Решетка регулярных подполугрупп регулярной полугруппы Текст научной статьи по специальности «Математика»

Тянь Чжэньцзи

РЕШЕТКА РЕГУЛЯРНЫХ ПОДПОЛУГРУПП РЕГУЛЯРНОЙ ПОЛУГРУППЫ

1. Введение и предварительные сведения

В работе [1] Джонстон и Джонс изучали решетку полных регулярных подполугрупп регулярной полугруппы. Кроме того, Джонстон [2] исследовал разложения решеток регулярных подполугрупп локально инверсных или Е-солидных регулярных полугрупп. (Полугруппа Б называется локально инверсной, если для любого идемпотента е полугруппы Б множество еБе представляет собой инверсную полугруппу. Полугруппа Б называется Е-солидной, если из того, что еС/Яд для некоторых идемпотентов е, /, д полугруппы Б, следует, что существует такой идемпотент Н полугруппы Б, что еЯНСд). В настоящей работе мы рассматриваем множество всех регулярных подполугрупп произвольной регулярной полугруппы.

Для любого подмножества А произвольной полугруппы Б мы обозначаем через Еа множество идемпотентов, содержащихся в А, через (А) —подполугруппу, порожденную А, а через Бэд(А) — множество всех регулярных элементов, принадлежащих А, то есть И^(А) = {х € А | хух = х для некоторого у € А}.

Для полугруппы Б обозначим через С(Б) решетку всех подполугрупп Б. Если Б — регулярная полугруппа, то СК(Б) будет означать множество всех регулярных подполугрупп Б (включая пустую подполугруппу), а СЕ (Б) — множество полных регулярных подполугрупп полугруппы Б (то есть таких подполугрупп, которые содержат все идем-потенты из Б).

Если Б — регулярная полугруппа, то СК(Б) является частично упорядоченным множеством относительно отношения включения. В нем есть наибольший элемент — сама полугруппа Б, и наименьший элемент — пустая полугруппа 0.

Лемма 1.1 (теорема 2.11 из [3]). Пусть Б —регулярная полугруппа и пусть А — подмножество Б, содержащее вместе с каждым элементом некоторый инверсный к нему элемент. Тогда пересечение Т всех регулярных подполугрупп Б, содержащих А, является наименьшей регулярной подполугруппой Б, содержащей А.

В условиях леммы 1.1 мы будем обозначать наименьшую регулярную подполугруппу Б, содержащую А, существование которой утверждается этой леммой, через ((А)). В частности, регулярная подполугруппа ((X)) определена для любого подмножества X множества Е^ всех идемпотентов полугруппы Б.

Лемма 1.2 (теорема 14 из [4]). Пусть X — любое множество идемпотентов полугруппы Б.

(1) Регулярная подполугруппа полугруппы Б, такая что множество всех содержащихся в ней идемпотентов совпадает с X, существует тогда и только тогда, когда полугруппа (X) регулярна, и множество ее идемпотентов совпадает с X.

(2) Если (X) —регулярная подполугруппа Б, и множество ее идемпотентов совпадает с X, то среди регулярных подполугрупп полугруппы Б, множество идемпотентов которых совпадает с X, есть наибольшая.

© Тянь Чжэньцзи, 2007

Напомним несколько элементарных фактов теории решеток (см., например, [5]).

Лемма 1.3. Пусть Р —частично упорядоченное множество с наименьшим и наибольшим элементами. Если у каждого подмножества Р есть наименьшая верхняя граница, то Р — полная решетка.

Лемма 1.4. Пусть Ь — решетка, и пусть вг (г € I) — такое семейство конгруэнций на Ь, что Д вг = 0. Тогда решетка Ь изоморфна подпрямому произведению решеток

геТ

По поводу обозначений и терминологии, которые здесь не приведены, см. [6], [7].

2. Операции в решетке СЯ(Б)

Комбинируя леммы 1.3 и 1.1, получим следующее утверждение.

Теорема 2.1. Пусть Б —регулярная полугруппа. Тогда СК(Б) — полная решетка.

Доказательство. Пусть {Лі | і Є І} — любое подмножество £Я(Б). Очевидно, У Лі — подмножество Б, в котором для каждого элемента есть хотя бы один инверсный

ІЄІ

к нему элемент. Следовательно, по лемме 1.1 определена наименьшая регулярная подполугруппа ((У Лі}}, содержащая У Лі, и \/ Лі = ((У Лі}}. Это показывает, что для

каждого подмножества множества СК(Б), упорядоченного включением, есть наименьшая верхняя граница. Поскольку в СК(Б) есть наибольший элемент Б и наименьший элемент 0, по лемме 1.3 СК(Б) является полной решеткой.

Как хорошо известно, операция Л в решетке С (Б) совпадает с теоретикомножественным пересечением. Если Б — регулярная полугруппа, то, как показывает теорема 2.1, множество СК(Б) регулярных подполугрупп полугруппы Б тоже является решеткой. Но как показано в [1], пересечение двух регулярных подполугрупп регулярной полугруппы не обязательно само является регулярной полугруппой. Например, пусть

Б = М°({0,1}, {е}, {0,1, 2}; Р) и пусть Л = М°({0,1}, {е}, {0,1}; С) и В = М°({0,1}, {е}, {1, 2}; Д), где {е} — единич-

не является регулярной полугруппой. Решеточным же пересечением А Л В в СД(Б) на самом деле служит одноэлементная полугруппа М0({1}, {е}, {1}; (е)).

Мы будем использовать символ «Л» исключительно для обозначения решеточной операции пересечения в СД(Б); для аналогичной операции в решетке С(Б) мы всегда будем использовать знак «П», поскольку, как было отмечено выше, эта операция совпадает с теоретико-множественным пересечением.

ь/Єі (і є і).

ная группа, а

Полугруппы Л, В — регулярные подполугруппы Б; но их пересечение

Л П В = М°({0,1}, {е}, {1}; (0 е))

Лемма 2.2. Пусть S —регулярная полугруппа. Тогда для любых A, B £ LR(S) выполняется соотношение

A Л B = Reg(A П B).

Доказательство. Очевидно, Reg(A П B) —наибольшее подмножество множества A П B, которое вместе с каждым своим элементом содержит хотя бы один инверсный к нему. По лемме 1.1 ((Reg(A П B)}} является наименьшей регулярной подполугруппой S, содержащей Reg(A П B); в частности, ((Reg(A П B}} С A и ((Reg(A П B}} С B. С другой стороны, поскольку ((Reg(AПB}} С AПB, мы получаем, что ((Reg(AПB}} С Reg(AПB). Итак, ((Reg(A П B}} = Reg(A П B).

Пусть теперь C — любая регулярная подполугруппа S, такая что C < A и C < B. Тогда C С A П B, и C С Reg(A П B), поскольку C — подмножество A П B, содержащее вместе с каждым своим элементом хотя бы один инверсный к нему элемент. Тем самым A Л B = Reg(a П B).

Следствие 2.3. Пусть S — регулярная полугруппа, и пусть A, B — любые регулярные подполугруппы S. Тогда Reg(A П B) — регулярная подполугруппа S.

Теоретико-множественное пересечение двух полных регулярных подполугрупп регулярной полугруппы S — снова полная регулярная подполугруппа S. Следовательно, для регулярной полугруппы S решетка LF(S) —полная подрешетка LR(S).

3. Разложение решетки LR(S)

Пусть S — регулярная полугруппа; обозначим через LC(Es) множество всех подмножеств X множества Es , таких что ((X}} —регулярная подполугруппа, множество идемпотентов которой совпадает с X (пустое множество тоже включается в LC(Es)).

Лемма 3.1. Если S — регулярная полугруппа, то LC(Es) — полная решетка относительно операций

f\Xi =П Xi и \JXi = E<(ux,»,

iel iel iel *ei

где Xi (i £ I) — произвольные множества из LC (Es ).

Доказательство. Из лемм 1.3 и 1.1 ясно, что LC(Es) —полная решетка, и что

У Xi = Е(( uXi)). Покажем что Д Xi = ПXi. Действительно, поскольку (( р| Xi}} С

iel iel iel iel iel

((Xi}} для любого i £ I, мы получаем, что Е(( рxi)) С E((x,)), и значит, Е(( рxi)) С

iel iel

р| E^x,)). Но E^xi)) = Xi для каждого i £ I, поэтому Е(( рxi)) С p| Xi. Обратное

iel iel iel

включение Е(( px,)) 2 П Xi очевидно. Итак, Е(( рx,)) = П Xi, откуда немедленно по-

iel iel iel iel

лучается нужный результат.

Лемма 3.2. Пусть S — регулярная полугруппа. Для любых Ai £ LR(S), i £ I, выполняются соотношения

(1) Е /\Ai = П ЕА,;

iel iel

(2) ((Е^}} = VPA}}.

iel iel

Доказательство .

(1) Ясно, что надо показать только, что р| Ед. С Е д д.. Предположим, что е £

ге! ¿е1

р| Ед.. Тогда е £ р| Лг, и потому {е} = ((е)) < Лг для всех г £ I, откуда следует, что ге! ге!

((е)) < Д А*, и потому е £ Е да. . ге! .е1

(2) Пусть К = \/ ((Ед)). Поскольку полугруппа К регулярна, по лемме 1.2 (1) полу-

де/

группа (Ек) регулярна, а множество ее идемпотентов совпадает с Ек. Пусть Т — наибольшая регулярная подполугруппа Б с множеством идемпотентов Ек (она существует по лемме 1.2 (2)). Ясно, что Ед. С Ек, и значит, Л* С Т; следовательно, \/ Л* < Т,

ге!

откуда вытекает, что

((ЕVа.)) С ((Ет)) = ((Ек)) С К = У((ЕАг)).

ге1 ге!

Обратное включение очевидно.

Теорема 3.3. Пусть Б —регулярная полугруппа. Тогда отображение ф: СД(Б) ^ СО(Ед), заданное формулой Лф = Ед для любого Л £ СК(Б), является гомоморфизмом полных решеток.

Доказательство. Возьмем любое подмножество {Л* | г £ I} решетки СЯ(Б). Применяя утверждение (1) леммы 3.2, мы получаем:

( Д Л) ф = Е ААг = П Еа. = П(Л*Ф) = /\(ЛгФ)

ге! гЕ1 ге! ге! ге!

(последнее равенство следует из того, что решеточное пересечение в СО(Ед) совпадает с теоретико-множественным, см. лемму 3.1). Итак, ф сохраняет решеточные пересечения. Покажем, что ф сохраняет решеточные объединения. Заметим сначала, что

( V Л0 ф = Е VА. = E((EV

' _ ' 4<= Т „'¿г

ге!

:»•

Поскольку Ед. £ СО(Ед), из лемм 3.1 и 3.2 получаем, что для последней полугруппы верно

Е(( V А.)) = Е(( и Еа. )) = V ЕА. = V (Л*ф)'

^ .еТ ге/ ге/

Итак, ф — гомоморфизм полных решеток.

Пусть Б — регулярная полугруппа, и пусть в — конгруэнция на СК(Б), индуцированная гомоморфизмом ф из предыдущей теоремы. Ясно, что ЛвВ тогда и только тогда, когда Л и В имеют одинаковые множества идемпотентов. Решетка СК(Б)/в изоморфна решетке СО(Ед) и потому является полной решеткой. Если Л £ СК(Б), то Е(еа)) = Еа, и значит, ((Еа))вЛ. Очевидно, ((Еа)) —наименьший элемент в в-классе, содержащем Л. Пользуясь утверждением (2) леммы 1.2, мы получаем следующие следствия.

Следствие 3.4. Пусть Б — регулярная полугруппа, и пусть Л £ СД(Б). Тогда в-класс, содержащий Л, совпадает с интервалом [((Ед)), тахЛ] решетки СД(Б), где тахЛ — наибольшая регулярная подполугруппа Б с множеством идемпотентов Ед.

Следствие 3.5. Пусть Б —регулярная полугруппа, и пусть А Є СД(Б) — наибольший элемент в-класса, содержащего А. Тогда в-класс, содержащий А, изоморфен СЕ (А).

4. Дистрибутивность

Лемма 4.1. Пусть Б — такая регулярная полугруппа, что решетка СД(Б) дистрибутивна. Тогда Е^е,^»» = {е, /} для любых е, / Є Ез.

Доказательство. Пусть д Є Ез, д = е, /. Положим А = {д}, В = {е}, С = {/}. По дистрибутивности, АА(В У С) = (АаВ)У(АаС) = 0. Следовательно, д Є В УС = ((е, /}}. Это показывает, что Е^е ,!»» = {е,/}.

Следствие 4.2. Если Б — такая регулярная полугруппа, что решетка СД(Б) дистрибутивна, то для любых е, / Є Ез полугруппа (е, /} регулярна, и е, / — ее единственные идемпотенты.

Лемма 4.3. Пусть Б — такая регулярная полугруппа, что решетка СД(Б) дистрибутивна, и пусть е, / Є Ез. Тогда е/ = е или е/ = /.

Доказательство. Пусть (е/)' —какой-то инверсный к е/ элемент регулярной полугруппы ((е,/}}. Положим А = ((е/, (е/)'}}, В = {е}, С = {/}. По дистрибутивности, А = А А (в V С) = (А А В) V (А А С). Следовательно, ((е/, (е/)'}} = {е}, или ((е/, (е/)'}} = {/}, или ((е/, (е/)'}} = (е,/}. Если ((е/, (е/)'}} = {е} или ((е/, (е/)'}} = {/}, то е/ = е или е/ = /. Поэтому остается рассмотреть случай ((е/, (е/)'}} = (е, /}. Но тогда (е/)' = /3(е/)кеа для каких-то к > 0, 5, а = 0,1, и е/ = е/(е/)'е/ = е//3(е/)кеае/ = (е/)к+2. Поэтому (е/)к+1 —идемпотент; по лемме 4.1 он равен е или /, откуда легко получаем, что е/ = е или е/ = /.

Следствие 4.4. Пусть Б — такая регулярная полугруппа, что решетка СД(Б) дистрибутивна, и пусть А, В Є СД(Б). Тогда А V В = ((А, В}} = (А, В}.

Доказательство. Достаточно показать, что (А, В} —регулярная подполугруппа Б, то есть что для каждого ее элемента есть инверсный к нему элемент. Пусть х = Ж1Ж2 ... хп, где хі, Х2,... ,хп Є А и В, и пусть х1, х2 ... ,хХп Є А и В —какие-то инверсные к хі,х2, . . . ,хп элементы. Докажем индукцией по П, что х'п . . .х^х'і —инверсный к х элемент. Это тривиально при п =1; пусть уже доказано, что х'п—і ... х[ —инверсный к хі ... хп-і элемент. Тогда элементы хпх'п и х'п-1 ... хіхі ... хп-і —идемпотенты. По лемме 4.3 их произведение совпадает с одним из них, и в обоих случаях

х(хгіхгі_і . . .хі)х — хі . . . хп—і (хГіхп) (хп_і . . .хіхі . . . хп—і)хп —

= хі...хп_іхп = х.

(«_і...хі)х(хпхп_і...хі) = («_і...хі).

Лемма 4.5. Пусть Б — такая регулярная полугруппа, что решетка СД(Б) дистрибутивна. Тогда все 'П-классы Б и все ^-классы J полугруппы Б являются регулярными подполугруппами Б.

Доказательство. Пусть х,у Є Б, и пусть х' и у' какие-то инверсные к х и у. Тогда х'х и уу' — идемпотенты; из леммы 4.3 следует поэтому, что уу' х'х = х' х или

уу'х'х = уу'. Следовательно, хуу'х' х = х или уу'х' ху = у, и потому хуЯх или хуСу, а

значит, хуПхПу. Таким образом, ху Є Б, так что Б — подполугруппа Б. Она регулярна,

потому что элемент, инверсный к некоторому элементу из D-класса, принадлежит тому же D-классу.

Подобным образом если x,y Є J, то xyy' x' x = x или yy' x'xy = y. Следовательно, xyJx или xyJy, а потому xy Є J. Значит, J — подполугруппа S, автоматически регулярная.

Следствие 4.6. Пусть S — такая регулярная полугруппа, что решетка LR(S) дистрибутивна. Тогда для любой полугруппы A Є LR(S), любого D-класса D и любого J-класса J выполняются соотношения A Л D = A П D и A Л J = A П J.

Следствие 4.7. Пусть S — такая регулярная полугруппа, что решетка LR(S) дистрибутивна. Тогда для любого D-класса D и любого J-класса J в полугруппе S отношения yd и yj на L(S), определенные формулами

AydB ^ A П D = B П D, AyjB ^ A П J = B П J (A, B Є LR(S)),

являются конгруэнциями. При этом в решетке конгруэнций на LR(S) выполняются соотношения

Д Yd =0 и Д YJ = 0.

DeS/V JeS/J

Доказательство. Ясно, что yD —отношение эквивалентности. Пусть A,B,C Є LR(S) и пусть AydB, то есть A П D = B П D. Тогда по следствию 4.6 A Л D = B Л D, и потому AЛDЛС = BЛDЛС. Значит, ^ЛС)ПD = (BЛC)ПD, так что (AЛC)YD(BЛС). Из дистрибутивности и следствия 4.6 получаем теперь, что

(A V С) П D = (A П D) V (С П D) = (B П D) V (С П D) = (B V С) П D,

так что (A V С)yd(B V С). Итак, yd —конгруэнция.

Предположим теперь, что A ( Д y^ B, то есть AПD = BПD для всех D Є S/D;

DeS/V

тогда очевидно A = B. Итак, Д yd =0.

DeS/V

Так же доказывается, что yj является конгруэнцией, и что Д yj = 0.

J eS/J

Предложение 4.8. Пусть S — регулярная полугруппа. Если решетка LR(S) дистрибутивна, то LR(S)/yd = LR(D) для любого D-класса D и LR(S)/yj = LR(J) для любого J-класса J полугруппы S.

Доказательство. Определим отображение p решетки LR(S)/yD в решетку LR(D) формулой p(Ayd) = AПD для любого A Є LR(S). Ясно, что отображение p сюръективно. Из следствия 4.6 вытекает, что AПD Є LR(D), и потому AydB тогда и только тогда, когда A П D = B П D. Поэтому отображение p является биекцией решетки LR(S)/yd на решетку LR(D). Но

Ayd ^ Byd ^ (A Л B)yd = Ayd ^ (A Л B) П D = A П D ^

^ A Л (B П D) = A П D ^ A П D С B П D.

Итак, отображение p — изоморфизм решеток. Аналогично доказывается, что LR(S)/yj = LR(J).

Комбинируя следствие 4.7 и лемму 1.4, получаем, что если S — такая регулярная полугруппа, что решетка LR(S) дистрибутивна, то решетка LR(S) является подпрямым произведением решеток LR(S)/yd (D Є S/D) и подпрямым произведением решеток LR(S)/yj (J Є S/J). Используя теперь предложение 4.8, мы приходим к главному результату этого параграфа.

Теорема 4.9. Для регулярной полугруппы S следующие утверждения эквивалентны:

(1) решетка LR(S) дистрибутивна;

(2) решетка LR(S) является подпрямым произведением дистрибутивных решеток LR(D) (D Є S/D);

(3) решетка LR(S) является подпрямым произведением дистрибутивных решеток LR(J) (J Є S/J).

Summary

Zhenji Tian. The lattice of regular subsemigroups of a regular semigroup.

It is shown that all regular subsemigroups of an arbitrary regular semigroup form a lattice, the properties of this lattice are studied.

Литература

1. Johnston K. G., Jones P. R. The lattice of full regular subsemigroups of a regular subsemigroup // Proc. Royal Soc. Edinburgh, 1984. Vol. 98A. P. 203-214.

2. Johnston K. G. Decomposition of regular subsemiqroup lattices // J. Algebra. 1994. Vol. 49. P. 131-l35.

3. Yeh Y. T. The existence of e-free objects in e-varieties of regular semigroups // J. of Algebra and Computation. 1992. Vol. 2. P. 471-481.

4. Hall T. E. On regular semigroups // J. Algebra. 1973. Vol. 24. P. 1-24.

5. Crawley P., Dilworth R. P. Algebraic theory of lattices. N.J.: Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1973.

6. Howie J. M., Fundamentals of semigroup theory. Oxford: Clarendon Press, 1995.

7. Shevrin L.N., Ovsyannikov A. J. Semigroups and their subsemigroup lattices. Dordrecht: Kluwer, 1996.

Статья поступила в редакцию 12 декабря 2006 г.