Робастное управление линейным динамическим объектом Текст научной статьи по специальности «Математика»

ТЕОРИЯ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

УДК 62-50

А. В. Имангазиева, А. М. Цыкунов Астраханский государственный технический университет

РОБАСТНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМ ДИНАМИЧЕСКИМ ОБЪЕКТОМ

Введение

Одной из актуальных задач теории управления является компенсация параметрической неопределенности и внешних неконтролируемых возмущений. В настоящее время разработаны различные методы и подходы к решению этой задачи. Подробная классификация задач и обзор изложены в [1, 2].

Одним из возможных подходов является оценка возмущений по косвенным измерениям с целью компенсации их влияния на регулируемую переменную. В этом случае основной задачей является формирование сигнала, несущего информацию об этих возмущениях. Этот сигнал необходим для получения нужных оценок.

В данной работе предлагается одна из возможных структур робастной системы управления. Она позволяет скомпенсировать параметрическую неопределенность и внешние ограниченные возмущения с точностью 5 на основе схемы формирования сигнала, по которому получается оценка возмущения и формируется сигнал управления, обеспечивающий требуемую динамическую точность.

Наиболее близкой к предлагаемой работе по принципу построения является [3]. Однако принцип формирования сигналов для требуемых оценок в этой работе другой. Кроме того, необходима информация о коэффициенте при старшем члене в числителе передаточной функции объекта управления, а для работоспособности системы формируется вектор регрессии, используемый в алгоритмах управления. В данной работе эти ограничения отсутствуют.

Постановка задачи

Рассмотрим объект управления, динамические процессы в котором описываются уравнением Q(Р)У() = Щр)«(*) + /V), ргу(0) = уг, / = Л, ..., п -Л , (1)

где у(^), и(() - скалярные регулируемая переменная и управление; р = Л /Л - оператор дифференцирования; /^) - внешнее возмущающее воздействие; Q(р), Я(р) - нормированные дифференциальные операторы порядков п и т соответственно; к > 0; у{ - начальные условия.

Сформулируем две хорошо известные задачи.

1. Требуется построить систему стабилизации, обеспечивающую выполнение целевого условия

|у(0| <5 (2)

начиная с некоторого момента времени Т.

2. Задано уравнение эталонной модели

^ (Р)Ут (() = ктГ ((X (3)

где г(^) - задающее воздействие; кт > 0; ут (^) - скалярный выход; deg Qm (р) = п - т.

Проектируемая система управления должна обеспечить выполнение целевого условия

|у(0 - Ут (()| <5 (4)

начиная с некоторого момента времени Т.

Предположения:

1. Коэффициенты операторов Q(p),R(p) и величина k неизвестны.

2. Известно ограниченное множество х возможных значений коэффициентов и величины k.

3. f (t ), r (t ) — ограниченные функции.

4. Полиномы R(l), Qm (l) — гурвицевы, где l — комплексная переменная в преобразовании Лапласа.

5. Известны порядки операторов

Q(p) и R(p), degQ(p) = n,degR(p) = m.

Система стабилизации. Воспользовавшись методикой [4], преобразуем уравнение (1) в эквивалентное относительно выхода y(t) :

Qm ( p) y(t) = k (u + u + У + f (t ) + g(t ^ (5)

M (p) M (p) M (p)

где M (l), S (l) — нормированные гурвицевы полиномы порядка n — 1 и n — m — 1 соответственно; deg N (p) = n — 1; deg N2 (p) = n; g(t) — затухающая функция, мажорируемая экспонентой. Преобразуем уравнение (5) к виду

Qm (p)y(t) = Pu(t) + j(t), (6)

где j(t) = (k — b)u(t) + k N*( p) m + k N2( p) y + f(t) + kg(t), b = sup k .

M(p) M(p) M(p) keH

Зададим закон изменения u(t) :

u(t ) = T ( p)v(t ), (7)

если измерению доступны n — m — 2 производных нового управляющего воздействия v(t ).

u(t ) = t ( p)v(t ) (8)

в случае невозможности измерения производных, где v(t) — оценка сигнала, получаемая с наблюдателя [5].

z = F0Z(t) + B0 (v(t) — v(t)), V(t) = LZ(t). (9)

Здесь Z(t) î Rn—m, F0 — матрица в форме Фробениуса с нулевой нижней строкой,

L = [1, 0, ..., 0], B0T =

b1 bn—m

m m

n—m

. Параметры b1, ..., bn—m выбираются так, чтобы матрицы

F = F0 + BL была гурвицевой, B = [bj, ..., bn—m ].

Подставив (8) в (6) , получим

Qm (p)У (t) = P T(p)v(t) + j(t) + P T(p) ['V(t) — V(t)] . (10)

Выберем полином T(l) так, чтобы передаточная функция T(1) = —1— . Тогда уравне-

Qm (1) ^ + am

ние (10) преобразуется к виду

(p + am )y(t) =Pv(t) + j(t), (11)

где j(t ) = —^ j(t) + p(v(t ) — v(t )).

T( p)

В сигнале j(t ) сконцентрировалась вся неопределенность параметров объекта управления и внешних возмущений.

Введем вспомогательный контур

( Р + am ) y(t ) =ßv(t ), (12)

и составим уравнение для рассогласования Z(t) = y(t) — y(t), принимая во внимание (11), (12):

(Р + am )Z(t) =j(t). (13)

Таким образом, если измерению доступны n — m — 1 производных сигнала v(t) и первая производная регулируемой величины y(t ), то, сформировав v(t ) следующим образом:

v(t ) = —1(p + am )Z(t), (14)

получим, что закон управления (7) и (14) обеспечивает асимптотическую устойчивость системы (1), (7), (14) по переменной y(t) , а уравнение замкнутой системы будет иметь

вид (Р + am )y(t)= 0.

Однако для работоспособности системы необходимо показать, что сигнал j(t ) ограничен.

Итак, в случае измерения перечисленных производных j(t) = —1— j(t), а из (14) имеем

T ( Р)

v(t) = — ß j(t) .

Тогда

AT ( AT ( ^

u(t) = -1 j(t) = -1 i(k-ß)u(t) + k, u(t) + k^^y(t) + k^^p\ f(t) + kg(t) . (15)

ß ß ^ M (p) M (p) M (p) )

N2(p) .. S(p) ...

Составляющие -----------y(t), ------f (t), g(t) ограничены в силу гурвицевости полиномов

M( p) M( p)

M (l) и условия lim y(t) = 0. Разрешив уравнение (15) относительно u(t), получим

t——¥

u(t) = -u(t) - N^(p)y(t) - -S^ f (t) + g(t) , (16)

M (p) M (p) M (p)

откуда, с учетом (5), следует Qm (p) y(t) = 0, а из (16) имеем

.. M (p) f N2( p) S (p)

u(t) = - , 4 , t^t y(t) + ^TT f (t) + g(t)

M(p) + Nx(p) {M(p) M(p)'

Так как M ( p) + N1 ( p) = R( p)S ( p) — гурвицев полином, то u(t ) есть ограниченная величина, следовательно, ограничены j(t) и j(t) .

В случае невозможности измерять необходимые производные вместо (14), сигнал v(t) формируем в виде

v(t) = —1 (am + p)Z(t) = —]1(amZ(t) + pZ(t)) , (17)

где z(t) — оценка, получаемая с наблюдателя

Z = Fo z(t ) + B0(Z(t) — Z(t)), Z(t) = L2 z(t).

(18)

Здесь z(t)e R2, матрицы F0 и B0 такие же, как в (9), но только соответствующего порядка, L2 = [1, 0]. В этом случае справедлива следующая теорема.

Теорема. Пусть выполнены условия предположений 1-5, тогда для любого 5> 0 в (2) существуют числа m> 0, T > 0 такие, что при m<m0 и t > T для системы (1), (8), (9), (12), (17), (18) выполнено целевое условие (2) и все переменные в системе ограничены.

Доказательство теоремы. Введем два вектора:

0Г (t) = (v(t), pv(t), ..., pn-mv(t)) zT0 = [Z(t), pZ(t)] и нормированные векторы рассогласований:

h(t) = r(a(t) -X(t)) , w(t) = Г2 (z0(t) - z(t)).

Здесь Г = diag{|ln-m-1, ..., m, 1}, Г2 = diag{m, 1} . Тогда из (9) и (18) имеем:

1Г-

h (t ) = - F h — b0 pn—mv(t ), w (t ) = - F w(t ) — b0 p X(t ),

m

(19)

e(t ) = m n—m—1Lh(t), t(t ) = mL2 w(t ),

где F = Fo + BoL2, b0 = [0, ..., 1], b0 = [0, 1],

e(t)=v(t)—v(t), t(t) = Z(t)—Z(t).

Преобразуем уравнения (19) в эквивалентные относительно выходов e(t) и t(t) :

h (t )=m Fh(t )—bpv(t ), e(t ) = mn—m—1Lh(t ), m

w (t ) = — Fw(t )—bpZ(t), t(t) = mL w(t ), m ___

bT = [1, 0, ..., 0], bT = [1,0].

Уравнения (19) и (20) эквивалентны относительно выходов, т. к. являются векторноматричными формами одних и тех же уравнений:

(20)

(

b

b

\

f

e(t ) = pn—mv(t ) :

d1

dn

т т

С учетом (8), (17) и (20) уравнение (11) примет вид

(Р + ат) У(0 = -т( Р + ат) ¿2 ч(*)

откуда имеем у(*) = -т(*).

Возьмем функцию Ляпунова

p + —p + — m m2

t(t) = p %(t ).

V(t) = hT (t)Hh(t) + wT (t)H1w(t),

где положительно-определенные матрицы H и H1 решения уравнений

nm

т — —т

HF + FтH = -2pj/ , H1 F + F H = -2p21, и вычислим полную производную на траекториях системы (20):

V(t) = -2^ h(t)|2 - 2 ^\w(t)|2 - 2цт (t)Hpv(t) - 2wT (t)HJpÇ(t) . (22)

2

m 11 m

Запишем уравнения (20), (21) в виде

mih(t) = Fh(t) - mibpv(t), mjW(t) = Fw(t) - m2 bpZ, (p + am)y = -m2(p + )l2 w(t) mi =m2.

(23)

Воспользуемся леммой [6].

Лемма [6]. Если система описывается уравнениями х = /(х, т1, |12), хє Я", /(х, т1, т2)-непрерывная функция, липшицева по х и при т 2 = 0 имеющая ограниченную замкнутую область диссипативности О = {х/її(х) < С}, где її(х) — положительно-определенная, непрерывная, кусочно-гладкая функция, то существует т0 > 0 такое, что при т1 < т0 и т2 < т0 исходная система имеет ту же область диссипативности О, если для некоторых чисел С, т1, т2 = 0 выполнено условие

sup

Im £mi

F^] f(x,mj,0)^

<-C , F(x) = C.

В данном случае, если m 2 = 0 в (23), это равносильно тому, что все производные измеряются и добавляются две экспоненциально устойчивые системы: mi1!(t) = Fh(t),w(t) = Fw(t). Как уже доказано, в этом случае все переменные в системе ограничены и условия леммы выполнены. Иными словами, в области W y(t) ® 0, |v(t)| < к, |Ç| < к2, а из (13) и (7) следует, что

|pÇ(t)| < к3, |pv| < к4, где к1, к2, к3, к4 — некоторые положительные константы.

Положим в (23) m1 = m2 = m и, подставив их в (22), воспользуемся оценками:

rp I, |2 ..... I |2 II II

— 2h (t)Hpv(t) < — h(t) + m H\pv(t) < — h(t) + m H к3,

m m

— 2wT(t)H1 pZ(t) < — |w(t)|2 + m|hJ|к4.

m.............

Подставив эти оценки в (22), получим неравенство

V(t) < —- h(t)|2 — ^(tf — -(P1 —1)|h(t)2 — 1(P2 — 1)|w(t)|2 +m(Н1|кэ + N|к4).

m ' m ■ m m

Выбрав p1 > 1 и p2 > 1, получим

V (t ) <--Pj| h(t)|2 -^1 w(t)|2 +mb, (24)

m1 m

где b = I\H\\k3 +1|Hj|k4 . Отсюда следует:

V (t ) <-p,v (t ) + mb, (25)

где b = min \ -Р1— ; —р2— >, 1() — максимальное собственное число соответствующей мат-

M1 1 mi(H) mi(Hi)u у

рицы. Из (25) имеем V(t) < — .

ßi

Принимая во внимание неравенство |w(t)|2 — V(t) <mß из третьего уравнения (23),

1(Hi) ßi

имеем |y(t )| < m| w(t )| < m /mß , откуда видно, что для любых 8> 0 в (2) существует m о такое, что

V ßi

будет выполнено целевое условие (2).

Система с эталонной моделью. Используя уравнения (3) и (5) и выбрав закон формирования сигнала u(t) в вид (8), получим уравнение для ошибки e(t) = y(t) — ym (t) :

( p + am )e(t ) = ßv(t ) + y(t), (26)

k

где y(t) = j(t) +-m— r(t). Вспомогательный контур берется аналогичный (i2) -

_ T ( p)

( p + am )e(t ) = ßv(t ).

В результате получаем уравнение для отклонений (i3), где функция j(t) заменяется на y(t). Для формирования оценок используются наблюдатели (9) и (i8).

Тогда для системы (i), (3), (8), (9), (26) справедлива доказанная теорема с заменой целевого условия (2) на (4).

Замечание. Для технической реализации порядки наблюдателей (9) и (i8) можно брать на единицу меньше.

Пример

Пусть объект управления описывается уравнением

( Р 4 + ai p3 + a2 p2 + a3 p + a4) y(t ) = (bo p + b> + (c p3 + c2 p2 + C3 )f (t ).

Уравнение эталонной модели имеет вид (p + 3)3ym (t) = 54r(t).

Класс неопределенности задан неравенствами ai > — 3, i = i, ..., 4 ; 2 < bj < 5 ; — 2 < ck < 4 ; f (t) < i. Выберем полином T (1) = 12 + 61 + 9, ß = 5. Уравнения наблюдателей имеют вид:

Xi(t ) = Х 2(t )+6(v(t)—Xi(t )),

m

v(t ) = Xi (t ),

8 (26) X2 (t) = —(v(t) — Xi(t)), m2

a —

¿(t ) = - (Z(t ) — z(t )), Z(t) = z(t). m

Управляющие воздействия формируются в виде:

) (27)

u(t ) = 9Xi(t ) + 6Х 2 (t ) + X2(t ),

v(t ) = -(3Z(t) + z(t )).

Выбор параметров осуществляется следующим образом: моделируется система при ai = 3 и b0 = 2 ; подбираются числа m и a так, чтобы были выполнены целевые условия, затем берется b0 = 5, и если система не работает, то корректируется число a . В данном примере

|W = 0,01, a = 0,5. Для всех других значений параметров целевые условия будут выполнены. Необходимо отметить следующее: если диапазон для b0 очень большой, то следует его уменьшить, задав u(t) = aT(p)v(t) и выбрав 0<a< 1 так, чтобы диапазон изменения величины ab0 был

не очень большим. На рисунке представлены переходные процессы по ошибке и управлению, когда ai = -3, r(t) = 1 + sin 1,7t, f (t) = sin t, ck = 3, к = 1, 2, 3 . Начальные условия нулевые.

Переходные процессы по ошибке и управлению

Заключение

В работе рассмотрен один из возможных подходов к построению робастной системы управления с компенсацией параметрической неопределенности и внешних ограниченных возмущений с заданной точностью.

К недостаткам предлагаемого подхода следует отнести отсутствие аналитических формул для выбора параметров управляющего устройства. К несомненным достоинствам относится большой диапазон возможных значений параметров объекта управления. В работе представлен также алгоритм выбора параметров с помощью моделирования разрабатываемой системы управления.

СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ

1. Буков В. Н. Вложение систем. - Калуга: Изд-во Н. Ф. Бочкаревой, 2006. - 720 с.

2. Никифоров В. О. Адаптивное и робастное управление с компенсацией возмущений. - СПб.: Наука, 2003. - 282 с.

3. Бобцов А. А. Алгоритм робастного управления неопределенным объектом без измерения производных регулируемой переменной // Автоматика и телемеханика. - 2003. - № 8. - С. 82-96.

4. Feuer A., Morse A. S. Adaptive control of single-input, single-output linear systems // IEEE Trans. on Automatic Control. - 1978. - Vol. 23, N 4. - P. 557-569.

5. Atassi A. N., Khalil H. K. Separation principle for the stabilization of class of nonlinear systems // IEEE Trans. Automat. Control. - 1999. - Vol. 4. - P. 672-1687.

6. Брусин В. А. Об одном классе сингулярно-возмущенных адаптивных систем // Автоматика и телемеханика. - 1995. - № 4. - С. 119-128.

Получено 1.10.2006

THE ROBUST CONTROL OF LINEAR DYNAMIC SYSTEM

A. V. Imangazieva, A. M. Tsykunov

One of the structures of the robust control system, permitting compensation of parametric uncertainty and disturbance with accuracy d, is given in the issue. To obtain such accuracy, the structure of the signal shaping scheme, that estimates the disturbance, is offered.