Об объединении решений систем уравнений в клиффордовых полугруппах Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2014. № 3. С. 18-21.

УДК 512.53 А.Н. Шевляков

ОБ ОБЪЕДИНЕНИИ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ В КЛИФФОРДОВЫХ ПОЛУГРУППАХ*

Полугруппа £ называется эквациональной областью, если любое конечное объединение алгебраических множеств над £ является алгебраическим. Доказывается, что если клиффордова полугруппа является эквациональной областью, то она вполне проста.

Ключевые слова: уравнение, алгебраическое множество, полугруппа.

Введение

В работах [1; 2] приведены основные определения и понятия универсальной алгебраической геометрии. Согласно данным работам, уравнением над группой О называется равенство ш(Х = 1, где и(Х - элемент свободного произведения О хЩХ). Соответственно, алгебраическое множество над О - это решение некоторой системы уравнений над О.

Объединение конечного числа алгебраических множеств не всегда является алгебраическим над О. Однако существуют группы (и в [3] они были полностью описаны), где любое конечное объединение алгебраических множеств снова является алгебраическим. Согласно работе [3], группы с таким свойством называются эквациональными областями.

В классе полугрупп также можно определить понятие эквациональной области, и естественно искать примеры эквациональных областей в тех многообразиях полугрупп, которые наиболее близки к группам. Поиск эквациональных областей среди полугрупп был начат в работах [4; 5], где были рассмотрены инверсные полугруппы, а также полугруппы, в которых алгебраические множества заданы системами уравнений без констант. Настоящая работа продолжает исследования [4; 5], и ниже мы будем работать в одном из «группоподобных» классов - в классе вполне регулярных, или клиффордовых, полугрупп. Основным результатом работы является утверждение, что если клиффордова полугруппа является эква-циональной областью, то она вполне проста.

Сведения из теории полугрупп

Необходимые нам определения вполне простой и клиффордовой полугруппы можно найти, например, в книге [6].

Пусть О - полурешётка. Дизъюнктное объединение полугрупп £ = {£а | ае О} называется полурешёткой полугрупп, если для любой пары а,в е О, а <в существует гомоморфизм ¥а р : £р^ £а такой, что:

1) ¥аа - тривиальное отображение;

2) ¥а,р-¥р,г = ¥а,Г для всех а <в < У;

3) ¥ур,у -¥у,а = ¥ур,р -¥р,а для всех в,У < а;

4) произведение элементов 51 е £а,Б2 е £р определяется как

• • =¥ар,а(?1)¥ар,а(?2) '

Следующая теорема описывает структуру клиффордовых полугрупп в терминах полурешёток.

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 14-01-00068-А).

© А.Н. Шевляков, 2014

Теорема 1 [7]. Любая клиффордова полугруппа изоморфна некоторой полуре-шётке вполне простых полугрупп.

Алгебраическая геометрия над полугруппами

Основные определения универсальной алгебраической геометрии были изложены в [8].

Поскольку операция обращения (взятие обратного элемента в подходящей максимальной подгруппе) является алгебраической в любой клиффордовой полугруппе, мы будем рассматривать язык L0 = {-,-1} . Кроме того, для фиксированной клиффордовой полугруппы S язык L0 может быть расширен добавлением новых константных символов {s | s е S}, которые соответствуют всем элементам полугруппы S. Полученный таким образом язык мы будем обозначать через LS, и далее любая полугруппа S будет рассматриваться в соответствующем языке LS .

Уравнением над полугруппой S называется равенство t(X = s(X) двух термов языка LS . Например, следующие выражения суть уравнения над S:

(xy)- = У“Ч, ((Six)-1 s2)-1 = ys^z-1.

Естественным образом определяются понятия системы, решения системы уравнений и алгебраического множества. Решение системы уравнений S в полугруппе S будет обозначаться через VS (S).

Следуя [3], дадим основное определение данной работы.

Клиффордова полугруппа S называется эквациональной областью в языке LS , если любое конечное объединение алгебраических множеств над S снова является алгебраическим.

Основной результат

Согласно теореме 1, клиффордову полугруппу S мы будем обозначать через S = {Sa | ае Q} , где Q - полурешётка и полугруппы Sa вполне просты.

Лемма 1. Пусть S = {Sa |ае^} - клиффордова полугруппа. Предположим, что терм t(x) содержит константы из подполугрупп с индексами а1,а2,...,ап. Следовательно, значение t(x) в точке x е Sp принадлежит подполугруппе SY, где

у=аа •.. апв.

Доказательство. Докажем утверждение леммы индукцией по сложности терма t(X). Если терм t(x) является либо переменной, либо константой, то легко видеть, что лемма верна.

Пусть t(x) = (t (x))-1 и утверждение леммы выполнено для терма t (x). Поскольку термы t(x), t (x) содержат одни и те же константы, то ввиду соотношения s е Sa ^ s-1 е Sa получаем утверждение леммы.

Предположим теперь, что t (x) = t1 (x )t2 (x) и значения термов tt (x) принадлежат подполугруппам Sy. , где

/, = а,1а,2 •••а, в,

и термы t (x) содержит элементы подполугрупп Sav .

По определению умножения в решётке полугрупп значение терма t(x) принадлежит

SnV2 , где

Y1Y2 = а11а12 • а1щ а21а22 • а2 П2 в ,

и индекс Y1Y2 содержит индекс в и индексы всех подполугрупп, чьи элементы входят в запись терма t(X). Лемма доказана.

Лемма 2. Пусть S = {Sa | ае Q} - клиффордова полугруппа, a,fi е Q, а < fi, ве Sp и a = /а в (b) . Следовательно, для любого терма t(x) языка LS такого, что t(b) е Ss, t(a) е Sy выполнено у < 5 и

/r,s(t(b')) = t(a). Доказательство. Неравенство у < 5

непосредственно следует из леммы 1.

Докажем теперь равенство

/rs(t(b)) = t(a) индукцией по сложности терма t(x).

Если t(x) - константа или переменная, то неравенство /Y s(t(b)) = t(a) очевидным образом выполняется.

Пусть t(x) = (t (x))-1 и терм t (x) удовлетворяет условиям t (b) е Ss, t (a) е SY, у < 5. Из свойств операции обращения в клиффордовой полугруппе мы получаем t(b) е Ss , t(a) е Sy . Таким образом,

Vrs(t(b)) = /rs((t (b))-1) =

= (Vrs(t (b)))-1 = (t (a))-1 = t(a). Предположим теперь, что t(x) = t1(x)t2(x),

где

t1(a)е Sn, t1(b)е Ss, Y1 < S1, t1(a) = //A(t1 (b)),

t2 (a) е SV2 , t2 (Ь) е SS2 , Y2 < S2, t2 (a) = /y2,S (t2 (b)).

В соответствии с леммой 1 имеем равенства у = y1Y2 , S = S1S2, и поэтому у < 5. Окончательно получаем:

/Y,s(t(b)) = VY,s(ti(b)ti(b)) =

= /y,s(/sa (t1(b))/s,S2 (t2(b))) = = /y,s(/s,s1 (t1(b)))/Y,s(/s,s2 (t2(b))) =

= /Y,s1(?1(b))/Y,s2(t2(b)) =

= /Y1Y2,Y1 (/y1,s (t1 (b)))/Y1Y2,Y2 (/(t2 (b))) =

= /y1y2,y1 (A(a))/m (ti(a)) = t1(a)t2(a) = t(a), что доказывает лемму.

20

А.Н. Шевляков

Лемма 3. Пусть S = {Sa | ае Q} - клиффордова полугруппа, a,fi е Q, а < fi, и терм t(x) содержит константу из подполугруппы Sa. Следовательно, для любого b е Sp элементы t(b),t(/ap(b)) принадлежат подполугруппе SY для некоторого у е О.

Доказательство. Пусть a =/ap(b). По

лемме 1 мы получаем, что элементы t(b), t(a) принадлежат подполугруппам с индексами ваха2 ...ап, аа1а2 ...ап, где константы терма t(x) принадлежат подполугруппам с индексами aj .

По условию терм t(x) содержит константу из подполугруппы Sa . Без ограничения общности можно считать, что а1 = а. Следовательно, элемент t(b) принадлежит подполугруппе с индексом

ваа2... ап = аа2... ап.

Очевидно, что элемент t(a) принадлежит подполугруппе с тем же индексом: ааа2 ...ап = аа2 ...ап.

Лемма доказана.

Лемма 4. Пусть S = {Su | ае Q} - клиффордова полугруппа, а,в е О, а < fi, и терм t(x) содержит константу из подполугруппы S№ . Тогда для любого b е Sp выполнено

t(b) = t(/ap(b)).

Доказательство. Пусть a = /ар(Ъ). По лемме 3 элементы t(b), t(a) принадлежат подполугруппе SY . В соответствии с леммой

2 существует гомоморфизм /Y Y(t(b)) = t(a).

По определению полурешётки полугрупп гомоморфизм /Y Y является тождественным.

Следовательно, t(a) = t(b). Лемма доказана.

Теорема 2. Любая клиффордова полугруппа S = {S№ |ае^} при |О|>1 не является эквациональной областью в языке LS .

Доказательство. Пусть а,в е О, а < в, b е Sp . Обозначим a = /а p(b) е S№ .

Предположим, что следующее объединение двух алгебраических множеств M = {(x,y) | x = b или y = b} =

= Vs (x = b, y = y) и Vs (x = x,y = b) является решением системы уравнений S(x,y). Поскольку P = (a,a) t М, то существует уравнение t(x,y) = s(x,y) е S такое, что t(a,a) Ф s(a,a).

Заметим, что уравнение t(x,y) = s(x,y) должно содержать вхождения обеих переменных x,y. Если же уравнение содержит единственную переменную x (или у), мы имеем t(a) = s(a), так как (a,b) е М (или, соответственно, (b,a) е М). Однако из выбора уравнения t(x,y) = s(x,y) следует t(a) Ф s(a), и мы приходи к противоречию.

Таким образом, уравнение t(x,y) = s(x,y) содержит вхождения обеих переменных и выполнено хотя бы одно из следующих условий:

1) каждая часть уравнения t(x,y) = s(x,y) содержит вхождения переменных x,y;

2) одна из частей уравнения зависит от одной переменной, в то время как вторая часть зависит от обеих переменных x,y;

3) одна из частей уравнения не содержит y, а другая часть уравнения не содержит x;

4) одна из частей уравнения содержит обе переменные, а другая часть уравнения является константой.

Последовательно рассмотрим все возможные виды уравнения t(x,y) = s(x,y).

1. Пусть t (x) = t(x, a), s (x) = s(x, a) . Так как (b,a) е М, то t (b) = s (b) . По лемме 4 имеем t (a) = s (a) , s (a) = s (b), следовательно, t (a) = s (a), что противоречит выбору уравнения t(x,y)=s(x,y).

2. Имеем уравнение t(x) = s(x,y). По лемме 4 s(a,b) = s(a,a). Поскольку (a,b) е М, то получаем t(a) = s(a,b). Таким образом, t(a) = s(a,a), и мы приходим к противоречию с выбором уравнения t(x) = s(x,y).

3. Для уравнения t(x) = s(y) имеем t(b) = s(a) (так как (b,a) е М), t(a) = s(b) (поскольку (a,b) е М), t(b) = s(b) (ввиду (b,b) е М). Таким образом, t(a) = s(a), что противоречит выбору уравнения t(x) = s(x).

4. Для уравнения t(x,y) = с имеем t(a,b) = с (так как (a,b) е M). По лемме 4 получаем t(a,b) = t(a,a) = с и приходим к противоречию.

Таким образом, мы доказали, что множество M не является алгебраическим. Следовательно, S не может быть эквациональной областью.

Теорема доказана.

Согласно теореме 2, клиффордова полугруппа может быть эквациональной областью лишь при \Q\=1. Следовательно, верно следующее утверждение.

Следствие. Если клиффордова полугруппа S является эквациональной областью в языке LS, то S вполне проста.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Baumslag G., Miasnikov A, Remeslennikov V. N.

Algebraic geometry over groups // Trends in Math. : Int. Conf. «Algorithmic problems in groups and semigroups». Boston, MA : Birkhauser

Boston, 2000. Р. 35-50.

[2] Myasnikov A., Remeslennikov V. Algebraic geometry over groups II: Logical foundations // J. of Algebra. 2000. Vol. 234. Р. 225-276.

[3] Daniyarova E., Miasnikov A., Remeslennikov V. Algebraic geometry over algebraic structures IV: Equational domains and co-domains // Algebra & Logic. 2010. Vol. 49. № 6. Р. 715-756.

[4] Шевляков А. Н. Об объединении решений систем уравнений в полугрупповом языке без констант // Вестн. Ом. ун-та. 2013. № 4. С. 6062.

[5] Шевляков А. Н. Об объединении решений систем уравнений в инверсных полугруппах // Вестн. Ом. ун-та. 2013. № 4. С. 63-66.

[6] Howie J. M. Fundamentals of Semigroup Theory. Oxford: Clarendon Press, 1995. 351 p.

[7] CIifford A. H. Semigroups admitting relative inverses // Ann. of Math. 1941. Vol. 42. № 4. Р. 1037-1049.

[В] Daniyarova E., Miasnikov A, Remeslennikov V. Unification theorems in algebraic geometry // Algebra and Discrete Mathematics. 200В. № 1. Р. В0-111.