CC BY
17
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 17. Выпуск 4.
УДК 512.533.52 + 512.579 1)()1 10.22405/2226-8383-2016-17-4-65-78
ИНЪЕКТИВНЫЕ И ПРОЕКТИВНЫЕ ПОЛИГОНЫ НАД ВПОЛНЕ О-ПРОСТОЙ ПОЛУГРУППОЙ
И. Б. Кожухов (г. Москва), А. О. Петриков (г. Москва)
Аннотация
Гомологическая теория колец и модулей является одним из важных направлений алгебры. Она позволила ответить на многие вопросы теории колец. Наряду с этим и под большим влиянием теории колец стала развиваться гомологическая теория универсальных алгебр и, в частности, полугрупп и полигонов над ними. В этой теории исследуются понятия инъективного и проективного полигонов над полугруппами, понятия инъектив-ной оболочки и проективного накрытия. Как и в случае колец и модулей, инъективная оболочка существует у всякого полигона, а проективное накрытие не у всякого. В 1967 году П. Бертьём доказал существование инъективных оболочек произвольного полигона над полугруппой (без предположения о наличии в полугруппе единицы). Моноиды (т.е. полугруппы с единицей), над которыми любой полигон имеет проективное накрытие, изучал Дж. Исбелл. Гомологическую теорию моноидов развивал Л. А. Скорняков. Многие результаты этой теории вошли в известную монографию М. Кильпа, У. Кнауэра и А. В. Михалёва.
Для полугрупп сравнительно простого строения результаты гомологической теории могут быть существенно уточнены. Так, в 2012 году Г. Могаддаси описал инъективные полигоны и построил инъективные накрытия полигонов над полугруппой левых нулей в предположении сепарабельности полигона. И. Б. Кожухов и А. Р. Халиуллина описали инъективные и проективные полигоны над группами и полугруппами правых нулей, построили инъективные оболочки и проективные накрытия полигонов над этими полугруппами. Для полигонов над полугруппой левых нулей было снято условие сепарабельности полигонов.
Важным классом полугрупп, включающим в себя группы, полугруппы левых и правых нулей, прямоугольные связки, является класс вполне простых полугрупп, а также ещё более широкий класс вполне 0-простых полугрупп. В 2000 году А. Ю. Авдеев и И. Б. Кожухов описали все полигоны над вполне простыми и полигоны с нулём над вполне 0-простымн полугруппами. Это дало возможность дальнейшего исследования полигонов над этими полугруппами. И. Б. Кожухов и А. О. Петриков описали инъективные и проективные полигоны над вполне простыми полугруппами, тем самым обобщив результаты работ И. Б. Кожухова и А. Р. Халиуллиной, а также работы Г. Могаддаси. Были построены также инъективные оболочки и проективные накрытия полигонов над этими полугруппами.
В данной работе вышеупомянутые результаты о полигонах над вполне простыми полугруппами обобщаются на полигоны с нулём над вполне 0-простыми полугруппами. А именно, находятся необходимые и достаточные условия инъективности и проективности полигона с нулём над произвольной вполне 0-простой полугруппой, строятся инъективные оболочки и проективные накрытия произвольных полигонов с нулём над этими полугруппами. В частности, оказывается, что проективный полигон над произвольной вполне 0-простой полугруппой - это в точности 0-копроизведение свободного полигона и полигонов, изоморфных 0-минимальному правому идеалу полугруппы (рассматриваемому как правый полигон).
Ключевые слова', полигон над полугруппой, инъективный полигон, проективный полигон, вполне 0-простая полугруппа, инъективная оболочка, проективное накрытие.
Библиография: 15 названий.
INJECTIVE AND PROJECTIVE ACTS OVER A COMPLETELY
0-SIMPLE SEMIGROUP
I. B, Kozhukhov (Moscow), A, O, Petrikov (Moscow)
Аннотация
The homological theory of rings and modules is an important branch of algebra. It provided answers to numerous questions of the theory of rings. Along with the homological theory, another theory started to develop, also under significant influence of the theory of rings, which is the homological theory of universal algebras, and, in particular, of semigroups and acts over them. This theory analyses such notions as injective and projective acts over semigroups, injective hulls and projective covers. As in the case of rings and modules, the injective hull exists for every act, while the projective cover sometimes does not. In 1967 P. Berthiaume proved the existence of injective hulls of an arbitrary act over a semigroup (without the assumption of the presence of an identity in the semigroup). J. Isbell studied monoids (i.e. semigroups with an identity) over which every act has a projective cover. L. A. Skornyakov developed a homological theory of monoids. Many results of that theory were mentioned in the known monograph by M. Kilp, U. Knauer, A. V. Mikhalev.
For semigroups of a relatively simple structure the results of the homological theory can be significantly refined. For example, in 2012 G. Moghaddasi described injective acts and built injective hulls of acts over a left zero semigroup assuming the separability of the act. I. B. Kozhukhov and A. P. Haliullina described injective and projective acts over groups and right zero semigroups, built injective hulls and projective covers of acts over such semigroups. For acts over a left zero semigroup the condition of separability of acts was removed.
An important class of semigroups containing groups, left and right zero semigroups, rectangular bands is the class of completely simple semigroups, as well as the broader class of completely 0-simple semigroups. In 2000 A. Yu. Avdeyev and I. B. Kozhukhov described all acts over completely simple semigroups and acts with zero over completely 0-simple semigroups. It triggered further reasearch of acts over such semigroups. I. B. Kozhuhov and A. O. Petrikov described injective and projective acts over completely simple semigroups, thereby generalising the results of I. B. Kozhuhov and A. R. Khaliullina, and also the work of G. Mogaddasi. They built injective hulls and projective covers of acts over such semigroups.
In this paper the above-mentioned results concerning acts over completely simple semigroups
0
necessary and sufficient conditions of injectivity and projectivity of an act with zero over an 0
arbitrary acts with zero over such semigroups were built. It was established that a projective
00
0
0
injective hull, projective cover. Bibliography: 15 titles.
1. Введение
Гомологическая теория - важное направление общей алгебры, а в теории колец и модулей она занимает одно из центральных мест. Под большим влиянием теории колец и модулей создавалась гомологическая теория полугрупп и полигонов над ними. Целый спектр вопросов этой теории освещён в статье [1] и монографии [2].
Инъективности и проективности полигонов над полугруппами посвящены главы III и IV уже упоминавшейся монографии [2]. Бертьём в [3] доказал существование инъективных оболочек произвольного полигона над полугруппой (без предположении о наличии в полугруппе единицы). Проективное накрытие, как и в случае модулей над кольцами, существует не у
всякого полигона. Моноиды, над которыми любой полигон имеет проективное накрытие, изучал Исбелл (см. [2, гл. III, теорема 17.26]). Для полугрупп сравнительно простого строения могут быть описаны все инъективные и проективные полигоны над ними, а также построены инъективные оболочки и проективные накрытия полигонов. В работах [4] и [5] Могаддаси описал инъективные полигоны (в предположении сепарабельности полигона) и построил проективные накрытия полигонов над полугруппой левых нулей. В работе [6] были построены инъективные оболочки полигонов над полурешётками групп. В [7], [8], [9], [10] И. Б. Кожухов и А. Р. Халиуллина описали инъективные и проективные полигоны над группами и полугруппами правых нулей, построили инъективные оболочки и проективные накрытия полигонов над этими полугруппами. Для полигонов над полугруппой левых нулей было снято поставленное в [5] условие сепарабельности полигонов. Следует отметить, что основным средством для исследований в [9] послужило полученное в [11] описание полигонов над вполне простыми и вполне 0-простыми полугруппами. В работе [12] результаты из [9] были обобщены на полигоны над вполне простыми полугруппами.
Также отметим, что полигон над полугруппой является алгебраическим выражением автомата [13].
Для полугруппы 5 с нулём естественно рассматривать полигоны X с нулём такие, что
= х0 = 0 при всех 8 € Б, х € X. Цель настоящей работы — описать инъективные и проективные полигоны с нулём над вполне 0-простой полугруппой М°(С,1, Л, Р), построить инъективные оболочки и проективные накрытия произвольных полигонов с нулём над этой полугруппой.
2. Основные понятия. Предварительные результаты
Полигоном над полугруппой Б (или Б-полигоном) называется множество X, на котором действует полугруппа 5, т.е. определено отображение X х Б Д А, (х,8) Д Х8, удовлетворяющее условию х^вЬ) = (хв)Ь при х € X, в, Ь € Б. Полигон над полугруппой является алгебраическим выражением понятия автомата (см. [14]). При этом X — множество состо-Б
— это унарная алгебра; операциями являются умножения на элементы полугруппы. Понятие подполигона, гомоморфизма и другие понятия универсальной алгебра имеют в нашей работе обычный смысл.
Б
лишь {0} и Б, имеющая ненулевой примитивный идемпотент (т.е. минимальный относительно естественного порядка на множестве идемпотентов: е < / ^ е/ = /е = е). Хорошо известная теорема Сушкевича — Риса утверждает (см. [15, теорема 3.5]), что вполне 0-простые полугруппы — это в точности рисовские матричные полугруппы Б = М°(С,1, Л, Р) над группой с нулем С0 с сэндвич-матрицей Р = ЦрдгНлел ¿ел гДе € С0, причём в каждой строке и в каждом столбце матрицы Р обязаны присутствовать ненулевые элементы (см. [15, гл. 3]).
Полигон X над полугруппой Б называется инъективным, если для любого инъективного гомоморфизма а : М Д N полигонов над Б и любого гомоморфизма <р : М Д X существует гомоморфизм ф такой, что аф = (р (см. рис. 1; мы здесь и далее умножаем отображения слева направо).
Полигон X проективен (см. рис. 2), если для любого сюръективного гомоморфизма а : М ^ N Б-полигонов и гомоморфизма р : X ^ А, существует гомоморфизм ф : X ^ М такой, что фа = р.
Инъективной оболочкой полигона X называется минимальный инъективный полигон, содержащий X. Проективное накрытие полигона X — это проективный полигон Р(X) такой,
что существует сюръективный гомоморфизм Р(X) Д- А, но для любого собственного подпо-
м
N
X
а
Рис. 1: Инъективный полигон
Рис. 2: Проективный полигон
лигона Р\ С Р(X) ограничение не является сюръективным.
Отметим, что в данной работе рассматриваются лишь полигоны с нулём над полугруппой с нулём, поэтому в только что приведённых определениях все полигоны являются полигонами с нулём. Нетрудно видеть, что гомоморфизмы таких полигонов переводят нуль в нуль.
Пусть С — группа, Н — её подгруппа, не обязательно нормальная. Через С/Н мы будем обозначать множество правых смежных классов Нд, где д £ С. Нетрудно проверить, что Нд является полигоном над С относительно действия Нд ■ д' = Ндд'. Оказывается, С/Н — это общий вид любого унитарного циклического полигона над группой С. Впрочем, этот факт нам далее не понадобится.
Пусть 5 — полугруппа с нулём и X — полигон с нулём над Будем говорить, что X является О-копроизведением своих подполигонов Х.% (г £ /), если X = У{Х^|г £ I}, и ПХ^ = {0} при г = Этот факт мы будем записывать так: X = Ц
гв1
Приведём теорему из [11], описывающую все полигоны с нулем над вполне 0-простой полугруппой Б = М°(С, I, Л, Р).
Теорема 1. [11, теорема 4]- Пусть Б = М°(С, I, Л, Р), — вполне 0-простая полугруппа, X — множество, содержащее элемент 0,0;° = Ц (С/Н1) и {0} (С — группа, (Н1 )7ег _
тег
семейство её подгрупп). Пусть для каждого г £ I задано отображение Жг : X ^ 0;°, а для каждого А £ Л — от,обра,жение к\ : Q0 ^ X, причём 0лг = 0 0к\ = 0 = д ■ р^ при
д £ 0;°, г £ I, \ £ Л. Положим х ■ (д)г\ = (хъг ■ д)к\, х ■ 0 = 0 для всех х £ X. Тогда X будет являться полигоном, с нулём над полугруппой Б и наоборот, всякий полигон с нулём над Б изоморфен полигону, построенному таким способом.
Рассмотрим произвольный полигон X с нулём над вполне 0-простой полугруппой 5 = = (С, I, Л, Р). Для 7 £ Г положим = (С/Н~() и {0}. Тогда, очевидно, 0:° = Ц Для
тег
д £ положим Хя = £ Л} для 7 £ Г полагаем X(7) = и{Хд£ }.
Лемма 1. X— подполигон полигона X.
Доказательство. Пусть х £ X§ £ 5. Если 8 = 0, то хв = 0 £ XПусть 5 = (д)г\- Так как х £ Xто х = дк^ при некоторых д £ ц, £ Л. Имеем: хв = дкц ■ (д)г\ = (дкцЪг ■ д)кх = (д ■ р^ ■ д)к\ С кх С X□
Лемма 2. XП X^ = {0} при а = р.
Доказательство. Пусть х € X(а) п X(/3\ Тогда х = = д2ки при некоторых д\ € д2 € Q|3, у, V € Л. Умножив на такое что = 0 получим: = д2кит, т.е.
• Р^г = Я2 • Ри^ Отсюда д\ = д2РтР~1 € (^[3. Следовательно, д\ € П = {0}, а значит, х = = 0 □
Лемма 3. ХБ = Ц0X.
тег
Доказательство. Ввиду леммы 2 достаточно доказать, что ХБ = и ^(7)- Пусть х € ХБ.
тег
Если х = 0, то х е X(^ при всех 7. Пусть х = 0. Тогда х = х' • (д)ы при некоторых х' € X, (д)г\ € Б \ {0}. Имеем: х = (х'ж^ • д)к\ € Q X(7), если х'-Кг € Наоборот, пусть
х е Тогда х = дк\ при некотор ых д € X € Л. Найдём г € I такое, что = 0. Тогда Ж • (Р\1)^ = (Хжг • Р\1)К^ = • Р\1)КХ = (Я • РМ • Р\1)КХ = = Ж, Т.е. X € ХБ □
Лемма 4. гБ = XМ для всех г € X(^ \ {0}. Доказательство. Из леммы 1 следует, что
гБ С X
Пусть г' е X М. Если г' = 0, то х' € гБ. Пусть х' = 0. Имеем: г = дгк\, г' = д2кти при некоторых д\, д2 € \ {0} Л, у € Л. Тогд а д\ = д2 • д при некотором д € О. Нам осталось доказать разрешимость уравнения г' • (Ь)^ = г относительно Ь, ^ V. Преобразуем это уравнение: д2кти • (Ь^) = д\п\, или (д2к^ • Ь)пи = (д2 • д) к ил и • Ь)пи = (д2 • д)к\. Возьмём лю бое ] € I, для которого
Рм = 0) положим V = \ д = р^Ь. Тогда требуемое равенство выполняется. □ Из лемм 3 и 4 мы получаем следующее утверждение.
Предложение 1. Пусть X — полигон с нулём над вполне 0-простой полугруппой
■у Б ] причём, х1 € х1 Б
Б = М0(С,1, Л,Р). Положим А = X \ ХБ. Тогда X = А и Ц0х1 Б, причём, х1 € х1 Б при
тег
всех 7 € Г и хБ = х1Б при х € х1Б \ {0}.
3. Инъективные полигоны над вполне 0-простой полугруппой
В дальнейшем всюду Б будет обозначать вполне 0-простую полугруппу Б = М0(С, I, Л, Р), а X — полигон с нулём над Б. Для элемента х € X определим отображение шх : I Д Q0 формулой Шх = Х'Кг-
Теорема 2. Полигон, X с нулём над вполне 0-простой полугруппой Б = М0(С, I, Л, Р) является инъективным в том и только том случае, если для любого отображения ш : I Д 0;° существует элемент х € X такой, что ш = шх.
Доказательство. Необходимость. Пусть ш : I Д 0;° произвольное отображение. Добавим к полигону X элемент Ь и определим умножение его на элементы из Б следующим образом: Ь • 0 = 0, Ь • (д)^ = (ш • д)к\. Проверим, что тогда множество X и {6} будет Б-полигоном. Действительно,
(Ь^(д)а)^(Ь)^ = (ш•д)к\•(К)эр = ((ш•д)кхпз •Ь)к^ = (ш•д•рхз •Ь= Ъ^др^Ь)щ = ЬЦд)гх •(Ь
Естественное вложение а : X Д Xи {6}, очевидно, является инъективным гомоморфизмом полигонов. Так как X инъективен, то существует гомоморфизм р : X и {6} Д X такой, что аф = 1х- Пусть х = Ьф. Возьмём любое г € I и подберём Л € Л так, что бы = 0. Тогда для любого д € С будем иметь Ь • (д)г\ € X, поэтому (Ъ • (д)г\)Ф = Ъ • (д)гх- Отсюда получаем: (гш • д)к\ = Ь • (д)г\ = (Ь • (д)г\)ф = Ьф • (д)г\ = х • (д)г\ = (шх • д)к\. Так как инъективно, то ш • д = гшх • д, а значит, ш = шх. Ввиду произвольности элемента г получаем: ш = шх.
Достаточность. Очевидно, достаточно доказать, что для любого полигона Т' и его подпо-лигона Т С Т' всякая гомоморфизм р : Т ^ X продолжается до гомоморфизма р' : Т' ^ X.
Полигон Т представим в виде Т' = В' иц0 и(&), где В = Т \ ТБ, аТ 'в виде т' = в' и ц0 и'(&'\
ёеД &' еД'
где В' = Т'\Т'Б. При этом иБ = и (V для любого и € и(г) \{0} и и' Б = и'(&') при и' € и) \{0}. Кроме того, и € иБ, и' € и,'Б. Если и(г) П и'(ё ) = 0 для каких-либо 5 € А, 5' € А', то
и (*) = и'(&')
так как
= иБ = и'(*') для и € (и (*) П )) \ {0}. Следовательно, мы можем считать, что А С А'и Т' = В' и (Ц0и(6) и0 Ц0 и)).
беД &' еД'\Д
Напомним, что Ц и(г) = ТБ, Ц и) = Т'Б. Докажем, что В С В'. Пусть Ь € В, но ¿еД &' еД'
Ь € В'. Тогда Ь € Т'Б. Следовательно, Ь = шв при некоторых ш € Т', 8 € Б. Если Ь € ТБ, то Ь € В — противоречие. Следовательно, Ь € Т'Б \ ТБ. Так как 0 € ТБ, то Ь = 0, поэтому в = 0. Это влечёт существование элемента в' € 5 такого, что ее' = е. Отсюда получаем: Ь = шв = шее' = Ьв' € ТБ — противоречие.
Определим гомоморфизм р' : Т' ^ X, продолжающий р. Пусть у € Т'. Если у € Т, то полагаем ур' = ур. Пусть у € Т' \ Т. Если у € Т'Б \ ТБ, то полагаем ур' = 0. Таким образом, ур' = при у € Ц0 и(г) и ур' = 0 при у € и). Осталось определить ур' да я у € В'\В.
¿еД &' еД'\Д
Зафиксируем элемент у € В' \ В и построим по тему отображение ш : I ^ Q0. Возьмём г € /.Найдём А такое, что рхг = 0. Рассмотрим произведение у ■ (р-1)гх- Если у ■ (р-1)гх € Т, то полагаем гш = 0. Если у ■ (р-1)гх = и € Т, то положим гш = ирк^. Проверим корректность определения гш, т.е. независимость от выбора А. Пусть р^ = 0. Тогда {'Р—1)г\ ■ =
И (Р-1)щ ■ = > поэтому у ■ {р-^гх € Т ^ у ■ (р-^щ € ^^СТЬ У ■ {р-^гх = и € Т,
У ■ (р-1)щ = V € Т. Тогда
урщ = (у ■ (р-1)щ)ръг = (у ■ ^-^гх ' (Р-])щ)^г = ((У ' (Р-г1)гх)<Р ' ^Р-^щ^г = = (и(Р ' = (ирЩ ■ Р-^К^Щ = ирщ ■ р-1 ■ р^г = ирщ.
Отображение ш : I ^ 0;° построено.
По условию для этого отображения ш элемент х € X такой, что ш = шх. Положим
ур' = х.
Проверим, что р' : Т' ^ X — гомоморфизм. Пусть у € Т', 8 € Б. Если у € Т, то также ув € Т, и мы получаем: (ув)р1 = (ув)р = ур ■ в = у'р ■ в. ^усть у € Т' \ Т. При = 0 равенство (ув)р' = ур'■ в очевидно, поэтому будем считать, что в = (д)^. Найдем у, для которого р^ = 0. Рассмотрим вначале случай, когда у € Т'Б. Так как у € Т, то у € ТБ, поэтому у €
и (*')
при некотором 5' € А' \ А. Но в этом случае также ув € и\ а отачит, ур' = (уз)р' = 0. Отсюда (уз)р' = ур' ■
Осталось рассмотреть случай, когда у € Т'Б. Тогда у € В' \ В. Ранее мы доказывали, что для этого у можно построить отображение ш : I ^ ф0 и при некотором х € X мы будем иметь Ш = Шх\ кроме того, уф' = Х,у ■ (р-1)г^ = и € Т и ир^г = гш.
Если и € Т, то также у ■ (д)гх = У ■ (Р-1)г^ ' (9)гх € Т. Отсюда получаем:
(у ■ (д)1х)у' = (у ■ (р-1)щ ■ (д)1х)у' = (у ■ (р-1)щ) ■ (д)1х)у = (у ■ (р-1)щУ) ■ (д)1х = ир ■ (д)1Х = = (ирщ ■ д)пх = (гш ■ д)пх = (гшх ■ д)пх = х ■ (д)1Х = ур' ■ (д)1Х.
Наконец, пусть и € Т. Тогда и € Т'Б \ ТБ, а значит, и €
и (*') при некотором 5' € А' \ А. Но в этом случае также ив € Следовательно, ир' = (из)р' = 0, откуда
(У ■ (д)гх)^ = (У ■ ^Р-г^щ ■ (д)гх)^ = ^р' = 0
и
УР1 • (д)г\ = X • (д)г\ = х • (д)х = {хжг • д)кх = (шх • д)к\ = (ш • д)к\ = 0,
так как гш = 0 ввиду того, что у • (р—1)щ € Т. □
Теперь построим инъективпую оболочку произвольного полигона с нулём над вполне 0-простой полугруппой.
Теорема 3. Пусть X ^ полигон с нулём над вполне 0-простой полугруппой Б = = М°(С,1, Л, Р). Представ им X в виде X = А и АБ и Ц0 г7 Б. Для каждого х € X опре-
7вГ
делим отображение шх : I д 0;° по правилу шх = хжг. Пусть О - множество отображений ш : I д Q0 таких, ч то ш = шх ни при как ом х € X. Для каждого ш € О добавим, к полигону X элемент аш и определим, действие на, него элементов полугруппы Б следующим образом,: аш • 0 = 0, аш • (д)ы = (ш • д)к\. Тогда, Е(Х) = X и {аш 1ш € О} является полигоном, с нулём
над полугруппой Б и Е(Х) — инъективная оболочка полигона, X.
□
Замечание 1. Теоремы 2 и, 3 аналогичны теоремам 6 и 7 из [12], однако, для, вполне 0-простых полугрупп рассуждения более сложные.
4. Проективные полигоны над вполне 0-простой полугруппой
Следующее утверждение является аналогом предложения 17.1 из [2], фактически перенося утверждение с обычных полигонов на полигоны с нулём.
Лемма 5. О-копроизведение X = Ц ° Х^ полигонов с нулём над полугрупп ой с нулём Б
ге1
является проективным полигоном, в том и только том случае, если все Х^ проект,иены.
Доказательство. Определим отображения ^ : Хг д X, щ : X д Хг, полагая х(г = х,
\х, если х € Хг ..
Щ. = У _ Очевидно, и ^ — гомоморфизмы полигонов, причем ^Лг = при
10, если ж € Хг г
всех г € X. Поэтому, если X проективен, то все Хг проективны.
Осталось доказать обратное утверждение: что если все Хг проективны, то X проективен. Пусть а : А д В — сюръективный гомоморфизм полигонов с нулём А, В над полугруппой Б и р : X д В — произвольный гомоморфизм (см. рис. 3).
А ---* В
-ф' ■.
X
Рис. 3: Проективные полигоны Хг
Требуется найти гомоморфизм ф : X д А такой, что фа = р. Так как каждое Хг является проективным полигоном, то существует гомоморфизм фг : Хг д А такой, что ф^а = £гр. Положим теперь хф = ж^ при х € Х^. Так как X = У Х^, то мы действительно получим
отображение ф : X д А. Проверим, что ф — гомоморфизм. Пусть € Б, х € X. Если х = 0,
то равенство (хз)ф = хф ■ в очевидно. Пусть х = 0. Тогда х € Х^ \ {0} при некотором г € I. Кроме того, хз € Хг, поэтому (хз)ф = (хв)фг = хфг = хфг ■ 8 = хф ■ Осталось проверить, что фа = р. Пусть х € X. Тогда х € Х^ при некото ром г € /, и мы имеем хфа = хф^а = х^р = хр, то есть фа = р. □
Для дальнейшего нам понадобится ещё одно представление произвольного полигона с нулем над полугруппой Б = М0(С, I, Л, Р).
Предложение 2. Пусть X — полигон с нулём над вполне 0-простой полугруппой Б = М0(С,1, Л,Р), А = X \ ХБ, 2 = (ХБ \ АБ) и {0}. Тогда:
(г) А и — подполигон;
(п) 2 — подполигон, причем 2 = Ц0х^Б для некоторых х^ € 2 \ {0};
тег
(Ш) X = (А и ) и0 Ц0
тег
Доказательство. Утверждение очевидно. Пусть г € 2, в € Б. Если хв = 0, то хв € 2. Пусть теперь хз = 0. Тогда г = 0, поэтому г € ХБЕсли хз € АБ, то хз = аЬ при некоторых а € А,1 € Б. Так как г € ХБ, то г = хи, при некотором и € Б. Так как хиз = хз = 0, то из = 0, поэтому од ном ^-классе полугру ппы Б. Следовательно, изз' = и при некотором
в'Б. Отсюда получаем: г = хи, = хизз' = хзз' = аЪ^ € АБ, что противоречит выбору элемента г. Таким образом, хз € ХБ \ АБ, а значит, 2 — подполигон.
Введём на множестве 2\{0} = ХБ\ АБ отношение полагая г ~ х' ^ х' € хБ. Проверим, что ~ — отношение эквивалентности. Пусть х' = Так как г € ХБ, то х = хЬ при некоторых х € X, £ € Б. Имеем: х' = хз = хЬв, следовательно, Ьв = 0 а значит, Ьвв' = £ при некотором з' € Б. Это влечет, что х'в' = хзз' = хЬв^ = хЬ = х. Тем самым доказана симметричность отношения Далее, так как £ € 5, то Ы' = £ при некотором € Б. Отсюда х^ = хИ' = х1 = х, что доказывает рефлективность отношения Транзитивность этого отношения очевидна. Таким образом, ~ — отношение эквивалентности.
Так как ~ — отношение эквивалентности на множестве ХБ \ АБ, то это множество разбивается на классы эквивалентности: ХБ\ АБ = У К^. Выберем в каждом классе К7 по одному
тег
представителю х^. Тогда получим: х^Б = К7 и {0}. Отсюда видно, что 2 = Ц0г7Б. Тем самым
тег
доказано (и). Наконец, так как 2П (Аи ) = {0}, то мы имеем разложение X = (Аи ) и0 2, □
Для полугруппы Б = М0(С,1, Л, Р) и г € / положим Кг = {0} и {(д)гх1д € С, А € Л}.
Очевидно, Щ — правый идеал полугруппы 5 и одновременно правый модуль с нулем.
Напомним, что правый идеал К полугруппы 5 с нулём называется 0-простым, если он не
содержит правых идеалов, отличных от 0 и Д. Полигон У с нулём над полугруппой 5 с нулём
называется 0-простым, если он не содержит подполигонов, отличных от 0 и У.
Очевидно, Яг — 0-простой правый идеал полугруппы Б = М0(С,1, Л, Р) и одновременно
0-простой подполигон полигона Б^ Кроме то го, г Б = Щ для любо го г € Щ \ {0}. Также ясно,
что имеет место разложение полигона Бз в 0-копроизведение полигонов: 5 = Ц0Щ.
ге1
Лемма 6. Для полугруппы Б = М0(С,1, Л,Р) имеет место изоморфизм Б-полигонов: Кг = К^ при любых г, ] € I.
Доказательство. Возьмем какое-либо А € Л и положим щ = (е)г\, и^ = Тогда
щБ = Щ, изБ = Ку Определим отображение р : Кг ^ по формуле (щз)р = и^в (в € 5). Докажем корректность этого определения. Очевидно, (щ,и^) € поэтому щ = и^ =
при некоторых ¿1, ¿2 € Б. Отсюда видно, что щв = и$ ^ = и^£ при всех Ь € Б. Это доказывает, что р определено корректно и является взаимно однозначным отображением Щ на Ку Нетрудно проверить, что р — гомоморфизм 5-полигонов. Следовательно, Щ = Ру □
Замечание 2. Как полугруппы Щи К^ могут не быть изоморфны. Необходимое и достаточное условие их изоморфизма дает следующее утверждение.
Предложение 3. Полугруппы Щи К^ изоморфны в том и только том случае, если выполнено условие |{А|рлг = 0}| = |{А|рл^ = 0}|.
Доказательство. Хорошо известно, что идемпотенты полугруппы Б = М0(С,1, Л,Р) — это в точности элементы вида (р-1)^ Для Рм = 0 Таким образом, множество Лг = {\1рм = 0} находится во взаимно однозначном соответствии с множеством идемпотентов полугруппы Щ.
Докажем необходимость условия предложения. Если полугруппы Щ ш К^ изоморфны, то мощность множества идемпотентов у них одна и та же. Следовательно, |Л^| = 1Л^|.
Теперь докажем достаточность. Пусть |Л^| = |Лj|. Тогда существует взаимно однозначное отображение <р : Л д Л такое, что Л^ = Лу Построим отображение Ф : Щ д Щ, полагая 0Ф = 0 (д)г\Ф = (ЗРмР-ф, 1 Рм = 0 (д)^Ф = (д)з,\^Щ>ъ Рм = 0. Нетрудно проверить,
что Ф — изоморфизм полу групп Щи Ку □
Лемма 7. Щ = {0} и {(g)í\|g € С,Х € Л} — проективный полигон над полугруппой Б = М0(С,1, Л,Р).
Доказательство. Найдём элемент г € К такой, что г = г2 = 0. Тогда Щ = гБ. Пусть а : М д N — сюръективный гомоморфизм 5-полигонов и р : Щ д N — произвольный гомоморфизм. Пусть гр = п. Так как а сюръективно, то та = п при некотором т € М. Определим отображение ф : Щ д М по правилу (г,в)ф = тгв. Очевидно, ф определено корректно и является гомоморфизмом. Имеем: (гв)фа = (тгв)а = та • гв = п • гв = гр • гв = = (г • гв)р = (гв)^. Следовательно, фа = р. Таким образом, Щ проективен. □
Лемма 8. Пусть X ^ полигон с нулём над вполне 0-простой полугруппой Б = М0(С, I, Л, Р); А = X\ХБ и г € ХБ\АБ. Полигон гБ проективен в том и только том случае, если для любых г € I, ц, € Л д> Н € С имеет место импликация, г•(д)г\ = = 0 ^ д = НЛ\ = ц,.
Доказательство. Необходимость. Пусть гБ проективен. Так как г € ХБ, то г = х1 при некотором £ € Далее, существует г € Б такое, что Ьг = Отсюда гг = г. Следовательно, г = 0. Очевидно, г € Щ \ {0} при некотором г € I, а значит, Щ = гБ. Построим отображение <р : Щ д гБ по правилу (г,в)р = гз. Это правило корректно, так как, если гв = г', то ггв = ггв', т.е. гв = гв'. Очевидно, р — гомоморфизм. Так как полигон гБ проективен, то существует гомоморфизм ф такой, что фр = Отсюда видно, что ф инъективен.
Пусть г • (д)гХ = % • (Ь)щ = 0. Так как ф инъективен, то (г • (д)г\)Ф = (г • (Н)г^)'ф = 0. Если гф = га, то мы имеем ги • (д)^ = ги • (К)щ = 0. Так как ги = 0, то ги = (с)^ при некоторых с € С, к € I, V € Л. Но (с)ки • (д)гХ = (с)ки • (Ь)г^ = 0 влечёт равенства д = Н, \ =
Достаточность. Пусть выполнена импликация г • (д)^ = г • (НН)щ = 0 ^ д = Н Л Л = у,. Так как г € ХБ \ А^о г = при некоторых ж € X, í € Так как г € А^о г = 0, а значит, £ = 0. Поэтому И' = £ при некотором € Б \ {0}. Имеем: г^ = хЫ' = хЬ = г. Так как = 0, то = (с)ки при некоторых с € С, к € I, V € Л Итак, г • (с)ки =
Построим отображение р : Щ д гБ, полагая ((с)ки$)<Р = при в € Б. Если (с)ки$ = (с)ки^ при каких-либо в, Ь € Б, то (с)ки8 = (с)киЪ т.е. гв = гЬ, что доказывает корректность определения у. То, что р — гомоморфизм, очевидно. Докажем, что р взаимно однозначно. Нам достаточно доказать лишь инъективность отображения у. Пусть гв = гЬ = 0. Тогда г(с)ки« = г(с)к„£ = 0. Это означает, что (с)к„в, (с)ки € Щ \ {0^. То есть (с)к„в = (д)к\,
(с)киt = (Н)к^- Имеем: г ■ (д)к\ = % ■ (Н)к^ = 0 Отсюда то условию леммы д = Н, А = ц.. Таким образом, (с)ки« = (с)киПусть Х8 = 0. Если (с)ки« = 0, то (с)ки« € Як \ {0}. Тогда (с)киев' = (с)ки при некотором в' € 5, и мы получим: г = г(с)ки = ¿(с)киев' = гвв' = 0 — противоречие. Таким образом, (с)ки8 = 0. Мы доказали, что ф инъективно. Следовательно, ф — изоморфизм. Мы имеем: хБ = Кк (как 5-полигоны). По лемме 7 Кк — проективный полигон. Следовательно, полигон хБ также проективен. □
Теперь мы можем доказать основной результат этого параграфа.
Теорема 4. Пусть X ^ полигон с нулём над вполне 0-простой полугруппой Б = = М0(С,1, Л,Р), А = X \ ХБ, 2 = (ХБ \ ) и {0}. Полигон X проективен в том и только том случае, если выполняются условия:
(г) для любых а, Ь € А и в, £ € Б имеет место импликация
ав = Ы ^ ((з = г = 0) V (а = Ь) Л (8 = г));
(п) для, любого г € 2 \ {0} любых г € I, А, € Л; д, Н € С имеет место импликация,
Z ■ (д)г\ = г ■ (К)щ = 0 ^ ((д = Н) Л (А = р)).
Доказательство. Необходимость. Пусть X проективен. Тогда, согласно предложению 2 (Ш) и лемме 5 полигон А и АБ также проективен. Возьмем какое-либо множество и, находящееся во взаимно однозначном соответствии с множеством А. Можно считать, что и = {и^а € А} и соответствие а ^ иа взаимно однозначно. Пусть Р(и) — свободный полигон с нулём с множеством свободных образующих и, т.е. Р(и) — множество формальных выражений вида иа, иа8, 0 (где иа € и, в € Б \ {0}). Отображение иа ^ а для а € А продолжается до гомоморфизма а : Р (и) ^ А и АБ. Так как А и АБ — проективный полигон та — сюръективный гомоморфизм, то существует гомоморфизм ф : А и АБ такой, что фа = 1аоАЗ (см. рис. 4). Имеем: афа = а для любого а € А Так как а € ХБ,то аф € ^(и)Б. Это означает, что аф € и.
^(и) ---- А и АБ
>. у*
'ф ' ■ . _ ^^ 1лилв
А^АБ
Рис. 4: Проективный полигон А и АБ
То есть аф = для некоторого отображенпя £ : А ^ А Так как отображение ф инъективно, то £ также инъективно. Пусть а8 = Ы для некоторых а,Ь € А, в, Ь € Б. Тогда (а8)ф = (Ы)ф, а значит, иа£ 8 = ¿.Так как Р (и) — свободный полигон с нулём, то такое равенство возможно лишь в следующих случаях: а) 8 = Ь = 0, б) 8 = Ь = 0, = В случае б) получаем ввиду инъективности что а = Ь. Тем самым доказано (1).
Лемма 5 и предложение 2 показывают, что 2 — проективный модуль, а так как 2 = Ц0г^Б,
тег
то г-1 Б также проективны. Пусть г € 2 \ {0}. Тогд а г € Б \ {0} при некото ром 7. Нетрудно видеть, что тогда хБ = х^Б. Таким образом, полигон хБ — проективный. По лемме 8 мы получаем теперь условие (п).
Достаточность. Пусть теперь выполнены условия (¿) и (п). Условие (¿) показывает, что полигон А и АБ является свободным полигоном с нулём с множеством свободных образующих
А Каждое Б является проективным 5-полигоном ввиду (и) и леммы 8. По лемме 5 мы получаем теперь, что X — проективный полигон. □
Следствие 1. Полигон с нулём X над вполне О-простой полугруппой Б = М0(С,1, Л,Р) проект,ивен в том и только том случае, если X изоморфен О-копроизведению свободного полигона и полигонов Щ. (При этом количество свободных образующих и количество полигонов Кг в О-копроизведении могут быть рапвны, 0).
Только что доказанная теорема 4 является обобщением теоремы 13 из [12], в которой описаны проективные полигоны (не обязательно имеющие нуль) над вполне простой полугруппой 5 = М(С, I, Л, Р). Вначале установим связь между проективностью полигонов над полугруппами и полигонов с нулём над полугруппами с нулём. Пусть X — полигон над полугруппой (Полугруппа 5 произвольная, необязательно вполне простая или вполне 0-простая). Положим X0 = X и {0} 5ю = Б и {0} и потребуем выполнения равенств х ■ 0 = 0 ■ в = 0 ■ 0 = 0 (х € X, в € Б). Тогда X0 будет полигоном с нулём над полугруппой с нулём б*0.
Лемма 9. Пол,игон, X над полугруппой, Б проект,ивен, в том и только том случае, если полигон с нулём X0 над полугруппой с нулём Б0 является проективным.
Доказательство. Необходимость. Предположим, что X проективен. Пусть М, N — полигоны с нулём над полугруппой а : М д N — сюръективный гомоморфизм и р : X0 д N — произвольный гомоморфизм (см. рис. 5).
М -- N
У
ф ■.
X 0
Рис. 5: Проективный полигон X0
Надо найти ф : X0 д М такой, что фа = р. Пусть р' = <р\х- Полигоны с нулём М и N будем рассматривать как полигоны над Так как X проективен, то существует гомоморфизм ф' : X д М такой, что ф'а = р1. Продолжим гомоморфизм ф' : X д М до гомоморфизма ф : X0 д М, полагая 0ф = 0. Тогда получим, что ф — гомоморфизм полигонов с нулём и фа = ^.Следовательно, X0 проективен.
Достаточность. Предположим, что X0 проективен. Пусть М, N — полигоны над Б, а : М д N — сюръективный гомоморфизм и р : X д N — произвольный гомоморфизм. Для полигонов с нулём рассмотрим сюръективный гомоморфизм а0 : М0 д Ы0 и гомоморфизм р0 : X0 д Ы0 (считаем, что 0а0 = 0р0 = 0). Так как X0 — проективный полигон с нулём, то существует гомоморфизм ф0 : X0 д М0 полигонов с нулём такой, что ф0а0 = (р0. Пусть ф = ф0^ — ограничение ф0 на X. Проверим, что Хф не содержит 0 полигона М0. Действительно, если х = 0 и хф0 = 0, то хр> = хф а = 0, что невозможно. Таким образом, ф является гомоморфизмом X д М, и мы имеем фа = р. Это доказывает проективность полигона X. □
Теперь теорема 13 из [12] может рассматриваться как следствие теоремы 4 и леммы 9 настоящей работы.
Теорема 5. ( [12], теорема 13). Пусть X — полигон над вполне простой полугруппой Б = М(С, I, Л, Р), А = X \ ХБ, Z = ХБ \ АБ. Полигон X проект,ивен, в том и только том случае, если, выполняются условия:
(г) для любых а, Ь € А и в, £ € Б имеет место импликация а,в = Ы ^ а = Ъ Л в =
(И) для любых z G Z, г G I, g, h G G, А, ц, G Л имеет, место импликация,
Z • (g)i\ = Z • (h)i^ ^ д = h Л Л = ц..
В заключение построим проективное накрытие произвольного полигона X с нулём над вполне 0-простой полугруппой S = M°(G,I, Л, Р). Пусть X — такой полигон. Ранее мы видели, что X = (A U ) и0 Ц°z1 S, где z1 G XS \ AS. Пусть U = {иа\а G А} множество,
тег
находящееся во взаимно однозначном соответствии а ^ иа с множеством А. Обозначим через F(U) свободный полигон с нулём над S, т.е. множество формальных выражений вида иа, uas (a G A, s G S \ {0}), 0. Напомним, что R¿ = {(g)i\\g G G,A G Л} для i G I.
Теорема 6. Пусть X ^ произвольный полигон с нулём над вполне 0-простой полугруппой S = M°(G,I, Л, Р). Тогда поли гон Р (X) = F (U) U° ]J° Ri вместе с гомоморфизмом
тег
uas ^ as (s G S1, где Sl = S U {1}j, r1 s ^ z1 s (s G S, r1 G Ri — такой элемент,, что z-¡r1 = z-y) задают проективное накрыт,ие полигона, X.
Доказательство. Тот факт, что полигон Р(X) проективен, показывает следствие из теоремы 4. Найдём элементы г^. Возьмём элемент z^. Используя уеловие z7 G XS, мы ранее показывали, что z-y • s = z-y при некото ром s G S \ {0}. Пусть s = (g)j\- Найдём такое г G I, что pXi = 0. Тогда (g)jx • (p-¡)i\ = (g)jx, поэтому z7 • (p-l)i\ = z~(. Полагаем r1 = (p-¡)i\. Отображение fi : P(X) ^ X теперь выглядит так: = 0 (uas)fi = as (s G Sr1 s = z1 s (s G S). Докажем корректность определения отображения fi. Пусть r1 s = r11. Тогда z1 • r1 s = z1 • r1t, а значит, z-¡s = z-¡í. Тот факт, что fi — гомоморфизм, проверяется непосредственно. Осталось проверить, что fi — минимальный сюръективный гомоморфизм. Пусть Р\ — подполигон полигона Р(X) ж Р\ = Р(X). Если U С Р\, то при некотором a G А мы имеем иа G Pi- Проверим, что тогда a G PiP- Действительно, если а = yfi при некотором у G Р\, то так как a G XS, то у G Р(X)S, поэтому у = щ при некотором b G А Таким образом, а = = Ь. Следовательно, у = иа,т.е. иа G Pi — противоречие. Нами доказано, что U С Pi.
Возьмём любое 7 G Г Так как fi\p1 сюръективно, то z1 = yfi при некотором у G (Ri)-y П Р1; здесь (Rí)j — экземпляр полигона Ri, который имеет номер J (j G Г). Имеем: у = г7s при некотором s G S. Так как z7 = 0, то у = 0, поэтому ys' = г^ при подходящем s' G S. Таким образом, г7 G Pis' С Pi. Итак, г7S С Pi при всех 7 G Г. Ранее мы видели, что U С Pi, а значит, U U US С Pi. В результате получаем Р(X) С Pi. Это противоречит тому, что Pi — собственный подполигон полигона Р(X). □
5. Заключение
В данной работе получено полное описание инъективных и проективных полигонов с нулём над вполне 0-простой полугруппой, построены инъективные оболочки и проективные накрытия произвольных полигонов с нулём над вполне 0-простой полугруппой.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Скорняков Л. А. Гомологическая классификация моноидов // Сиб. мат. журн., 1969. Т. 10, No. 5. С. 1139-1143.
2. Kilp \!.. Knauer U., Mikhalev A.V. Monoids, acts and categories // Berlin: Walter de Gruvter, 2000. 529 p.
3. Berthiaume P. The injective envelope of S-sets // Canad. Math. Bull., 1967. Vol. 10. P. 261-273.
4. Ebrahimi \!.. Mahmoudi М., Moghaddasi Gh. Injective hulls of acts over left zero semigroups // Semigroup Forum, 2007. Vol. 75, No. 1. P. 212-220.
5. Moghaddasi Gh. On injective and subdirectlv irreducibleS-acts over left zero semigroups // Turk J. Math., 2012. Vol. 36. P. 359-365.
6. Kim J. P. Injective hulls of S-svstems over a Clifford semigroup / J. P. Kim, Y. S. Park // Semigroup Forum, 1991. Vol. 43. No. 1. P. 19 2!.
7. Халиуллина A. P. Конгруэнции полигонов над полугруппами правых нулей. // Чебыш. сборник, 2013. Т. 13., Вып. 4. С. 142-146.
8. Халиуллина А. Р. Условия модулярности решётки конгруэнций полигона над полугруппой правых и левых нулей // Дальневост. матем. журн., 2015. Т. 15., No. 1. С. 102-120.
9. Кожухов И. Б., Халиуллина А.Р. Инъективность и проективность полигонов над сингулярными полугруппами // Электронные информационные системы, 2014. Т. 2., No. 2. С. 45-56.
10. Кожухов И. Б, Халиуллина А.Р. О решётках конгруэнций полигонов над прямоугольными связками // Сб. научн. трудов МП'-) Г. поев. 70-летию А.С. Поспелова. \!.. МП'-) Г. 2016. Т. 2., No. 2. С. 75-82.
11. Avdevev A. Yu, Kozhukhov I.В. Acts over completely 0-simple semigroups // Acta Cvbernetica, 2000.'V. 14., No. 4. C. 523-531.
12. Кожухов И. Б Петриков А.О. Инъективность и проективность полигонов над вполне простыми полугруппами // Фундаментальная и прикладная математика (в печати).
13. Лаллеман Ж. Полугруппы и комбинаторные приложения. // М.: Мир, 1985. 439 с.
14. Плоткин Б. И, Гринглаз Л.Я., Гварамия А.А. Элементы алгебраической теории автоматов // Москва: Высш. шк., 1994. 192 с.
15. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп // Москва: Мир, 1972. Т. 1, 2. REFERENCES
1. Skornvakov, L. А. 1969, "A homological classification of monoids" , Svberian mat. zhurnal, vol. 10, no. 5, pp. 1139-1143.
2. Kilp, M.. Knauer, U. k, Mikhalev, A. V. 2000, "Monoids, acts and categories" , Berlin, Walter de Gruvter, 529 pp.
3. Berthiaume, P. 1967, "The injective envelope of S-sets" , Canad. Math. Bull., vol. 10, pp. 261273.
4. Ebrahimi, M.. Mahmoudi, M. M. k, Moghaddasi A. Gh. 2007 "Injective hulls of acts over left zero semigroups" , Semigroup Forum, vol. 75, no. 1, pp. 212-220.
5. Moghaddasi, Gh. 2012, "On injective and subdirectlv irreducible S-acts over left zero semigroups" , Turk J. Math., vol. 36, pp. 359-365.
6. Kim, J. P. k, Park, Y. S. 1991, "Injective Hulls of S-svstems over a Clifford Semigroup" , Semigroup Forum, vol. 43, no. 1, pp. 19 2 I.
7. Haliullina, A. R. 2013, "Congruences of acts over right zero semigroups" , Chebvsh. sbornik, vol. 13, issue 4, pp. 142-146.
8. Khaliullina, A. R. 2015, "Conditions of the modularity of the lattice of a congruence act over a left and right zero semigroup" , Dalnevostochniv mat. zhurnal, vol. 15, no. 1 pp. 102-120.
9. Kozhuhov, I.B. к Haliullina, A. R. 2014, "Injectivitv and projectivitv acts over singular semigroups" , Elektronnve informatsionnve sistemv (Electronic Information Systems), vol. 2, no. 2, pp. 45-56.
10. Kozhukhov, I.B. к Haliullina, A. R. 2016, "Considering lattices of congruences of acts over rectangular bands" , Sbornik navchnih trudov MIET, posvvashenniv 70-letivu A. S. Pospelova, Moscow , vol. 2, no. 2, pp. 75-82.
11. Avdevev, A. Yu. к Kozhukhov, I. B. 2000, "Acts over completely 0-simple semigroups" , Acta Cvbernetica, vol. 14, no. 4, pp. 523-531.
12. Kozhukhov, I.B. к Petrikov, A.O. 2016, "Injectivitv and projectivitv of acts over completely simple semigroups" , Fundamentalnava i prikladnava matemetika (Fundamental and Applied Mathematics), (in publishing).
13. Lalleman, G. 1985, "Semigroups and combinatorial applications" , Moscow, Mir, pp. 439.
14. Plotkin, В. I., Gringlaz, L. Ya. к Gvaramiva, A. A. 1994, "Elements of an algebraic theory of automata", Moscow, Vysshava shkola, 192 pp.
15. Clifford, А. к Preston, G. 1972, "The Algebraic Theory of Semigroups" , Moscow, Mir, vol. 1, pp. 283.
Национальный исследовательский университет "Ml Г-) Г"
Поступило 06.10.2016 г.
Принято в печать 12.12.2016 г.
