CC BY
159
УДК 519.7 ББК Ж 50
РОБАСТНОЕ УПРАВЛЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫМИ ОБЪЕКТАМИ С НЕИЗВЕСТНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ СТЕПЕНЬЮ1
Фуртат И. Б. ,
(Астраханский государственный технический университет, Астрахань, Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина, Москва) Цыкунов А. М. (Астраханский государственный технический университет, Астрахань)
Рассматривается задача робастного управления линейными нестационарными объектами по выходу в условиях действия внешних и внутренних неконтролируемых возмущений и отсутствия информации об относительной степени самого объекта, которая в процессе функционирования системы может меняться. Задача решена на базе робастного алгоритма, позволяющего компенсировать данные неопределенности с заданной точностью и за конечное время. Приводятся результаты компьютерного моделирования.
Ключевые слова: робастное управление, структурно неопределенный объект, вспомогательный контур, наблюдатель, компенсация возмущений.
1 Исследование проводится в рамках Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг.
2 Игорь Борисович Фуртат, кандидат технических наук (cainenash@mail.ru).
3 Александр Михайлович Цыкунов, доктор технических наук, профессор (tsykunov_al@mail.ru).
1. Введение
Проблема адаптивного и робастного управления по выходу в условиях внешних и внутренних неопределенностей, а также при предположении о точном знании относительной степени объекта - одна из основных в современной теории управления. К наиболее распространенным методам адаптивного управления можно отнести: метод расширенной ошибки [7, 17], алгоритмы адаптации высокого порядка [7, 15, 18] и итеративные процедуры синтеза [7]. Наиболее распространенные методы робастного управления основаны на использовании регуляторов, обеспечивающих определенный запас устойчивости замкнутой системы [12], различные виды наблюдателей [1-4, 7, 9-11, 13, 14, 19] и т.д. Одним из эффективных способов управления неопределенными объектами является компенсация возмущений.
Проблеме компенсации неконтролируемых возмущений посвящен ряд работ [1-3, 6, 9-11, 13, 19], в которых рассмотрены различные схемы построения систем управления. Так, в [19] используется наблюдатель вектора состояния проблемно ориентируемой модели объекта управления. Задача компенсации постоянного внешнего возмущения в ней решена с использованием процедуры обратного обхода интегратора [19]. В [1, 2, 10, 11] используется метод внутренней модели. Предложен синтез наблюдателей внешних детерминированных возмущений, что позволяет в системе управления компенсировать неконтролируемые воздействия. В [3] предложено развитие результатов [1, 2] для управления нелинейными нестационарными объектами по выходу, подверженными влиянию внешнего неизвестного ограниченного возмущения. Полученный регулятор имеет динамический порядок, равный у - 1, где у - относительная степень объекта управления. В [6] для решения поставленной задачи в модель объекта управления вводится новый сигнал управления, преобразующий объект к уравнению первого порядка с известным коэффициентом усиления. Возмущениями здесь являются неизвестные параметры объекта и внешние сигналы. С помощью наблюдателя производится оценка этих возмущений и их производных. Затем на базе оценочных функ-
ций формируется закон управления. Работа [12] посвящена созданию теории робастной устойчивости систем в зависимости от вида возмущений. На базе предложенных результатов разрабатываются робастные системы управления неопределенными объектами на основе регуляторов низких порядков. В [5] компенсация параметрических и внешних (сигнальных) возмущений, названных неэкстенсивными, основана на принципе инвариантности систем по выходу, или по ошибке, к данным воздействиям на базе метода вложения систем. Данный подход разработан для линейных объектов на основе теории матриц и касается получения класса регуляторов, обеспечивающих нечувствительность к неэкстенсивным возмущениям, исходя из следующих понятий: делители нуля (ядра) и делители единицы матрицы, эквивалентные преобразования матриц, методы канонизации, решение матричных уравнений и т.п. Наиболее близкой к предлагаемой работе по принципу построения является [13], где для компенсации неизвестного параметрического и внешнего возмущения предлагается использовать вспомогательный контур.
Все вышеперечисленные задачи решены при условии о точном знании относительной степени объекта управления и его порядка характеристического полинома. Однако на практике это зачастую трудоемкая, а иногда и невозможная задача. Работ по адаптивному и робастному управлению при отсутствии информации об относительной степени объекта мало [16, 20], по сравнению со всем классом задач этого направления. При этом полученные системы управления имеют сложную реализацию из-за высокого динамического порядка замкнутой системы. Так, в [16] задача управления при отсутствии информации об относительной постоянной степени и порядке характеристического многочлена решена с помощью особой параметризации уравнения объекта управления. Для получения передаточной функции замкнутой системы, как у эталонной модели, закон управления формировался в виде суммы классической схемы адаптивного управления [7] и некоторой передаточной функции, входным сигналом которой является задающее воздействие. Дальнейший синтез системы управления осуществлялся с применением особой схемы расширения с нормированными алгоритмами
адаптации. В работе [20] проблема управления объектами с неизвестной относительной степенью решена с использованием специального регулятора, коэффициенты передаточной функции которого являются произведением постоянных коэффициентов и настраиваемых функций. Формирование постоянных коэффициентов регулятора основано на определенной разности членов из последовательности Фибоначчи, а функции должны быть монотонно возрастающими с достаточно большим верхним пределом.
Стоит отметить, что в статьях [16, 20] при разработке систем управления порядки числителя и знаменателя передаточной функции объекта управления предполагались неизвестными и постоянными. Но, как отмечено в [5], в реальных ситуациях существуют возмущения, способные влиять не только на параметры объекта управления, но и на его динамический порядок. К таким возмущениям, как правило, относятся параметрические нестационарные неопределенности объекта. Именно в условиях действия таких возмущений решается задача управления в данной работе.
Статья построена следующим образом. Во втором разделе сформулированы постановка задачи и предположения, касающиеся объекта управления и ограничений на построение замкнутой системы. Рассматриваются линейные объекты, у которых порядок характеристического многочлена и относительная степень могут изменяться в процессе функционирования. Ставится цель управления - слежение выхода объекта управления за эталонным сигналом с точностью 8 за конечное время Т. В третьем разделе предлагается алгоритм робастного управления такими объектами. Четвертый раздел посвящен обобщению предложенного подхода на линейные нестационарные объекты с запаздыванием по состоянию. В пятом разделе рассмотрены примеры численного моделирования предложенной системы управления.
2. Постановка задачи
Рассмотрим нестационарный линейный объект управления, динамика которого задана дифференциальным уравнением в операторной форме
(1) Q(p, t)y(t) = R(p, t)u(t) + ДО, py(0) = y, i = 0,..., n -1, где y(t) e R, u(t) e R, u(t) e R - регулирующее, управляющее и возмущающее воздействия соответственно; Q(p, t) = qn(t)pn + + qn-i(t)pn-1 + ... + qo(t), R(p, t) = rm(t)pm + rn-i(t)pm-1 + ... + ro(t) -линейные нестационарные дифференциальные операторы; p = d/dt - оператор дифференцирования; yi - неизвестные начальные условия.
Качество переходных процессов определим эталонной моделью, заданной уравнением
(2) Qo(p)Ут (t) = knr(t).
Здесь yn(t) e R - выход эталонной модели; r(t) e R - задающее воздействие; kn > 0; Q0(p) - известный линейный нормированный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами.
Целью управления является синтез замкнутой системы, обеспечивающей выполнение целевого условия
(3) |e(t)| = |y(t) - Ут (t)| < 5 ,
начиная с некоторого момента времени T, и ограниченность всех сигналов в замкнутой системе, где 5 > 0 - достаточно малое число.
Предположения А.
1. Полиномы Q(p, t), R(p, t), их порядки deg Q(p, t) < n, deg R(p, t) < n и относительная степень g = n - n > 1 - неизвестны. Известны: а) множество х возможных значений коэффициентов полиномов Q(p, t) и R(p, t); б) неизвестные коэффициенты операторов Q(p, t) и R(p, t) - ограниченные функции; в) gu > g -верхняя граница относительной степени g; г) коэффициенты при старших степенях операторов Q(p, t) и R(p, t) - неотрицательные функции.
2. deg Q0(p) = gu.
3. Оператор Я(р, 0 устойчив и для любого фиксированного момента времени t полином Я(р, 0 гурвицев, где 1 - комплексная переменная в преобразовании Лапласа. Полином Q0(A) гурвицев.
4. Задающее г(() и возмущающее ДО воздействия - ограниченные функции.
5. В системе управления не доступны измерению производные сигналов у(0, и(0 и г(0.
Условия предположения А.1 указывают на то, что порядки Q(p, 0, Я(р, О неизвестны и могут меняться, когда коэффициенты при старших степенях принимают значения, равные нулю. Предположение А.1.г необходимо для того, чтобы при разработке замкнутой системы управления не учитывать неопределенности знака в обратной связи по управлению. Рассмотрим примеры вышесказанного. Если в (1) qn(t) = 0 и qn_1(t) Ф 0, то
Q(p, 0 = п - 1 и qn-l(t) > 1, Гт(0 > 0; если qn(t) = qn-l(t) = 0 и qn-2(t) * 0, то аее Q(p, t) = п - 2, qn-2(t) > 0, Гт(0 > 0 и т.д. Аналогично и для оператора Я(р, t): если тт({) = 0 и гт-1(0 Ф 0, то аее Я(р, t) = т - 1 и qn(t) > 0, ^(0 > 0; если ^„(0 = ^(0 = 0 и Гт-2^) Ф 0, то deg Я(р, t) = т - 2, qn(t) > 0, Гт-2(0 > 0 и т.д. А также возможно одновременное изменение порядков операторов Q(p, t) и Я(р, t).
Остальные условия предположений соответствуют классическим постановкам задач в теории управления [1-20, 22, 23] и связаны с технической реализуемостью замкнутой системы управления.
3. Метод решения
Из предположения А.1 следует, что динамический порядок объекта управления (1) неизвестен и подвержен изменению за счет действия на него нестационарных параметрических и внешних возмущений, поэтому параметризации [1-15, 17-19], разработанные для объектов с известными и постоянными порядками, здесь применять нельзя. В силу того, что Я(р, 0 и Q(p, 0 - линейные дифференциальные операторы, для получения уравнения, удобного для дальнейшего синтеза замкнутой системы управления, представим эти операторы в виде сумм:
(4) R(p, t) = Rm (p) + DR(p, t), Q(p, t) = Qm (p) + DQ(p, t). Здесь Rm(p) и Qm(p) - линейные стационарные дифференциальные операторы порядков n - gu и n соответственно, выбранные таким образом, что Qm(p) = Rm(p)Q0(p), n > n - верхняя граница n, DR(p, t) и DQ(p, t) - нестационарные линейные дифференциальные операторы. Относительно первого выражения в (4) можно сказать, что всегда существует такой вектор c01(t) е Rn-1, составленный из коэффициентов оператора R(p, t) - Rm(p), что выполнено первое выражение (4), где
DR(p, t) = c(T1 (t)[l, p,..., pn-2f . Если m < n - gu, то deg DR(p, t) = n - gu; если m = n - gu, то deg DR(p, t) < n - gu; если m > n - gu, то deg DR(p, t) = m. Порядок DQ(p, t) равен n . С учетом разложения (4), преобразуем уравнение (1) к виду
1 ( 1 •^(t) = u(t) + [DR(p, t)u(t)]-
Qo(p) I R (p)
1 [AQ(p, t)y(t)] + -^ f (t)
Ят (РУ Ят (р)"
Видно, что применение разложения (4) позволило получить новое представление объекта управления с постоянной, известной передаточной функцией 1^0(р), как у эталонной модели (2), в условиях отсутствия информации о динамическом порядке (1) и при неконтролируемых возмущениях, действующих на объект.
Составим уравнение ошибки слежения в(^) = у(0 - ут(0, принимая во внимание последнее уравнение и эталонную модель (2):
(5) = (t) + р ^ )), Qo( Р)
где
Р= АР, t)u(t)]-—[AQ(p, t)y(t)] +
Ят (Р) Ят (Р)
+ ^ / а) - ктГ ^)
Ят (Р)
- функция, содержащая в себе параметрические, функциональные и структурные возмущения. Введем закон управления
(6) ы{г) = аТ (рМО,
где а > 0; Т(р) - линейный дифференциальный оператор степени уи, такой, что в преобразовании Лапласа Т(А) - гурвицев; у(() -вспомогательное управляющее воздействие. Тогда уравнение ошибки слежения (5) преобразуется к виду
(7) е(0 = (аКО + Т-ЧрЖО).
Qo( Р)
Рассмотрим вспомогательный контур
(8) ё (0 = р v(t).
а(р)
Здесь р > 0. С учетом (7) и (8), составим уравнение рассогласования £(0=е(0 - ё (0
(9) С (0 = (^),
Qo( Р)
где фКО = (а - рШ+Г\р)ф(1).
Зададим закон вспомогательного управляющего воздействия v(t) в виде
(10) = -р- С (О = -Р -Ч(0.
р Т(р)
Разрешив уравнение v(t) = -р1^^) относительно переменной v(t), получим v(t) = -а~1Т~1(р)(У). Легко видеть, что, подставив последний результат в (7), имеем уравнение замкнутой системы по ошибке слежения: Q0(p)e(t) = 0. Отсюда следует, что рё(0 = 0, 1 = 0, ..., уи, - ограниченные функции. Однако для работоспособности системы управления необходимо показать, что и остальные сигналы в ней ограничены. Для этого рассмотрим функциию (1(0:
((?) = (а - р м?)
1
Т(р) I Ет (р)
[АЯ(р, ?)и(?)]-
1
[(р, ?)у(?)]-
1
Л
-/ (?) - ктг (?)
Е ( р) Е ( р )"
В силу предположений А.3 и А.4, а также о гурвицевости полинома Т(А) и ограниченности функций е(?) и ут(?), следует
1 -/ (?), (?) и
ограниченность функций
1
Ет (р)Т(р)'"' Т(р) [AQ(р, /)у(/)]. Учитывая второе равенство в
Ят (р)т(р)
разрешим уравнение (11) относительно v(í):
(10),
v(t) =
1
Г
аТ(р)
т р, ?)
у(?) --
1
'Г(?) + Ят (р)
кт
Е( р, О
г (?)
Е( р, О Е( р, /)■
Тогда, с учетом вышесказанного и устойчивости полинома Е(р, ?) (предположение А.3), следует ограниченность сигналов v(í) и и(?), а вместе с ними и функции
Однако из постановки задачи (предположение А.5) закон управления (6) реализовать невозможно. Поэтому сформируем сигнал и(?) как
(12) и(?) = аТ (рЖО .
Здесь V (?) - оценка сигнала v(í), формирование которой будет описано ниже. Перепишем уравнение ошибки слежения (7), с учетом (10) и (12):
(13) Qo( р)е(?) = аТ (р)А(?), где А(?) = V(?) - v(í).
Для реализации закона управления (12) необходимо измерение уи-оценок производных функции V (?). Воспользуемся схемой, предложенной в [14]:
(14) ) = (?) + 0й(у (?) - v(t)), V (?) = Ц (?).
у "0 1у, В уравнениях (14) £(?) е ЕУи
^ =
Уи -0
1У , е Я(7"-1)х(7"-1)
/ и 1
единичная матрица,
^0 =-
й1 т
й У
причем й1, й2, ..., й выбираются из
Уи
матрицы О = G0 - ВЬ, где достаточно малая величина;
условия гурвицевости
В = [й1, й2, ..., ]т, / > 0 -
Ь = [1, 0, ..., 0]. Здесь и далее матрица Ь имеет размерность, соответствующую размерности рассматриваемой в тексте системе дифференциальных уравнений. Например, в (14) Ь е Я1ху" . Тогда закон управления (12) содержит переменные наблюдателя (14), а значит, при условиях предположения А.5, уравнение (12) технически реализуемо.
Введем в рассмотрение вектор отклонений
ц(о = г1^) - 0(0), где Г=^{тУи-1, тУи 2,..., т,1},
в(0 = [у(0, V(t),..., V(УиЧо^. Продифференцировав ц (t) времени с учетом уравнения (14), получим
п ^) = т-Оц ^)+^ (уи+1) (t), д^ ) = туи-1 ьц (t),
по
где Ь =
т
1-уи ,0,...,0
. Преобразуем предпоследнее уравнение в эквивалентное относительно выхода A(t): (15) ц ^) = т 1оц ^) + ьv(t), д^ ) = туи-1 ьц (t).
Здесь цг(0 = Ц(t) -т 1+г-Уuv°'-1)(0, / = 2, ..., уи, Цl(t) = ц1(Г), Ь = [1, 0, ..., 0]т. Последние два уравнения эквивалентны относительно переменных ц1 ^) = ц (t) ввиду того, что являются различными векторно-матричными формами записи одного
уравнения
(
Уи
й, У -1 й ^ и + —1-Рги +... + —-
Уи
ц^) = р У^).
/
т т'
Тогда, принимая во внимание уравнения (8), (10), (12), (14) и (15), выпишем уравнения замкнутой системы управления
т
и
е (?) = -С (?),
и(0 = аТ (р)у (?),
т = т(?)+bv(t), А(?) = тУи (?), е(?) = Ае(?) + ацуи-1ЬдяА(?), е(?) = Ье(?).
где е(?) е ЕУи; е ЯУи ху" - матрица в форме Фробениуса с характеристическим многочленом Q0(Л.); ЬЕ = [0, ..., 0, 1] е ЯУи ;
ная из коэффициентов полинома Т(Х). Последнее уравнение в (16) является векторно-матричной формой записи уравнения (13), полученной при подстановке в (13) результатов (15).
Утверждение 1. Пусть выполнены условия предположений А. Тогда для любых Q(p, ?) и Я(р, ?) из множества X существуют числа Т > 0 и ¡т0 > 0 такие, что при т < Ц0 система
(16) диссипативна и выполнено целевое условие (3) при ? > Т. Доказательство утверждения 1 приведено в Приложении. Стоит заметить, что с учетом (10) закон управления и(?)
можно сформировать как и(?) = -а/^0(р)£(?). При выполнении предположения А.5 функция и(?) выбирается в виде и(?) = -а/^0(р) С (?), где С (?) - оценка сигнала С(?), поданного на вход фильтра (14). Дальнейшие рассуждения и результаты аналогичны проделанным выше.
4. Обобщение на системы
с запаздыванием по состоянию
Рассмотрим объект управления, динамические процессы в котором описываются дифференциальным уравнением с отклоняющимся аргументом:
(17) Q(р, ?)у(?) + N(р, ?)у(? -1 (?)) = Я(р, ?)и(?),
где и(?), у(?), Q(p, ?) и Е(р, ?) - такие же, как в (1), N (р, ?) = п~(?) рп + п~-х(?) рп-1 +... + п0(?) - дифференциальный оператор с неизвестными коэффициентами, являющимися ограниченными функциями, п < п -1, 1(?) > 0 - неизвестное время
А(?) = [^1 (?), й(?),..., Л[У")(? )]Г; Я е Е1х(У"+1)
- матрица, составлен-
л
запаздывания, удовлетворяющее условию < 1. Причем в
процессе функционирования системы при любом порядке оператора Q(p, 0 порядок Ы(р, t) всегда должен быть хотя бы на единицу меньше deg Q(p, 0. Эталонная модель задается уравнением (2), цель управления - неравенством (3).
Так как порядки операторов в (17) неизвестны и переменны из-за нестационарности их коэффициентов, то, как и в предыдущем пункте, возникает задача о виде представления уравнения (17), удобного для дальнейшего синтеза замкнутой системы управления. Для решения этой проблемы воспользуемся разложением (4) и преобразуем уравнение объекта (17) к форме
У() = (и^) + р ^) -(18) _
- и^) + р^) [А(Р, t)у( -т(t))] + кптЦ)
Ят ( Р)
Сформируем ошибку слежения е(^) = у(1) - yn(t), принимая во внимания (2) и (18):
1 ( 1 ^
(19) e(t) = —— и^) + р(0 -——[А(Р, 0у((-т(
Qo(Р)I Ят(Р)
Далее, следуя схеме построения замкнутой системы управления, как в предыдущем разделе, введем закон управления (6), вспомогательный контур (8) и составим ошибку рассогласования Щ) = е(0 - е (t):
(20) с (0 = р 2(0,
Qo( Р)
где ф2(0 = (а - вМО + Г>)(ф(0 - 1/Ят(Р)[Н(Р, t)y(t - т(0)]). Зададим функцию v(t) в виде
(21) = -Ь ТР) С (t) = -р РО.
Р Т(Р)
Дальнейшие рассуждения аналогичны предыдущему пункту. Разрешив уравнение (21) относительно v(t) и подставив его в (19), получим уравнение замкнутой системы управления по ошибке слежения: Q0(p)e(t) = 0. Причем доказательство ограниченности функции ф2(0 совпадает с доказательством ограничен-
ности сигнала (p\(t). Однако в силу предположения А.5 использование закона управления (6) недопустимо. Поэтому зададим u(t) в виде (12), и перепишем уравнение ошибки слежения (19) как
(22) e(t) = a ^^A(t).
Qo(P)
Реализацию gu-производных сигнала v(t) в законе управления (12) осуществим с помощью наблюдателя (14). Тогда результат (15) выполнен и здесь. Выпишем уравнения, входящие в состав замкнутой системы управления:
e (t) = -Z (t),
u(t) = aT (p)v (t),
r(t) = mG(t)+bv(t), D(t) = mgu (t), e(t) = Ame(t) + amru-\gA(t), e(t) = Le(t). которые имеют такой же вид, как (16), где структуры векторов e(t) e Rgux1, bR, A(t) и g - как и в (16). Последнее уравнение в
(23) является векторно-матричной формой записи уравнения (22), полученной при подстановке в (22) результатов (15).
Утверждение 2. Пусть выполнены условия предположений А и дополнительные условия, наложенные на класс объектов (17). Тогда для любых Q(p, t), R(p, t) и N(p, t) из множества x существуют числа T > 0 и ц0 > 0 такие, что при m < m система (23) диссипативна и выполнено целевое условие (3) при t > T.
Доказательство утверждения 2 аналогично доказательству утверждения 1, поэтому здесь не приводится.
5. Примеры
1. Рассмотрим линейный объект управления вида (1):
(24) (^(t) P4 + qs(t) p3 + q2(t) P2 + ^(t) p + 9o(t)) y(t) = = (Tj(t) p + ro(t))u (t) + f (t)
Если коэффициенты при старших степенях q4(t) Ф 0 и rj(t) Ф 0, то deg Q(p, t) = n = 4, deg R(p, t) = m = 1, а значит g = 3.
Ниже рассмотрен пример, когда под действием нестационарных параметрических возмущений меняются параметры объекта и, как следствие, его динамический порядок (т.е. подвержены изменению n, m и g).
Пусть gu = 4 - верхняя оценка относительной степени объекта. Тогда deg Q0(p) = 4. Уравнение эталонной модели зададим в виде
(p+1)4 ym (t)=г (t),
где km = 1, Rm(p) = 1, Qm(p) = (P + 1)4 и
r(t) = 2 + sin 0,51 + 2sin t + P1(t), P1(t) - импульсы с амплитудой 2, периодом 4 с и длительностью 2 с.
Выберем Ь = 50 и T(p) = p4 + 100p3 + 200p2 + p + 0,01. Учитывая (8) и (10), зададим уравнения вспомогательного управляющего воздействия и вспомогательного контура в форме
v(t) = -0,02-4-3 (p +1)42-Z (t),
0,01 p4 + 2 p3 + 200p2 + 200p +100
ч _0,01 p4 + 2p3 + 200p2 + 200p +100 /4
e (t) = 50— —-Z—--^-v(t).
(p +1)4
Здесь Z(t) = e(t) - e (t) - уравнение рассогласования и e(t) = y(t) - ym(t) - ошибка слежения.
Для реализации закона управления (12) сформируем наблюдатель (14):
x(t)=Xi+1 (t> -4(x>1 (t) -v(t)), i=1,..., 3, m
X 4 (t) = -"~4t (X (t) - v(t)),
m4
v (t) = £(t),
где матрица В выбрана как D = [20, 150, 500, 625]T, m = 10-2. Задав a = 50, закон управления (12) определится в виде u(t) = 50[0,01v (4)(t) + 2v (t) + 200v (t) + 200v (t) + 100v (t)]. На рис. 1 приведены примеры моделирования при нулевых начальных условиях и следующих параметрах в объекте (24): q4 (t) = P1(t )(1,5 + cos t), q3 (t) = 4p (t )(1,5 + cos t /3),
q2(t) = 4(3 + sin 2t) , q1 (t) = -3 sin 2t + 4 sin 2t, q0 (t) = -5 sin 2t + 7 sin 0,5t, r1(t) = p(t)(2 + cos t), r0 (t) = 2 + sin 3t, f (t) = 2 + sin 1,5t + P2 (t), где P1 (t), P2 (t), P3 (t) и P2(t) - прямоугольные импульсы с амплитудами 1, периодами 25 с, длительностями 5, 8, 20 и 5 с.
e(t)
1.5
1
0.5 0
-0.5 -1
0 10 20 30 40 50
Рис. 1.
Для объекта в моменты времени:
1) t е (0 + 25 (к - 1), 5 + 25 (к - 1)): q4(t)r1(t) > 0, т.е. n = 4 и g = 3;
2) t е (5 + 25 (к - 1), 8 + 25 (к - 1)): q4(t) = 0 и q3(t)r1(t) > 0, т.е. n = 3 и g = 2;
3) t е (8 + 25 (к - 1), 20 + 25 (к - 1)): q4(t) = q3(t) = 0 и q2(t)r1(t) > 0, т.е. n = 2 и g = 1;
4) t е (20 + 25 (к - 1), 25 + 25 (к - 1)): q4(t) = q3(t) = r1(t) = 0 и q2(t)r0(t) > 0, т.е. n = 2 и g = 2,
где к е N, N - множество натуральных чисел.
2. Пусть задан линейный нестационарный объект с запаздыванием по состоянию:
-4
к 10
i ¡ it, сек
(д4(/ ) р4 + ^) р3 + ^(0 р2 + ) р + ^)) >>(?) + (25) + () р2 + й^) р + Й0('))) - Т) =
= (гД?) р + г0Ц Ш) + / ('), где, дополнительно к первому примеру, считаются еще неизвестными порядок и коэффициенты оператора N(p, '), а также время запаздывания т('). Пусть верхняя оценка относительной степени объекта (25) уи = 4. Структуру и параметры замкнутой системы управления зададим как в первом примере.
е(') 2
1.5 1
0.5 0
-0.5 -1 -1.5
0 10 20 30 40 50 Рис. 2.
На рис. 2 приведены результаты моделирования при нулевых начальных условиях и следующих параметрах объекта (25): коэффициенты д(), I = 1, ..., 4, и г(), у = 1, 2, - те же, что и в первом примере. Дополнительно щ (') = 4(1 + cos '), П2(г) = 1 + 2sin2' и Т(0 = 1 + е"';
Из результатов моделирования видно, что предложенный алгоритм компенсирует нестационарные параметрические и внешние возмущения, а также неопределенности порядков числителя и знаменателя объекта управления. При этом обеспечены хорошие показатели качеств переходных процессов, т.е. возмущающие воздействия, влияющие как на параметры объекта управления, так и на его динамический порядок, мало сказы-
ваются на качестве переходных процессов и устойчивости замкнутой системы. Численное моделирования показало, что качество переходных процессов зависит от точности оценок параметров объекта и в особенности от значений чисел / в (14), а и Ь в (8), (10), (12) и матрицы В в (14). Причем оценки, полученные в приложении относительно времени переходного процесса Т по ошибке слежения и точности 8, грубы по сравнению с результатами численных моделирований.
Отметим, что отсутствует аналитическое обоснование выбора параметров /л, а и р. Однако они легко подбираются на этапе проектирования при моделировании. На модели объекта (1) (модели (17)) выставляются минимально возможные коэффициенты операторов Я(р, ¿), Q(p, ¿) (Я(р, 0, Q(p, 0, Мр, 0) и на вход подаются максимально возможные значения ДО и г(0. Подбираются числа /л, а и р, обеспечивающие заданную динамическую ошибку. Число / обычно колеблется в пределах от 0,005 до 0,05. При других значениях параметров и внешних воздействий из заданного класса неопределенности ошибка не будет превышать заданного значения.
6. Заключение
В статье предложен способ построения робастной системы управления, которая позволяет скомпенсировать неконтролируемые внешние воздействия и параметрическую нестационарную неопределенность, при условии, что порядки операторов Q(p, 0, Я(р, ^ в (1) и Ы(р, ^ в (17) неизвестны и могут изменяться в процессе функционирования. Компенсация осуществляется с точностью 8 за конечное время Т. Причем величины 8 и Т можно сделать достаточно малыми за счет соответствующего выбора параметров замкнутой системы: чисел / в (14), а, р в (8), (10), (12) и матрицы В в (14).
Сравнивая предложенный робастный алгоритм с [1-14, 16-18] важно отметить, что для управления объектами вида (1) или (17) достаточно знания верхней оценок разности порядков операторов Q(p, 0 и Я(р, 0, а не их точных значений. При этом
данные порядки могут меняться в процессе функционирования системы.
Численные моделирования на ЭВМ показали, что качество переходных процессов несущественно зависит от порядков операторов в (1) и (17) и величины оценки уи. Амплитуда управляющего воздействия зависит от параметров системы: /, а, Д В и в особенности от неизвестных начальных условий объекта управления. Так, чем больше разность между начальными условиями объекта управления и эталонной модели, тем больше амплитуда сигнала управления и(') в начальный момент времени.
Приложение
Доказательство утверждения 1. Перепишем последние четыре уравнения (16) в виде
/Ц (О = Оц (') + / 2ъу('), А(') = /7и-1 Ьц (О,
(26) 7 1
е(') = Ате(') + а/7"- Ъ^Д(г), е(') = Ье('),
где / = /л2 = /л. Воспользуемся первой леммой в [4].
Выберем функцию Ляпунова для уравнений (26) в виде
(27) V (') = е т(') Ре (') + ц т(') Нц ('),
где матрицы Р = Рт > 0, Н = Нт > 0 определяются из решений уравнений АТ Р + РАт = -01, НТО + ОН = -02, 0 = бТ > 0, Q2 = бт > 0. Возьмем от функции V(t) полную производную по времени вдоль траекторий (26) при ¡л2 = 0:
(28) V(') = -ет(0е,£(') - цт(')б2ц(').
Следовательно, Пш\е(')| = 0 и Нш|ц(')| = 0. Тогда, в силу
условий второй леммы [18], |Д(')| < кь | V (')| < к2.
Таким образом, при / 2 = 0 получаем устойчивую систему уравнений (26). В соответствии с леммой [4], существует /л0 > 0 такое, что при / < / область диссипативности системы (26) сохраняется. Пусть в (26) / = /л2 = /0. Возьмем снова функцию Ляпунова (27) и вычислим теперь полную производную от нее вдоль траекторий (26) с учетом результата (28):
V = -e T(t )Qe (t) + 2am 0' -1e T(t )PbRgD(t) -
- h T(t )Q2h (t) + 2ß0h T(t) Hbv(t). Рассмотрим оценки: 2aßJ}u -eT(t)PbRgD(t) <
< amIй-1e T (t)PbR gg TbRTPe(t) + am0'-1 |D(t)|2 <
< am Iй-1e T(t)PbRgg T bRT Pe (t) + am0';
2m 0hT (t) Hbv(t) < m 0hT (t )нььT Hh (t) + m 0 v2 (t) <
< m oh T(t) нььT Hh (t) + m 0 k 22.
Тогда, с учетом оценок, производная функции Ляпунова
(28) примет вид
V < -eT (Qi - am0' -1 PbRggTbTP)e - hT fe - m0HbbTHh +
+am 0u -1k12+m0k22.
Очевидно, что существует число m > 0, обеспечивающее выполнение матричных неравенств:
Qi - m -lPbRggTbRTP = Q3 > 0 и q2 - m0HbbT h = q4 > 0.
В этом случае оценку производной функции Ляпунова можно записать как
V <-cv + aml'-1 k2 + m 0 k 2,
где x = min Umax(Q3)/Amm(P), Amax(Q4)/Amm(H)}. Решив последнее неравенство, получим
(29) V (t) < e-xtV (0) + (i - e~* )(am0' -1k2 + m0k22), откуда следует, что
lim V(t) < am 0'-1k12 + m0 k22.
Видно, что существует число m > 0, обеспечивающее требуемую величину d в целевом условии (3). Приравняем правую часть (29) к d:
S < e-ctV(0) + c^ -e-*)(am0'+ mk2),
и рассмотрим верхнюю границу (29), заменив неравенство равенством, в момент времени t = T. Тогда
T=cv(0) - am- mok22
c cd - amo7u-1k2 - mok2 ' То есть по истечению времени t = T будет выполнено целевое условие (3) и все функции в замкнутой системе управления
ограничены.
Литература
1. БОБЦОВ А.А. Алгоритм робастного управления линейными объектами по выходу с компенсацией неизвестного детерминированного возмущения // Изв. РАН. Теория и системы управления. - 2003. - №2. - С. 93-97.
2. БОБЦОВ А.А. Алгоритм робастного управления неопределенным объектом без измерения производных регулируемой переменной // Автоматика и телемеханика. - 2003. - №8. -С.82-96.
3. БОБЦОВ А.А., НАГОВИЦИНА А.Г. Адаптивное управление по выходу линейными нестационарными объектами // Автоматика и телемеханика. - 2006. - №12. - С. 163-174.
4. БРУСИН В.А. Об одном классе сингулярно возмущенных адаптивных систем. 1 // Автоматика и телемеханика. -1995. - №4. - С. 119-127.
5. БУКОВ В.Н. Вложение систем. Аналитический подход к анализу и синтезу матричных систем. - Калуга: Издательство научной литературы Н.Ф. Бочкаревой, 2006. - 720 с.
6. ВОРОНОВ К В., НИКИФОРОВ В О. Динамический регулятор выходной переменной с компенсацией постоянных возмущений // Автоматика и телемеханика. - 2003. - №2. -С.11-21.
7. МИРОШНИК И.В., НИКИФОРОВ В О., ФРАДКОВ А Л.
Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. - СПб.: Наука, 2000. - 550 с.
8. НИКИФОРОВ В О., ФРАДКОВ А Л. Схемы адаптивного управления с расширенной ошибкой // Автоматика и телемеханика. - 1994. - №9. - С. 3-22.
9. НИКИФОРОВ В.О. Нелинейная система управления с компенсацией внешних детерминированных возмущений //
Изв. РАН. Теория и системы управления. - 1997. - №4. -С. 69-73.
10. НИКИФОРОВ В.О. Наблюдатели внешних детерминированных возмущений. 1. Объекты с известными параметрами // Автоматика и телемеханика. - 2004. - №10. - С. 13-24.
11. НИКИФОРОВ В.О. Наблюдатели внешних детерминированных возмущений. 2. Объекты с известными параметрами // Автоматика и телемеханика. - 2004. - №11. - С. 40-48.
12. ПОЛЯК Б.Т., ЩЕРБАКОВ П.С. Робастная устойчивость и управление. - М.: Наука, 2002. - 303 с.
13. ЦЫКУНОВ А.М. Алгоритмы робастного управления с компенсацией ограниченных возмущений // Автоматика и телемеханика. - 2007. - №7. - С. 103-115.
14. ATASSI A.N., KHALIL H.K. A separation principle for the stabilization of class of nonlinear systems // IEEE Trans. Automat. Control. - 1999. - Vol. 44, №9. - P. 1672-1687.
15. FEUER A., MORSE A.S. Adaptive control of single input, single-output linear systems // IEEE Trans. on Automat. Control.
- 2000. - Vol. 45, №3. - P. 490-494.
16. HOAGG J. B., DERNSTEIN D.S. Direct adaptive command following and disturbance rejection for minimum phase systems with unknown relative degree // Int. J. of Adaptive Control and Signal Processing. - 2007. - Vol. 21, №1. - P. 49-75.
17. MONOPOLI R.V. Model reference adaptive control with an augmented signal // IEEE Trans. Automat. Control. - 1974. -Vol. 19, №5. - P. 474-484.
18. MORSE A.S. High-order parameter tuners for adaptive control on nonlinear system // Isidori A., Tarn T.I. (eds). Systems, Models and Feedback: Theory and Applications. Birkhanser. - 1992.
- P.339-364.
19. NIKIFOROV V.O. Robust high-order tuner of simplified structure // Automatica. - 1999. - Vol. 35, № 8. - P. 1409-1417.
20. TAO G., IOANNOU P.A. Model reference adaptive control for plants with unknown relative degree // IEEE Trans. On Automatic Control. - 1993. - Vol. 38, №6. - P. 976-982.
ROBUST CONTROL OF TIME-VARYING PLANTS WITH UNKNOWN VARIABLE RELATIVE DEGREE
Igor Furtat, Astrakhan State Technical University, Astrakhan, Gubkin Russian State University of Oil and Gas, Moscow, Cand.Sc. (cainenash@mail .ru).
Alexander Tsykunov, Astrakhan State Technical University, Astrakhan, Doctor of Science professor. (tsykunov_al@mail.ru).
Abstract: The problem is considered of robust output control of a linear time-varying plant under external and internal uncontrollable disturbances. The relative degree of the plant is unknown and can vary in the course of operation. The problem is solved on the basis of a robust algorithm, which allows compensating the uncertainties with the required accuracy in finite time. The results of computer simulation are provided.
Keywords: robust control, plant with structural uncertainty, auxiliary plant, observer, disturbances compensation.
Статья представлена к публикации членом редакционной коллегии В. А. Уткиным
