CC BY
0
5.6.6 [07.00.10]ТАЪРИХИ ИЛМ ВА ТЕХНИКА
5.6.6 [07.00.10]ИСТ0РИЯ НАУКИ И ТЕХНИКИ
5.6.6 [07.00.10]HISTORY OF SCIENCE AND TECNOLOGY
ТДУ 53(575.03)
DOI:10.51844-2077-4990-2024-4-50-55
РОЦЕЪ БА ЦАНБАИ НАЗАРИЯВИ ВА АМАЛИИ РИЁЗИ ДАР ОСОРИ РИЁЗИДОНОНИ АСРИМИЁНАГИИ ФОРС-ТОЦИК
О ТЕОРЕТИЧЕСКИХ И ПРАКТИЧЕСКИХ А СПЕКТАХ МА ТЕМАТИКИ В ТРУДАХ СРЕДНЕВЕКОВЫХ ПЕРСИДСКО-ТАДЖИКСКИХ МАТЕМАТИКОВ
ON THE THEOPETICAL AND PRACTICAL ASPECTS OF MATHEMATICIS IN THE WORKS OF MEDIEVAL PERSIAN - TAGIK MATHEMATICIANS
Комили Абдущай Шарифзода, д.и.ф.-м., профессор, директори Институти илми-тауцицотии таърихи илмуои табииётшиноси ва техники дар назди ДДБ ба номи Носири Хусрав (Тоцикистон, Бохтар); Абдулакимова Цанатой Абдурауфовна, н.и.п. дотсент; Мирзоахмедова Махфуза Мавлоновна, муаллими калони кафедраи методикаи таълими математика ва технологияи иттилоотии МДТ "ДДХ ба номи акад. Б.Fафуров (Тоцикистон, Хуцанд) Комили Абдулхай Шарифзода, доктор физ.-мат.наук, профессор; директор Научно-исследовательского института истории естественных и технических наук при БГУ имени Насира Хусрава (Таджикистан, Бохтар); Абдулакимова Жанатой Абдурауфовна, к.п.н., доцент; Мирзоахмедова Махфуза
Мавлоновна, старший преподаватель кафедры методики преподавания математики и информационных технологий ГОУ «ХГУ им.акад. Б.Гафурова» (Таджикистан, Худжанд) Komili Abdulkhay Sharifzoda, Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor; Director of the Research Institute of the History of Natural and Technical Sciences at the BSU named after Nasir Khusrav (Tajikistan. Bokhtar), E-mail: akomili2006@mail.ru; Abdulakimova Zhanatoi Abduraufovna, Ph.D., Associate Professor of the Department of Methods of Teaching Mathematics E-mail: ajanatoy @mail. ru; Mirzoakhmedova Munzifa Mavlonovna, Senior Lecturer at the Department of Methods of Teaching Mathematics and Information Technologies of the SEI "KhSU named after Acad.B.Gafurov" (Tajikistan, Khujand) Вожа^ои калидй:риёзй, риёзидон, форсу тоцик, илм, назария, амалия, Сино, Беруни, Хоразми Дар мацола масъалаи самтуои назарияви ва амалии математика, ки дар осори олимони риёзидони форсу тоцик дар асруои миёна барраси шудаанд, мавриди таулил царор гирифтааст.Зимни таулил номуои олимони варзидаи асруои миёна, ки аслашон тоцику форс буд, номбар гардида, дар инкишофи донишуои риёзи, махсусан арифметикаи назари ва амалии давраи баррасишаванда, дар рушди алгебра сауми боризу назаррасе гузоштаанд.Дар мацола цайд шудааст, ки масъалауои назариявии арифметика аз масъалауои амалии уаёти тавлид шуданд. Аз цумлаи олимони барцастаи ин давр муаллифон шахсияти ал-Хоразмиро номбар мекунанд, ки номаш боиси пайдоиши илми муосири алгебра гардида, инчунин осори безаволи у таулил шудааст, ки дар рушди илми уисоб беуамто маусуб мешавад. Осори у барои мууаццицони дигари баъдина илуом бахшида, боиси таълифи китобуои зиёди риёзи дар пайравии ал-Хоразми гардид. Дигар аз олимони машуури риёзии он давр Абуали ибни Сино бо «Донишнома» ва Абурайуони Беруни бо «Китобу-т-тафуим» масъалауои арифметикаи амали ва арифметикаи назари барраси шудаанд.Дар цатори осори асримиёнагии риёзи китоби «Мифтоу-ул-уисоб» Fиёсиддини Цамшеди Кошони мавцеи намоёнро ишгол мекунад, зеро маълумоти мукаммалу муфассалро оиди арифметика пешниуод менамояд. Баъдан дар пайравии осори Кошони Бауоуддини Омули масъалауои назарияви ва амалии илми риёзиро мавриди барраси царор додааст.
Ключевые слова: математика, математик, персидско-таджикский, наука, теория, практика, Сино, Беруни, аль-Хорезми
Рассмотрены вопросы теоретических и практических аспектов математики, обсуждавшиеся в трудах персидских и таджикских математиков средневековья. В ходе анализа были перечислены
имена выдающихся ученых периода средневековья персидско-таджикского происхождения, которые внесли видный и существенный вклад в развитие математических знаний, особенно теоретической и практической арифметики рассматриваемого периода, в развитие алгебры. Отмечается, что теоретические проблемы арифметики исходят от практических жизненных задач, решаемых средневековыми учеными. Среди выдающихся ученых этого периода автор упоминает личность аль-Хорезми, имя которого обусловило возникновение современной науки алгебры. Его работы вдохновили других более поздних исследователей и привели к созданию многих математических книг в подражание аль-Хорезми. Другие известные математики того периода — Абуали ибн Сина и его «Донишнома» и Абурейхан Беруни с «Китаб-т-тафхим» исследовали проблемы практической и теоретической арифметики. Среди средневековых произведений по математике книга Гиясуддина Джамшида Кошони «Мифтах-ул-хисаб» занимает видное место, поскольку дает наиболее полные и подробные сведения об арифметике. Указывается, что, вдохновленный исследованием Кошони, другой ученый средневковья Бахоуддин Омули изучил теоретические и практические вопросы математической науки.
Key words: mathematics, mathematicians, Persian and Tajik, science, theory, practice, Abu Ali ibn Sina, Beruni, al-Khwarazmi
The article examines issues of theoretical and practical aspects of mathematics, discussed in the works of Persian and Tajik mathematicians of the Middle Ages. During the analysis, the names of outstanding scientists of the Middle Ages of Persian-Tajik origin were listed, and who made a prominent and significant contribution to the development of mathematical knowledge, especially theoretical and practical arithmetic of the period under review, and to the development of algebra. The article notes that the theoretical problems of arithmetic originate from practical life problems solved by medieval scientists. Among the outstanding scientists of this period, the author mentions the personality of al-Khorezmi, whose name determined the emergence of the modern science of algebra. His work inspired other later researchers and led to the creation of many mathematical books in imitation of al-Khwarizmi.Other famous mathematicians of that period - Abuali ibn Sina and his Donishnoma and Abureikhan Beruni with Kitab-t-tafhim - explored the problems of practical and theoretical arithmetic. Among the medieval works on mathematics, Ghiyasuddin Jamshid Koshoni's book "Miftah-ul-hisab" occupies a prominent place, since it provides the most complete and detailed information about arithmetic. Then, inspired by Koshoni's research, another medieval scientist, Bahouddin Omuli, studied the theoretical and practical issues of mathematical science.
Дар олами исломи асримиёнагй як зумра донишманди хамадон (энсиклопедист)-и форс-точик, аз ;абили Абуабдуллох Мухаммад ибни Мусои Хоразмии Мачусй (783, Хева - 850, Багдод), Абунаср Мухдммад ибни Мухдммад ибни Тархун Васичи Форобй (872, Фороб -12.01.950, Димиш;), Абумахмуд Хомид ибни Хизри Хучандй (та;р. 930,Хучанд - 999, Багдод), Абулвафо Мухаммад ибни Мухаммад ибни Яхё ибни Исмоил ибни Аббос Бузчонии Нишопурй (10.06.940, Бузчон - 15.07.998, Багдод), Абурайхон Мухаммад ибни Ахмади Косии Хоразмй (08.09.973, Кос - 17.12.1048, Fазна), Абуалй Хусайн ибни Абдулллох ибни Алй ибни Синои Балхии Бухорой (23.08.980, Бухоро - 16.06.1037, Хамадон), Fиёсиддин Абулфатх Умар ибни Иброхим Хайёми Нишопурй (18.05.1048, Нишопур - 04.12.1131, Нишопур), Хоча Насируддин Мухаммад ибни Мухаммад ибни Хасани Тусй (24.02.1201, Тус - 26.06.1274, Багдод), Fиёсиддин Ч,амшед ибни Масъуд ибни Махмуди Кошонй (1380, Кошон - 22.06.1429, Самарканд), Мавлоно Алоуддин Алй ибни Мухаммади Самар;андй (1403, Самарканд-16.12.1474, Истамбул), мула;;аб ба Алй Кушчии Самар;андй, Бахоуддин Мухаммад ибни Азудиддин Хусайни Омулй (18.02.1547, Баъалбак - 01.09.1622, Исфахон) ва дигарон умр ба сар бурдаанд, ки дар инкишофи донишхои риёзй, махсусан арифметикаи назарй ва амалии замони худ, инчунин такомули алчабр(алгебра) сахми босазо гузоштаанд.
Математикаи назариявй (дар мафхуми васеъ, тамоми илм) ба ;исматхои назариявй ва амалй та;сим мешавад. Математикаи амалй низ яке аз фасли математика мебошад, ки ибтидои худро аз мачмуи ;оидахои эмпирикй мегирад ва тавассути ;оидахои мазкур масъалахои рузмарраи хаётй хал мешаванд. Бояд гуфт, ки риёзидонони асримиёнагии олами ислом дар аввал бо халли масъалахои амалии хаётй машгул буданд, баъдан масъалахои назариявии арифметикаро баррасй мекарданд.
Нахуст, донишманди мусалмони асри хаштум ва нухум, ки бо ла;аби «падари чабр» маъруф аст, Мухаммад ибни Мусои Хоразмй буд, ки истифодаи ра;амхои арабиро, ки аслан ра;амхои хиндй аст, сомон додааст. Хдмин ра;амхои бо ном арабй дар асри Х аз чахони Ховари исломй ба дунёи Бохтари насронй расид ва дар он чо дигаргунии куллие ба вучуд овард.
Бояд гуфт, ки нахустин китоб дар сохаи арифметикаи амалй "Китоб ал-чамъ ва-т-тафри;"-и у буд, ки ба арифметикаи амалй бахшида мешавад. Дар рисола сабти ра;амхои 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 ва амалхо бо онхо мавчуд аст. Ра;амхои мазкур аз хиндухо и;тибос шудаанд, бинобар ин дар осори таърихй онхоро "ра;амхои хиндй", "хисоби хиндй" ва ё "арифмектикаи хиндй" меноманд. Китоби мазкур соли 1964 аз чониби Ю.Х. Копелевич ва Б. А. Розенфелд тарчума ва тах;и;и ичмолй шудааст [4]. Рисолаи мазкур дар тарчума хамагй 16 сахифаро ташкил медихад. Мухтавои асар аз он иборат аст, ки Хоразмй тавассути ра;амхои хиндй навиштани ра;амхо, тари;и намунаи мушаххаси ра;амхо мисолхоро оиди тарху чамъ, ду та;сим ва ду зарб (бо усули математикхои мисрй), зарб ва та;сим (ададхои бутун ва касрхо) ва тафтиш кардани амалхои ичрошударо нишон медихад. Навиштани касрхо низ бо ра;амхои хиндй сурат мегирад, масалан
143
136
ба чои касри 143 — Хоразмй чунин овардааст: 136.
4 324
Баъдан дар китоби мазкур тарзи дурусти хосил кардани чизри мураббаъ (решаи квадратй) нишон дода шудааст. Пас аз тарчума шудани китоби "Китоб ал-чамъ ва-т-тафри;"-и Мухаммади Хоразмй ба забони лотинй, тамоми Аврупои Fарбй арифметикаи амалиро тавассути китоби мазкур меомухтанд. Дар пайравй ба китоби барчастаи ал-Хоразмй олимону риёзидонхои дигар низ осори худро таълиф карданд. Аз чумла "Китоб ал-хисоб ал-хиндй"-и Абу Таййиб Синд ибни Алй ал-Яхудй (ваф. 864)1; "Китоб ал-фусул фи-л-хисоб ал-хиндй"-и Абулхасан Ахмад ибни Иброхими У;лидусй (920-980), ки бинобар тарчумони осори У;лидус буданаш, бо ла;аби ал-У;лидусй маъруф аст; "Китоб фй мо йахтачу илайхи ал-куттаб ва-л-чумал ва гайрахум мин илм ал-хисоб"-и Абулвафои Бузчонй аз чумлаи онхост.
Абулвафои Бузчонй (940-998) аз зумраи он донишмандоне буд, ки дар илми хисоб ва назарияи ададхо ба тах;и; пардохта, таснифоте арзишманд барои ояндагон ба мерос гузоштааст. Яке аз рисолахои у, ки аз назарияи ададхо бахс мекунад ва чолиби таваччуху боиси тад;и;оти муха;;и;он гаштааст, «Рисола фи-л-арисмоти;й» (яъне «Рисола дар арифметика») ном дорад.
Абулвафои Бузчонй ба тах;и; ва халли муодилоти дарачаи чахорум пардохта буд, ки онро ба сурати зайл навиштан мумкин аст [13, с. 405].
4
х = а
4 1
х + ах = Ь
Абуалии Сино дар "Донишнома" [1] ва Абурайхони Берунй дар "Китоб-ут-тафхим" [2], ки хар ду асар ба забони точикй таълиф шудаанд, ба таърифи ададхо кушида масъалахои арифметикаи амалй ва арифметикаи назариро мавриди баррасй ;арор додаанд.
Масалан, Абурайхони Берунй дар "Китоб-ут-тафхим"-и худ, ки ба забони точикй дар шакли пурсишу посух ба Райхона бинти Хдсани Хоразмии дусташ бахшида навиштааст, ададхои зеринро тахлил кардааст: натуралй, чуфт, то;, чуфти чуфт (2п), чуфт - то; (2 • (2п + 1)), чуфт-чуфт-то; (2п^(2т+1)), то;-то; ((2т + 1)(2т + 1)), адади оддй, адади таркибй, «хамвор» (т. • п), квадратй (п2), дарозруя (п^ (п + 1)), «росткунча» (т^ п, п> т+ 1), адади иловагй (т • п барои т2 ва п2), ададхои баробар ва нобаробар, комил, изофагй ва нокифоя, ададхои мухиб, «чисмй» (I •т^ п), кубй (п3), «чахоркунча» (т2 • п, п < т), "сутунй" (т2 • п, п> т),
- п 1 —и —и \ - fn-(n+1)\ - г 2\ - (n-(n+1)-(n+2)\ «сипорй» (l^m^n, I Ф т Ф п), пайдархами секунча I ^^—-), квадратй (п2), конусй I-jj--),
пирамидалй (Y'k=1 к2; Y'k=1 к3) ва таърифи арифметикаро овардааст [3; 8].
— 2 2
У хамчунин муодилаи намуди ах + Ьх + С = 0 -ро ба муодилахои намуди ах = С ,
Ьх = С, ах2 + Ьх = c, ах2 = Ьх + c чудо карда, барои хар яки он рохи халро нишон додаст. [7, с. 20-21; 10, с. 8].
1 Абу Таййиб Синд ибни Адй - риёзидон ва ситорашиноси яхудии мусулмоншуда буд, ки бо хамрохии
донишмандони форс-точик Холид ибни Абдулмалики Марварудй (асри 9) ва Аббос ибни Саиди Ч,авхарй
(799-860) дар корхои расад дар Багдод (830) ва Димиш; (833) хамрох фаъолият кардааст.
Яке аз бузургтарин риёзидон ва муначчими асри Х точик Абумахмуди ХучандИ аввалин бор дар таърихи риёзиёт хал надоштани муодилаи намуди зайлро ташрех карда буд.
3,3 3
X + у = 2
Ёдовар шудан бамаврид аст, ки танхо баъди шашу ним аср донишманди аврупои Пер Ферма (1601-1665) соли 1637 теоремаи мухими худро баён карда буд, ки мувофики он муодилаи намуди
п . п _ п
X + у = 2 хангоми п> 2 будан халхои яклухт надорад [6,с. 12-13]. Чехрахои барчастаи дигар дар илми чабру мукобала дар ин замон Абубакр Мухаммад ибни Хдсани Карачи буд, ки ду китоби маъруфи у бо номхои «Китоб ал-ФахрИ» ва «Ал-кофи фи-л-хисоб» диккати мухакиконро ба худ чалб карда ва мавриди тахкику тахлил карор гирифтааст. Дар идомаи зикри риёзидононе, ки дар самти арифметикаи амали асархо таълиф кардаанд, бояд маълумоти мухтасарро оиди китоби "Мифтох-ул-хисоб"-и Fиёсиддин Чдмшеди КошонИ зикр намоем. Fиёсиддин Чдмшеди КошонИ дар мактаби илмии Самарканд, ки дар таърих гохо бо номи мактаби илмии Улугбек низ ёд мешавад, фаъолият кардааст. Китоби у аз чониби Б.А. Розенфелд тадкик ва ба забони русИ тарчума шудааст [5,с.244-254].
Китоби мазкур аз осори олимони каблИ тафовути калон дорад. Мундаричаи китоб иборат аст: мукаддима "Оид ба таърифи арифметика, адад ва намудхои он", умуман аз 5 фасл иборат аст. Fиёсиддин ал-КошонИ онро ба васфи Мирзо Улугбек бахшидааст.
Дар мукаддима таърифи арифметика зикр шудааст: "Арифметика - илм оиди коидахои дарёфт кардани мачхули ададИ тавассути ададхои маълуми мутобик мебошад. Матлаби арифметика адад аст, яъне он чизе, ки хангоми хисоб кардан чараён мегирад ва хам вохид ва хам он, чизе ки аз вохидхо иборат аст, мебошад.
Адад, агар микдори мустакил баррасИ гардад, яъне ба ягон микдор алокаманд набуда, бутун номида мешавад, масалан, як, ду, дах, понздах, сад; агар микдоре, ки ба микдори дигар алокаманд аст, он каср номида мешавад, он чизе ба он алокаманд аст, сурат номида мешавад, масалан, як аз ду, ки нисф номида мешавад, се аз панч, ки се хиссаи панч номида мешавад" [5,с.13]. Фасли якум - "Оид ба арифметикаи бутунхо", фасли дуюм - "Дар бораи арифметикаи касрхо" бахшида шудаанд. Дар ин фаслхо якчоя бо ададхои дигар касрхои дахИ оварда шуда, бо онхо чор амал ичро шудааст.
Фасли сеюм "Оид ба тарзи хисоби муначчимон" ном дорад. Дар ин фасл сабти касрхои шастдахИ ва ададхои бутун дар низоми шастИ тавассути аз 1 то 59 дар шакли навишти ракамхо зикр шудааст ва чор амал бо ададхои бутун ва касрхо ичро шудааст.
Фасли панчум - "Оид ба ченак" ба масъалахои геометрияи амалИ бахшида шудааст; фасли шашум - "Оид ба масъалахои алчабри амалИ ва мукобала, таксими мерос ва коидахои дигари арифметика" номгузорИ шудаанд. Fиёсиддин Чдмшеди КошонИ нахустин маротиба дар таърихи математика, дар самти арифметика ба таври назариявИ хисоб кардани касрхои дахиро асоснок кард ва коидахои ичрои амалхои арифметикиро бо касрхои дахИ нишон дод. Дар китоби у "Мифтоху-л-хисоб" коидаи хосил кардани чизрхо бо махрачи дилхох зикр шудааст.
Fиёсиддин Чдмшеди КошонИ бидуни исбот коидахои зеринро овардааст:
2п • Р1 • Р2 ва 2п • (Р1 ^2 + Р1 + Рг),
з
ки дар ин чо Р1 = 2п •- — 1 ва Р2 = 2п • 3 — 1 - адади оддИ, ададхои мухиб мебошанд хангоме ки п = 2 ва п = 3.
У хамчунин ду чуфти ададхои мухиб (ададхои бо хам дуст)-ро овардааст: 220; 284 ва 2024; 2296, [5]. Пас аз таълифоти Fиёсиддин Чдмшеди КошонИ дар самти арифметикаи амалИ навгонихои назаррасу ихтирооти чадид ба назар намерасад, ба истиснои он, ки дар муассисахои таълимии кишвархои исломИ ба сифати дастури таълимИ дар аввали асри XVII китоби "Хуласат-ул-хисаб" (Мохияти арифметика) истифода мешудааст ва он ба калами Бахоуддини ОмулИ тааллук дорад. АлИ Кушчии СамаркандИ дар китобаш "ар-Рисала ал-Мухаммадия фи-л-хисаб" [11, с. 72-77.] якчоя бо омузиши аломатхои ададхои натуралИ ба сохаи илм истилохоти нав "мусбат" ва "манфИ"-ро ворид мекунад.
Пас аз тарчумаи китоби мазкур ба лотинИ дар илми Аврупо истилохоти мазкур бо калимахои "positivis" ва "педа1^" ворид шуданд. Бахоуддини ОмулИ [10] дар рисолаи худ
"ал-Кашкул" ("Косаи дарвеш") коидахои "ба вучуд омадани ададхои мухиб ва комил"-ро овардааст.
Тахти ададхои комил у "адад - баробар ба чамъи таксимкунандахои худ" дар назар дорад. Масалан: Адади 6 ба чамъи таксимкунандахои худ баробар аст 6 = 1 + 2 + 3. Ин гуна ададхоро дар мактаби Фисогурисиён ададхои комил меномиданд. Зери адади мухиб пайравони мактаби Фисогуриус (муарраби Пифагор, 570-490 к.а.м.) ду ададро дар назар доштанд, ки "хар кадомаш ба чамъи таксимкунандаи адади дигар баробар аст. Масалан, 220 ва 284, таксимкунандахои адади 220 ва чамъи онхо ба 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284 баробар аст, чамъи таксимкунандаи адади 284 баробар аст ба 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220.
Яъне, ду адад 220 ва 284 мухиб мебошанд. Дар кишвархои исломй китоби аввалин оид ба алгебраи назариявй ва амалй "Китаб мухтасар мин хисаб ал-чабр ва-л-мукобала» («Китоби мухтасар оид ба хисоби алгебра ва алмукобала") [4].
Китоб аз ду кисм иборат аст: кисми аввал назариявй ва кисми дуюм ба масъалахои "таксими мерос", яъне халли масъалахои амалии алгебра бахшида шудааст. Дар кисми аввали китоб ал-Хоразмй коидахои халли баробарихои дар боло зикршуда (6 навъ)-ро бо рохи геометрй бо истифодаи усулхои замима кардани масохатхо тавассути паргор ва чадвал овардааст.
ПАЙНАВИШТ:
1. Абуалй ибни Сино. Донишнома/А.И.Сино// Осори мунтахаб. Ч,.1. - Душанбе, 1980.-425с.
2. Абурайхони, Берунй. Китоб-ут-тафхим/А.Берунй. -Душанбе, 1973.-363 с.
3. Абу Райхан Беруни. Книга вразумления начаткам науки о звездах. Вступительная статья, перевод и примечания Б. А. Розенфельда и А. Ахмедова при участии М.М. Рожанской, А.А. Абдурахманова и Н.Д. Сергеевой. - Избранные произведения. Т. 6. Ташкент, 1975. - 420 с.
4. Аль-Хорезми Мухаммад. Краткая книга об исчислении алгебры и аль-мукабалы. - В кн.: Математические трактаты. Перев. (с. 25-88 текст) и комм. (с. 103-125) Б.А.Розенфельда. Ташкент; Наука, 1964. - С. 25 - 125.
5. Джамшид Гиясэддин ал-Каши. Ключ арифметики. Трактат об окружности. Перевод с арабского Б.А. Розенфельда, комментарии А.П. Юшкевича и Б.А. Розенфельда. Москва -1956. - С. 244-254.
6. Абдулла-заде, Х.Ф.Абу Махмуд Худжанди/Х.Ф.Абдуллазаеде, Н.Н.Негматов.- Душанбе: Дониш, 1986.- 112 с.
7. Илолов,М.Илм дар замони Рудакй/М.Илолов, А.Ш.Комилй.-Душанбе: Дониш, 2008. - 160 с.
8. Комилй, А.Ш. Берунинома/А.Ш.Комилй. - Душанбе: Ганчи хирад, 2023. - 100 с.
9. Комилй, А.Ш. Бахауддин Амули - персидско-таджикский математик, философ, поэт и педагог/А.Ш.Комилй,Ш.А.Шарипов, М.Х.Давлатова//Наука и школа, 2014, № . - С. 212-214.
10.0симй М.Абурайхони Берунй ва «Китоб-ут-тафхим ли авоили саноат-ит-танчим»-и у (сарсухан ба: Абурайхони Берунй, Китоб-ут-тафхим/М.Осимй. -Душанбе, 1973.- С.13.
11.Собиров, Г. Положительное и отрицательное число у ал-Кушчй. - Вопросы истории и методики элементарной математики. 2/Г.Собиров.-Душанбе, 1965. - с. 72-77.
12. L.E.Dickson, History of the theory of numbers, vol.2, New-York, 1966.
13. ÏV4V У ^^l jJ Aiuiia ^jjÜ jl ^jj^i
REFERENCES:
1.Abu Ali ibn Sina. Doshinnoma/A.I. Sino// Selected works. P.1. - Dushanbe, 1980.-425 p.
2.Aburaykhan Beruni, Kitab-ut-tafhim/A. Beruni. -Monday, 1973.-363 p.
3.Abu Rayhan Beruni. A book of admonition to the rudiments of the science of stars. Introductory article, translation and notes B, A. Rosenfeld and A. Akhmedov with the participation of M.M. Rozhanskaya,A.A.Abdurakhmanov and N.D. Sergeeva.-Selected works.P.6.Tashkent,1975.-420 p.
4. Al-Khorezmi Muhammad. A short book on the calculus of algebra and al-Muqabala. - In the book: Mathematical treatises. Transl. (P. 25-88 text) and comment. (P. 103-125) B.A. Rosenfeld. Tashkent; Science, 1964. - P. 25 - 125.
5. Jamshid Ghiyaseddin al-Kashi. Arithmetic key. Treatise on the Circle. Translation from Arabic by B.A. Rosenfeld, comments by A.P. Yushkevich and B.A. Rosenfeld. Moscow -1956. - P. 244-254.
6. Abdulla-zade, H.F. Abu Mahmud Khujandi/H.F. Abdullazaede, N.N. Negmatov. - Dushanbe: Donish, 1986. - 112 p.
7. Ilolov M. Science in the time of Rudaki/M.Ilolov, A. Sh. Komili. -Dushanbe: Donish, 2008. - 160 p.
8. Komili A.Sh. Beruninoma/A.Sh. Komili. - Dushanbe: Ganji Hirad, 2023. - 100 p.
9.Komili A.Sh.Bakhauddin Amuli - Persian-Tajik mathematician, philosopher, poet and
teacher/A.Sh.Komili, Sh.A.Sharipov, M.H.Davlatova//Science and school, 2014, № - P. 212-214. 10.Osimi M. Aburaykhani Beruni and his "Kitab-ut-tafhim li avoili sanayo-it-tanjim" (preface to:
Aburaykhani Beruni, Kitab-ut-tafhim/M. Osimi. -Dushanbe, 1973.- P. 13. 11.Sobirov, G. Positive and negative numbers in al-Kushchi. - Questions of history and methodology
of elementary mathematics. 2/G.Sobirov.-Dushanbe, 1965. - P. 72-77. 12.L. E. Dickson, History of the theory of numbers, vol. 2, New York, 1966. 13.Islam in the Philosophy of History, by Az Sharif, M.M.- Tehran, 1367.- 405 р.^.
