CC BY
24
Тянь Чжэньцзи
РЕШЕТКА ВПОЛНЕ ПРОСТЫХ ПОДПОЛУГРУПП ВПОЛНЕ ПРОСТОЙ ПОЛУГРУППЫ
1. Введение и предварительные сведения
Изучение связей между алгеброй и решеткой ее подалгебр можно считать уже традиционным. Что касается полугрупп, решетки подполугрупп некоторых известных полугрупп изучаются очень широко. Например, решетки (полных) инверсных подполугрупп инверсных полугрупп исследовались в [1-4]. Для вполне простой подполугруппы решетка её вполне простых подполугрупп исследовались в [2]. В [3] описаны вполне простые подполугруппы, решетки вполне простых подполугрупп которых удовлетворяют условиям полумодулярности и слабой модулярности.
Данная работа посвящена исследованию вполне простых подполугрупп, решетки вполне простых подполугрупп которых удовлетворяют разнообразным обобщениям условий дистрибутивности или модулярности.
Пусть 5 — вполне простая полугруппа. Мы можем записать ее в виде 5 = М(^О,М;Р), где I и М — некоторые множества, О — группа, а Р — сэндвич-матрица полугруппы 5. Мы можем предполагать, что множества I и М вполне упорядочены, каждое с наименьшим элементом 1, и что матрица Р нормализована по первым строке и столбцу; это означает, что рц = е, рм 1 = е для всех г € I, я € М (через е обозначается, как обычно, единичный элемент группы О). Для 7 С I и N С М мы обозначаем через тт 7 и тт N наименьшие элементы этих множеств относительно полных упорядочений множеств I и М. Мы будем использовать запись А ^ В для того, чтобы обозначить, что А является подгруппой В.
Пусть 5 = М(! О, М; Р) —вполне простая полугруппа, и пусть 7 С I, N С М, А ^ О, причем 7 = 0 и N = 0; тогда (7, А, N) называется допустимой тройкой над 5, если
РМР-1Р^1Р\1 € А для всех г € I, я € N где I = тт 7, А = тт N. Для допустимой над 5 тройки (7, А, N) положим
Т(7, А, N) = | (г,р-41арл;р-г1, я) | а € А, г € 7, я € N,1 = тт 7, А = тт N | ;
это вполне простая подполугруппа 5. Наоборот, если и вполне простая подполугруппа
5, то и = Т(7, А, N) для единственной допустимой тройки (7, А, N) (см. лемму 1 и теорему 3 из [5]). Далее, для £ € I и а € М положим
А(7, N; £, а) = {р«р-/арлгрмгрм4р(-/1 | а € А, г € 7, я € N,1 = тт 7, А = тт N};
как показано в [5], лемма 4, А(7, N; £, а) является подгруппой 5.
Будем обозначать через £(5) решетку всех вполне простых подполугрупп полугруппы 5 (включая пустую подполугруппу).
Лемма 1.1 (теоремы 8, 9 из [5]). Пусть Т(7, А, N), Т(К, В,ф) € £(5). Тогда Т(7,А, N) Л Т(К,В,ф) =
Г 0, если 7 П К = 0 или N П ф = 0,
Т(7 П К, А(7, N; £, а) Л В(К, ф; £, а),N П ф) в противном случае,
© Тянь Чжэньцзи, 2007
Т (7, А, N) УТ (К,В,ф) = Т (7иК, А( 7, N;/,А)УВ(К,ф; I, А) V [ 7 иК : N иф]^ иф), где £ = тт(7 П К),а = min(N П ф),1 = тт(7 и К),А = тт^ и ф), а [7 и К : N и ф] обозначает подгруппу, порожденную элементами {рл*р-»1рмгр-г1 1 г € 7 и К,я € N и ф}-
Решетка Ь называется полудистрибутивной по пересечениям, если для любых а, 6, с € Ь соотношения а Л Ь = а Л с влекут соотношение а Л (6 V с) = а Л Ь; полу-дистрибутивная по объединениям решетка определяется двойственным образом. Отметим, что полудистрибутивная по пересечениям (объединениям) решетка не всегда дистрибутивна и даже не всегда модулярна: легко проверить, что 5-элементная решетка, которая называется пентагоном, сильно полудистрибутивна, но не дистрибутивна и не модулярна.
Решетка Ь с нулем называется 0-полудистрибутивной (0-модулярной), если для любых а, Ь, с € Ь, таких что а Л Ь = а Л с = 0 (соответственно, а Л Ь = 0 и а > с) выполняется соотношение а Л (Ь V с) = 0 (соответственно, а Л (Ь V с) = с). Вообще говоря, ни одно из этих условий не влечет другое. Действительно, легко проверить, что 5-элементный пентагон — 0-полудистрибутивная, но не 0-модулярная решетка. Наоборот, другая 5-элементная решетка, называемая бриллиантом, 0-модулярна, но не 0-полудистрибутивна.
Лемма 1.2 (лемма 2.6 из [1]). Решетка подгрупп группы О полудистрибутивна по объединениям (полудистрибутивна по пересечениям, дистрибутивна) тогда и только тогда, когда О — локально циклическая группа.
В работах [6-7] автор охарактеризовал п-инверсные полугруппы 5, у которых решетка п-инверсных подполугрупп 0-дистрибутивна или 0-модулярна, или полудистрибутивна, а в работе [8] — те инверсные полугруппы, у которых решетка полных подполугрупп 0-дистрибутивна или 0-модулярна. В настоящей статье мы находим необходимые и достаточные условия для того, чтобы решетка £(5) подполугрупп вполне простой полугруппы 5 была 0-модулярна или 0-полудистрибутивна, или полудистри-бутивна относительно объединений.
По поводу обозначений и терминологии, которые здесь не приведены, см. [9-10].
2. 0-полудистрибутивность и 0-модулярность
Здесь мы выясним, у каких вполне простых полугрупп 5 решетка подполугрупп £(5) 0-полудистрибутивна или 0-модулярна. Как и раньше, предположим, что 5 = М(!, О, М; Р), где I и М вполне упорядоченные множества с наименьшим элементом 1, а матрица Р нормализована. Обозначим через £(О) решетку подгрупп группы О.
Теорема 2.1. Решетка £(5) 0-полудистрибутивна тогда и только тогда, когда II| = 1 или |М| = 1.
Доказательство. Предположим, что II| > 1 и |М| > 1. Выберем элементы 1 = г € I и 1 = я € М и положим 7 = {1}, К = {г}, N = {1}, ф = {я}. Ясно, что тройки (7, О, N), (К, О, ф) и (7, О, ф) являются допустимыми. Очевидно, что
Т(7, О, N) Л Т(К, О, N) = Т(7, О, N) Л Т(7, О, ф) = 0.
Если решетка £(5) 0-полудистрибутивна, то
Т(7, О, N) Л (Т(К, О, N) V Т(7, О, ф)) = 0,
но поскольку
Т(7, О, N) Л (Т(К, О, N) V Т(7, О, ф)) = Т(7, О, N),
мы приходим к противоречию. Это означает, что II| = 1 или |М| = 1.
Обратно, пусть множество М состоит только из одного элемента. Тогда (7, А, М) является допустимой тройкой для любого подмножества 7 С I и любой подгруппы А € £(О) . Предположим теперь, что
Т(7, А, М) Л Т(К, В, М) = Т(7, А, М) Л Т(ф, С,М) = 0
для каких-то 7, К, ф С I и А, В, С € £(О). Тогда из леммы 1.1 следует, что 7 П К = 7 П ф = 0 и потому 7 П (К и ф) = 0. Следовательно, опять по лемме 1.1 мы получаем, что
Т(7, А, М) Л (Т(К, В, М) V Т(<5, С,М)) = 0.
Это показывает, что решетка £(5) 0-полудистрибутивна. Аналогично показывается, что если II| = 1, то решетка £(5) также 0-полудистрибутивна.
Лемма 2.2. Если £(5) — 0-модулярная решетка, то II| = 1 или |М| = 1. Доказательство. Предположим, что III > 1 и МI > 1; пусть 1 = г € I и 1 = Я € М. Положим 7 = {1}, К = {г}, Р = {1,г}, N = {1}, ф = {я}. Ясно, что все тройки (7, О, N), (К, О, ф), (Р, О, N) и (7, О, ф) допустимы. Очевидно, что Т(Р, О, N) > Т(К, О, N) и Т(Р, О, N) Л Т(7, О, ф) = 0. Если решетка £(5) 0-модулярна, то
Т(Р, О, N) Л (Т(7, О, ф) V Т(К, О, N)) = Т(К, О, N),
но
Т(Р, О, N) Л (Т(7, О, ф) V Т(К, О, N)) = Т(Р, О, N),
и мы приходим к противоречию. Это показывает, что III = 1 или МI = 1.
Теорема 2.3. Решетка £(5) 0-модулярна тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из условий:
(1) III = 1 и МI = 1;
(2) МI = 1 и О = 1;
(3) III = 1 и О = 1.
Доказательство. Предположим, что одно из множеств I и М содержит больше одного элемента; пусть это будет множество I. Тогда мы получаем по лемме 1.1, что МI = 1. Предположим, что условие !О! = 1 не выполнено. Положим 7 = {1} С I, К = {г}, где 1 = г € I. Поскольку М состоит только из одного элемента, все тройки (7, О, М), (К, {е}, М), (К, О, М) и (7 и К, О, М) допустимы (через е обозначается единичный элемент группы О). Прямые вычисления показывают, что Т(К, О, М) Л Т(7, О, М) = 0 и Т(К, О, М) > Т(К, {е}, М); поэтому, из-за 0-модулярности, будет
Т(К, О, М) Л (Т(7, О, М) V Т(К, {е}, М)) = Т(К, {е}, М).
Но
Т(К, О, М) Л (Т(7, О, М) V Т(К, {е}, М)) = Т(7 и К, О, М) = Т(К, О, М),
и мы получили противоречие, которое показывает, что О = 1, и потому выполнено условие (2). Аналогично, если МI > 1, то III = 1 и О! = 1, и выполняется условие (3).
Обратно, если выполнено условие (1), и если Ь1 = {Т({1}, А, {1}) I А € £(О)}, то £(5) = Ь1 и{0}. Ясно поэтому, что решетка £(5) 0-модулярна. Если выполнено условие
(2), то, очевидно, полугруппа 5 изоморфна множеству М, снабженному тривиальным умножением, и решетка £(5) изоморфна решетке подмножеств множества М, которая дистрибутивна. Такое же рассуждение проходит и тогда, когда выполняется условие
(3).
Группа О называется М-группой, если решетка ее подгрупп £(О) модулярна. Следствие 2.4. Решетка £(5) модулярна тогда и только тогда, когда О является М-группой и выполняется хотя бы одно из условий:
(1) III = 1 и МI = 1;
(2) МI = 1 и О = 1;
(3) III = 1 и О = 1.
3. Полудистрибутивность
Из теоремы 2.1 вытекает следующее утверждение.
Следствие 3.1. Если решетка £(5) полудистрибутивна по пересечениям, то III = 1 или МI = 1.
Лемма 3.2. Если решетка £(5) полудистрибутивна по объединениям, то III = 1 или МI = 1.
Доказательство. Предположим, что III > 1 и МI > 1; пусть 1 = г € I и 1 = я € М. Положим Р = {1,г}, 7 = {1}, К = {г}, N = {1}, ф = {я}. Ясно, что тройки (Р, О, N), (Р, О, N), (К, О, ф) и (7, О, ф) допустимы; кроме того, непосредственно из определения следует, что (Р, О, N и ф) - тоже допустимая тройка. Очевидно,
Т(Р, О, N) V Т(К, О, ф) = Т(Р, О, N и ф) = Т(Р, О, N) V Т(7, О, ф).
Из полудистрибутивности по объединениям следует, что
Т(Р, О, N) V (Т(К, О, ф) Л Т(7, О, ф)) = Т(Р, О, N и ф);
но Т(Р, О, N) V (Т(К, О, ф) Л Т(7, О, ф)) = Т(Р, О, N), и мы получаем противоречие, которое доказывает, что III = 1 или МI = 1.
Теорема 3.3. Решетка £(5) полудистрибутивна по объединениям тогда и только тогда, когда группа О локально циклическая и выполняется хотя бы одно из следующих условий:
(1) III = 1 и МI = 1;
(2) МI = 1 и О = 1;
(3) III = 1 и О = 1.
Доказательство. Предположим, что одно из множеств I и М содержит больше одного элемента; пусть это будет множество I. Тогда мы получаем по лемме 1.1, что МI = 1. Предположим, что условие О = 1 не выполнено. Положим 7 = {1} С I, К = {г}, где 1 = г € I. Поскольку М состоит только из одного элемента, все тройки (7, О, М), (К, О, М), (ф, {е}, М) и (ф, О, М) допустимы. Прямые вычисления показывают, что
Т(ф, {е}, М) V Т(7, О, М) = Т(ф, О, М) = Т(ф, {е}, М) V Т(К, О, М).
Поэтому из полудистрибутивности по объединениям следует, что
Т(ф, {е}, М) V (Т(7, О, М) Л Т(К, О, М)) = Т(<5, О, М).
Но поскольку Т(7, О, М) Л Т(К, О, М) = 0, получаем что
Т(ф, {е}, М) V (Т(7, О, М) Л Т(К, О, М)) = Т(ф, {е}, М),
и мы приходим к противоречию, которое показывает, что |G| = 1, и потому выполнено условие (2). Аналогично, если |М| > 1, то |11 = 1 и |G| = 1, и выполняется условие (3).
Обратно, предположим, что G - локально циклическая группа. Тогда, по лемме 1.2, решетка L(G) полудистрибутивна по объединениям. Если выполнено условие (1), и если L\ = {T({1}, A, {1}) | A £ L(G)}, то L(S) = Li U {0}. Поскольку решетка Li изоморфна решетке L(G), которая полудистрибутивна по объединениям, сама решетка L(S) тоже полудистрибутивна по объединениям, потому что добавление 0 ничего не портит. Если выполнено условие (2), то, очевидно, полугруппа S изоморфна множеству M, снабженному тривиальным умножением, и решетка L(S) изоморфна решетке подмножеств множества M, которая дистрибутивна. Такое же рассуждение проходит и тогда, когда выполняется условие (3).
Следствие 3.4. Решетка L(S) полудистрибутивна по объединениям тогда и только тогда, когда она дистрибутивна.
Summary
Zhenji Tian. The lattice of completely simple subsemigroups of a completely simple semigroup.
Necessary and sufficient conditions for the lattice of completely simple subsemigroups of a completely simple semigroup to be 0-modular or 0-semidistributive or join semidistributive are found in the paper.
Литература
1. Johnston K. G., Jones P. R. Semidistributive inverse semigroups // J. Austral Math. Soc. 2001. Vol. 71. P. 37-51.
2. Johnston K. G., Jones P. R. Modular inverse semigroups // J. Austral Math. Soc. (Series A). 1987. Vol. 43. P. 47-63.
3. Jones P. R. Semimodular inverse semigroups // J. London Math. Soc. 1978. Vol. 17. P. 446456.
4. Jones P. R. Distributive inverse semigroups // J. London Math. Soc. 1978. Vol. 17. P. 457-466.
5. Johnston K. G. Subalgebra lattice of completely simple semigroups // Semigroup Forum. 1984. Vol. 29. P. 109-l21.
6. Tian Z. J. п-Inverse semigroups whose lattice of п-inverse subsemigroups is 0-distributive or 0-modular // Semigroup Forum. 1998. Vol. 58. P. 334-338.
7. Tian Z. J. Eventually inverse semigroups whose lattice of eventually inverse subsemigroups is Л-semidistributive // Semigroup Forum. 2000. Vol. 61. P. 333-340.
8. Tian Z. J. 0-Semidistributive inverse semigroups // Communication in Algebra (to appear).
9. Howie J. M. Fundamentals of semigroup theory. Clarendon Press. Oxford, 1995.
10. Shevrin L. N., Ovsyannikov A. J. Semigroups and their subsemigroup lattices. Kluwer Dordrecht, 1996.
Статья поступила в редакцию 12 октября 2006 г.
