CC BY
33
УДК 62-506
А. М. Цыкунов
СУБОПТИМАЛЬНОЕ ДЕЦЕНТРАЛИЗОВАННОЕ РОБАСТНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
ЛИНЕЙНЫМ ОБЪЕКТОМ1
Введение
Современный период развития теории управления характеризуется [1] стремлением сконструировать системы управления, оптимальные по некоторым критериям для объектов, функционирующих в условиях неопределенности и подверженных действию неконтролируемых возмущений. В этом направлении имеются различные методы синтеза оптимальных робастных систем управления, среди которых следует выделить «2-Риккати подход», позволяющий получить конструктивные результаты. Данный подход был предложен в [2] и базируется на методе Н¥ -оптимизации. При этом постановка задачи осуществляется в частотной области, а решение ищется в пространстве состояний путем решения двух уравнений Риккати. В результате получается субоптимальная система управления, обеспечивающая устойчивость замкнутой системы и минимальную чувствительность к возмущениям. Детальное изложение этого метода имеется в [1, 2]. Обзор различных подходов к построению робастных систем приведен в [3], а методов подавления внешних возмущений - в [4].
В [5] предлагаются другие подходы к построению оптимальных робастных систем управления. Управляющее воздействие формируется в виде суммы двух составляющих, одна из которых определяется путем решения задачи оптимального управления для номинальной системы, а вторая - из условия инвариантности к возмущениям. В [6] решается задача синтеза статической обратной связи, которая осуществляет подавление ограниченных внешних возмущений и минимизирует размер инвариантных эллипсоидов динамической системы, теория применения которых изложена в [4]. В [7] используется знаковый алгоритм настройки параметров управляющего устройства, в [8] - оценка возмущений с помощью фильтров, в [9] осуществляется идентификация гармонического возмущения, а затем формируется управляющее воздействие для его компенсации.
В [5] приводится классификация различных типов возмущений и способов уменьшения их влияния на регулируемые переменные. Выделяются два основных принципа построения таких систем. Это инвариантные системы, когда управляющее устройство проектируется так, чтобы передаточная функция по возмущению была равна нулю, что равносильно полной инвариантности, или должна быть малочувствительной к возмущениям, что соответствует частичной инвариантности. Второй принцип состоит в том, что управляющее устройство формирует сигнал, ослабляющий влияние возмущений на регулируемые переменные. В зависимости от достигаемого результата говорят о полной компенсации или о компенсации с требуемой точностью.
В данной работе сигнал управления формируется в виде суммы двух составляющих, как это осуществляется в [5]. Одна компонента определяется из условия минимума квадратичного критерия для номинальной системы, когда параметрические и внешние возмущения отсутствуют. Для определения второй составляющей управления используется подход, предложенный в [10, 11]. Путем введения вспомогательного контура выделяется сигнал, несущий информацию о параметрических и внешних возмущениях, что позволяет получить их оценку и скомпенсировать их действие на систему. При этом переходные процессы в замкнутой системе и в оптимальной номинальной системе близки с точностью 5.
Следует отметить, что задача подавления возмущений не всегда разрешима даже для линейных систем. В [5] с помощью алгебраических методов были получены условия разрешимости этой задачи, которые приводят к структурным ограничениям. Поэтому в статье рассматривается случай, когда можно осуществить компенсацию влияния возмущений на весь вектор состояния объекта управления.
1 Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 09-08-00237).
Постановка задачи
Рассмотрим объект управления, в котором динамические процессы описываются уравнением
к
X (0 = А1Х1 (0 + Б1ы1 (0 + ^ ВгТг]Х] (0 +А/ (О, Уi (0 = Ах(0, X (^) = Х0, /' = 1,..., К . (1)
г=1
г * }
Здесь хг е Яп - вектор состояния г-й локальной подсистемы; уг е Я - измеряемые выходы объекта; иг е Я - управляющие воздействия; /г е Я - ограниченные в каждый момент времени внешние возмущения; Аг, Б1, Д, Ц - числовые матрицы соответствующих порядков; Гу - матрицы перекрестных связей.
Управления иг (г) будем формировать в виде суммы двух составляющих:
иг (г) = игп (г) + Щк (г). (2)
Требуется определить законы формирования сигналов игк (г), которые предназначены для компенсации перекрестных связей, параметрических и внешних возмущений, и составляющие иш (г) так, чтобы обеспечить минимум функционалов
¥
^ |(і)Яіх, (і) + г,и,п (і)№ . (3)
Здесь > 0, Qi - положительно определенные матрицы. Составляющие игк (г) не имеет
смысла включать в критерии, т. к. их величины зависят от величин возмущений и оптимизация по этой переменной невозможна, когда используется метод компенсации.
Как уже отмечалось, скомпенсировать влияние возмущений на весь вектор состояния можно только при определенных структурных ограничениях, поэтому будем решать сформулированную задачу при следующих ограничениях.
Предположения
1. Выполнены структурные соотношения: Аг = Апг + Бпгс'[, Бг = Бпг +агБпг, Д = РгБпг-.
2. Пара (Ап, Бп) - управляема, а (Ап, Ц) - наблюдаема.
3. Передаточные функции Щ( 1) = Ц( 1 - Апг^_1 Бпг = Яг( 1 )/Ог( 1) - минимально-
фазовые, где аг > 0, Ь; 1 - комплексная переменная в преобразовании Лапласа; I - единичная матрица соответствующего порядка; deg Яг (1) = тг; deg Ог (1) = пг; пг - тг = уг-.
4. Векторы сг, числа аг, Рг- и элементы матриц Г принадлежат ограниченному
известному множеству возможных значений X .
Вначале исследуем случай, когда измерению доступно требуемое количество производных регулируемой переменной. В этом случае происходит полная компенсация влияния возмущений на систему. Эта задача имеет не только самостоятельное значение - она является вспомогательной для обоснования работоспособности системы, когда производные регулируемой переменной недоступны измерению.
Синтез системы управления
Пусть выполнены условия предположений. Построим наблюдатели для каждой локальной подсистемы:
Х1 (г) = АпгХг (г) + Кг (Уг (г) - ЦгХг (г)) + Бпгиг (г) + БпгЧ (г), Хг (г0 ) = Х0г , (4)
где Хг е Яп‘ - векторы состояния наблюдателей, которые должны быть оценкой векторов хг (г);
V (г) - управления, предназначенные для компенсации влияния возмущений на процесс наблюдения; Кг - числовые векторы такие, что матрицы А0г = Апг — КгЦ гурвицевы. Такие матрицы всегда существуют, т. к. пары (Апг, Ц) - наблюдаемы.
Для формирования составляющих управлений ипг (V) решаем хорошо известную задачу оптимального управления с критериями (3) при нулевых параметрических и внешних возмущениях для номинальных систем, которые описываются уравнениями:
где положительно определенные матрицы Нг являются решениями матричных уравнений Риккати
Однако для качественной оценки векторов хг (V) требуется скомпенсировать влияние перекрестных связей, параметрических и внешних возмущений на эти оценки.
Подставив значения ипг (V) из (5) в (1) с учетом структурных ограничений в предположениях, получим
Для того чтобы скомпенсировать составляющую фг (х, V), необходимо получить сигнал, несущий информацию об этих возмущениях. Введем вспомогательные контуры для каждой подсистемы:
и составим уравнение для вектора рассогласований X (V) = £г- (V) - £г- (V), вычитая (9) из (8):
Преобразуем (10) в эквивалентные уравнения относительно переменных (V) и запишем их в операторной форме:
где G0г■ (Р), Я, (Р) - линейные дифференциальные операторы, коэффициентами которых являются коэффициенты полиномов G0г. (1) = ёеЦА/ - А0г) и Я, (1); Р = & / & - оператор дифференцирования; ог (V) - функции, связанные с ненулевыми начальными условиями, они убывающие, т. к. характеристические полиномы G0г■ (1) являются гурвицевыми. Применим преобразование Лапласа к уравнениям (11) и разрешим их относительно переменных фг (1):
Хп, (V) = Атхт (V) + втит (0, хт (^) = Хо,,
ит (V) = -гг~1ВТП1Н1х1 (V),
(5)
(6)
—1 Т -
Хг (V) = Ат х, (V) + Втикг (V) + Вт ф, (Х, V) - Вт Г, ВтН, Х, (V), У, (V) = ЦХ, (V), Х, (^ ) = Х0, ,
Р
Т Т Т ^ т
где х (V) = [хх,..., хл ], фг (х, V) = ^ Г^Ху (V) +с1х1 (V) + агиг- (V) + (V) - параметрические
(0 = А0гег (0 - ВтУг (t), ег (0 = Цг£г ^ £г (^0) = 0
(9)
Хг ^) = А0г Хг ({) + Втг Фг (Х *), ?г ^) = Цг Хг ({X Хг ({0 ) = £г (^0 ) .
(10)
°0г (Р)?г (V) = Я, (Р)Фг (Х, V) + О,- (V) ,
(11)
Я, (1)
1
Взяв обратное преобразование Лапласа, получим
Фг(х, ,) =(Я0г(Р) + ^К(0-ЯТ^руОгЮ,
где Я0г (Р) = к0,Ръ + кьРъ-1 +...+кЪг, аее АО, (Р) = т, -1.
Сформируем управления V г (V) и и^ (V) в соответствии с уравнениями
V ( V) = (Я0г- (Р) + АОуР)?г (V), икг (V) = -V (V) . я/ (Р)
Это равносильно тому, что V г (V) = ф г (х, V)-1— о г (V). Тогда, подставив значения V г (V) и и^ (V)
я/ (Р)
в (7) и (8), получим:
Хг (0 = АкгХг (0 + ВтГг-ВТгНг£г ^) + ВтОг ^, У г (0 = ЦгХг ^), (12)
ег ^) = А0гег ^) + ВтОг ^X ег (() = Цгег ^), Яг (Р)Ог ^) = Ог (0.
Необходимо показать, что все сигналы в замкнутой системе ограничены. Из (12) следует, что Пт хг (V) = 0, Нт (V) = 0, т. к. матрицы Акг, А0, и полином Яг (1) гурвицевы. Следователь-
V®»
но, с учетом формулы £,■ (V) = хг (V) - Хг (V), имеем Пт Х (V) = 0, откуда следует ограниченность
управляющих воздействий ит (V) = - г~1ВтН /х/ (V). Примем во внимание выражение для функ-
л
ций фг (х, V) = ^ ГуХу (V) + стх/ (V) + аг-иг- (V) + / (V), икг (V) = -V, (V). Тогда
г=1
г* У
Л
икг ( V) = -(^ ГЛ (V) + стх/ (V) + а, (икг (V) + иш (V)) + рг/ (V) + О, (V)). Разрешим это уравнение
г=1
г* }
1 p _
относительно ик1 (ґ): ик1 (ґ) = ---(У G1^x^(ґ) + стхг(ґ) + alunl(ґ) + Ь/,(0 + SI(ґ)). В
1 -a 1 “ 7 7
Л
уХу (V) + СТХг (V) + агига (V) + Рг/г (V) + О, (V)) . В правой
аг “
г* у
части все сигналы ограничены, следовательно, управление и^ (V) тоже ограничено. Таким образом, из (12) видно, что возмущения не влияют на векторы состояния локальных подсистем хг (V) и на векторы ошибок (V) оценивания.
Утверждение 1. Пусть выполнены условия предположений, измерению доступны уг-производных сигналов (V) и ег (V0) = 0 , тогда закон управления
ит (V) = -Гг~1ВТтНгХг (V) , (13)
V ( V) = (Я0г (Р) + АО^Р))?г (V), икг (V) = -V, (V)
Яг (Р)
с наблюдателями (4) и вспомогательными контурами (9) обеспечивает минимум критериям (3).
Справедливость утверждения вытекает из следующих рассуждений. Так как по условию ег(^) = 0, тогда аг(0 = 0, а из (12) имеем £г-(V) = А0гег-(V). Матрицы А0г гурвицевы, тогда (V) = 0
-1 Т
для любых V. В этом случае из (12) имеем Хг (V) = аьх/ (), Акг = Ат - г, Вп/Вп/Нг. Это равносильно тому, что была решена задача оптимального управления для номинальной системы с критерием (3).
Следует отметить, что при невыполнении условия £г- (У0) = 0 будет перераспределение функций между составляющими ип, (г) и иш (г). Величины ип,(г) будут уменьшаться, т. к. часть начальных условий х0, скомпенсируют управления ик, (г1).
Рассмотрим случай, когда производные сигналов да(г) недоступны измерению. Для оценки у,- производных сигналов V, (г) можно воспользоваться различными фильтрами. В [12] предлагается наблюдатель производных, математическая модель которого имеет вид
(О = N ,2, (г) + Бц (V, (г) -V, (г)), V, (г) = 112, (г^ (14)
где z j е R‘ , D
g DT =
d 0j d gj , Nj = 1 О 1
_ m i + m 0 0
L = [i, о,..., о], V(t) - оценки сигналов q (t).
векторы zt (t) являются оценками векторов 0T (t) = [q (t), V (t),..., Qg (t)]. Числа d 0j,..., d,
V
выбираются так, чтобы матрица N0j = Nj -D2jLgj была гурвицевой, где D^j- = [d0j,..., dg j] m -
достаточно малое положительное число.
В этом случае оценка компоненты Я(), (Р)д,- (г) в (13) будут формироваться в виде
ЯТ2 ,(гX я! = [гУ , ^., Г0, ],
где г^ - коэффициенты полиномов К0, (1) .
Утверждение 2. Пусть выполнены условия предположений. Производные сигналов V ,(г) оцениваются с помощью наблюдателя (14), а управляющие воздействия формируются в виде
ит (г) = -г,~1ВТтН,х, (г),
Т АО (Р)
V, (г) = ^ (г) + —(г), (15)
К(Р)
/ \ т / \ -О(Р) .
ч(г)=-я 2(г) —^^(0.
К(Р)
Тогда существуют числа то > 0, Т > 0 такие, что при выполнении условий т < то, г > Т выполнены целевые условия
\х, (г) - хт (г)| <5 (16)
для системы (1), (4), (9), (14), (15), где 5 - достаточно малая величина; хп, (г) - оптимальные
траектории систем (5) с измеряемыми векторами состояния, для которых решены задачи
оптимального управления с критериями (3):
хп, (г) = (Ап, - ВпгГг~1вТтНг )хп, (г) хп, (<0 ) = х0, . (17)
Доказательство утверждения 2. Введем векторы рассогласования л, (г) = г,-1 (2, (г) - 0, (г)) = Г,-1-, (г), А, (г) = Г,л, (г), г, = {1^ ,..., т,1} и из уравнения (14) полу-
чим уравнение для нормированных отклонений
Т (t) = -Nojhj (t) + bVjy‘+1 (t), Ai (t) = V (t) - V (t) = Lihj (t), (18)
m
T
где b = [0, ..., 0, 1], Ai(t) - первые компоненты векторов Aj (t).
Возьмем векторы xkj (t) = xj (t) — xnj (t). Подставим значения управляющих воздействий (15) в формулы (7) и (8), принимая во внимание (18) и (12), без учета затухающих функций сг- (t). Тогда, вычитая (17) из (7), с учетом результата подстановки (15) в (8), получим:
xki (t) = Akixki (t) + Bnigf riii (t) + Bmri ^BrijHjej (t) ,
е, (ґ) = Л0, е, (ґ) - В^ Г, л, (ґ), е, (ґ) = Д єг (ґ), (19)
м-іті,(О=^л,(ґ)+М2*?/+1(^), Аі(ґ)=V(ґ)-V,(0 = МУ/Ал,(і),/=і,...,р,
где Мі = М2 = М • Получили р сингулярно возмущенных систем, т. к. м - достаточно малая величина. Воспользуемся утверждением.
Лемма [13]. Если система описывается уравнением х = /(х, Мі, М2), хє ^т , где /(x, Мі, М2) - непрерывная функция, липшицева по х, и при ц2 = 0 имеет ограниченную замкнутую область диссипативности Пі = {х|Р(х) < С}, где Р(х)- положительно определенная, непрерывная, кусочно-гладкая функция, то существует М0 > 0 такое, что при Мі < М0 и М2 < М0 исходная система имеет ту же область диссипативности Пі, если для некоторых чисел Сі и Щ при М2 = 0 выполнено условие
sup
m i<pi
T
ЭF (x)
Эх
f (х, mi, о)
<-С1, при F (х) = С.
Если ^-2 = 0, то системы (19) асимптотически устойчивы в целом и все переменные в замкнутой системе ограничены, что следует из утверждения 1. Кроме того, для конкретных
начальных условий из уравнений (11) следует ограниченность величин Q.g +1 (t), sup V. Гі+і (t)
< a1
Тогда, в соответствии с леммой, область диссипативности не изменится, если Мі < и М2 < М0 .
Однако системы (і9) не будут асимптотически устойчивыми, если М2 Ф 0 .
Оценим области притяжения систем (і9), когда Мі = М2 = М0, для чего возьмем функции Ляпунова
V/ (хш, е,, Л,) = хТь (ґ) Иі,хш (ґ) + ет (ґ) Н 2, е, (ґ ) + (ґ)Н 3, л, (ґ),
где положительно определенные матрицы Ні, Н 2, Н 3 определяются из уравнений:
(20)
Н1гАкг + АкгН1г = -р1,1, Н2гА0г + А0гН2г = -р2,1, Н3/^0/ + ^0гН3г =-р3,1 , (21)
Ру > 0, г = 1,2,3, j = 1,..., р.
Вычислим полные производные от функций (20) на траекториях системы (19), принимая во внимание уравнения (21):
I 12 Т Т Т —1 Т
V (хк,, £,, Л, ) = -р1г|хк,| + 2хк,Н1гВтЯ, Г,Л, (г) + 2хк,Н1,ВтГг ВтН,е, (0 -
- р 2, |е, (г )|2 - 2еТ Н 21Втяк Г, л, (г) - ^ |л, (г )|2 + 2лТ (г)Н 3^ ъ (г).
то
Воспользуемся оценками:
2^iAigJrihi (t) < Vki (t)|2 + T1i Ihi (t)|2, T1i = HiiBniglГг
t -1 t і 12 і 12
2xkiHiiBmri Bn Hjej(t) < \Xki(t) +T2j e, (t) , T2i =
HllBmr-1BTmHl
- 2ef H2iBmgmГгhi (t) < Iei (t)|2 + T3i hi (t)L T3i = H2jBnjgJГг
2
2
2
т у і і 12
2Л/ (ґ)Нз/Ь?/ъ (ґ) < — л, (ґ) + М0%■ М о
і I / ч|2 \тт 1 |2
<-----Л, (ґ) +М0*4/«і,, ^4, = Нз,Ь .
Мо
Подставив эти оценки в формулы для производных от функций Ляпунова, получим ^ (Хк,, е,,л,) <-(р1, - 2)|Хк, (г)2 - (р2, -х2, -1)|е, (0|2 - (—- -х1, -Хэ/ )л,(г)2 + ^0%,
т0 т0
где х0/ = х4/а1г. Возьмем т0 достаточно малым числом и выберем числа р^- ,р2г, рз, из условий:
р3- 1
р1г = 3, р2г - х2/ + 2= 1, —-х1г - х3/ = 1. Тогда получим
^0 ^0
V,(хш/,Є/,л,)<-хш.(ґ)2 -|єг(ґ)|2 -|л,(ґ)|2 + М0Х0/ <-«0,У,(хш,,е,,Л/) + М0%,
(22)
где а 0г = шт{1/ 1(Н1г), 1/ 1(Н2г); 1/ 1(Н3г)}, Ц • ) - наибольшее собственное число соответствующей матрицы. Из (22) следует оценка области притяжения системы (19) V (х^, £,■, л,) <т0Х0/ / а0г, при г . Очевидно, что всегда существует число т0 такое,
-а0,к ^0х0г
что т0х0г /а0г <5 . Решим неравенство (22): V (г) < е 0г V (0) + (1 - е )
I |2 1 Т 1
во внимание неравенства \Хк,( 0| <---------- хш( г)Н1,хк,( г) <7--------7771 шт(Н1г )-----------------------------------------------------------------1 шт(Н1, )
ч, (0|2 <
правую
і
(е ~«0‘1Г1 (0) + (і - е-“0іҐ)М 0X0
)<
і
(е ““0/^ (0) +
часть
Т = тах
і
1п-
к величине
V- (0)«0/ 1
«0/ 1 тіп (Ні/ )
62,
М 0 %
получим
а 0,
оценку для
. Принимая
а 0,
Vi ( г), получим
) . Приравняв
времени
і = і, ..., р .
а0г а0г52 ^шт (Н1г) М-0Х0г
Это довольно грубые оценки, но они доказывают справедливость утверждения.
Пример
Рассмотрим объект управления, математическая модель которого имеет вид
хіі =- хіі + 2 хі2,
Уі = хи
хі2 = 2 хіі + хі2 + 3хі3 + 2иі + 2стхі + 2аіиі + 2^х2 + 2 /і,
хі3 = 3хіі + 4 хі2 + хі3 + 2иі + 2стхі + 2аіиі + 2^х2 + 2 /і,
х2і =-х2і + 2 х22, у2 = х2,
х22 = 2 х2і + х22 + 3х23 + 2и2 + 2ст х2 + 2а 2и2 + 2^т хі + 2 /2,
х23 = 3х2і + 4 х22 + х23 + 2и2 + 2ст х2 + 2а 2и2 + 2^2 хі + 2 /2,
(23)
где с = [сь С2, С3]; аь а2 - вектор и скалярные величины, которые являются параметрически-
к т
ми возмущениями; Х1 = [хп, Х12, хв], Х2 = [Х21, Х22, Х23] - векторы состояния локальных подсистем; ЬТ = [рц, Ь12, Р13], = [р21, Р22, Р23] - матрицы перекрестных связей; /1, /2 - внеш-
ние неизмеряемые возмущения; л, у 2 - измеряемые переменные. Класс неопределенности X задан неравенствами: - 5 < с^ < 5,0 < а, < 6, |/1 < 10, -10 <Ру < 10, г = 1,2, j = 1,2,3. Номинальные системы Хпг (г) = Апгхпг (г) + Впгипг (г), хпг (г0) = х0г, г = 1, 2 имеют параметры
2
"-1 2 0" "0"
а = 2 1 3 = 8 03 2
3 4 1 2
и передаточную функцию Ж (1) = -
41 + 8
13 -12 -171-25 '
Решим для номинальных подсистем задачи оптимального управления с критерием (3), в котором Qi = diag{1, 2, 3}, гі = 1, в результате чего получим т~хВтпіИі = [2,0739; 3,2489; 2,7366].
-12 0
Тогда матрица Лкі = Лпі -Впігі ХВТПІИІ = -2,1479 -5,4979 -2,4732
-1,1479 - 2,4979 - 4,4732
венные числа: 11 = -6,9111,12 = -2,03 + 0,709і, 13 = -2,03 - 0,709і .
, которые имеют собст-
Возьмем наблюдатели (2.1), у которых векторы К1 = [19,102,153].
= - Х1 + 2 х,2 +19( х,1 - хц), х12 = 2х11 + х,2 + 3х13 + 2и, +102(х11 - х11) + 2у, , 1 = 1, 2 . х13 = 3хг1 + 4х, 2 + х,3 + 2иг1 +153( хг1 - х11) + 2у, ,
Уравнения вспомогательных контуров (9) запишутся следующим образом:
ё,1 = -20ёг1 + 2ёг 2,
ё, 2 = -100ёг1 + ё,2 + 3ё13 - 2у,, ё, = ёг1,1 = 1, 2 ,
ё,3 = -150ё,1 + 4ё,2 + ё3 -
матрицы Л0і =
- 20 2 0 -100 1 3 -150 4 1
а уравнения относительно переменных сіі (і) (11) примут вид
(Р3 + 18Р2 + 149Р + 480)дг (0 = (4Р + 8)фг (х, г), 1 = 1, 2 .
В данном случае ф1(х, г) = стх1 +а1и1 +Р^х2 + /1, ф2(х, г) = стх2 +а2и2 +р|х1 + /2,
V = х, - х, - ё, и формула для определения возмущений ф(х, г) запишется следующим образом:
ф. (х, г) = | 0,25Р2 + 4Р + 29,25 + 246 к (г).
4Р + 8,
Запишем уравнения фильтров (14) для оценки производных сигналов V, (г):
*11 = *12 + - (V,- - *,1 ),
4
&і2 = Т(V/ - ги), V = *і1.
&2 = ^ т2
Таким образом, законы управления (15) формируются в соответствии с формулами:
ип1 =-2,0739х,1 - 3,2489х12 - 2,7366х13,
уі = 29,252і1 + 4 2,- 2 + 0,252 2 +
і 2'
-і2 '
икі =-29,252і1 - 422 - 0,25і&і2 -
246 4Р + 8
246
Vi
4Р + 8
Vi.
Уравнения замкнутых номинальных систем, для которых решены задачи оптимального управления с критерием (3), имеют вид хп, = Лшхп,.
На рисунках представлены результаты компьютерного моделирования системы при следующих исходных данных: с, = 5,, = 1, 2, 3; а1 = а2 = 2, /1(г) = 108т г, /1(г) = 108т1,5г, т = 0,01, Ь1 = [5 - 2 7], Ь2 = [3 2 8]. Начальные условия у векторов х, (0), х, (0) одинаковые
хт(0) = хт(0) = [1,1,1],, = 1, 2 . На рис. 1, а приведены переходные процессы в первой подсистеме. Во второй локальной подсистеме они практически точно такие же. На рис. 1, б переходные процессы в номинальной системе, они одинаковые для обеих подсистем. На рис. 1, в, г переходные процессы по ошибкам хк1 (г) = х, (г) - хп1 (г).
3
б
Рис. 1. Переходные процессы в двухсвязной системе
рис. 2 графики изменения разности
г
= |(хт (5)бл («) + ги2 0- |(хт (5(s) + г,и2 а))й^ I =1 2 .
На
г
функционалов
г
0
0
0,04
0
-0,04
-0,08
Рис. 2. Графики изменения разности функционалов
Из рисунков видно, что децентрализованная система управления компенсирует параметрические и внешние возмущения, хотя они по уровню в десять раз превышают полезные сигналы. При этом переходные процессы в системе близки к переходным процессам в номинальных системах, для которых синтезированы оптимальные алгоритмы по критериям (3), т. е. получена субоптимальная децентрализованная робастная система управления.
Заключение
Предложена схема построения децентрализованной системы робастного управления для непрерывного линейного объекта, на который действует неизмеряемое ограниченное внешнее и внутренние параметрические возмущения. Синтезированная система управления позволит компенсировать эти возмущения, если измерению доступны производные регулируемой переменной. При этом переходные процессы в замкнутой системе точно такие же, как в номинальной системе, для которой решена задача оптимального управления с квадратичным функционалом. Показано, что без измерения производных выходного сигнала система является субоптимальной.
Следует отметить, что приведенные утверждения остаются справедливыми, если функции
T T
ji (х, t) имеют все или комбинации следующих составляющих: 01 x(t - h), 02 Ф1(x),
03 Ф2(x(t - h), где векторы 0i, i = 1,2,3 принадлежат множеству возможных значений X , а компоненты векторных функций ф1, ф2 удовлетворяют условиям Липшица.
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. Егупов Н. Д. Методы современной теории автоматического управления. - М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана. - 2000. - Т. 3. - 747 с.
2. Doyle J. C., Glover K., Khargonekar P. P., Francis P. A. // IEEE Trans. Automat. Control. - 1989. AC. -34, N 8. - P. 833-847.
3. Поляк Б. Т., Щербаков П. С. Робастная устойчивость и управление. - М.: Наука, 2002. - 303 с.
4. Назин С. А., Поляк Б., Топунов М. В. Подавление ограниченных внешних возмущений с помощью метода инвариантных эллипсоидов // Автоматика и телемеханика. - 2007. - № 3. - С. 106-125.
5. Буков В. Н. Вложение систем. Аналитический подход к анализу и синтезу матричных систем. - М.: Изд-во науч. лит. Н. Ф. Бочкарёвой, 2006. - 717 с.
6. Поляк Б., Топунов М. В. Подавление ограниченных внешних возмущений: управление по выходу // Автоматика и телемеханика. - 2008. - № 5. - С. 72-90.
7. Никифоров В. О. Нелинейная система управления с компенсацией внешних детерминированных возмущений // Изв. РАН. Теория и системы управления. - 1997. - № 4. - С. 69-73.
8. Бобцов А. А. Алгоритм робастного управления линейным объектом по выходу с компенсацией неизвестного детерминированного возмущения // Изв. РАН. Теория и системы управления. - 2003. -№ 2. - С. 93-97.
9. Бобцов А. А., Пыркин А. А. Компенсация гармонического возмущения в условиях запаздывания по управлению // Изв. РАН. Теория и системы управления. - 2008. - № 4. - С. 19-23.
Л/2
Г-'
t, С
10. Цыкунов А. М. Алгоритмы робастного управления с компенсацией ограниченных возмущений // Автоматика и телемеханика. - 2007. - № 7. - С. 103-115.
11. Цыкунов А. М. Алгоритмы робастного управления нестационарным объектом с компенсацией возмущений // Изв. РАН. Теория и системы управления. - 2008. - № 4. - С. 33-40.
12. Atassi A. N., Khalil H. K. Separation principle for the stabilization of class of nonlinear systems // IEEE Trans. Automat. Control. - 1999. - Vol. 44, N 9. - P. 1672-1687.
13. Брусин В. А. Об одном классе сингулярно-возмущенных адаптивных систем // Автоматика и телемеханика. - 1995. - № 4. - С. 119-127.
Статья поступила в редакцию 8.12.2009
SUBOPTIMUM DECENTRALIZED ROBUST CONTROL OF A LINEAR OBJECT
A. M. Tsykunov
The scheme of suboptimum robust control is offered in the paper. It allows to compensate parametrical and external limited disturbances in a linear object. It is shown that at measurement of necessary quantity of derivatives of an out signal the system is optimum by integrated criterion, and without measurement of derivatives - suboptimum. Examples and results of computer modelling, demonstrating the efficiency of control systems, are given.
Kew word: robust control, decentralized system, observer.
