Децентрализованное цифровое робастное управление многосвязным линейным объектом Текст научной статьи по специальности «Математика»

УПРАВЛЕНИЕ И МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ И ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

УДК 579.7

Д. Е. Гребенщиков, А. М. Цыкунов

ДЕЦЕНТРАЛИЗОВАННОЕ ЦИФРОВОЕ РОБАСТНОЕ УПРАВЛЕНИЕ МНОГОСВЯЗНЫМ ЛИНЕЙНЫМ ОБЪЕКТОМ1

Введение

Задача компенсации параметрических и внешних возмущений в условиях неопределенности параметров объекта регулирования была и остается фундаментальной проблемой современной теории управления. Эта задача решается с помощью двух основных подходов [1]. Строятся инвариантные системы управления, когда система малочувствительна или полностью не реагирует на действие внутренних или внешних воздействий. Например, регулирующее устройство конструируется так, чтобы передаточная функция по возмущению была равна нулю. Другой подход основан на динамической компенсации нежелательных сигналов. В этом случае структура управляющего устройства и его параметры выбираются таким образом, чтобы с помощью соответствующего управляющего воздействия уменьшить или исключить влияние возмущений на регулируемые величины.

Опубликовано большое количество работ по теории робастного управления, которая достаточно полно изложена в [2], где приведена обширная библиография по данной тематике. В последние годы появился ряд работ, где решается задача компенсации возмущений. К ним следует отнести работы [3-5], в которых используется внутренняя модель возмущений. В [6, 7] используются методы теории робастных и адаптивных систем. Данная статья является развитием результатов [8] для многосвязных линейных объектов. Предлагается цифровая схема выделения сигнала, характеризующего возмущения, что позволяет построить довольно простую цифровую систему управления, компенсирующую ограниченные параметрические и внешние возмущения с точностью. При этом вспомогательное устройство, позволяющее выделить необходимый сигнал, задает неявную эталонную модель.

Постановка задачи

Рассмотрим управляемый и наблюдаемый многосвязный объект управления с перекрёстными связями по выходным и входным переменным, динамические процессы в котором описываются уравнением

е(РМо=вди со+оддо, (1)

где у(^) е К* - вектор регулируемых и измеряемых переменных; и($) е К - вектор управляющих воздействий; /(^) - вектор внешних возмущений; Р = Л/Л - оператор дифференцирования,

Єіі(Р) • • Єіп (Р)' кі і^і і(Р) ■ і ()Р 8 0? 8

8( Р) = _аі(р) • • 8пп (Р)_ , Я(Р) = АЛі(Р) ■ кутКут (Р)_

(Р) = РПк + д1клРп*-1 + к + д1кт, (і = 1,...,п),(к = 1, к,V),

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 09-08-00237).

(Р), Яу (Р) - линейные нормированные нестационарные дифференциальные операторы

не превышает величины п — V .

Требуется построить систему слежения за V - мерным эталонным сигналом ут (ґ), чтобы выполнялось целевое условие

где 5 > 0 - достаточно малое число; Т - время, по истечении которого, после включения системы, компоненты вектора динамических ошибок е(У) = у(^) — ут (V) должен удовлетворять условию (2). В системе управления для формирования управляющих воздействий локальных подсистем не должна использоваться информация об измеряемых переменных других подсистем, т. е. система управления должна быть децентрализованной. Будем решать сформулированную задачу при следующих ограничениях.

Предположения

1. Коэффициенты операторов к^Яц (Р) и Qjk (Р) принимают значения из известного ограниченного множества X .

2. degЯіі(Р) > degЯу (Р) при і ■£ ] , (т. е., например, degЯ22(Р) > degЯ21(Р),

degЯ22(Р) > degЯ2} (Р) (] = 3, к,т)).

3. V > т . Для определенности будем считать, что п = т , а производные входных и выходных переменных не измеряются.

4. Полином detЯ(1) - гурвицев, где 1 - комплексная переменная в преобразовании Лапласа.

5. Составляющие вектора возмущений /(ґ) и п — V их производных ограниченные функции.

6. Эталонные сигналы уті (ґ) и уі = піі — тіі производных - ограниченные функции.

Цифровая система управления

Преобразуем уравнение (1) в систему уравнений

где ^ (V) - экспоненциально затухающие функции, связанные с начальными условиями;

degМі (Р) = піі — 1. Нормированные полиномы Бі (1), Мі (1) - гурвицевы. Полиномы Оті (1) задают качество переходных процессов по ошибке в замкнутой системе, по существу эти полиномы являются характеристическими многочленами неявной эталонной модели. Составим уравнение для ошибки еі (ґ) = уі (ґ) — уті (ґ):

порядков

пік, т^ (і = 1, ...,V, j = 1, ...,т, к = 1, к,V),

соответственно

А1(Р) • •• Ощ (Р)

О(Р) =

, максимальный порядок дифференциальных операторов (Р)

Ощ(Р) ••• Dvn (Р)

У (ґ) — Утг (ґ) <5 при ґ > Т ,

(2)

т

V

п

(3)

Преобразуем каждое уравнение системы (3), используя известную методику [6]:

Л1- (Р) Ы21 (Р)

Оті (Р) уі (ґ) = кііиі (ґ) + —,----иі (ґ) + —,------уі (ґ) +

тг\ гп\> Мг (Р) Мі (Р) 1

і = 1, к, т,

deg Оті (Р) = Уі = пп — тп; deg Щ (Р) = пп — 2; deg ^ (Р) = Щ — 1; deg Б (Р) = пп — тп — 1;

Оті (Р)еі (ґ) = кііиі (ґ) + Рг (ґ), і = 1, к , т.

(5)

Здесь

N1, (Р) N2, (Р)

Рі(ґ) = М(Р) иі(ґ) + М’(Р) Уі(ґ) — Оті(Р)Ут(ґ) +

£ Мтн ^ ^ (ґ) — в« Р» (ґ)]+ ^МпкЩк (Р) '^к (ґ)] + в(ґ).

j=1,і ^ j А / к=1 і'-

Введем вспомогательные контуры для каждой локальной подсистемы:

°т;(Р)е;^) = р V;((кX Ы(0 = аЛ-(%), j =1 •••, m, (6)

где aj > 0, Р; > 0 , Vк - дискретные моменты времени, когда измеряются выходные переменные

и осуществляется корректировка управляющих воздействий, и составим уравнения относительно ошибок рассогласований £; (V) = е1 (V) — е ; (V):

°т, (Р)С/ (V) = V;- (V), j = 1, к, т. (7)

Здесь у; (V) = (а;к;; — Р; V (%) + Ф; (V). Так как по условию задачи система управления

должна быть цифровой, преобразуем уравнения вспомогательных контуров в дискретный вид. Для удобства вычислений запишем уравнения (6) в векторно-матричной форме:

е (0 = Ат; ё (0 + Ьр^; ((к X ё (0 = Ц; Ё; ^ j = 1, •••, m,

где матрицы Ат; записаны в форме Фробениуса; ЬТ = [0,..., 1], Ц = [1, 0,..., 0]. Полученные

уравнения преобразуем в дискретную форму с шагом :

Ё; С^к+1 ) = а; ё ^к ) + 5;Р;У; ^ ), ej■ ^ ^ Ё; ^ ), j = 1, к . , т,

V+А

где А = еАт‘А, Д | еАт‘(—s')Ьds .

В функциях у; (V) сконцентрирована вся неопределенность внешних и внутренних воздействий. Поэтому, если имеется возможность измерять у; производных сигналов у ; (V) и Ут; (V), ; = 1, к, т, то сформируем закон управления в виде

Ы; (V ) = а;У; ^ ), V; ^ ) = —^т; (Р) ^ ) = — V ( ^к ^ (8)

Тогда, принимая во внимание выражение для функций у; (V), из (5) получим

°т; (Р)е; (() = V; (() — V; (к ), ; = 1 к, m, (9)

откуда следует, что величина ошибок е; (V) зависит от величин у; (V) — у; (^), т. к. полиномы От; (1) гурвицевы и выбираются они самим конструктором. Кроме того, производные сигналов £; (%) в моменты времени Vк не измеряются в соответствии с третьим предположением. Поэтому управляющее воздействие будем формировать следующим образом:

Ы; V) = а; V (Ь X ^; ({к ) = —]1 (§у; ,;С; (^к ) + § у; —1,; С;1(^к ) + ^ + §1; I;, у; —1 (^к ) + С;,у; (^к ^

Р;

где у; - порядок полиномов От; (1) =1У; + §1;1У; —1 +------+ §у ;; £;у (^) - оценки производных

РУС; (^), ; = 1, ., т, j = 1, ., у;, в момент времени (к, которые получаются с помощью наблюдателей

~ (Ч ) = Р&; ({к—1) + Ь;С; (^ ), ; = 1,..., т . (10)

Здесь числовые матрицы Ъ,, имеют вид:

' о 1 . о" " 1 " 1 ' С, (Ск) "

Ас . ; Ъ, = Ас , X (Ск ) = Сц(Ск )

1 _ Асу • • --1- о Ас _ 1 _ АСу _ Су, (Ск )_

По существу величина у, ) = —1 у, ), где у, (Ск) - оценка сигнала у (%).

Рг

Таким образом, каждая локальная цифровая подсистема управления описывается уравнениями:

и, (с) = а,у, (Ск), е, (^к+1) = 4е (*к) + ВРу (*к), ё (*к) = Ае, (*к),

X (Ск) = ЪX (Ск-1) + Ъ г-Сг (Ск), С,ак) = е,(Ск) - ё (Ск),

(11)

у (Ск ) = - Р- (?у, Л (Ск ) + ^Тг -1,гСг1(Ск ) + • • • + •?! С/,у, -1 (Ск ) + С/,у, (Ск ) ]

Р/

1 + ••• + ;

/ = 1,..., т.

Утверждение. Пусть выполнены условия предположений, тогда существуют числа т0, а,, Р, и Г0 такие, что при АС < то и Т > Т для системы (1), (11) выполнено целевое условие (2).

Доказательство утверждения. Введём вектор ХТ (Ск) = [С,(Ск), С(Ск), С(Ск),..., СгУ (Ск)], где С/(Ск)- 7 -я производная сигнала С, (Ск) в момент времени Ск . Покажем, что существует шаг дискретизации АСо такой, что при выполнении условия АС < то величина ошибки оценивания

производных

X (Ск) - X (Ск) не будет превышать требуемого значения 5,.

Запишем уравнения для оценки производных с помощью правых разностей:

С, (

1п(Ск ) =-

С, (Ск ) = С, (Ск )

С, (Ск )-С, (Ск-1)

С,2('к ) =

_ Аг_

С, 1(Ск ) -С, 1(Ск-1)

Ас :

С,у, (Ск ) =■

С (у-1)(Ск ) С(у-1)(Ск-1)

(У,-1)^

Ас

откуда получаем, принимая во внимание структуру вектора X (Ск),

X (Ск ) = % (X (Ск ) - X (Ск-1)) + Ъо С, (Ск),

где матрицы Ъо,, Ъо, порядки которых (у, +1) X (у, +1), (у, +1) X1 соответственно, имеют

вид =

о о ... о о

1 о о

Ас о

•. о о

о 1 о А о

Ъо =

1

о

о

. Разрешив полученное уравнение относительно

вектора X (Ск), получим уравнение (Ю). Уравнение (1о) есть не что иное, как оценивание производ-

ных с помощью конечных разностей. Следовательно, при АС ® 0 вектор оценок X/ (С к) стремится к истинному значению X/ (С к), если производные оцениваемых сигналов ограничены. Значит, существует число Цо такое, что при АС < то величины ошибок оценивания производных X/ (С к) — X/ (С к)

и возмущений | у / (С) — у / (С к) | не будут превышать требуемых значений 5/ и О/.

Преобразуем уравнения (9) в векторно-матричную форму:

•/ (О = Аш/е(С) + Ь(у(О — ~~/ (Ск), е/ (О = (с), (12)

и возьмем функции Ляпунова

V/ (С) = ет (ОН/ е/ (С),

где положительно-определённые, симметрические матрицы Н/ определяются из матричных уравнений

Н/Лш + ЛТШН/ + 0/Н/ЬЬТН/ = —Р/7, р/ > 0, 0/ > 0, / = 1,..., т , (13)

где I - единичная матрица, числа 0/ выбираются так, чтобы решением матричных уравнений были положительно-определённые матрицы. Такие числа всегда существуют, т. к. матрицы Лт/ гурвицевы.

Вычислим полные производные от функций Ляпунова на траекториях систем (12):

V (С) = еТ (С)(Н/Лт/ + лТ/Н/ )е/ (С) + 2еТ (С)Н/ (у(С) — у(Ск)).

Воспользуемся оценками

1 а2

2еТ(С)Я/Ь(у(0-у(^))<0,є;Г(С)Я/ЪЪТЯ/є,(с) +—|у(0-у(^)|2 <0 єТ(С)Я/ЪЪТ Я/є,-(С) + -/0/ 0/

Подставив оценки в правую часть производных от функций Ляпунова и принимая во внимание матричные уравнения (13), получим

• I |2 О2

V(С) <—Р/Iе/(с ^ +-0-.

0/

. . 2 1 т

Используя оценку — е/ (С) <--------------ег- (С)Н/ е/ (С), где 1 тах(Н/) - максимальное

1 тах(Н/) ' собственное число матрицы Н/ , получим

2

О/ Р/

V(С) < ——/V(С) + -0-, —/ = т----7„ , -

0/ 1 тах(Н/)

Решим полученное неравенство

V/ (С) < е“—’СУ/ (0) + Г1 — е“—— /1.

—/0/ ^ 1

2

Из полученного неравенства следует, что Пт V/ (С) <о; / —/ 0/ . Следовательно, выбирая

С

2

величину АС очень маленькой, а р/ - большой, получим малое значение О/ /—/0/.

Для получения оценки величины Т в (2) воспользуемся цепочкой неравенств:

\е1 (с)|2 <|еI (с)|2 <

1

VI (С) <

1

1 шт(Н I )

е Х‘1У1 (0) + -^- {1 - е Х ) XI 0| ^ >

Подставив в правую часть неравенства С = Т;, запишем следующее соотношение:

1 шт( н;)

( _ 2

е _Х ^ (0) + - 1

XI01

1 - е х|T|

<5 2.

Разрешив последнее неравенство относительно Т; , получим оценку

Т >—1п XI

VI (0)

Выбрав Т = шах {Т\,..., Тт } , получим оценку величины Т в неравенстве (2).

Таким образом, для выполнения целевого условия (2) в децентрализованной цифровой системе управления имеются параметр а;, Рг, АС, которые выбираются на этапе проектирования. Основным из них является Ас, т. к. от его величины зависит точность оценки производных в дискретные моменты времени.

Пример

Рассмотрим объект, динамические процессы в котором описываются уравнением

(Р3 + 01^2 + <?2Р + 03)У1 (С) + (Р2 + 04Р + 05 )У2(С) = + г2)щ (С) + >3^(0 + /1 (С),

(Р + 06Р + 07)У2(С) + («8Р + <%)ЖО = >4^(0 + Г5 и2(С) + /2 (С) .

Класс неопределённое™ задан неравенствами: - 3 < q| < 3, I = 1,..., 7, - 2 < 08 < 2, - 2 < 09 < 2,

2 < г1 < 3, 5 < г2 < 10, 2 < г3 < 3,1 < г4 < 2, 2 < г5 < 4 . Для любых параметров из заданного класса неопределённости условия предположений выполнены. Величину 5 в целевом условии зададим равной 0,07. Уравнения вспомогательных контуров (6) выберем в виде

(р2 + 5Р + б)е (С) = Ру (Ск), I = 1,2.

Произведём дискретизацию с шагом 0,01, в результате чего получим дискретные уравнения:

ei (Ск+1) =

( 0,9997 0,00981

- 0,0585 0,0951

(Ск) +

( -0,5084 • 10-4 1 0,0103

pvi (Ск), ei (Ск) =(1 0)е1 (Ск).

Для каждой локальной подсистемы выбрали одинаковые уравнения для вспомогательных контуров.

Уравнения наблюдателей производных сигналов £ I (Ск) = e| (Ск) - ё (Ск) (10) тоже будут одинаковыми:

С (Ск), I = 1,2.

{( 0 0 0 1 (11

~ (Ск) = -100 0 0 + 7 (Ск 100

-104 -100 0 104 ,

Управления формируются в соответствии с формулами:

и1 (С) = ОУ(Ск X у, (Ск ) = - р (бХг1(Ск ) + 5~-2(Ск ) + ~-3 (Ск )Х I = 1, 2,

1

где Xij (tk), (i = 1, 2,3) - компоненты вектора Xi (tk). В соответствии с методикой, предложенной

в [8], выбираем а = 5, b = 10. Данные значения обеспечивают выполнение целевого условия (2) с 8< 0,07 для любых значений параметров математической модели объекта управления из заданного класса неопределенности. Результаты моделирования, когда qj = 3, j = 1,..., 5,

q6 =-3, q7 = 3, q8 = q9 = 2, r1 = 2, r2 = 8, r3 = 3, r4 = 2, r5 = 3, f1(t) = sin t + sin1,3t + cos t + 1,3cos1,3t, f2 (t) = sin 1,2t + sin 2,3t +1,2 cos 1,2t + 2,3 cos 2,3t, yl (0) = -1, yl (0) = yf(0) = 1, y2 (0) = -1, y2 (0) = 1, остальные начальные условия нулевые, представлены на рисунке.

0,5

-0,5

-1

l^l(tk)

t, с

-1

-2

10

15

e2(tk)

1 К——

t, с

е г

Переходные процессы в децентрализованной системе

а

На рис., а, в приведены графики изменения ошибок слежения, а на рис., б, г - графики задающих воздействий и регулируемых переменных. Величина 8 в данном случае равна 0,05.

Заключение

Решена задача проектирования алгоритмического обеспечения для децентрализованной цифровой робастной системы управления, позволяющая компенсировать параметрические и внешние возмущения с требуемой точностью. Решение этой задачи осуществляется путём выделения сигнала, несущего информацию о возмущениях. Спроектированная система управления обеспечивает требуемую точность слежения за входным сигналом при изменении параметров математической модели объекта управления и внешнего возмущения в известных пределах. При этом для формирования управлений в каждой локальной подсистеме используются измеряемые переменные только этой подсистемы. Достоинством предлагаемого подхода, который базируется на результатах работы [8], является его универсальность. Полученные результаты можно применить для нестационарных объектов с запаздыванием по состоянию, а также для нелинейных систем, в которых нелинейности удовлетворяют условию Липшица.

СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ

1. Буков В. Н. Вложение систем. Аналитический подход к анализу и синтезу матричных систем. -Калуга: Изд-во науч. лит. Н. Ф. Бочкарёвой, 2006. - 717 с.

2. Поляк Б. Т., Щербаков П. С. Робастная устойчивость и управление. - М.: Наука, 2002. - 303 с.

3. Никифоров В. О. Наблюдатели внешних возмущений. 1. Объекты с известными параметрами // Автоматика и телемеханика. - 2004. - № 10. - С. 13-24.

4. Никифоров В. О. Наблюдатели внешних возмущений. 2. Объекты с неизвестными параметрами // Автоматика и телемеханика. - 2004. - № 11. - С. 40-48.

5. Никифоров В. О. Нелинейная система управления с компенсацией внешних детерминированных возмущений // Изв. РАН. Теория и системы управления. - 1997. - № 4. - С. 69-73.

6. Мирошник И. В., Никифоров В. О., Фрадков А. Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. - СПб.: Наука, 2000. - 549 с.

7. Никифоров В. О. Адаптивное и робастное управление с компенсацией возмущений. - СПб.: Наука, 2003. - 282 с.

8. Цыкунов А. М. Алгоритмы робастного управления с компенсацией ограниченных возмущений // Автоматика и телемеханика. - 2007. - № . - С. 103-115.

Статья поступила в редакцию 15.10.2009

DECENTRALIZED NUMERAL ROBUST CONTROL OF A MULTIVARIABLE LINEAR PLANT

D. E. Grebenshchikov, A. M. Tsykunov

A decentralized numeral system of robust control of a linear plant, providing the compensation of parametrical and external limited perturbation with the accuracy 8 is proposed. The problem of tracking the reference model signal is considered. Numerical examples and the results of computer simulation, demonstrating the working ability of the proposed controlling scheme, are presented.

Kew word: decentralized numeral system, perturbation, robust control, observer.