CC BY
2ISSN 0136-4545 !Ж!урнал теоретической и прикладной механики.
№4 (81) / 2022.
УДК 539.3
ёок10.24412/0136-4545-2022-4-23-46 ЕБК:К0НР0и
©2022. Е.С. Глушанков, А.Б. Мироненко
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБ ИЗГИБЕ СВОБОДНО ОПЕРТОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПЛИТЫ. I
Решена задача об изгибе свободно опертой по краю прямоугольной плиты из пьезоэлектрического материала, находящейся под давлением по верхнему основанию. При этом рассмотрены случаи, когда различные стороны прямоугольного контура плиты электродированы либо лишены электродного покрытия. Решения получены в виде двойных тригонометрических рядов. На основе полученных решений проведены численные исследования влияния свойств материала плиты и электрических граничных условий на электроупругое состояние плиты.
Ключевые слова: теория изгиба тонких плит, пьезоэлектрический материал, прямоугольная плита, свободно опертый край, функция прогиба, изгибающие моменты, двойные тригонометрические ряды
Введение. В современной технике широкое применение в качестве элементов конструкций получили тонкие плиты из пьезоматериалов. В процессе эксплуатации эти плиты подвергаются механическому и электрическому воздействиям, которые могут приводить к изгибным деформациям, что следует учитывать при проектировании и эксплуатации конструкций [1—7]. При решении задач изгиба плит в рамках прикладной теории зачастую используются гипотезы Кирхгофа-Лява [8, 9]: гипотеза прямой нормали, в соответствии с которой прямолинейные отрезки, нормальные к срединной плоскости до деформации, при изгибе плиты остаются прямолинейными и нормальными к изогнутой срединной поверхности и не меняют своей длины; гипотеза о нерастяжимости срединной плоскости; гипотеза о ненадавливании слоев, в соответствии с которой влияние взаимодействия (давления) продольных слоев плиты на удлинения и сдвиги материальных волокон, лежащих в этих слоях, является достаточно малым и им можно пренебречь. Эти гипотезы механического характера дополним гипотезой на индукции электрического поля [10, 11]: потоком индукции по толщине плиты можно пренебречь.
В монографиях [12, 13] приведены решения множества задач об изгибе изотропных прямоугольных плит при различных механических граничных условиях, об изгибе ортотропных прямоугольных плит в случае свободного опирания по краям.
В данной работе получено решение задачи об изгибе свободно опертой по краю прямоугольной плиты из пьезоэлектрического материала кристаллографического класса 6тт. Основания плиты не электродированы, по верхнему основанию действует распределенное давление. Края плиты свободно оперты.
НгЫь
о
X ->
Различные края плиты могут быть электродированы либо лишены электродного покрытия. Решения задач получены в виде двойного тригонометрического ряда. Проведены численные исследования влияния свойств материала плиты и электрических граничных условий на значения моментов и прогиба плиты.
1. Постановка задачи об изгибе тонких пьезоэлектрических плит. Рассмотрим отнесенную к декартовой системе координат Охух тонкую плиту толщины 2Н (рис. 1), изготовленную из пьезоэлектрического материала. Срединная плоскость плиты лежит в плоскости Оху и занимает двумерную область 5. Пусть для каждой точки плиты имеется плоскость упругой симметрии, параллельная срединной плоскости. Основания плиты лишены электродного покрытия, по верхнему основанию распределены нормальные усилия д(х,у). Край плиты свободно оперт, по нему некоторым образом распределены электрические воздействия.
Задача определения электроупругого состояния плиты сводится к интегрированию следующей системы дифференциальных уравнений относительно функции прогиба плиты w(x,y) и функции плотности потенциала электрического поля ф0(х,у) [11, 14]:
Рис. 1
Ь^(х,у) + Ьзс^о(х,у) = —д(х, у), LзGw(x, у) + ¿2БРо(х, у) = 0.
(1)
Здесь ¿45, Ьзс, Ь2Б щими выражениями:
дифференциальные операторы, определяемые следую-
+ 2 ^12 + 2¿>66
д4 ~ д4 £4,5 = - ¿>11-^—7 + 4516 ^ о^ \ дх4 дх3ду
~ д3 / ~ ~ \ д3
¿3 С = Сцт-т + С 21 + С16 „ 9о
дх3 \ ) дх2ду
д4
дх2ду2 + С 12 + (~26
+ 4^6
д3
д4 | ~ д4 дхду3 ду4
~ д3 - —|— -■
дхду2 ду3
~ д2 ~ д2 ~ д2 2В = Вп—- + 2В12 + В22ТГ о )
дх2 дхду ду2
где
_ 2!г3 ¿г], _ 2Ъ3 . 2!г3
3 = 3 В г] = 3 13'
(¿11 ¿12 ¿16 СЦ С21 \ { «11 «12 «16 911 92Л
¿12 ¿22 ¿26 Оп С22 «12 «22 «26 912 922
¿16 ¿26 ¿66 С16 С26 = «16 «26 «66 916 926
-Сц — ^12 — С16 В11 В12 —911 —912 —916 в11 в12
\-G21 — С22 — С26 В12 В22 \—Э21 — 922 — 926 в12 $22)
— коэффициенты деформации материала плиты, д^ — пьезоэлектрические модули, — коэффициенты диэлектрической проницаемости.
Систему уравнений (1) следует интегрировать при соответствующих граничных условиях. После этого прогиб плиты и плотность потенциала электрического поля становятся известными, и по ним в любой точке плиты можно находить значения изгибающих моментов Мх, Му, крутящего момента Нху, моментов электрической индукции Мдх, М^у [11, 14]:
(-х д2и) ~ д2гу ~ д2и) ~ др0 я
dx2 дхду dy2 дх ду
(-Х d2w ~ d2w ~ d2w ~ dipo я др0
\ дх2 дхду ду2 дх ду
d2w ~ d2w ~ d2w ~ dipo ~ др0\ ,9)
\ дх2 дхду ду2 дх ду )
г d2w + 9 Г d2w + Г d2w + R д1Ро + R д1Ро MDi: = Ь-ц -—ir + 2Gl6T—--I" + ВЦ---h tí 12^—,
дх2 дхду ду2 дх ду
г d2w + 9 Г d2w + Г d2w + R д1Ро + R M-Dy = + 2G26T—n--г CJ22TTT + tíi2 —--h tí22^—■
дх2 дхду ду2 дх ду
Если материал плиты принадлежит к кристаллографическому классу 6mm и поляризован вдоль оси Оу, то
«16 = «26 = 0, gii = gi2 = §26 = °
А2 = 0,
следовательно,
5*16 = *26 = 0, Gii = G12 = G26 = 0,
в 12 = 0.
Тогда дифференциальные операторы L4s , L3g , L2b примут вид
''ду
д4 * \ д4 * д4 \ = " V511 ш + 2 г12 + 2Sm) dxW2 + S22w)
~ \ д3 ~ д3 ¿3G = G21 + Gi6 » 9о—Ь Сггтг^-, дх2ду ду3
Т R 92 + R 92
-Ь2В — Ьцт-7 + tí22T¡ 9 j
дх2 ду2
а значения моментов можно определять по формулам
д2-ш
Мх — — 5ц-г—7 + ¿12ТГГ — 6*21
дх2
ду2
д2w — д2/ш Му = — ( 512ТГТ + ¿22ТГ^- — 6*22
дх2
Нху — — ( 25бб
ду2
<9у ) ' ду
д 2w дхду
-С
16
Мох = 2С1бт-^—Ь Вц дхду
дх дх
(3)
дх2
ду2
ду
Тогда становится возможным определение моментов на произвольной площадке с нормалью п и касательной в [10, 11]:
Мп — Мх ео82(пх) + Му ео82(пу) — 2Нху еов(пх) еои(пу), М5 — Мх еов2(пу) + Му ео82(пх) + 2Нху еов(пх) еои(пу), Нпз — (Му — Мх) еов(пх) еов(пу) + Нху (еов2(пх) — еов2(пу)) , Мрп — Мдх еов(пх) + М^у еов(пу), Мр3 — Мдх еов(пу) — М^у еов(пх).
(4)
2. Вид граничных условий для случая свободного опертого края плиты. Механические граничные условия имеют вид [9]
w — 0, Мп — 0.
(5)
Если по краю плиты отсутствует электродное покрытие, то электрическое граничное условие имеет вид [10, 15]
Мпп — о,
(6а)
а если электродное покрытие присутствует и задано распределение потенциала электрического поля [15] —
Ро — РО
3. Постановка и решение задачи об изгибе прямоугольной плиты. Рассмотрим тонкую прямоугольную пьезоэлектрическую плиту со сторонами, равными а и Ь (рис. 2). Основания плиты лишены электродного покрытия, по верхнему основанию х3 — —Н распределены нормальные усилия д(х,у). Край плиты свободно оперт.
(6б)
О
ах
Рис. 2
В этом случае механические граничные условия принимают вид:
на краях плиты х — 0, х — а:
w
w
х=0
— о, Мх
на краях плиты у — 0, у — Ь:
w
— w
у=0
у=Ь
— Мх
х=0
— 0, Му
— Му
у=0
у=Ь
0.
(8
Рассмотрим некоторые случаи электрических граничных условий. Края плиты у — 0, у — Ь неэлектродированы, на краях плиты х — 0, х — а потенциал электрического поля равен нулю. В этом случае электрические граничные условия принимают вид:
на краях плиты х — 0, х — а:
х=а
х=а
Ро
х=0
— Ро
на краях плиты у — 0, у — Ь:
Ми%
у=0
— МПу
у=Ь
0.
(9)
(10)
Функцию прогиба w(x, у) выберем в виде, известном из решения задачи об изгибе изотропной или ортотропной свободно опертой плиты [12]:
w(x,y) — ^2 ^2А
птх ппу тп эт-эт-
т=1п=1
Ь
(11)
где Атп - неизвестные постоянные. В этом виде функция прогиба удовлетворяет первым условиям (7), (8). Для того, чтобы тождественно удовлетворить вторым условиям (7), (8) и условиям (9), (10), функцию плотности электрического потенциала Р0(х, у) выберем в виде
Ро(х,у) — ЕВ
. птх ппу тп эт-сое ■
т=1п=1
Ь
(12)
где Втп - неизвестные постоянные.
Аналогично решению задачи об изгибе изотропной или ортотропной свободно опертой плиты, неизвестные постоянные Атп, Втп будем определять из подстановки функций (11), (12) в систему дифференциальных уравнений (1). Тогда после функций (11), (12) в систему уравнений (1) получим
ЕЕ
т=1п=1
Атп\ ¿11
4 4
п т4
+ 2 ¿12 + 2 ¿66
4 2 2
п4т2п2 а2Ъ2
+ ¿22
44
пп
птх ппу вт-эт —:—
х=а
а
4
а
а
-Вт
(§21 + (§
16
Ч 9
п3т2п а2Ь
+ °22
7Г3П3
птх ппу вт-эт —;—
= Я(х,у),
а
ЕЕ
т=1п=1
А
О21 + О
16
3 2
п3т2п
а2Ь
~ п3п3\ птх ппу + ^22 Го I Й1П- сов —;--ь
+В,
тп I -В 11
п2т2
+ В
п2п2
22"
а Ь2
Представим функцию д(х,у) в виде
Ь3 а
. птх ппу вт-сое ——
Ь
0.
?(х,у) =
т=1п=1
птх ппу
тп ->
аЬ
(13)
где
4
ь
_ . [ птх , [ . . ппу ,
Яшп = / вт—— (IX / д{х,у)$т.-^-(1у.
о о
Тогда для определения неизвестных постоянных Атп, Втп получим системы уравнений вида
п4т4 Атп ( 5*11 ~Л а4
+ 2 ,§12 + 2^66
4 2 2
п т2п2 а2Ь2
+ §22
Вт
(§21 + (§
16
32
п3т2п
а2Ь
+ О22
7Г3П3
Ат
(§21 + О
16
32
п3 т2п
а2Ь
+ (§ 22
7Г 3п3
44 п4п4
Ь4
— Ятт
+
+В
тп В§ 11
п2т2
+ В§
п2п2
22"
Ь2
0.
Отсюда находим
Л - I ТЗ
■^-тп — ■ \
п2т2
Д
Атп \ а
+ В§
п2п2
22"
Ь2
В=
тп
Ят
Ат
(§21 + О
16
3 9 п3т2п
а2Ь
+ (§22
7Г3П3
(14)
где
§11
4 4 п4т4
+ 2 §12 + 2,§66
4 2 2
п4т2п2
12Ь2
+ §§22
44 п4п4
Ь4
В
п2т2
11—2 а2
+ В§
22"
п2 п2
+
+ (§21 + (
16
3 9 п3т2п
а2Ь
+ (§22
3 3 2 п3п3 2
Ь3
а
а
2
а
4
а
Рассмотрим некоторые частные случаи нагрузок q(x,y) по верхнему основанию.
^ , . nMx nNy
Ьсли q(x,y) = go sin-sin——, где qo = const, a M, TV - натуральные
числа, то [12]:
{qo, m = M и n = N, 0, m = M или n = N,
тогда
+ nl = M„„ = iV,
a i Amn \ a2 b2 J
-Limn — \
0, m = M или n = N,
b = i amn
Bmn — \
n3q0 (~ \ M 2N ~ N 3\
40 ug21 + gu)-^+g*wl m = Mип = N,
0, т — М или п — М,
а функции прогиба и плотности потенциала электрического поля примут вид
, л п2qо М2 ~ М2 Ч . пМх . пЫу
У) = л- Вц—т- + В22Т7- эт-эт ——,
Дмя \ а2 Ь2 / а Ь
, Л n3qo //я Я \ M2N ~ N34 . nMx
<ро{х, У) = --г- [G2i+ G16 —уг- + G22—7- Sin-cos
Amn \V J a2b b3 J a
Если q(x,y) = q0 = const, то [12]:
16q0
Qmn —
9 '
n2mn
m и n - нечетные,
0, m или n - четное,
тогда
16q0 i~ m ~ n \
a = } mnAmn\ a2 b2 J
—
Вц—-—B22—^ ), шип- нечетные,
0, m или n -четное,
B = ) mA
Bmn —
16nqo ( ~ \ m2 ~ n2\
I ^Cr2i + Gi6J ^ + 22"p" j ' тип~ нечетные,
0, т или п - четное,
а функции прогиба и плотности потенциала электрического поля примут вид
, ч ^ ^о т2 ~ п2 Ч
т= 1,3,5,... п= 1,3,5,... тп^тп \ а Ь /
mn
nmx nny X sin- sin
m=1,3,5,... «,= 1,3,5,...
a b
, s v^ v^ 16nqo {~ \ m2 ~ n2
nmx nny
x sin-cos ——.
ab
Край плиты y = b неэлектродирован, на остальных краях потенциал электрического поля равен нулю. В этом случае электрические граничные условия принимают вид:
• на крае плиты y = b:
х
MDy
y=b
(15)
на остальных краях плиты:
P0
x=0
Po
Po
y=o
0.
Функцию прогиба w(x,y) выберем в виде
те те
Kx,y) = ^ A
w(
m=1n=1
nmx nny
тп Sin-Sin—,
ab
(16)
(17)
где Атп - неизвестные постоянные. В этом виде функция прогиба удовлетворяет первым условиям (7), (8). Тогда для того, чтобы тождественно удовлетворить вторым условиям (7), (8) и условиям (16), (15), функцию плотности электрического потенциала ^0(х,у) выберем в виде
Po (x,y) = Y1J2B
nmx ( nny . mn sin — ( cos —--1 ,
m=1n=1
b
(18)
где Втп - неизвестные постоянные.
Неизвестные постоянные Атп, Втп будем определять из подстановки функций (17), (18) в систему дифференциальных уравнений (1).
Тогда после подстановки функций (17), (18) в систему уравнений (1) получим
Am
ЕЕ
m=1n=1
B
-Bmn
4 4
n4m4
5*11—4--Ь 2 ( ¿>i2 + 25*66 J
4 2 2
\ n4m2n2
a2b2
44
~ n n \ nmx nny + ¿22—П— I Sin-Sin
b4
a
b
^ . n3m2n ~ n"n" \ . nmx . nny G21 + Cri6 -7Ti--Ь Cr22 —ГТ^- I Sin-Sin
a2b
b3
= q(x,y),
EE
m=1n=1
Am
G21 + G
16
32
n3m2n
a2b
+ G22
n3n3
nmx nny Sin-COS —;--h
x=a
a
a
_ . п2т2 ~ п2и2\ птх пиу
+Втп ( ВЦ—5— + В22—ПГ- 8111-СОй —Г"
а2 Ь2 1 а Ь
Эта система уравнений совпадает с системой из предыдущего подпункта, поэтому все остальные выкладки остаются справедливыми, и неизвестные коэффициенты Атп, Втп в общем случае определяются по формулам (14).
Край плиты у = 0 неэлектродирован, на остальных краях потенциал электрического поля равен нулю. В этом случае электрические граничные условия принимают вид:
• на крае плиты у = 0:
Ми%
у=0
= 0;
(19)
на остальных краях плиты:
Ро
х=о
Ро
Ро
у=Ъ
0.
(20)
Пользуясь аналогией с предыдущим подпунктом, функции прогиба w(x,y) и плотности потенциала фо(х,у) будем искать в виде
w{x,y) = Е £А
птх пиу
тп 8111-эт——,
т=1п=1
Ро(х,у) = Е ЕВ'
птх ( пиу тп эт- сое —--Ь 1
(21)
(22)
т=1п=1
где Атп, Втп - неизвестные постоянные, в общем случае определяемые по формулам (14).
После определения коэффициентов Атп, Втп становится возможным определение значений прогиба w(x,y) и плотности потенциала электрического поля Ро(х,у) в любой точке плиты. По известным функциям w(x,y) и ро(х,у) также можно вычислять значения изгибающих моментов, крутящего момента, момента электрической индукции в точках плиты по формулам (3), а затем — значения моментов на произвольных площадках по формулам (4).
При этом, из построенных решений следует, что при вышеописанных комбинациях электрических граничных условий распределения моментов в плите будет одинаковыми. Поэтому, в дальнейшем, при проведении численных исследований не будем характеризовать влияние электрических граничных условий.
4. Численные исследования. При проведении численных исследований количество сохраняемых членов в рядах увеличивалось до тех пор, пока погрешность значений моментов не становилась достаточно малой. Для этого, как показали исследования, необходимо сохранять от 20 до 50 членов в одинарных рядах.
х=а
а
а
Были проведены численные исследования для прямоугольных плит из следующих материалов:
• селенид кадмия CdSe [16, 17] (материал ЭМ1):
S11 = 23, 31s*, S22 = 16, 68s*, S66 = 74, 46s*, S12 = -5, 38s*, g16 = -124, 40g*, g21 = -41, 61g*, g22 = 81,15g*, £11 = 118987,1fi*, ^22 = 106071, 5p* ;
• титанат бария BaTiO3 [16, 18] (материал ЭМ4):
s 11 = 8, 7s*, s22 = 7,1s*, s66 = 17, 5s*, s12 = —1,9s*, g16 = 20, 2g*, g21 = —5, 2g*, g22 = 12, 6g*, P11 = 77, 93в*, в22 = 66 , 47в* ;
• пьезокерамика PZT — 4 [16, 18] (материал ЭМ5):
s 11 = 10,9s*, s22 = 7,9s*, s66 = 19,3s*, s12 = —2,1s*, g16 = 39,4g*, g21 = —11,1g*, g22 = 26,1g*, вп = 76,61в*, в22 = 86 , 92в* ;
• пьезокерамика PZT — 5A [16, 18] (материал ЭМ6):
s11 = 14, 40s*, s22 = 9 , 46s*, s66 = 25, 20s*, s12 = —2, 98s*, g16 = 38, 2g*, g21 = —11, 4g*, g22 = 24 , 8g*, вп =65, 31в*, в22 = 66 , 46в* •
Здесь введены следующие обозначения: s* = 10_6 МПа-1, g* = 10_3 МКл-1 • м2, в* = 1 МН • м2 • МКл"2.
Для случая равномерного давления по верхнему основанию плиты на рисунке 3 приведены распределения измеренных в 106 МН • м моментов Mx (рис. 3а), My (рис. 3б), Hxy (рис. 3е) в квадратной плите из материала ЭМ1 для случаев задач электроупругости (ЗЭУ), когда учитываются все свойства материала, и упругости (ЗУ), когда не учитываются электрические свойства материала. На рисунке 4 приведены распределения этих же моментов в квадратной плите из материала ЭМ5. На рисунках 5 и 6 приведены аналогичные распределения моментов для случая прямоугольной плиты с соотношением сторон a/b = 2, на рисунках 7 и 8 — с соотношением сторон a/b = 3, на рисунках 9 и 10 — с соотношением сторон b/a = 2, на рисунках 11 и 12 — с соотношением сторон b/a = 3.
(а: ЗЭУ)
(а: ЗУ)
-0.03 », 0.50
(б: ЗЭУ)
(б: ЗУ)
0.00
-0.010 0.00
(в: ЗЭУ)
(в: ЗУ)
0.50 0.75 1.00
(а: ЗЭУ)
п
(а: ЗУ)
0.50 0.75 1.00
0.000
-0.005
-0.010
-0.040 о 00
0.00
I
0.25 0.50 0.75 1.00
(б: ЗЭУ)
I
(б: ЗУ)
0.50 0.75 1.00
I
0.25 0.50 0.75 1.00
(в: ЗЭУ)
(в: ЗУ)
0.00
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00
(а: ЗЭУ)
I
(б: ЗЭУ)
I
ООО
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00
(а: ЗУ)
(б: ЗУ)
I
0.00-1
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00
(в: ЗЭУ) (в: ЗУ)
(а: ЗЭУ)
(б: ЗЭУ)
I
ООО
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00
0.00
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00
(а: ЗУ)
I
0.00
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00
(б: ЗУ)
п
0.00
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00
-0.002 -0.004 -0.006 -0.008
(в: ЗЭУ)
(в: ЗУ)
I
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
-0.025 0.00
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
(а: ЗЭУ)
I
(а: ЗУ)
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
I
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
(б: ЗЭУ)
1
(б: ЗУ)
0.000 -0.001 0.002
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
I
-0.003
0.000 -0.001 -0.002 -0.003 -0.004 -0.005 -0.006 -0.007 -0.008
(в: ЗЭУ)
(в: ЗУ)
I
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
(а: ЗЭУ)
I
(а: ЗУ)
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
I
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
(б: ЗЭУ)
I
(б: ЗУ)
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
I
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
(в: ЗЭУ)
(в: ЗУ)
I
-0.04 1-25
I
(а: ЗЭУ)
(а: ЗУ)
0.00 2.00
I
(б: ЗЭУ)
(б: ЗУ)
0.000 2.00
(в: ЗЭУ)
(в: ЗУ)
(б: ЗЭУ) (б: ЗУ)
(в: ЗЭУ) (в: ЗУ)
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
(а: ЗЭУ)
(а: ЗУ)
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
(б: ЗЭУ)
(б: ЗУ)
0.25 0.50 0.75 1.00
(в: ЗЭУ)
(в: ЗУ)
0.25 0.50 0.75 1.00
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
(а: ЗЭУ)
(а: ЗУ)
0.25 0.50 0.75 1.0
(б: ЗЭУ)
(б: ЗУ)
0.25 0.50 0.75 1.00
0.25 0.50 0.75 1.00
(в: ЗЭУ)
(в: ЗУ)
В таблице 1 для прямоугольных плит из материалов ЭМ1, ЭМ4, ЭМ5, ЭМ6 с различными отношениями сторон приведены максимальные по модулю значения возникающих моментов Мх, Му, Нху для случаев ЗЭУ и ЗУ.
Таблица 1.
Максимальные по модулю значения моментов Мх, Му, Нху
Тип задачи Величина Материал Отношение сторон прямоугольника
a/b= 1 а/Ь = 2 а/Ь = 3 Ь/а = 2 Ь/а = 3
ЗЭУ -мх ЭМ1 0,0467 0,0401 0,0390 0,1048 0,1214
ЭМ4 0,0472 0,0478 0,0457 0,0995 0,1174
ЭМ5 0,0540 0,0627 0,0598 0,1028 0,1184
ЭМ6 0,0521 0,0608 0,0587 0,1011 0,1176
-Му ЭМ1 0,0611 0,1136 0,1238 0,0582 0,0543
ЭМ4 0,0456 0,0994 0,1178 0,0451 0,0435
ЭМ5 0,0449 0,0991 0,1181 0,0465 0,0456
ЭМ6 0,0471 0,1002 0,1183 0,0511 0,0501
-Я 11 ху ЭМ1 0,0106 0,0105 0,0089 0,0136 0,0109
ЭМ4 0,0118 0,0162 0,0133 0,0120 0,0102
ЭМ5 0,0049 0,0122 0,0112 0,0026 0,0026
ЭМ6 0,0060 0,0124 0,0109 0,0039 0,0037
ЗУ -Мх ЭМ1 0,0466 0,0400 0,0389 0,1048 0,1214
ЭМ4 0,0400 0,0361 0,0349 0,0945 0,1154
ЭМ5 0,0364 0,0323 0,0314 0,0905 0,1132
ЭМ6 0,0361 0,0327 0,0319 0,0899 0,1129
-Му ЭМ1 0,0612 0,1136 0,1238 0,0583 0,0543
ЭМ4 0,0475 0,1011 0,1184 0,0453 0,0429
ЭМ5 0,0481 0,1012 0,1184 0,0461 0,0435
ЭМ6 0,0514 0,1035 0,1193 0,0520 0,0488
-Я 11 ху ЭМ1 0,0106 0,0105 0,0089 0,0136 0,0109
ЭМ4 0,0155 0,0174 0,0145 0,0201 0,0166
ЭМ5 0,0163 0,0177 0,0149 0,0221 0,0184
ЭМ6 0,0155 0,0163 0,0137 0,0218 0,0181
В таблице 2 для прямоугольных плит из материалов ЭМ1, ЭМ4, ЭМ5, ЭМ6 с различными отношениями сторон приведены достигаемые в центрах плит максимальные значения возникающего прогиба ш, измеренного в 10-7 м, для случаев ЗЭУ и ЗУ.
Таблица 2. Максимальные значения прогиба -ш
Тип задачи Материал Отношение сторон прямоугольника
а/Ь= 1 а/Ь = 2 а/Ь = 3 Ь/а = 2 Ь/а = 3
ЗЭУ ЭМ1 0, 9590 2,1042 2,4697 2, 6066 3,2653
ЭМ4 0,3781 0, 9947 1,2655 0, 9608 1,2145
ЭМ5 0, 5309 1,5009 1,9475 1,2600 1,5621
ЭМ6 0, 6465 1,7691 2, 2759 1,5931 2,0027
ЗУ ЭМ1 0, 9579 2,0989 2,4624 2, 6058 3, 2649
ЭМ4 0, 3304 0, 8069 1,0036 0, 9095 1,1815
ЭМ5 0,3823 0,9115 1,1280 1,0985 1,4570
ЭМ6 0,4755 1,0999 1,3453 1,4047 1,8806
В таблице 3 для прямоугольных плит из материалов ЭМ1, ЭМ4, ЭМ5, ЭМ6 с различными отношениями сторон приведены максимальные по модулю значения моментов М^х, Мду, измеренных в 10_3 МКл.
Таблица 3.
Максимальные по модулю значения моментов MDx, MDy
Величина Материал Отношение сторон прямоугольника
a/b= 1 a/b = 2 a/Ь = 3 b/a = 2 b/a = 3
MDx, ЭМ1 0, 0047 0,0079 0, 0068 0, 0025 0,0007
ЭМ4 -1,4981 -3,0533 -2, 8550 -0, 7305 -0,2102
ЭМ5 -2,1313 -5,0170 -4,9123 -0, 8773 -0,2014
ЭМ6 -2,5032 -5,6387 -5,4497 -1,0929 -0, 2748
MDy, ЭМ1 -0,0047 -0,0039 -0, 0020 -0,0052 -0,0031
ЭМ4 1,5059 1,5037 0, 8793 1,5700 0, 9426
ЭМ5 2,1463 2,4820 1,5440 1,9366 1,0882
ЭМ6 2,5193 2, 7858 1,7032 2, 3895 1,3777
Из представленных результатов следует, что на значения механических моментов Мх, Му, Нху существенно влияет соотношение сторон прямоугольной плиты. Так, увеличение одной из сторон приводит к заметному росту значений изгибающих моментов, действующих вдоль короткой стороны, и куда менее выраженным изменениям значений изгибающих моментов, действующих вдоль длинной стороны. При этом максимальные значения крутящего момента при увеличении одной из сторон прямоугольника сперва несколько возрастают, а затем убывают. Для квадратных плит наибольшая концентрация моментов имеет место в центре плиты. Для прямоугольных плит изгибающие моменты, действующие вдоль короткой стороны, достигают наибольшей концентрации в центре плиты, тогда как концентрация изгибающих моментов, действующих вдоль длинной стороны, не является максимальной в центре. Она возрастает от центра в направлении коротких сторон и достигает максимума на расстоянии около половины короткой стороны. При этом, концентрация моментов остается сопоставимой для всех материалов, несмотря на существенные отличия в значениях коэффициентов деформации. По всей видимости, этому способствуют эквивалентные механические граничные условия (края плиты свободно оперты). Следовательно, при свободном опирании края плиты упругие свойства материала (значения коэффициентов деформации) незначительно влияют на значения моментов. Влияние же пьезоэлектрических свойств является более выраженным. Так, для квадратной плиты из материала ЭМ4 учет этих свойств привел к росту максимальных значений моментов Мх на 18%, а для плит из материалов ЭМ5, ЭМ6 - до 66%, тогда как максимальные значения момента Му, наоборот, незначительно уменьшились. При удлинении плиты в направлении оси Ох (перпендикулярно направлению поляризации) учет пьезоэлектрических свойств приводил к еще большему росту значений моментов Мх, а на значениях моментов Му сказывался слабо. При удлинении плиты в направлении оси Оу (в направлении поляризации) вклад пьезоэффекта в концентрацию моментов являл-
ся менее значительным. В плите же из материала ЭМ1, обладающего наиболее слабыми пьезоэлектрическими свойствами, концентрация моментов для любых конфигураций изменялась очень слабо относительно учета пьезосвойств.
Наибольший прогиб возникает в плите из материала ЭМ1, обладающего наибольшими значениями коэффициентов деформации. Таким образом, упругие свойства материала значительно влияют на значения прогиба. Учет же электрических свойств материала на прогиб плиты из материала ЭМ1 приводил к очень слабому увеличению прогиба. Для плит же из материалов ЭМ4, ЭМ5, ЭМ6 учет электрических свойств материала приводил к значительному росту значений прогиба. Так, для квадратной плиты из материала ЭМ4 увеличение прогиба составило около 12%, а для плит из материалов ЭМ5, ЭМ6 — более 35%. При удлинении плиты в направлении оси Ox (перпендикулярно направлению поляризации) увеличение становится ещё более значительным. Однако при удлинении плиты в направлении оси Oy (в направлении поляризации) увеличение влияния пьезосвойств на значения прогиба становится менее выраженным.
В плите из материала ЭМ1 возникают наименьшее по величине моменты электрической индукции Mdx, M^y, а в плитах из материалов ЭМ4, ЭМ5, ЭМ6 концентрация этих моментов оказалась на 2 порядка выше. При этом, в плите из материала ЭМ6 значения этих моментов превышают аналогичные значения в плитах в плитах из материалов ЭМ4 и ЭМ5. Это связано с тем, что материал ЭМ6 имеет несколько меньшие значения коэффициентов диэлектрической проницаемости, чем материалы ЭМ4, ЭМ5. Материал ЭМ1 обладает существенно большими значениями пьезоэлектрических модулей и коэффициентов диэлектрической проницаемости среди представленных материалов.
1. Берлинкур Д. Пьезоэлектрические и пьезомагнитные материалы и их применение в преобразователях / Д. Берлинкур, Д. Керран, Г. Жаффе // Физическая акустика / Под ред. У. Мэзона. - М.: Мир, 1966. - Т. 1, ч. А. - С. 204-326.
2. Tiersten H.F. Linear piezoelectric plate vibrations: elements of the linear theory of piezoelectricity and the vibrations piezoelectric plates / H.F. Tiersten. - New York: Plenum, 1969. - 212 p.
3. Mindlin R.D. Forced thickness-shear and flexural vibrations of piezoelectric crystal plates / R.D. Mindlin //J. Appl. Phys. - 1952. - Vol. 23. - P. 83-88.
4. Mindlin R.D. High frequency vibrations of piezoelectric crystal plates / R.D. Mindlin // Int. J. Solids Struct. - 1972. - Vol. 8. - P. 895-906.
5. Bugdayci N. A two-dimensional theory for piezoelectric layers used in electro-mechanical transducers I: Derivation / N. Bugdayci, D.B. Bogy // Int. J. Solids Struct. - 1981. - Vol. 17. -P. 1159-1178.
6. Krommer M. A Reissner-Mindlin-type plate theory including the direct piezoelectric and the pyroelectric effect / M. Krommer, H. Irschik // Acta Mech. - 2000. - Vol. 141. - P. 51-69.
7. Bisegna P. Evaluation of higher-order theories of piezoelectric plates in bending and in stretching / P. Bisegna, G. Caruso // Int. J. Solids Struct. - 2001. - Vol. 38. - P. 8805-8830.
8. Love A.E.H. On the small free vibrations and deformations of elastic shells / A.E.H. Love // Philosophical trans. of the Royal Society. - 1888. - Vol. serie A, No. 17. - P. 491-549.
9. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки / С.Г. Лехницкий. - М.: Гостехиздат, 1957. -463 с.
10. Калоеров С.А. Краевые задачи прикладной теории изгиба тонких электромагнитоупругих
плит / С.А. Калоеров // Вестн. Донец. нац. ун-та. Сер. А: Естеств. науки. - 2019. - № 1.
- С. 42-58.
11. Калоеров С.А. Задачи электроупругого, магнитоупругого и упругого изгиба тонких плит как частные задачи электромагнитоупругого изгиба / С.А. Калоеров // Вестн. Донец. нац. ун-та. Сер. А: Естеств. науки. - 2019. - № 3-4. - С. 58-79.
12. Тимошенко С.П. Пластинки и оболочки / С.П. Тимошенко, С. Войновский-Кригер. -М.: Наука, 1966. - 636 с.
13. Mansfield E.H. The bending and stretching of plates / E.H. Mansfield. - Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1989. - 228 p.
14. Глушанков Е. С. Решение задачи об изгибе защемленной по краю эллиптической пьезоэлектрической плиты / Е.С. Глушанков // Журн. теорет. и прикладной механики. - 2020.
- № 4. - С. 5-15.
15. Гринченко В. Т. Электроупругость / В.Т. Гринченко, А.Ф. Улитко, Н.А. Шульга. - К.: Наук. думка. - 1989. - 280 с. (Механика связанных полей в элементах конструкций: В 5 т., Т. 5).
16. Калоеров С.А. Двумерные задачи электро- и магнитоупругости для многосвязных областей / С.А. Калоеров, А.И. Баева, О.И. Бороненко. - Донецк: Юго-Восток, 2007. - 268 с.
17. Liu J.X. Anisotropic thermopiezoelectric solids with an elliptic inslusion or a hole under uniform heat flow / J.X. Liu, X.S. Zhang, X.L. Liu, J. Zheng // Acta Mech. Sinica. - 2000. - Vol. 16.
- P. 148-163.
18. Dunn M.L. Micromechanics of coupled electroelastic composites effective thermal expansion and pyroelectric coefficients / Dunn M.L. //J. Appl. Phys. - 1993. - Vol. 73. - P. 5131-5140.
E.S. Glushankov, A.B. Mironenko
The solution of the problem of bending of simply supported rectangular piezoelectric plate. I.
A bending problem is solved for simply supported thin rectangular piezoelectric plate loaded along the upper base. The cases are considered whether different side surfaces of plate are electoded or are not electroded. The solutions of the problems are obtained in double trigonometric series. The influence of material's properties and electric boundary condition on the electro-elastic state of the plate is obtained with the numerical studies based on the obtained solutions.
Keywords: bending theory of thin plates, piezoelectric material, rectangular plate, polynomial solutions, deflection function, bending moments, double trigonometric series.
ГОУ ВПО "Донецкий национальный университет", Донецк Получено 01.12.2022
Donetsk National University, Donetsk
evgenij.glushankov@gmail.com
