Об идеалах полугрупповых колец инверсных полугрупп Текст научной статьи по специальности «Математика»

130 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ ШЯ Серия: Математика. Физика. 2013. №19(162). Вып. 32 MSC 20M18

Аннотация. Доказана так называемая «теорема о пересечении», с помощью которой получена характеризация радикала Джекобсона полугруппового кольца инверсной полугруппы в терминах наименьшей групповой конгруэнции.

Ключевые слова: полугрупповое кольцо, инверсная полугруппа.

Интерес к структурной теории групповых колец во многом обязан теории представлений групп. Полугрупповые кольца, являясь естественным обобщение групповых колец, также тесно связаны с теорией представлений полугрупп. Важным инструментом теории колец и, в частности, полугрупповых колец является радикал кольца. Специфика полугрупповых колец заключается в том, что описание их кольцевых свойств дается в терминах кольца коэффициентов и полугруппы. Теория групповых колец уже достаточно развита см., например, [1]. Для инверсных полугрупп существует техника весьма близкая к групповой. Это позволяет переносить многие групповые результаты на случай инверсных полугрупп. В данной заметке получена так называемая «теорема о пересечении», которая позволяет получить некоторую информацию о радикале Джекобсона полугруппового кольца инверсной полугруппы. Все необходимые сведения, касающиеся инверсных полугрупп и полугрупповых колец можно найти в [2].

Как обычно, через J(R[S]) обозначается радикал Джекобсона полугруппового кольца R[S] полугруппы S над кольцом R, а - наименьшая групповая конгруэнция на полугруппе S, ш - отношение порядка на инверсной полугруппе, для инверсной полугруппы S множество Ds(N) определяется как прообраз группы Ds/a(N) при гомоморфизме S ^ S/а, т.е. Ds(N)/а = DS/a(N/а), причем, если H - подгруппа группы G, то Dg(H) = {д Е G|[H : CH(g)]} для любой конгруэнции р на полугруппе S множество I(а, S, R) = {J^(fis — Tit^i Е R, (s,t) Е р)} является идеалом кольца R[S].

Сначала докажем несколько вспомогательных утверждений.

Лемма 1. Пусть R — кольцо с единицей, S — инверсная полугруппа, R[S] — полу-групповое кольцо. Тогда

ОБ ИДЕАЛАХ ПОЛУГРУППОВЫХ КОЛЕЦ ИНВЕРСНЫХ ПОЛУГРУПП

А.Г. Сокольский

Белгородский государственный университет,

ул. Студенческая, 14, 308007, г. Белгород, e-mail: sokolsky@bsu.edu.ru

I(а, S, R) = {а Е R[S] |3e Е E,ae = 0} .

□ Любой элемент а Е I(а, S, R) можно представить в виде

П

i=1

По определению наименьшей групповой конгруэнции а найдутся элементы е1, е2,..., еп из Е такие, что хг ег = угег, % = 1, 2,... ,п. Если в качестве е взять произведение е1е2,... еп, то ае = 0. Следовательно, имеет место включение «С». Пусть теперь а = т1х1 + т2х2 + • • • + Тпхп, причем ае = 0 для некоторого идемпотента в Е Е. Тогда из равенства т1х1е + г2х2е + • •• + гпхпе = 0 следует, что £П=1 гг = 0- Если ае = 0, то Т1х2е = — ^г\кх%кв, где %к Е {2,---,n}- Это возможно лишь в том случае, когда (х1,хгк) Е а и т1 + ^ тгк = 0. Следовательно, т1х1 + ^ Тгкхгк Е I(а, Б, Я). Подобным образом поступим с остальными слагаемыми. Через конечное число шагов получим а Е I(а, Б, Я). Л

Лемма 2. Пусть Я — кольцо с единицей, N — нормальная подгруппа инверсной полугруппы Б, Я[Б] — полугрупповое кольцо. Если а Е Я[Б] \ I(а, Б, Я), то существует идемпотент е Е Е такой, что элемент ае является N -разложимым.

□ Пусть а = т1д1 + т2д2 + • • • + Тпдп, тг Е Я,дг Е Б,% = 1, 2,... ,п. Каждый элемент

дг,% = 1, 2,...,п содержится в некотором ш-классе полугруппы Б по полугруппе N. Поэтому согласно лемме 1 из [3] найдется идемпотент / Е Б такой, что а/ = Т1к1э1 + Т2к2в2 + • • •+Тпкпвп, где все вг взяты из различных смежных ш-классов по подполугруппе N. Приведем подобные члены при вг,% = 1, 2,... ,п. Коэффициенты при вг обозначим через ьг. Очевидно, что ьг Е Я^],% = 1, 2,---,n- Если кг к^ Е вирр^) и (кг,кз) Е а, то существует идемпотент Е Е такой, что к/г = кзСледовательно, для каждого уг существует элемент такой, что в разложении элемента иг = все элементы из

N принадлежат различным ш-классам полугруппы Б по подполугруппе Е. Поэтому в качестве е можно взять //1/2 ... /кш1ш2 ... шк. Из условия а Е I(а, Б, Я) следует, что

ае Е 0. И

Включение а Е ) гарантирует, что дальнейшее умножение элемента ае на идем-потенты из Е не изменят числа слагаемых в его разложении. Нетрудно показать, что для любого идемпотента е; Е Е, удовлетворяющего условиям предыдущей леммы, количество слагаемых в разложении элемента ае! будет равно числу слагаемых в разложении элемента ае. Это число слагаемых назовем длиной элемента.

Лемма 3. Пусть Я — область целостности с единицей, N — нормальная, замкнутая подполугруппа инверсной полугруппы Б, а, в — ненулевые элементы полугруппового кольца Я[Б] такие, что Г(вирр(а)) = Г(вирр(в)) и каждое из множеств Г(вирр(а)), Г(вирр(в)) не содержит одинаковых элементов. Предположим, что ахв—вха Е I(а, Б, Я) для любого х Е N. Тогда Бз ^) = Еш.

□ Пусть вирр(а) = {д1, д2,..., дп}, вирр(в) = {к1,к2,... ,кп}. Согласно лемме из условия ахв — вха Е I(а, Б, Я) следует, что ахвр = вхар для некоторого идемпотента р Е Б. Предположим, что д1 Е Г(вирр(в)). Тогда из последнего равенства следует существование конечного числа элементов и^ Е N,1,] = 1,у^ Е N таких, что

щДд^д^из = е3(к]РР~1к-1)ец ,

V- 1(к-1д1)щ = е3дгРР~1к-1еи, где егз ,е'з — некоторые идемпотенты из Е. Действительно, поскольку Я — область

целостности, то из равенства axftp = вхар следует либо (1) g1xh1p = g1xhjp, i, j = 1 либо (2) g1xh1p = hixgjp, для некоторых i,j < n.

Рассмотрим случай (1):

g1xh1p = g1xhjp ^ (gix)-1g1xh1p(h1p)-1 = (gix)-1hjp(h1p)-1 ^

x-1(g-~1g1)x(h1pp-1h-1 = (x-1g-~1gix)hj pp-1h— ^

u-^g-^^uij = eij (hjpp-1h,\)eij,

где ej = h1p-1ph-lx-1g~1gix, Uj = eijx (здесь x — любой фиксированный элемент из N, для которого верно равенство (1)). Подобным образом можно найти Vj,ej.

Применим этот прием для доказательства основного утверждения. Пусть у — произвольный элемент подполугруппы N, тогда из равенства axftp = ftxap следует g1xh1p = g1xhjp, i,j = 1 либо g1xh1p = hixgjp, для некоторых i,j < n. Рассмотрим первый случай

gwh1p = gwj ^ (giy)-1g1yh1p(h1p)-1 = (giy)-1hjp(h1p)-1 ^ e1y-1(g-1g1)ye1 = e1(hjp-1h-1)e1 ,e1 = h1p-1ph^1y-1gi~1giy Е E,

^ e1eijy-1(gi—1g1)ye1eij = e^j(hjpp-lh-1)eije1 = u-1^-1 g^u^ ^

e2y-1y-l(g-lg1)ye2 = uij(g-~1g1)uij,

где e2 = e1eij. Из предыдущего равенства следует, что

(e2y-1)-1e2y-1(g-~1g1)ye2uij (g-~1g1)-1uij e2y-1 =

= (e2y-1)-1u^-1(g-1g1)-1uij u-l(g-lg1)e2y-1.

Ясно, что в последнем равенстве справа стоит идемпотент из S, обозначим его через e3, а идемпотент (e2y-1)e2y-1 через e4. Тогда получим

e4(gi 1g1)ye2uij1(gi 1g1)(ye2u-1) 1 = e3 Е E

Учтем теперь, что

е4(д- 1д1)уе2иг-1(дг 1д1)(уе2и--1) 1 ^ д- 1д1Уи-1(д- 1д1) 1(Уи--1) 1

Тогда

[д-1д1,Уи7-1] Е Еш

Это означает, что уи-1 Е См-1 С См-1 ш, т.е. у Е (См-1 игз)ш. Аналогично во втором

а гз 9г Я 1 9г 91 9г 91

случае можно показать, что у Е (С^~ 1 д . Таким образом полная инверсная подполу-

группа N покрывается конечным числом правых ш-классов по подполугруппам С -

N

9-191

и Су-1 . Тогда по лемме 5 из [3] среди них найдется хотя бы одна, имеющая конечный

г 91

ш-индекс в N, т.е. при некотором i либо g-1g1, либо h-1g1 содержится в Ds(N). Предположим, что g-1g1 Е Еш для некоторого i. Тогда существует идемпотент e' Е E такой, что e' < g-1g1. Согласно лемме 1 из [3] e' = e'g-1g1, следовательно, e'g1e' = e'g-ie', откуда (e'g1,e'gi) Е а и по лемме 7.11 из [2] отсюда следует, что (g1,gi) Е а, что противоречит условию. Аналогично показывается, что h-1g1 Е Eш. U

Доказательство следующей теоремы «о пересечении» полностью совпадает с доказательством теоремы из [3] для полугруппы, являющейся полурешеткой групп, только вместо леммы 9 из [3], нужно применить лемму настоящей работы.

Теорема 4. Пусть R — область целостности с единицей, N — нормальная, замкнутая подполугруппа инверсной полугруппы S. Если Ds(N) = Eш, I — ненулевой идеал полугруппового кольца R[N], I ^ I(а, S, R) то I П R[N] = 0

В качестве приложений этой теоремы приведем теорему, в которой получена некоторая информация о строении радикала Джекобсона полугруппового кольца инверсной полугруппы.

Теорема 5. Пусть R — область целостности с единицей, N — нормальная замкнутая подполугруппа инверсной полугруппы S, причем Ds(N) = Eш. Если полугрупповое кольцо R[N] полупросто относительно радикала Джекобсона J, то J(R[S]) С I(а, S, R).

□ Предположим, что J(R[S]) ^ I(а,>в^), тогда по теореме J(R[S]) П R[N] = 0. Заметим, что J(R[S]) П R[N] является идеалом в кольце R[N], причем J(R[S]) П R[N] С R[N]. По условию J(R[N]) = 0 и, следовательно, J(R[S]) П R[N] = 0, что противоречит теореме . Поэтому J(R[S]) С I^,S,R). U

Литература

1. Passman D.S. The algebraic structure of group rings / Pure Appl. Math. / New York: Wiley. 1977.

2. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп. Том 1,2/ М.: Мир, 1972.

3. Сокольский А.Г. О полугрупповых кольцах полурешеток групп / Изв. вузов. Матем. -1989. - №8. - C.53-55.

ON IDEALS OF SEMIGROUP RINGS OF INVERSE SEMIGROUPS

A.G. Sokolsky

Belgorod State University,

Studencheskaja St., 14, Belgorod, 308007, Russia, e-mail: sokolsky@bsu.edu.ru

Abstract. The so-called intersection theorem is proved. On the basis of it it to obtain the characterization of Jacobson’s radical of semigroup rings which is connected with inverse semigroups is obtained. It is done in term of the least group congruence.

Key words: semigroup ring, inverse semigroup.