CC BY
9
ТКБ 37 ТДУ 74.03
ДОИРБА БАЪЗЕ Кенцаева Наргиза Саидцодировна, омузгори
ХУСУСИЯТ^ОИ кафедраи методикаи таълими фащои
ДИДАКТИКИИ тахассусии Коллеци омузгории МДТ «ДДХ ба
«ШУМОРНОМА» - И номи акад. Б. Гафуров (Тоцикистон, Хуцанд) АЙЮБИ ТАБАРЙ
О НЕКОТОРЫХ Кенджаева Наргиза Саидкодировна,
ДИДАКТИЧЕСКИХ преподователь кафедры методики
ОСОБЕННОСТЯХ «ШУМАР- преподовании профессиональных дисциплин
НАМЭ» (АРИФМЕТИКИ) Педагогического колледжа ГОУ "ХГУ имени
АЙЮБА ТАБАРИ акад. Б.Гафурова"(Таджикистан, Худжанд)
CONCERNED Kenjaeva Nargiza Saidkodirovna, lecturer of the
WITH CERTAIN DIDACTIC department of methods of teaching special
PECULIARITIES OF "SHUMAR- subjects under the Pedagogical College of KhSU
NAME" ARITHMETICS) named after acad. B. Gafurov» (Tajikistan,
BY AYYUB TABARI Khujand), E-mail: nargis.kn.86@mail.ru
Вожа^ои калиди: уисоб, дидактика, арифметика, рацамуои уинди, цамъ, тару, зарб, тацсим, Мууаммад ибни Айюб, ададуо
Дар мацола сухан доир ба хусусиятуои дидактикии асари Мууаммад ибни Айюби Табари «Шуморнома» меравад, ки он дар асри даууми мелоди таълиф гаштааст. Тазаккур шудааст, ки ин китоб аз асаруои таълимии арифметика буда, дар он сухан перомуни масъалауои ададуои натурали, амалуои арифметики: цамъ, тару, зарб, тацсим ва цоидауои уисоби онуо меравад. Цайд шудааст, ки муаллифи асар аз усулуои дидактикии ба таври аёни нишон додани амалуои арифметики, тарзи шинохти рацамуо, схемауои мантиции математики истифода кардааст, ки ин усулуо дар Аврупо тануо баъди гузашти 7-8 аср аз навишта шудани ин асар татбиц гаштаанд. Дар мацола равишуои дидактикии таълими математика дар асруои миёна бо дидактикаи замони муосир муцоиса мегардад. Хулосаи мацола он аст, ки бо гузашти дау аср аз таълифи «Шуморнома» моуияти асар гум нашуда, ва муаллимони фанни математика метавонанд, усулуои дидактикии ин китобро дар дарсуо и риёзи истифода баранд. Мацола тануо дар асоси фасли аввали «Шуморнома» таълиф гаштааст.
Ключевые слова: счет, дидактика, арифметика, индийские цифры, сложение, вычисление, умножение, Мухаммад ибн Айюб, цифры
В статье речь идет о некоторых дидактических свойствах учебника по арифметики Мухаммада ибни Айюба Табари - «Шумарнамэ», которая была написана в десятом веке. Отмечается, что книга является учебником по арифметике, в которой речь идет о натуральных числах, арифметических действиях: плюсе, минусе, умножении, делении и о правилах введения счета. Подчёркивается, что автор этой книги использовал дидактический показательный метод арифметических действий, схем для логико-математических упражнений, которые в У11-У111 вв. распространились и внедрились в Европе. В статье сравниваются дидактические методы средневековья и современности. По словам автора спустя десять веков после написания «Шумарнамэ», учителя могут пользоваться дидактическими методами придуманными предками на современных уроках математики. Данная статья написана только по материалам первого раздела книги «Шумарнамэ».
Key words: calculation, didactics, arithmetics, Indian numbers, addition/plus, subtraction/minus, multiplication, division/distribution, Muhammad ibn Ayyub, numbers
The article under consideration dwells on the didactic peculiarities of Muhammad ibn Ayyub al-Tabarfs literary production entitled as "Shumor-Name" written in the X-th century. The relevant book is considered to be one of the educational productions on arithmetics the fact that the author speaks about the problems beset with natural numbers, arithmetic operations, such as: addition/plus, subtraction/minus, multiplication, division/distribution and the rules of their calculation as well. Visually, the author of the article resorts to the didactic methods in order to demonstrate arithmetic operations and how to recognize numbers, mathematical logical schemes applied in Europe only pertaining to the VII-th - the VIII-th centuries after finishing of the literary production in question. She compares the didactic teaching methods of mathematics in the Middle Ages with modern ones. In a nutshell, the author of the article comes to the
conclusion that having passed ten centuries since the edition of "Shumor-Name" the essence of the former has not been lost and math's teachers can still use the didactic methods of the relevant book in their classroom. The article is based on the first chapter of "Shumor-Name" only.
Мардуми точик аз даврахои бостон ба улуми дакик, мисли хисоб, нуыум, хандаса ва гайра таваччухи беандоза доштанд. Сахми донишмандони точик дар густаришу тараккии илмхои дакик дар асрхои миёна назаррас аст, ки ин нукта дар сахифахои таърих сабт шудааст. Яке аз масъалахои мухими таълим чй дар гузашта ва чй имруз ба кудакону наврасон омузонидани илми хисоб ба шумор мерафт. Барои ба насли наврас ёд додани хисоб дар асрхои миёна ва бахусус дар замони Сомониён ва даврахои баъдина асархои хусусияти таълимидошта фаровон таълиф гардидаанд. Дар байни асархои таълими хисоб китоби «Шуморнома» - и Мухаммад ибни Айюби Табарй чойгохи ба худ хосро дорост.
Маълумоти мукаммал доир ба шархи холи муаллифи ин асар Мухдммад ибни Айюби Табарй мавчуд нест. Танхо хамин нукта маълум аст, ки ин муаллиф дар соли 334 х/ 945-946 м. дар Табаристон замони хукмронии Оли Буя дар ;айди хдёт будааст. Аз ин чо хулоса намудан мумкин аст, ки чараёни зиндагии у дар карни чоруми хичрй/дахуми мелодй сипарй гаштааст [1, с.7].
«Шуморнома» иштихоб гаштани номи китоб низ бехуда нест. Дар гузашта умуман илми риёзй ба чахор илми аслй таксим мегашт: хандаса, хайъат, хисоб (арсмотикй) ва мусикй. Калимаи арсмотикй шакли муарраби калимаи арифметикаи юнонй мебошад [1, с.11]. Илми хисоб ва ё худ арсмотикй (арифметика) максади асосии Мухаммад ибни Айюби Табарй мебошад, ки ба забони форсй - точикй онро «Шуморнома» номидааст. Дар сарчашмахои арабй ба он ишора гаштааст, ки лакаби Мухаммад ибни Айюби Табарй «Х,осиб» будааст, ки маънояш хисобдон мебошад. Муаллиф «Шуморнома» - ро ба хотири таълим додани хисоб ба хонандагон тартиб додааст ва худи муаллиф чунин навиштааст: «Пас мо харчи лозим буд аз усули ин илм гирд овардем ва онро «Шуморнома» хондем дар иборате мухтасар ба фахм наздик...» [9, с.2]. Аз ин иктибос чунин хулоса кардан мумкин аст, ки муаллиф барои фахмову дастрас будани мух,тавои китоб кушиш ба харч додааст.
«Шуморнома» яке аз он китобхое аст, ки дар он ба тарики сода ва осон конунхои арифметика шарху тавзех ёфтааст.
Агар ба таърихи риёзиёт назар афканем, он дар олам аз чанд мархилаи инкишоф иборат аст, ки давраи пайдоиши он 5 хазор сол пешро фаро мегирад, ки он замон асосхои хисоб аз чониби кохинони Бобулистон ва Мисри ^адим гузошта шуда буд [2, с.21]. Баъдан илми хисоб дар доираи илми хандаса дар Юнони ^адим рушду тараккй кард. Мархилаи сеюми тараккиёти риёзиёт ба асрхои IX-XIII мелодй рост меояд, ки дар ин замон риёзидонони арабу форс барои тараккй додани ин соха ва ба хусус алгебра хиссаи сазовори худро гузоштаанд. Китоби «Шуморнома» махз дар хамин давра, дар замони хукмронии Сомониён ба вучуд омадааст. Муаллиф кушиш ба харч додааст, ки мухимтарин мафхумхои илми хисобро ба хонандагони хеш ба кор рафааст, фахмонад.
Яке аз методхои дидактикй, ки барои таълифи «Шуморнома» истифода кардани рохи осонтарини аз худ кардани илми хисоб буд. Яъне мухимтарин коидахои арифметикаро бо осонтарин рох ба хонандагон мефахмонд. Маъмулан, дар таълими хисоб дар гузашта «хисоби абчад» истифода мегардид. Мутобики ин навъи хисоб хар як харфи алифбо киммати ададии худро дошт, масалан, харфи алиф - 1, бо - 2, чим - 3 ва ба хамин минвол идома мекард. Аммо Мухаммад ибни Айюб бехтарин рохи хисобро ба хонандааш мефахмонад, у аз хисоби абчад даст мекашад, чунки фахмидани он барои хонандаи хурдсол душворй пеш меовард. Бехтарин рохи фахмонидани ракамхои одиро у дар шинохтани ракамхои хиндй медонад. Дар ин бора, дар фасли аввали китоб чунин овардааст:
«Бидон, ки асли шумори х,инд нух харф ниходаанд ва он ин аст: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 » [ 9, с.4].
Дар ин як мисол ба назар мерасад, ки Табарй бо истифодаи усули аёнй хар ракамро менависад. Танхо вай аломатхо, яъне ракамхоро хамчун харф номбар кардааст. Ракамхо дар ин китоб ба тарзи навишти хиндй оварда шудаанд, ки баъдхо ин ракамхоро дар Аврупо арабй хам номиданд.
Сабаби дар китобаш овардани ракамхои хиндй ва бо онхо омузонидани хисоб безамина нест. Маълум аст, ки дар асри Х таваччухи точирони мусулмонон ба ракамхои хиндй зиёд гашта буд, зеро бо истифодаи онхо бурдани хисобу китоби тичорат осон буд. Дар рохи омузиш ва пахнкунии ракамхои хиндй сахми донишмандони Осиёи Миёна хеле зиёд аст. И.Депман кайд
кардааст, ки дар замоне ки Абyалй ибни Сино кудак 6уд, падараш Уро ба назди точирон фиристонида будааст, то ин ки асрори ракамхои хиндиро омузад [4, с.77].
М. Лутфуллоев дуруст кайд кардааст, ки бо баробари тараккиёти инсоният воситахои таълим хам тагйир меёбанд [5, с. 191]. Дар мисоли болой агар ин гуфтахоро татбик кунем, аз нигохи имруз чунин ба назар мерасад, ки як чизи оддй ва мукаррарй аст, аммо дар замони таълифи китоб ва чанд муддати дигар он як рохи осон ва аёнии аз худ кардани ракамхо буд. Мукарраран, аз руи навиштахои ин китоб хонандагон тарзи навишти ракамхоро меомухтанд.
Ракамхо ба гуруххо таксим мешаванд. Мухаммад ибни Айюб онхоро ба тарики оход, ишрот, миот, улуф ва амсоли инхо овардааст ва ба таври мухтасар чй тавр шуданашонро шарх медихад. Ба забони арабй номбар кардани ракамхо талаботи илми замон буд. Дар замони кунунй ракамхоро ба вохид, дахй, садй ва хазорй ва г. таксим мекунанд. Барои одамони замони мо ин истилохоте, ки Айюбй овардааст, шояд бегона бошанд, аммо агар онхоро ба истилохд кунунй му^оиса кунем, худ аз худ масъала равшан мегардад. Дар поён тарчумаи истилохоти арифметикаи асримиёнагиро дар кавсайн бо тарчумаашон меоварем, ки матлабхо равшан мегардад. Аз нуктаи назари Табарй ракамхо ба нух кисм чудо мегарданд:
1. Оход - вохид; 2. Ишрот - дахй; 3. Миот - садй; 4. Улуф - хазорй; 5. Ишрот улуф -даххазорй; 6. Миот улуф - сад хазорй; 7. Оход улуф-улуф - хазор хазори вохид (миллион); 8. Ишрот улуф-улуф - хазор хазор дахй (дахмиллионй); 9. Миот улуф-улуф - сад хазор хазорй (сад миллион) [9, с.4].
Вакте ки маънои ин тартибот муайян гашт, пас коидаи шинохти хар яке аз ин ададхоро он тавр ки муаллиф гуфтааст, дида мебароем:
«Мартабаи оход он аст, ки якй бошад то нух. Ва ишрот аз дах то навад. Ва миот аз сад то нухсад. Ва улуф аз хазор бувад то нух хазор. Ва ишрот улуф аз дах хазор то навад хазор. Ва миот улуф аз сад хазор то нухсад хазор. Ва улуф-улуф аз хазор хазор (миллион) ва хама бар ин кирдор бувад» [9, с. 4].
Дар мисоли болой дида метавонем, ки танхо коида зикр гаштааст, ки ин хос ба китоби дарсй аст ва муаллим метавонад, ки хар як коидаро ба хонандагон ва ё толибилмон муфассал фахмонад. Дар фахмонидани коидахо усуле истифода гаштааст, ки баъдан онро дар Аврупо чунин шарх додаанд: «Назарияи математикиро танхо хамон вакт мукаммалшуда номидан мумкин аст, ки онро ба касе ки дучор мешавй, бея гон мушкилй фахмонида тавонй» [3, с. 51]. Дар вокеъ сабаби кутох ва мухтасар баён кардани коидаи математикй дар «Шуморнома» дар хамин аст.
Маъмулан, дар байни кудакону наврасон як андоза вахм ва ё тахлука дар бораи душвор будани риёзиёт ва аз чумла арфиметика чой дорад. Ин холро ба назар гирифта, муаллифони китобхои риёзиёт, ки барои мубтадиён - навомузон асар эчод кардаанд, усули дидактикии хавасмандгардонй барои хисоб карданро истифода кардаанд, ки ин холатро дар «Шуморнома» хам ба назар гирифта метавонем.
Дар боло гуфтем, ки «Шуморнома» китоби дарсй буд ва максади асосии он ба шогирдон омузонидани ин ё он сохаи илм аст. Дар замони муосир китобхои дарсй дар доираи барномахои таълим тахия мегарданд. Ба назар мерасад, ки дар давраи муаллиф барномаи таълимй доир ба омузиши фанни хисоб (арифметика) ба он шакле, ки имруз мефахмем, мавчуд набуд. Аммо ин маънои онро надорад, ки муаллиф китоби дарсиро бе такя ба дастовардхои илми замонаш таълиф кардааст. Дар «Шуморнома» пеш аз огози хар фасл номгуи мавзуъхо зикр мегардад, ки он ба барномаи таълимии кунунй шабохати зиёд дорад, фарк танхо дар он мебошад, ки микдори соатхои барои омузиши ин мавзуъ чудошаванда нишон дода нашудааст. Ба андешаи мо, дар чанд соат омухтани ин ё он мавзуъ дар асрхои миёна ба ихтиёри омузгор ва дарачаи дарсазхудкунии шогирдон марбут будааст ва бо назардошти кобилияти шогирдон дарсхо омухта мешуданд. Масалан, фасли нахустин ба хабдах боб таксим гаштааст, ки хар яке аз он як мавзуъ аст.
Истилохоти арифметикй, ки дар «Шуморнома» оварда шудаанд, аксарияташон арабй мебошанд. Бо дарназардошти он ки дар он замон забони илм - арабй буд, ин як амри мукаррарй аст, яъне барои хонандагон истилохоти илм бо забони роичи илмй дарс дода мешуд.
Доир ба сифр ва ахамияти он дар «Шуморнома» чунин омадааст: «Баъд аз ин нух харф раками дигар аст, ки онро сифр хонанд ва он бар суратхои арабй бар-ин мисол: о ва ин сифр аломати хеч адад набошад, валекин кивоми маротиб бад-у бувад ва у дар миёни харфхо афтад ва бар канори харфхо аз чониби рост... агар бар канори чахор афтад, масалан бар ин шакл 40, адади у чихил бошад, яъне сифр ба чои оход хеч нест ва чахор ба чои ишрот чихил бошад. Ва агар бар миёни харфхо афтад, бар ин сурат 605, адади у шашсаду панч бувад, яъне панч ба чои
оход аст, хамон панч бошад ва сифр, ки ба чои ишрот аст, хеч набувад ва шаш, ки ба чои миот аст, ш ашсад бувад» [9, с.5].
Дар ин мисло хам ба назар мерасад, ки муаллиф барои фахмонидани назария суханони зиёд намегуяд в а б о овардани мисол масъаларо равшан мекунад.
Яке аз махсусияти дидактикии «Шуморнома» марбут аст ба овардани мисоли сода ва фахмонидани матлаб дар бораи ададуо. Масалан, доир ба адади як ва истифодаи он дар вохид, дахй, садй ва хазорй 1111-ро мисол овардааст:
«...1 дар мавзеи оход якй бошад ва дар мавзеъи ишрот - дах ва дар мавзеи миот - сад ва дар мавзеи улуф хазор ва чун дар хар чахор мавзеъ афтад, бад-ин сурат: 1111 - як хазору саду ёздах бувад ва хама бар ин кирдор бувад» [9, с. 5].
Дар порчаи болой ду хусусияти дидактикии «Шуморнома» ба назар мерасад: 1) шавковар будани мисол, ки хамзамон барои аз худ кардан осон аст. Ба назар мерасад, ки на хама ададуо бо ракам навишта шудаанд, ки ин хам максади худро дорад. Дар гузашта хонандагон аввал харфхо ва калимахоро аз худ мекарданд ва баъд барои онхо илми хисоб омузонида мешуд. Дар ин маврид онхо бо ракамхои хиндй нав ошно мешуданд; 2) Ба фикрронии мантикй водор кардани хонандагон, ки баъди овардани як мисол навиштааст: «хама бар ин кирдор бувад» [9, с. 5], яъне хонанда ба чои як дигар ададхоро бояд мустакилона гузошта, худ фикр карданро омузад.
Дар хусуси фикрронии мантикй дар риёзиёт Г. Фрондентал андешаи хуберо баён кардааст. Бино бар гуфтаи у дар фикрронии мантикии математикй дар аввал бояд аз осон огоз карда, баъд ба мушкил ва мураккаб гузаштан лозим аст [10, с. 75]. Дар мисоли овардаи Мухаммад ибни Айюб хамин усули мантикй истифода гаштааст, ки дар мисоли адади 1 овардааст. Бино бар андешаи Г. Фрондентал барои дуруст ба вучуд омадани фикрронии мантикй дар математика схемахои мантикй лозиманд, ки барои фикрро мустахкам кардан ва тафаккурро ганй гардонидан истифода мегардад [10, с. 75]. Схемаи овардаи муаллифи «Шуморнома» хамон адади 1111 аст ва «бад-ин кирдор бувад» навиштани у ишора ба хамон схемаи математикй аст. Аз ин нуктаи назар гуфта метавонем, ки хануз дах, аср пештар ниёгони мо дар таълифи китоби таълимй ин усули дидактикиро истифода кардаанд, ки барои фикрронии мантикй ва математикии хонандагон созгор будааст.
Дар поёнтари асар ракамхои оходро баракс аз як то нух менависад:
«987654321 - нухсаду хаштоду хафт хазор хазору (миллиону) шашсаду панчоху чор хазору сесаду бисту як бошад» [9, с. 6]. Дар ин маврид мебинем, ки муаллиф бо истифодаи хама ададхои вохид раками бузургро тартиб додааст, ки дидани тартиби чойгиршавии ададхо ба хонанда шавковар аст ва бо баробари ин уро ба фикрронии мантикй водор мекунад.
Г. Фрондентал дар фикрронии математикй мавчуд будани схемахоро яке аз роххои пурсамари омузиши ин илм медонад. Будани схематизатсия аз худи схема дар математика ахамиятноктар аст, зикр мекунад ин олим [10, с. 79]. Агар «Шуморнома»-ро аз ин нуктаи назар тахлил намоем, дар он чадвалбандй ба таври пурра ва комил чой дорад, дар сурати набудан он таълими хисоб ба мушкилй ба пеш меравад.
Дар «Шуморнома» чадвалбандй риоя мегардад. Масалан, хангоми амалхои арифметикй пайдархам баён мегарданд: афзудани аъдод (чамъ), костани ададе аз ададе (тарх), музоаф (чамъ кардани ададхои якхела), тансиф (таксим кардан ба ду хисса, нисф), усули зарб, мизони зарб (санчидани хосили зарб), кисмат (таксим), мизони кисмат (санчидани дурустии таксим), адаби мачзур (хосили зарби ду раками якхела) ва монанди инхо.
Ба назар мерасад, ки тарзи хисобе ки муаллифи «Шуморнома» овардааст, ба тарзи хисоби кунунй якхела аст ва фарк ба назар намерасад. Аммо аз нигохи дидактикй аз китобхои дарсии кунунй ва ё назария фаркхо чой доранд. Истилохоти арифметикй аз истилохоти замони хозира фарк доранд, ки барои фахмидани онхо ба лугатномахо мурочиат кардан лозим мебошад.
Дар кисмати чамъ, тарх, зарб, таксим коидахо ба таври мухтасар ва муъчаз шарх ёфтаанд.
Тарзи баёни коидахои зарбу тарх ва гайра бо забони содда ва фахмо навишта шудаанд. Масалан, доир ба зарб чунин навиштааст: «Аммо маънии зарб дар хам задани ду адад аст. Ва маънии дархам задани ду адад он аст, ки он ададро чандон адад бишуморем. Масалан, чунонки хостем, ки панчро дар шаш зарб кунем, бад-ин мехохем, ки панчро шаш бор ё шашро панч бо бишуморем ва он сй бошад» [9, с. 14].
Дар китоби дигари Мухаммад ибни Айюби Табарй, ки «Мафотех-ул-муомилот» ном дорад, дар кисмати зарб чадвали Пифагор оварда шудааст. Дар он ададхо бо харфхои арабй навишта шудаанд, ки шакли баракси он чадвал ба вучуд омадааст, аммо мохиятан хамон аст [8, с. 42].
Ин холат ба ганй гардидани махорати Мухаммад ибни Айюби Табарй ба таълифи китобхои таълимй гувох гашта метавонад. Дар дафтархои математика то кунун чадвали зарби Пифагор чой дода мешавад, ки барои хонандагон рохи хуби омузиши зарби ададхост, ки ин корро дах аср пеш дар китобаш Табарй ба кор бурдааст.
Бо тахлили танхо мухтавои як фасли ин китоб ба чунин хулоса омада метавонем, ки «Шуморнома» дар замонаш асари нави фарогири маълумоти чадид доир ба хисоб буда, роху усулхои бехтарини ин илмро ба хонандагон омузонидааст.
Мухаммад ибни Айюби Табарй дар замоне зиста буд, ки илми риёзиёт дар кишвар рушду тараккй дошт ва худи у донандаи хуби хисоб буда, аз шахсони пешкадами замон ба шумор мерафт, лакаби Х,осибро ба у додани мардум аз он гувохй медихад, ки дар илми хисоб ва риёзиву хандиса вай дастболо будааст [7, с. 6]. Вай ягон ихтироъ аз худ нагузошт, аммо асархояш, ки дар боло зикрашон рафт, метавонад, ки доир ба дидактикаи илми хисоб ва таърихи педагогикаи точик маводи фаровон дихад. Талаботи илми муосир аз омузгорони фанни риёзиёт дар мактабхо он аст, ки дар баробари омузонидани фан аз таърихи он низ ба хонандагон маълумот диханд. Дар дарсхои риёзй ёдовар шудан аз асархои Мухаммад ибни Айюби Табарй ва таърихи таълифи онхо боиси он мегардад, ки хонандагон хам илмро омузанд ва хам дар баробари ин хисси ифтихори миллии худро боло бардоранд.
ПАЙНАВИШТ:
1. Биниш, Такй. Мукаддима / Шуморнома/Б.Такй. - Техрон: Фарханги Эрон, 1345. С. 1-25.
2. Виленкин, Н. Основные этапы развития математики / Математика. Хрестоматия по истории, методологии, дидактике / Составитель Г.Д. Глейзер - М.: УРАО, 2001. С. 21- 37.
3. Гильберт, Д. Математические проблемы и их источники/ Математика. Хрестоматия по истории, методологии, дидактике / Составитель Г.Д. Глейзер - М.: УРАО, 2001. С. 50 - 57.
4. Депман, И.Я. История арифметики. - М.: Просвещение, 1959. - 412 с.
5. Лутфуллоев, М. Дидактикаи муосир. - Душанбе, 2001. - 339 с.
6. Математика. Хрестоматия по истории, методологии, дидактике/ Составитель Г.Д. Глейзер -М.: УРАО, 2001. - 384 с.
7. Риёхй, Мухаммадамин. Мукаддимаи мусаххех/ Мафотех-ул-муомилот - Техрон: Фарханги Эрон, 1349. С.5 - 45.
8. Табарй, Мухаммад ибни Айюб. Мафотех-ул-муомилот - Техрон: Фарханги Эрон, 1349. - 45+ 290 с.
9. Табарй, Мухаммад ибни Айюб. Шуморнома / Мукаддима ва таъликоти Такй Биниш. -Техрон: Фарханги Эрон, 1345. - 25+175 с.
10. Фронденталь, Г. Логика. / Математика. Хрестоматия по истории, методологии, дидактике / Составитель Г.Д. Глейзер - М.: УРАО, 2001. С. 73 - 97.
REFERENCES:
1. Binish Taqi. Introduction / Shumor-Name. - Tehran: Iranian Culture, 1345. - P. 1-25.
2. ВИе^ин Н. Principal Stages Targeted at Mathematics Development / Mathematics. Chrestomathy on history, methodology, didactics / Compiled by G.D. Glazer - M.: URAO, 2001. - P. 21- 37.
3. Gilbert D. Mathematical Problems and their Sources / Mathematics. Chrestomathy on history, methodology, didactics / Compiled by G.D. Glazer - M.: URAO, 2001. - P. 50 - 57.
4. Depman I.Ya. History of Arithmetic. - М.: Enlightenment, 1959. - 412 p.
5. Lutfulloyev М. Modern Didactics. - Dushanbe, 2001. - 339 p.
6. Mathematics. Chrestomathy on history, methodology, didactics / Compiled by G.D. Glazer - M.: URAO, 2001. - 384 p.
7. Riyahi Muhammadamin. Corrected Introduction / Mafoteh-ul-Mu'amoot. - Tehran: Iranian Culture, 1349. - P. 5 - 45.
8. Tabari, Muhammad ibn Ayyub. Mafoteh-ul-Muamilot - Tehran: Iranian Culture, 1349. - 45+ 290 p.
9. Tabari, Muhammad ibn Ayyub. Shumor-Name / Introduced and reviewed by Taqi Binish. - Tehran: Iranian Culture, 1345. - 25 + 175 p.
10.Frontal, G. Logics. / Mathematics. Chrestomathy on history, methodology, didactics / Compiled by G.D. Glazer - M.: URAO, 2001. - P. 73 - 97.
