED LAG

Abstract. The robust control system of the object, the dynamic processes of which are described by a linear equation with distributed delay, is proposed. The control algorithm, proposed earlier by the author, for the objects with state lag in order to use it in the development of the robust control systems with distributed lag is considered. To solve the problem of tracking the reference signal, a specially selected auxiliary circuit and monitors of the variables are used; it helps actualize the control purpose with a given dynamic accuracy. A numerical example of the system for tracking the reference signal of the linear object with distributed lag in conditions of disturbances is given, simulation in Simulink Matlab is made. The simulation results confirmed the theoretical conclusions and showed the efficiency of the proposed control system in permanent external and parametric disturbances. The mathematical models, including the distributed lag, are used in such fields as biology, neuroscience, physics and economics. Accounting for a distributed lag model allows us to make these systems corresponding to reality, which causes the relevance of the result. ^y words: robust control, dynamic object, disturbance, dynamic accuracy, distributed lag.

REFERENCES

1. Volterra V. Theory of Junctionals and of integral and integro-differential equations. Dover, New York, 1959.

2. Zitek P., Hlava J. Anisochronic internal model control of time-delay systems. Control Engineering Practice, 2001, vol. 9, no. 5, pp. 501-516.

3. Tsykunov A. M. Robastnoe upravlenie sposledeistviem [Robust control with residual effect]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2014. 264 p.

4. Imangazieva A. V., Tsykunov A. M. Robastnoe upravlenie lineinym dinamicheskim ob"ektom s zapazdyvaniem po sostoianiiu [Robust control of linear dynamic object with state lag]. Mekhatronika, avtomati-zatsiia, upravlenie, 2007, no. 12, pp. 2-6.

5. Atassi A. N., Khalil H. K. Separation principle for the stabilization of class of nonlinear systems. IEEE Trans. Automat. Control, 1999, vol. 44, no. 9, pp. 1672-1687.

6. Tsykunov A. M. Algoritmy robastnogo upravleniia s kompensatsiei ogranichennykh vozmushchenii [Algorithms of robust control with compensation of limited disturbances]. Avtomatika i telemekhanika, 2007, no. 7, pp. 103-115.

The article submitted to the editors 2.09.2015

INFORMATION ABOUT THE AUTHOR

Imangazieva Aliya Vladimirovna - Russia, 414056, Astrakhan; Astrakhan State Technical University; Candidate of Technical Sciences, Assistant Professor; Assistant Professor of the Department "Mathematics"; aliya111@yandex.ru.